Groupes quantiques discrets et algèbres d'opérateurs

56 Pages·2013·0.88 MB·French

Groupes quantiques discrets et
algŁbres d’opØrateurs
MØmoire d’habilitation
Roland Vergnioux, 7 juin 2013
Table des matiŁres
Introduction 3
Groupes quantiques discrets et compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
CoreprØsentations et graphes de Cayley classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 Outils combinatoires, gØomØtriques, probabilistes 14
1.1 DØtermination de rŁgles de fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Groupes quantiques orthogonaux semi-libØrØs . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Groupes de rØ(cid:29)exions complexes quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Exemples de graphes quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Graphes classiques et quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Arbres de Bass-Serre quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Graphes de Cayley quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Marches alØatoires et frontiŁres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Marches alØatoires quantiques et frontiŁres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
FrontiŁre de Gromov des groupes quantiques libres . . . . . . . . . . . . . . 27
ArŒtes (cid:224) l’in(cid:28)ni dans le graphe de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Applications en algŁbres d’opØrateurs 32
2.1 K-thØorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
K-moyennabilitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Baum-Connes pour les produits libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Baum-Connes pour les groupes quantiques libres . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 PropriØtØs C∗-algØbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
PropriØtØ de dØcroissance rapide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
PropriØtØ d’Akemann et Ostrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Exactitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 PropriØtØs von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
FactorialitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
SoliditØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Cohomologie L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Index 50
RØfØrences 51
1
HABILITATION
Habilitation (cid:224) Diriger des Recherches
Soutenue publiquement le 7 juin 2013 devant le jury composØ de :
(cid:21) Saad Baaj (Clermont-Ferrand)
(cid:21) Bachir Bekka (Rennes)
(cid:21) Georges Skandalis (Paris)
(cid:21) Stefaan Vaes (Leuven)
(cid:21) Leonid Vainerman (Caen)
Rapporteurs :
(cid:21) Saad Baaj (Clermont-Ferrand)
(cid:21) Sergey Neshveyev (Oslo)
(cid:21) Ryszard Nest (Copenhague)
Liste des publications prØsentØes
[1] R. Vergnioux : K-amenability for amalgamated free products of amenable discrete
quantum groups. Journal of Functional Analysis, 212(1):206(cid:21)221, 2004.
[2] R. Vergnioux : Orientation of quantum Cayley trees and applications. Journal f(cid:252)r
die reine und angewandte Mathematik, 580:101(cid:21)138, 2005.
[3] R. Vergnioux : The property of rapid decay for discrete quantum groups. Journal of
Operator Theory, 57(2):303(cid:21)324, 2007.
[4] S. Vaes et R. Vergnioux : The boundary of universal discrete quantum groups,
exactness, and factoriality. Duke Mathematical Journal, 140(1):35(cid:21)84, 2007.
[5] T. Banica et R. Vergnioux : Fusion rules for quantum re(cid:29)ection groups. Journal of
Noncommutative Geometry, 3(3):327(cid:21)359, 2009.
[6] T. Banica et R. Vergnioux : Invariants of the half-liberated orthogonal group.
Annales de l’Institut Fourier, 60(6):2137(cid:21)2164, 2010.
[7] R. Vergnioux : Paths in quantum Cayley trees and L2-cohomology. Advances in
Mathematics, 229(5):2686(cid:21)2711, 2012.
[8] R. Vergnioux et C. Voigt : The K-theory of free quantum groups, 2011. Mathema-
tische Annalen, (cid:224) para(cid:238)tre. arXiv:1112.3291.
2
Introduction
Mes recherches se sont consacrØes, depuis la thŁse, (cid:224) l’Øtude des groupes quantiques
discrets, d’un point de vue analytique, algØbrique et gØomØtrique.
