Grundkurs Analysis 2: Differentiation und Integration in mehreren Veränderlichen

381 Pages·2013·3.092 MB·German

by  Klaus Fritzsche (auth.)

Grundkurs Analysis 2
Klaus Fritzsche
Grundkurs Analysis 2
Differentiation und Integration
in mehreren Veränderlichen
2., überarbeitete und erweiterte Aufl age
Prof. Dr. Klaus Fritzsche
Fachbereich C Mathematik und Naturwissenschaft en
Bergische Universität Wuppertal
Wuppertal, Deutschland
ISBN 978-3-642-37494-4 ISBN 978-3-642-37495-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-37495-1
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v
Aus dem Vorwort zur ersten Auflage:
Mit diesem Buch liegt der zweite und abschließende Teil einer zweisemestrigen
Einfu¨hrung in die Analysis vor. Es wendet sich an Studierende in Mathematik,
Physik, Informatik und den Ingenieurwissenschaften und eignet sich zum Selbst-
studium, als Begleitlektu¨re und ganz besonders auch zur Pru¨fungsvorbereitung.
Schwerpunkte bilden die Differentialrechnung in mehreren Ver¨anderlichen und die
Theorie des Lebesgue-Integrals. Dem schließt sich noch ein Kapitel u¨ber die Inte-
grals¨atze der Vektoranalysis an. Einige oft als schwierig oder abstrakt empfundene
Themenwerdenzun¨achstausgeklammert,dannaberindenoptionalenErg¨anzungs-
teilen aufgegriffen. Sie k¨onnen auch in den behandelten Stoff integriert werden.
ZumInhaltimEinzelnen:Zun¨achstwerdenallgemeinenormierteVektorr¨aumeund
ihre topologischen Eigenschaften untersucht. Hinzu kommt der U¨berdeckungssatz
vonHeine-BorelundderBanach’scheFixpunktsatz.DieschoninBand1vorgestell-
te partielle Differenzierbarkeit wird in das etwas allgemeinere Konzept der Rich-
tungsableitungen integriert. Deren Schw¨achen geben dann Anlass zur Einfu¨hrung
der totalen Differenzierbarkeit.
ZurBestimmungvonlokalenExtremwertenwirddieTaylorformel2.Ordnungher-
geleitet, im Erg¨anzungsteil folgt aber auch die allgemeine Taylor’sche Formel. Der
Satz u¨ber implizite Funktionen wird in Abschnitt 1.5 aus dem in 1.4 bewiesenen
Umkehrsatz hergeleitet und bei der Behandlung von Untermannigfaltigkeiten ein-
gesetzt, auch bei der Bestimmung von Extremwerten unter Nebenbedingungen.
Kapitel 1 schließt mit einem Abschnitt u¨ber Vektorfelder und Kurvenintegrale.
Kapitel2fu¨hrtindasLebesgue-Integralein.AmAnfangstehenTreppenfunktionen
und ihre offensichtlichen Integrale. Dann werden Lebesgue-Nullmengen definiert
und Funktionen betrachtet, die fast u¨berall Grenzwert einer monoton wachsenden
Folge von Treppenfunktionen sind. Lebesgue-integrierbare Funktionen sind Diffe-
renzensolcherFunktionen.Esfolgendiem¨achtigenGrenzwerts¨atze,Aussagenu¨ber
Parameterintegrale, etwas Lebesgue’sche Maßtheorie und der Satz von Fubini. Als
besondere Zugabe wird parallel auch immer das Riemann-Integral behandelt.
Das dritte Kapitel beginnt mit der Transformationsformel fu¨r Lebesgue-Integrale,
weiter geht es mit den klassischen Integrals¨atzen von Green, Stokes und Gauß.
Am Schluss wird kurz die Theorie der Differentialformen vorgestellt und damit
ein allgemeiner Stokes’scher Satz gewonnen. Speziell an Anwender wendet sich
das Rechnen in krummlinigen Koordinaten, das mit Differentialformen sehr viel
eleganter erledigt werden kann.
