Grundkonzepte der Mathematik: Mengentheoretische, algebraische, topologische Grundlagen sowie reelle und komplexe Zahlen

643 Pages·2017·8.33 MB·German

by  Uwe Storch

Uwe Storch
Hartmut Wiebe
Grundkonzepte
der Mathematik
Mengentheoretische, algebraische,
topologische Grundlagen sowie reelle
und komplexe Zahlen
Springer-Lehrbuch
(cid:2)
Uwe Storch Hartmut Wiebe
Grundkonzepte der
Mathematik
Mengentheoretische, algebraische,
topologische Grundlagen sowie reelle
und komplexe Zahlen
UweStorch HartmutWiebe
FakultätfürMathematik FakultätfürMathematik
Ruhr-UniversitätBochum Ruhr-UniversitätBochum
Bochum,Deutschland Bochum,Deutschland
ISSN0937-7433
Springer-Lehrbuch
ISBN978-3-662-54215-6 ISBN978-3-662-54216-3(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-54216-3
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Vorwort
Mit dem vorliegenden Band beginnen wir eine Neuausgabe unseres Lehrbuchs der Ma-
thematik [18–21], dasin vier Bändenebenfalls im Verlag SpringerSpektrumerschienen
ist. Wir freuen uns ganz besonders, dass wir dafür Herrn Prof.Dr.C. Becker von der
HochschuleRheinMaininWiesbaden,HerrnProf.Dr.M.KerskenvonderFachhochschu-
le Flensburg und Herrn Prof.Dr.F. Loose von der Universität Tübingen als Mitautoren
gewinnen konnten. Wir danken ihnen ganz herzlich für ihre Bereitschaft und ihr Enga-
gement. Ausgehend von den bestehenden Ausgaben wird der Stoff neu strukturiert und
ausgeweitet.DieBändewerdensichspezifischermiteinzelnenThemenbeschäftigenund
sieumfassenderbehandelnalsdasbishermöglichwar,sodasssiedenStoffeinesregulä-
renMathematikstudiums(ohneSpezialisierungen)enthaltenwerden.DieeinzelnenBände
sindwenigerumfangreichalsbisher.VorgesehensindfolgendeThemen:
1. GrundkonzeptederMathematik
2. AnalysiseinerVeränderlichen
3. LineareAlgebraI
4. LineareAlgebraII
5. DifferenzialrechnungmehrererVeränderlicher
6. Maß-undIntegrationstheorie
7. AnalysisaufMannigfaltigkeiten
8. Funktionalanalysis
9. Stochastik
10. GewöhnlicheDifferenzialgleichungen
11. Funktionentheorie
12. Differenzialgeometrie/Differenzialtopologie
13. Algebra
WirselbstgestaltennochdieerstenbeidenBände,dieübrigenBändewerdeneigenständig
von dendreiobengenanntenneuenAutoren bearbeitet.M. Kersken übernimmtBand3,
F.LooseBand5undC.BeckerBand6.
V
VI Vorwort
Das Projekt wurde von Herrn Dr.A. Rüdinger vom Verlag SpringerSpektrum ange-
regt,demwirdafürundfürdiebisherigevorzüglicheBetreuungunsererBücherherzlich
danken.
Bochum,März2017 UweStorch
HartmutWiebe
Einleitung
DieMathematikzeigtihreschönenSeiten
nurihrengeduldigenAnhängern.
M.Mirzakhani(1977–2017)
Der vorliegende Bd. 1 dieser Lehrbuchreihe behandelt in vier Kapiteln Grundkonzepte
aus der Mengenlehre, der Algebra und der Topologie und gibt eine Einführung in die
reellen und komplexen Zahlen. Er dient als Basis für die weiteren Bände. Dies betrifft
insbesondere auch die Terminologie. Sein Inhalt fußt auf den Kapiteln I, II und IV von
Band1sowieaufKapitelIvonBand3unseresLehrbuchsderMathematik[18,20].Das
KapitelüberdiealgebraischenGrundlagenfasstdieindenvierBänden[18–21]verstreut
abgehandeltenalgebraischenGegenständezusammenundistdabeiüberdenzunächstvor-
gesehenenRahmenhinausgewachsen. Der Stoff wurdeallerdingsauch an vielen Stellen
erweitert.UnserZielwares,einebegrifflicheGrundlagefürdieMathematikzuschaffen,
aberim DetailauchtiefereErgebnissezupräsentieren.Zwar gehtdieDarstellung syste-
matischvor,beieinzelnenBeispielenoderauchinAufgabenwirdjedochvonBeginnan
einegewisseVertrautheitimUmgangmitdennatürlichen,rationalenundreellenZahlen
erwartet.DasBuchwendetsichanalle,diesichintensivermitMathematikbeschäftigen
wollen.