InitiØe par G.I. Kac dans les annØe 1960, la thØorie des groupes quantiques a connu
un deuxiŁme essor dans les annØes 1980 avec les travaux de Drinfel’d en physique ma-
thØmatique. Une axiomatisation satisfaisante du cas compact (ou, dualement, discret) a
ØtØ donnØe par Woronowicz dans le langage des algŁbres d’opØrateurs (cid:224) la (cid:28)n des annØes
1980. Dans le cas localement compact, le cadre axiomatique a ØtØ mis au point par Kac-
Vainerman et Enock-Schwartz dans les annØes 1970, puis par Kustermans-Vaes (cid:224) la (cid:28)n
des annØes 1990. La thØorie a connu depuis de nombreux dØveloppements et de nouvelles
applications, dans des domaines aussi variØs que les algŁbres d’opØrateurs, la thØorie des
reprØsentations, les probabilitØs libres, la physique mathØmatique.
Ungroupequantiquediscret(cid:0)etsondualcompactGsontdonnØsparuneC∗-algŁbrede
Woronowicz rØduite A = C∗((cid:0)) = C (G). Dans mes recherches, je m’intØresse principale-
r r r
mentauxgroupesquantiquesdiscretsnonmoyennables,maisquivØri(cid:28)entuneversiona(cid:27)ai-
blie de la moyennabilitØ : K-moyennabilitØ, propriØtØ de Haagerup, propriØtØ d’Akemann-
Ostrand, ou exactitude. De plus la plupart des rØsultats sont motivØs par l’analogie avec
le cas des groupes discrets usuels, (cid:0) = Γ : dans ce cas C∗(Γ) est la sous-algŁbre involu-
r
tive fermØe engendrØe par les opØrateurs de translation par les ØlØments de Γ agissant sur
l’espace de Hilbert (cid:96)2(Γ).
Une autre classe d’exemples (cid:19)classiques(cid:20) est fournie par les groupes compacts usuels
G : dans ce cas C∗((cid:0)) est l’algŁbre des fonctions continues C(G), on dit que (cid:0) = Gˆ est
r
le dual du groupe compact G. Les q-dØformations G de groupes de Lie compact, (cid:224) la
q
Jimbo-Drinfel’d, fournissent Øgalement des exemples de groupes quantiques compacts, et
dualement de groupes quantiques discrets, mais ces derniers sont toujours moyennables.
En1995,Wangaintroduitunenouvelleclassed’exemples:celledesgroupesquantiques
compacts universels, donnØs par des C∗-algŁbres de Woronowicz pleines notØes A (Q),
u
A (Q). Leurs duaux discrets sont aussi appelØs groupes quantiques libres unitaires et or-
o
thogonaux et notØs FU(Q), FO(Q). Ils sont non moyennables dŁs que N ≥ 3 et peuvent
Œtre considØrØs (cid:224) certains Øgards comme des analogues quantiques des groupes libres usuels
F . Plusieurs rØsultats de ce mØmoire concernent les algŁbres d’opØrateurs associØes (cid:224) ces
N
groupes quantiques et sont motivØs par les analogies et les di(cid:27)Ørences avec celles associØes
aux groupes libres. On Øtudie Øgalement quelques quotients intØressants de ces groupes
quantiques libres.
Le mØmoire est organisØ comme suit. Dans la suite de l’introduction, destinØe au non
spØcialiste,onprØsenteplusendØtaillesobjetsØtudiØs,dansleformalismedeWoronowicz:
groupes quantiques discrets, moyennabilitØ, coreprØsentations, rŁgles de fusion, graphes de
Cayley classiques. De nombreux rØsultats du mØmoire se dØmontrent in (cid:28)ne en utilisant
des propriØtØs de la catØgorie des coreprØsentations. On essaie de donner (cid:224) la (cid:28)n de l’in-
troduction une idØe de certaines de ces propriØtØs, qui sont parfois techniques.