Ichm¨ochtemichbeiBarbaraLu¨hkerundAndreasRu¨dingervomSpektrum-Verlag
bedanken,diemirwiedermitvielGeduldundkonstruktiverKritikgeholfenhaben,
sowie bei meiner Frau, die mich sehr liebevoll unterstu¨tzt und bei vielen Alltags-
problemen entlastet hat.
Wuppertal, im Februar 2006 Klaus Fritzsche
vi
Vorwort zur 2. Auflage:
Das Buch wurde vollst¨andig u¨berarbeitet und enth¨alt zahlreiche Neuerungen,
aber die Struktur ist gleich geblieben: Mit einer kurzen Einfu¨hrung startet der
Grundkurs“, der nicht Bezug auf Themen aus dem Erg¨anzungsteil nimmt. Am
”
Ende des Abschnittes vermittelt eine Zusammenfassung noch einmal in kom-
pakter Form einen U¨berblick. Erst dann folgt der optionale Erg¨anzungsteil, der
wichtige und manchmal auch etwas anspruchsvollere Zusatzinformationen enth¨alt.
Kurze, grau unterlegte Einfu¨hrungen“ und
”
Motivationen“ greifen Vorwissen auf, be-
”
gru¨nden das Kommende oder erinnern an
wichtige Vorkenntnisse.
Definitionen er-
1 Der Grenzwertbegriff scheinen in gerahmten
K¨asten, der zu defi-
1.1 Konvergenz
nierende Begriff wird
ZurMotivation:InSchulbu¨chernwirddieAbleitungeinerFunktionals”Grenz- in der Titelzeile an-
wert“vonDifferenzenquotienteneingefu¨hrt.AberwasuntereinemsolchenGrenz-
wertzuverstehenist,bleibtoftmalsimDunkeln.EineFunktionsvorschrifty=f(x) geku¨ndigt und im Text
beschreibt,wiesichdieabh¨angigeVariableyverh¨alt,wennsichdieunabh¨angige
VariablexeinemfestenWertx0ann¨ahert.Wasbedeutetdas?Wirmu¨ssensolche hervorgehoben.
Begriffewie”Ann¨aherung“oder”Grenzwert“pr¨azisieren.
EinModelldafu¨rlieferndieNullfolgen,diewirinAbschnitt1.3untersuchtha-
ben.WirwerdenauchhierwiederdasVollst¨andigkeitsaxiombenutzen,denSatz
vonArchimedesundε-Umgebungen(diesmalvonbeliebigenPunktena∈R).Zur
Erinnerung:Ist(an)eineFolgevonreellenZahlen,sogilt:
an∈Uε(a) ⇐⇒ |an−a|<ε.
Wichtige Formeln sind
Definition (KonvergenzeinerZahlenfolge) gelegentlich
EineFolge(an)konvergiertgegeneinereelleZahla,fallseszujedemε>0ein
n0∈Ngibt,sodassalleanmitn≥n0inUε(a)liegen.Manbezeichnetdanna
alsdenGrenzwertoderLimesderFolge(an)undschreibt:
hellgrau
nl→im∞an=a.
Kurzgesagtkonvergiert(an)genaudanngegena,wenninjederε-Umgebungvon unterlegt.
afastalleanliegen.InderFormelsprachebedeutetdas:
∀ε>0 ∃n0∈N,sodass∀n≥n0gilt:|an−a|<ε.
Ista=0,soerhaltenwirdenschonbekanntenBegriffder Nullfolge“ Lehrs¨atze sind hell-
”
1.1.1.DieEindeutigkeitdesGrenzwertes grau unterlegt und be-
DerGrenzwerteinerkonvergentenFolgeisteindeutigbestimmt. ginnen meist nicht mit
Beweis: Wirnehmenan,esgibtzweiZahlenaunda(cid:4),diebeidedieBedingungen Satz“ sondern mit ei-
derDefinitionerfu¨llen. ”
Zun¨achstnutzenwirdieVoraussetzungaus.Isteinε>0beliebigvorgegeben, nem sprechenden Titel.