ImFolgendenbeschreibenwirdenInhaltdereinzelnenKapiteletwasdetaillierter.
Kap. 1 widmet sich den grundlegenden Sprechweisen über Mengen, Abbildungen
und Relationen. Ausführlich werden die ordnungstheoretischen Begriffe diskutiert. Da-
zu gehört ein Abriss der Theorie der Kardinal- und Ordinalzahlen und ein Beweis des
ZornschenLemmasmitseinenunmittelbarenKonsequenzenwieWohlordnungssatz,Ver-
gleichbarkeitssatz für Kardinal- und Ordinalzahlen und der Produktsatz für unendliche
Kardinalzahlen. Ausgehend von den Peano-Axiomen geben wir eine Einführung in die
natürlichen Zahlen, für die die vollständige Induktion zentral ist. Die grundlegenden
Methoden und Ergebnisse der elementaren Kombinatorik über das Abzählen endlicher
Mengen werden dargestellt. Ausgangspunkteiner Einführungin die elementare Zahlen-
theorie ist der Euklidische Algorithmus und der damit gewonnene Hauptsatz über die
eindeutigePrimfaktorzerlegungnatürlicherZahlen.
VII
VIII Einleitung
Als Grundbegriffeder Algebra werden in Kap. 2 Monoide und Gruppen, Ringe und
KörpersowieModulnundAlgebrenbesprochen.Homomorphismenspielenalsstruktur-
verträglicheAbbildungeneineentscheidendeRolleundführenzuStandardkonstruktionen
wie Quotientenbildungen, Summen und Produkten und zur Diskussion freier Objekte.
Stets betonen wir dieuniversellen Eigenschaften der konstruiertenObjekte und bereiten
so auf einemehrkategorientheoretischeBetrachtungsweisein späterenBändenvor. Das
Operieren von Monoiden und Gruppen liefert einen einheitlichen Gesichtspunkt bei der
BehandlungverschiedensteralgebraischerStrukturen.Überdieswirdsodieursprüngliche
Bedeutung von Gruppen als Transformationsgruppen wiederbelebt. Die Gruppentheorie
führen wir bis zu den Sylow-Sätzen aus und konkretisieren sie an endlichen Permuta-
tionsgruppen. Die Einfachheit der alternierenden Gruppen von Mengen mit mindestens
fünfElementenwird bewiesen.WeitereAnwendungensind etwadasquadratischeRezi-
prozitätsgesetznachJacobiunddiePólyascheAbzählformel.
Ringe, Moduln und Algebren sind Strukturen mit mehreren kanonisch verbundenen
Verknüpfungen, die unter den bereits erwähnten generellen Gesichtspunkten betrachtet
werden. Mit dem allgemeinen Chinesischen Restsatz wird die Struktur der minimalen
Ringe, d.h. der Restklassenringe von Z und ihrer Einheitengruppen, der Primrestklas-
sengruppen,geklärt.ModulnundVektorräumewerdeneinschließlichdesRang-undDi-
mensionsbegriffsbehandelt.DerAbschnittüberAlgebrendiskutiertu.a.sehrausführlich
(auch nichtkommutative) Polynomalgebren bis hin zum Hilbertschen Basissatz und der
Primfaktorzerlegung.Hauptidealbereicheund insbesondereeuklidischeBereichemit ih-
rer spezifischen Modultheorie finden dabei ihren Platz. Anwendungsbeispiele sind etwa
endlicheKörperundderZwei-sowiederVier-Quadrate-Satz.
Die reellen Zahlen bilden einen angeordneten Körper. Diese Tatsache und damit das
StudiumvonUngleichungensindAusgangspunktvonKap.3.ZentralistdieKonvergenz
von Folgen, die wiederum zum Vollständigkeitsbegriff führt und zur Charakterisierung
von R als einem vollständigen angeordneten Körper. Die Vollständigkeit wird von den
verschiedenstenSeitenbeleuchtet,woraussichauchnatürlicheKonstruktionenvonRaus
denrationalenZahlenergeben.DerÜbergangzudenkomplexenZahlenistdanneinklei-
nerSchritt.FürdiePolarkoordinatendarstellungkomplexerZahlenwerdenallerdingsim
Vorgriff auf Bd. 2 schon hier trigonometrischeFunktionen benutzt. Bei der Behandlung
von Reihen bietet der Summierbarkeitsbegriff erhebliche methodische Vorteile. Er wird
deshalbkonsequentverwendet.DieStetigkeitvonreellenundkomplexenFunktionenauf
Teilmengen von R oder C wird ausführlich behandelt, einschließlich der Besonderhei-
tenbeikompaktenDefinitionsbereichen.AlseineAnwendungerhältmandenklassischen
BeweisdesFundamentalsatzesderAlgebra.DasKapitelschließtmitderEinführungder
reellenExponential-undLogarithmusfunktionen.