Dans le premier chapitre on prØsente des constructions et rØsultats concernant les
groupes quantiques discrets qui ne portent pas directement sur les algŁbres d’opØrateurs
associØes. Il s’agit de construire et/ou d’Øtudier des outils qui sont ensuite utilisØs en al-
gŁbres d’opØrateurs. Plus prØcisØment, on calcule dans la section 1.1 les rŁgles de fusion
de certains quotients des groupes quantiques libres, ce qui est souvent la donnØe de base
nØcessaire pour pouvoir attaquer une Øtude analytique. Dans la section 1.2, on introduit
les notions de graphe de Cayley quantique et d’arbre de Bass-Serre quantique et on Øtudie
INTRODUCTION
certaines propriØtØs de ces (cid:19) graphes quantiques (cid:20). La section 1.3 est consacrØe aux no-
tions de (cid:19) frontiŁre (cid:20) pour les groupes quantiques discrets : aprŁs avoir rappelØ la notion
de frontiŁre de Poisson, on prØsente la construction de la frontiŁre de Gromov pour les
groupes quantiques libres, et on fait le lien avec les (cid:19)arŒtes (cid:224) l’in(cid:28)ni(cid:20) du graphe de Cayley
quantique.
Dans le second chapitre, on applique les constructions prØcØdentes (cid:224) des rØsultats de
type(cid:19)algŁbresd’opØrateurs(cid:20)pourlesgroupesquantiqueslibres.CesrØsultatsontØtØclas-
sØs,demaniŁreparfoisunpeuarti(cid:28)cielle,entroiscatØgories:K-thØoriedanslasection2.1,
C∗-algŁbres dans la section 2.2, algŁbres de von Neumann dans la section 2.3.
Les rØfØrences [1(cid:21)8] renvoient (cid:224) la Liste des publications prØsentØes page 2. Les autres
rØfØrences renvoient (cid:224) la bibliographie page 56. Notons que cette bibliographie ne prØtend
nullement(cid:224)l’exhaustivitØ:elleapourobjetdefournirdesrØfØrencesprØcisespourcertains
rØsultats mentionnØs dans le mØmoire, et de proposer des pistes de lectures sur certains
sujets abordØs.
Notations. Le signe ⊗ dØsigne, selon le contexte, le produit tensoriel algØbrique d’es-
paces vectoriels, le produit tensoriel hilbertien d’espaces de Hilbert, le produit tensoriel
minimal de C∗-algŁbres, et le produit tensoriel d’algŁbres de von Neumann. Le signe ⊗
max
dØsigne le produit tensoriel maximal de C∗-algŁbres. L’endomorphisme (x⊗y (cid:55)→ y⊗x) de
E⊗E est notØ Σ si E est un espace vectoriel, σ si E est une algŁbre, ainsi σ = Ad(Σ) dans
L(E ⊗E). Si E est un espace vectoriel, on note L(E) l’espace des endomorphismes de E,
et si E est un espace vectoriel normØ, on note B(E) l’espace des opØrateurs bornØs sur E.
Groupes quantiques discrets et compacts
L’objectif de cette section est de prØsenter rapidement le cadre thØorique pour le reste
du mØmoire, ainsi que quelques exemples importants. Le point de vue qui motive la prØ-
sentationestceluidesgroupes discretsetdesalgŁbres d’opØrateursassociØes.Oncommence
donc par rappeler quelques constructions trŁs ØlØmentaires de ce cas (cid:19)classique(cid:20).
1. Si Γ est un groupe (sans topologie), on notera C[Γ] l’algŁbre de groupe de Γ, c’est-(cid:224)-dire
l’algŁbre involutive dont les ØlØments sont les combinaisons linØaires complexes formelles
(cid:80)
x = x g, et dont la multiplication et l’involution sont induites du produit et de l’in-
g∈Γ g
verse de Γ par bilinØaritØ et antilinØaritØ. Remarquons que les reprØsentations (involutives)
non dØgØnØrØes de C[Γ] sur un espace de Hilbert K correspondent aux reprØsentations uni-
taires de Γ sur K. Pour reconstruire Γ (cid:224) partir de C[Γ] la structure d’algŁbre ne su(cid:30)t pas,
et on peut utiliser par exemple le coproduit ∆ : C[Γ] → C[Γ]⊗C[Γ], qui est l’application
linØaire dØ(cid:28)nie par la formule ∆(g) = g⊗g : alors les ØlØments x = g du groupe Γ dans
C[Γ] sont caractØrisØs par l’identitØ ∆(x) = x⊗x.