sogibtesZahlenn1undn2,sodass|an−a|<εfu¨rn≥n1und|an−a(cid:4)|<ε
Ganz am Schluss stehen jeweils die U¨bungsaufgaben. Hinweise dazu findet man
unter http://www2.math.uni-wuppertal.de/∼fritzsch/
vii
Entscheidender Bestandteil des didaktischen Konzeptes der 1. Auflage war das
zweifarbige Layout. Um eine flexiblere Auflagenplanung des Grundkurses Analysis
2zuerm¨oglichen,hatderVerlagbeschlossen,dasWerkabderzweitenAuflageein-
farbig zu drucken. Die Abbildungen wurden dafu¨r alle sehr sorgf¨altig u¨berarbeitet
und ebenso wie die besonderen Textauszeichnungen so mit Graustufen gestaltet,
dass keine Informationen gegenu¨ber der bisherigen Zweifarbigkeit verloren gegan-
gen sind und vielleicht sogar gr¨oßere Klarheit erreicht wurde. Im Gegenzug wurde
Raum fu¨r die zahlreichen Neuerungen und Erweiterungen zur Verfu¨gung gestellt.
1.1.2.Satz
SeiEeineBanac(cid:2)halgebramitEins.Istx∈Eund(cid:9)x(cid:9)<1,soist1−xinvertierbar
und(1−x)−1= ∞ν=0xν.
Beweis(cid:2): Weil(cid:9)x·y(cid:9)≤(cid:9)x(cid:9)·(cid:9)y(cid:9)ist,istallgemein(cid:9)xν(cid:9)≤(cid:2)(cid:9)x(cid:9)ν.Weil(cid:9)x(cid:9) <1
Die Zusammenfassung ist,ist ∞ν=0(cid:9)x(cid:9)νeinekonvergentegeometrischeReiheund ∞ν=0xνeinenormal
konvergenteReihe,diewegenderVollst¨andigkeitvonEkonvergierenmuss.Außer-
am Schluss erkennt man demgilt:
(cid:3)N
an dem grauen Balken am (1−x)· xν=1−xN+1.
ν=0
linken Rand. DieFolge(xN+1)strebtfu¨rN→∞gegenNull.DarausergibtsichdieFormelfu¨r
(1−x)−1.
Zusammenfassung
WirhabenindiesemAbschnittdieGeometrieimRn,ineuklidischenR¨aumen
(endlich-dimensionalenreellenVektorr¨aumenmiteinemSkalarprodukt)und
inallgemeinennormiertenVektorr¨aumenuntersucht.
DieeinschneidendsteVoraussetzungistdieExistenzeinesSkalarproduktes.
JezweiVektorenvundweinesreellenVektorraumesEwirdeinereelleZahl
(v|w)zuordnet,sodassgilt:
1.(v1+v2|w)=(v1|w)+(v2|w)fu¨rv1,v2,w∈E,
MitdereuklidischenundderOperatornormwirdMn(R)zueinerBanachal-
gebra.GenausoistderRaumL(Rn,Rn)derlinearenAbbildungenvonRnauf
sicheinBanachraum,ebenfallsdurchdieOperatornorm.
DieErg¨anzungsbereichesindin Erg¨anzungen
kleinererSchriftgesetzt,ansonsten I) MetrischeR¨aume:
aber wie der normale Text struk- Definition (metrischerRaum)
turiert. EinmetrischerRaumisteineMengeX,zusammenmiteinerAbbildungd:X×X→R,so
dassgilt:
1.d(x,y)≥0fu¨rallex,y∈X,undd(x,y)=0 ⇐⇒ x=y,
2.d(x,y)=d(y,x),
3.d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y).
MitHilfeeinerMetrikkannmandieKonvergenzvonFolgendefinieren.