Topologische Strukturen spielen heute in allen Bereichen der Mathematik eine we-
sentliche Rolle. Sie sind Gegenstand des Kap. 4. Ausgehend vom Abstandsbegriff wer-
denzunächstmetrischeRäumeeingeführt,zudenenspezielldienormiertenVektorräume
gehören. Metrische Räume motivieren das Konzept des topologischen Raums mit den
zugehörigen Homomorphismen, nämlich den stetigen Abbildungen. Einschlägige Kon-
Einleitung IX
struktionenwieBild-undUrbildtopologienmitihrenuniversellenEigenschaften,speziell
Quotienten und Produkte, werden ausführlich besprochen. Die fundamentalen Begriffe
des Zusammenhangs und der Kompaktheit, die schon in Kap. 3 für die Räume R und
C eine wichtige Rolle spielten, sind zentrale Gegenstände der Überlegungen. Wir dis-
kutieren den Satz von Tychonoff und die Vollständigkeit metrischer Räume sowie die
verschiedenenKonvergenzbegriffeinAbbildungsräumenwiepunktale,gleichmäßige,lo-
kalgleichmäßigeundkompakteKonvergenzbishinzumSatzvonArzelà-Ascolimitdem
Hausdorff-AbstandvonabgeschlossenenMengeninmetrischenRäumenalseinerAnwen-
dung. Schließlich wird die Summierbarkeit in hausdorffschen abelschen topologischen
GruppenalsVerallgemeinerungderSummierbarkeitinRundCeingeführt.
DieeinzelnenAbschnittewerdendurchzahlreicheAufgabenergänzt,derenErgebnis-
se gelegentlich im Text benutzt werden. Zu den etwas schwierigeren Aufgaben werden
Hinweise gegebenen. Außerdem findet man zu einigen Aufgaben Lösungen in unseren
Arbeitsbüchern[22]und[23].DieBeispieledienennichtnurzurIllustrationderTheorie,
sondernführensieauchweiter.Wirhoffen,dasssiedieDarstellungstärkerstrukturieren
unddieÜbersichterhöhen.DasEndevonBeispielenundBemerkungenistjeweilsdurch
ein}gekennzeichnetunddasEndevonBeweisendurch(cid:2).
DasBuchgibtnichtdenInhalteinereinzelnenVorlesungwieder.EsmussnichtSeite
für Seite gelesen werden, vielmehr kann der Leser einzelne Themen herausgreifen und
esbeiBedarfauchalsNachschlagewerkbenutzen.DasausführlicheStichwortverzeichnis
solldabeihelfen.
Der zweite Band dieser Reihe beschäftigt sich mit der Analysis von Funktionen ei-
ner reellen und komplexen Veränderlichen, also mit der Differenziation und Integration
solcherFunktionen.
WirdankenHerrnDr.A.RüdingerundFrauI.RuhmannvomVerlagSpringerSpektrum
herzlich für die Beratung bei der inhaltlichen Ausrichtung dieses Bandes und Frau
A.HerrmannfürdietechnischeUnterstützung.
Bochum,Juli2017 UweStorch
HartmutWiebe
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenderMengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 AbbildungenundFamilien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Relationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 NatürlicheZahlenundvollständigeInduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.6 EndlicheMengenundKombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.7 PrimfaktorzerlegungnatürlicherZahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.8 UnendlicheMengenundKardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2 AlgebraischeGrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.1 MonoideundGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.2 Homomorphismen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.3 InduzierteHomomorphismenundQuotientenbildung . . . . . . . . . . . . 160
2.4 OperierenvonMonoidenundGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2.5 Permutationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
2.6 Ringe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
2.7 IdealeundRestklassenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
2.8 ModulnundVektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
2.9 Algebren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
2.10 HauptidealbereicheundfaktorielleIntegritätsbereiche. . . . . . . . . . . . 328
3 ReelleundkomplexeZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
3.1 AngeordneteKörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
3.2 KonvergenteFolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
3.3 ReelleZahlkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
3.4 FolgerungenausderVollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
3.5 DiekomplexenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
3.6 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
3.7 Summierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
3.8 StetigeFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
XI