EngØnØral,l’algŁbreC[Γ]peutŒtrecomplØtØedeplusieursmaniŁresenuneC∗-algŁbre.
Notons λ : C[Γ] → B((cid:96)2(Γ)) la reprØsentation rØguliŁre gauche de Γ, dØ(cid:28)nie par λ(g)ξ =
(h (cid:55)→ ξ(g−1h)). On dØ(cid:28)nit la C∗-algŁbre rØduite C∗(Γ) comme adhØrence de λ(C[Γ]) dans
r
B((cid:96)2(Γ)) relativement (cid:224) la norme d’opØrateur. Par ailleurs on dØ(cid:28)nit la C∗-algŁbre pleine
C∗(Γ) comme complØtion de C[Γ] relativement (cid:224) la norme
p
(cid:107)x(cid:107) = sup{(cid:107)π(x)(cid:107) | π : C[Γ] → B(K) ∗-rep}.
p B(K)
On identi(cid:28)e C[Γ] (cid:224) une sous-∗-algŁbre dense de C∗(Γ); par dØ(cid:28)nition les reprØsentations
p
unitaires de Γ correspondent aux ∗-reprØsentations non dØgØnØrØes de C∗(Γ). Il est notam-
p
ment clair que λ s’Øtend en un ∗-homomorphisme surjectif encore notØ λ : C∗(Γ) → C∗(Γ).
p r
4
Groupes quantiques discrets et compacts
En fait, λ est injectif exactement quand Γ est moyennable (cid:22) c’est une des dØ(cid:28)nitions
possibles de la moyennabilitØ.
Si π : Γ → B(H ), pour i = 1, 2, sont deux reprØsentations unitaires de Γ, le produit
i i
tensoriel π ⊗π : Γ → B(H ⊗H ), g (cid:55)→ π (g)⊗π (g) est encore une reprØsentation uni-
1 2 1 2 1 2
taire. Au niveau C∗-algØbrique, cela se traduit par le fait que le coproduit ∆ s’Øtend en
un ∗-homomorphisme ∆ : C∗(Γ) → C∗(Γ)⊗C∗(Γ). Un rØsultat ØlØmentaire mais im-
p p p p
portant est le principe d’absorption de Fell : le produit tensoriel de la reprØsentation
rØguliŁre λ par n’importe quelle reprØsentation unitaire de Γ est Øquivalent au produit
tensoriel de λ par une reprØsentation triviale. Au niveau C∗-algØbrique, cela implique le
fait que (λ⊗id)◦∆ se factorise en un ∗-homomorphisme ∆(cid:48) : C∗(Γ) → C∗(Γ)⊗C∗(Γ).
p r r r p
En composant avec id⊗λ on obtient un coproduit au niveau de la C∗-algŁbre rØduite,
∆ : C∗(Γ) → C∗(Γ)⊗C∗(Γ), dØterminØ par la formule ∆ (λ(g)) = λ(g)⊗λ(g).
r r r r r
2.LadØ(cid:28)nitionetlethØorŁmesuivantssontcentrauxpourcemØmoire,dontl’undesobjets
est l’Øtude des propriØtØs des C∗-algŁbres de Woronowicz rØduites.