EsgibtmetrischeR¨aume,diekeineVektorr¨aumesind(z.B.eineKugelimRnmitderinduzierten
Metrik),aberauchineinemVektorraumkommtnichtjedeMetrikvoneinerNorm.Essollhier
einwichtigesBeispielbehandeltwerden:
SeiI=(a,b)einoffenesIntervallundE:=C0(I).Wirsetzen
Ik:=[a+r/k,b−r/k](fu¨reinfestesrmit0<r<b−a)
undpk(f):=(cid:9)f(cid:9)Ikfu¨rf∈E.Weitersei
Die wichtigsten inhaltlichen A¨nderungen gegenu¨ber der 1. Auflage sollen hier kurz
vorgestellt werden: Zun¨achst wurde aus einem Teil des Beweises zum Lagran-
ge’schen Multiplikator (in Abschnitt 1.3, Extremwerte) ein Lemma u¨ber die durch
eine Gleichung implizit gegebenen Funktionen extrahiert und in den Abschnitt 1.2
(Differenzierbarkeit) gestellt. Außer dem Zwischenwert- und dem Mittelwertsatz
braucht man dafu¨r nicht viel, und aus dem Lemma kann dann in Abschnitt 1.4
(Differenzierbare Abbildungen) der allgemeine Satz u¨ber implizite Funktionen ein-
fachmitvollst¨andigerInduktionhergeleitetwerden.DiesesVorgehenistnichtneu,
viii
manfindetesschonbeiFichtenholz[33],undinju¨ngererZeitwiederbeiEndl/Luh
unddeJong([32]und[34]).Dermanchmaletwasgefu¨rchteteSatzvonderUmkehr-
abbildung (1.4.11) ergibt sich anschließend recht einfach (wie bei Forster, [5]). Der
heutegernegew¨ahlteWegu¨berdenFixpunktsatzistdeutlichkomplizierterundei-
gentlich nur vorzuziehen, wenn die Analysis auf Banachr¨aumen anvisiert wird. Ein
alternativer Beweis mit Hilfe des Newton-Verfahrens findet sich nach wie vor im
Erg¨anzungsbereich.NeuzuKapitel1hinzugekommenistAbschnitt1.7(Differenti-
algleichungen)mitdem(inder1.AuflagenochimErg¨anzungsbereichenthaltenen)
lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz, nun erg¨anzt durch die entsprechenden
globale S¨atze, sowie Ergebnisse zur stetigen und differenzierbarern Abh¨angigkeit
derL¨osungvondenAnfangswertenunddieTheorielinearerSysteme,insbesondere
solchermitkonstantenKoeffizienten.Derzugeh¨origeErg¨anzungsbereichbehandelt
den Existenzsatz von Peano.
DieLebesguetheoriewurdeamAnfangetwasgestrafft,diealtenAbschnitte2.1und
2.2 zu einem neuem Abschnitt 2.1 (Treppenfunktionen und Nullmengen) zusam-
mengefasstundderInhaltvon2.3nach2.2(integrierbareFunktionen)verschoben.
Dieser Abschnitt beschr¨ankt sich jetzt allein auf das Lebesgue-Integral, w¨ahrend
demRiemann-IntegraleineigenerAbschnitt2.3gewidmetist.Mankanndiesenfu¨r
einen fru¨hzeitigen Zugang zu praktischen Integral-Berechnungen nutzen oder ihn
alternativ auch u¨berspringen. Die Abschnitte 2.4 (Grenzwerts¨atze), 2.5 (Messbare
Mengen und Funktionen) und 2.6 (Der Satz von Fubini) konzentrieren sich nun
ausschließlich auf die Lebesgue-Theorie.
Abschnitt3.1(DieTransformationsformel)istunver¨andertgeblieben,aberderehe-
malige Schlussparagraph 3.5 ist jetzt zentral in Abschnitt 3.2 (Differentialformen
undderSatzvonStokes)positioniert.Sok¨onnendieErgebnisseanschließendinder
Vektoranalysis angewandt werden. Abschnitt 3.3 (Operatoren der Vektoranalysis)
stellt die Verbindung zu klassischen Notationen her, enth¨alt neben Formeln aus
dem 3-dimensionalen Raum aber auch schon n-dimensionale Verallgemeinerungen
(Gram’sche Determinante, Fl¨achenberechnung, Fluss durch eine Hyperfl¨ache), so-
wiedieRechnungeninkrummlinigenKoordinaten.InAbschnitt3.4(DieS¨atzevon
Green und Stokes) werden Teilungen der Eins und Differentialformen benutzt, um
dieklassischenS¨atzevonGreenundStokesindergleichenAllgemeinheitwieinder
1. Auflage zu beweisen, aber mit deutlich weniger Mu¨he. Abschnitt 3.5 (Gebiete
mit Rand und der Satz von Gauß) ist schließlich dem Divergenzsatz von Gauß-
Ostrogradsky fu¨r Gebiete mit glattem Rand im Rn gewidmet. In Spezialf¨allen ge-
lingt die U¨bertragung auf n-dimensionale Gebiete mit nicht-glatten R¨andern, was
dieTheoriedeutlichanwendbarermacht,ohnezutechnischzuwerden.DerAnhang
zur linearen Algebra wurde um Elemente der multilinearen Algebra erweitert.