DØfinition 0.1.1 [Wor98, Def. 1.1] On appelle C∗-algŁbre de Woronowicz une C∗-algŁbre
unifŁre A munie d’un ∗-homomorphisme unifŁre ∆ : A → A⊗A tel que
(cid:21) (id⊗∆)◦∆ = (∆⊗id)◦∆ et
(cid:21) les sous-espaces ∆(A)(1⊗A) et ∆(A)(A⊗1) sont denses dans A⊗A.
Un morphisme de C∗-algŁbres de Woronowicz est un ∗-homomorphisme unifŁre Φ : A → B
tel que (Φ⊗Φ)◦∆ = ∆ ◦Φ.
A B
ThØorŁme 0.1.2 [Wor98, Thm. 1.3] Soit (A,∆) une C∗-algŁbre de Woronowicz. Il existe
un unique Øtat h : A → C, appelØ Øtat de Haar de A, tel que (h⊗id)◦∆ = (id⊗h)◦∆ =
1·h. On dit que A est rØduite si h est (cid:28)dŁle sur A.
Notons λ la reprØsentation GNS de la C∗-algŁbre de Woronowicz A associØe (cid:224) son
Øtat de Haar, et A = λ(A). Il est facile de voir que (λ⊗λ)◦∆ se factorise (cid:224) travers λ,
r
et que le ∗-homomorphisme ∆ : A → A ⊗A correspondant munit A d’une structure
r r r r r
de C∗-algŁbre de Woronowicz. Comme h est un Øtat KMS, A est rØduite ssi λ est un
isomorphisme. On dit que A est la C∗-algŁbre de Woronowicz rØduite associØe (cid:224) A. Par
r
commoditØ on notera ∆ = ∆ lorsque cela n’entra(cid:238)ne pas de confusion.
r
Les C∗-algŁbres pleine et rØduite d’un groupe Γ, munies de leur coproduit, sont des
exemples de C∗-algŁbres de Woronowicz : en e(cid:27)et on a par exemple ∆(C[Γ])(1⊗C[Γ]) =
C[Γ]⊗C[Γ]. En fait on peut montrer que toutes les C∗-algŁbres de Woronowicz (A,∆) co-
commutatives, c’est-(cid:224)-dire telles que σ ◦∆ = ∆, sont de ce type : plus prØcisØment A est
alors de la forme π(C∗(Γ)), oø Γ est un groupe (sans topologie) et π est une reprØsentation
p
unitaire (cid:28)dŁle de Γ telle que π⊗π est faiblement contenue dans π [Wor87, Thm. 1.7]. La
condition d’unicitØ de l’Øtat de Haar implique immØdiatement que h doit Œtre donnØ, dans
le cas co-commutatif, par la formule h(π(g)) = δ , oø e est l’ØlØment neutre de Γ. Ainsi
g,e
l’espace GNS de h est (cid:96)2(Γ) et λ se factorise (cid:224) travers π en la reprØsentation GNS de h.
Les C∗-algŁbres de Woronowicz rØduites co-commutatives sont donc, (cid:224) isomorphisme prŁs,
de la forme C∗(Γ).
r
Au vu de la discussion prØcØdente, on dira qu’un groupe quantique discret (cid:0) est donnØ
par une C∗-algŁbre de Woronowicz rØduite, notØe C∗((cid:0)). De maniŁre gØnØrale, toute C∗-
r
algŁbre de Woronowicz pourra Œtre notØe A = C∗((cid:0)), Øtant entendu que (cid:0) est le groupe
quantique discret donnØ par la C∗-algŁbre rØduite A : on a ainsi potentiellement plusieurs
r
C∗-algŁbres associØes (cid:224) un mŒme groupe quantique discret. En particulier, on peut dØ(cid:28)nir
une C∗-algŁbre pleine C∗((cid:0)), dont toutes les C∗-algŁbres de Woronowicz associØes (cid:224) (cid:0) sont
p
5
INTRODUCTION
quotient : quelques dØtails supplØmentaires sur cette construction seront donnØs dans la
section suivante.