Wuppertal, im M¨arz 2013 Klaus Fritzsche
Inhaltsverzeichnis
1 Differentialrechnung in mehreren Variablen 1
1.1 Die Geometrie euklidischer R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.4 Differenzierbare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.5 Glatte Fl¨achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
1.6 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.7 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2 Lebesgue-Theorie 171
2.1 Treppenfunktionen und Nullmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2.2 Integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
2.3 Das Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
2.4 Grenzwerts¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
2.5 Messbare Mengen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
2.6 Der Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
3 Integrals¨atze 269
3.1 Die Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
3.2 Differentialformen und der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . 283
3.3 Die Operatoren der Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
3.4 Die S¨atze von Green und Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
3.5 Gebiete mit Rand und der Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . 336
4 Anhang:
Ergebnisse der linearen Algebra 349
4.1 Basen und lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
4.2 Orthogonalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
4.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
4.4 Linearformen und Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
4.5 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
4.6 Alternierende Multilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
4.7 Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
Literaturverzeichnis 367
Stichwortverzeichnis 371
1 Differentialrechnung in mehreren
Variablen
1.1 Die Geometrie euklidischer R¨aume
Zur Erinnerung: Die Elemente des Rn schreiben wir normalerweise als Zeilen-
vektoren:
x=(x , ...,x ).
1 n
Kommen Matrizen ins Spiel, so ist manchmal die Spalten-Schreibweise vorteilhaf-
ter: ⎛ ⎞
x
→x :=x(cid:5) =⎜⎝ ...1 ⎟⎠.
x
n
Ist A ∈ M (R) eine Matrix mit n Zeilen und m Spalten, so induziert sie eine
n,m
→ →
lineare Abbildung f :Rm →Rn durch f (x):=A · x, in Zeilenschreibweise also
A A
f (x)(cid:5) :=A·x(cid:5) oder f (x):=(A·x(cid:5))(cid:5) =x·A(cid:5).
A A
Dabei steht der Punkt fu¨r die normale Matrizenmultiplikation.
Das euklidische Skalarprodukt zweier Vektoren v,w wird durch
(cid:3)n
v•w:=v·w(cid:5) = vνwν,
ν=1
erkl¨art, die euklidische Norm eines Vektors v durch
(cid:10)
(cid:9)v(cid:9):=(v•v)1/2 = (v1)2+···+(vn)2.
Von den Eigenschaften des Skalarproduktes und der Norm seien noch einmal die
folgenden erw¨ahnt:
1. |v•w|≤(cid:9)v(cid:9)·(cid:9)w(cid:9) (Schwarz’sche Ungleichung),
v•w
2. Der Winkel θ zwischen v und w ist gegeben durch cosθ = .
(cid:9)v(cid:9)·(cid:9)w(cid:9)
U¨ber weitere Ergebnisse aus der linearen Algebra wird im Anhang u¨bersichtsartig
berichtet.
WirwerdenunsindiesemAbschnittmitder Topologie“ desRn undallgemeinerer
”
Vektorr¨aumebesch¨aftigen.DasWort Topologie“ kommtvomgriechischen topos“
” ”
undbedeutet Ort , Stelle“, Raum“.EsgehtalsoumdieWissenschaftvomRaum
” ” ” ”
K. Fritzsche, Grundkurs Analysis 2, DOI 10.1007/978-3-642-37495-1_1,
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013