On note (cid:96)2(cid:0) l’espace GNS associØ (cid:224) l’Øtat de Haar de C∗((cid:0)) : on a donc λ(C∗((cid:0))) =
C∗((cid:0)) ⊂ B((cid:96)2(cid:0)). On note Øgalement L((cid:0)) = C∗((cid:0))(cid:48)(cid:48) l’algŁbre de von Neumann associØe (cid:224)
r r
(cid:0). On dit que (cid:0) est unimodulaire si l’Øtat de Haar h : C∗((cid:0)) → C est une trace. On dit que
r
(cid:0) est moyennable si toute C∗-algŁbre de Woronowicz C∗((cid:0)) associØe (cid:224) (cid:0) est isomorphe (cid:224)
C∗((cid:0))vialareprØsentationλ.Onreviendrasurcettenotioncentrale(cid:224)la(cid:28)ndecettesection,
r
et sur certains des ses a(cid:27)aiblissements dans la partie 2. Dans ce mØmoire on s’intØresse
principalement aux propriØtØs des algŁbres C∗((cid:0)) et L((cid:0)) dans le cas non moyennable.
r
Notons que la mŒme notion de groupe quantique discret peut Œtre dØ(cid:28)nie de di(cid:27)Ørentes
maniŁres, et notamment d’un point de vue algØbrique dans le langage des algŁbres de
Hopf. Plus prØcisØment, toute C∗-algŁbre de Woronowicz C∗((cid:0)) contient une sous-algŁbre
dense canonique C[(cid:0)] qui est munie d’une structure de ∗-algŁbre de Hopf. De plus, on peut
caractØriser axiomatiquement1 les algŁbres C[(cid:0)] de ce type parmi les ∗-algŁbres de Hopf,
et reconstruire C∗((cid:0)) (cid:224) partir de C[(cid:0)] [ER94, KS97, Sec. 11.3]. On discutera C[(cid:0)] plus en
r
dØtail dans la section suivante. Dans le cas classique, C[(cid:0)] est l’algŁbre usuelle du groupe
(cid:0) = Γ. Une approche purement algØbrique est Øgalement prØsentØe dans [VD96] au niveau
de l’algŁbre duale C ((cid:0)), dans le langage des (cid:19)algŁbres de Hopf de multiplicateurs(cid:20).
c
Par ailleurs, les groupes quantiques discrets correspondent aux groupes quantiques
localement compacts L∞((cid:0)) [KV00] dont le dual a des poids de Haar bornØs, et aux
unitaires multiplicatifs rØguliers V(cid:0) [BS93] admettant des vecteurs co-(cid:28)xes non nuls. Sans
entrer dans les dØtails, prØcisons que V(cid:0) est un opØrateur unitaire sur (cid:96)2(cid:0)⊗(cid:96)2(cid:0) dØ(cid:28)ni (cid:224)
l’aide du coproduit de Cr∗((cid:0)), et qu’on peut dØ(cid:28)nir L∞((cid:0)) (cid:224) partir de V(cid:0) comme une
sous-algŁbre de von Neumann de B((cid:96)2(cid:0)), de maniŁre (cid:224) avoir V(cid:0) ∈ L∞((cid:0))⊗L((cid:0)). Dans
(cid:80)
le cas classique on a V(cid:0) = g∈Γ11g⊗λ(g), oø 11g est la fonction caractØristique de {g}
agissant par multiplication sur (cid:96)2(Γ). La dualitØ entre les algŁbres d’opØrateurs associØes
(cid:224) (cid:0) est dØcrite par l’unitaire multiplicatif V(cid:0) : par exemple, (cid:224) toute forme linØaire normale
ω ∈ L∞((cid:0))∗ =: L1((cid:0)) correspond l’opØrateur (cid:19)de convolution(cid:20) (ω⊗id)(V(cid:0)) ∈ L((cid:0)).
Dans le cas discret l’algŁbre de von Neumann duale L∞((cid:0)) est Øgalement notØe C ((cid:0)).
b
Ellecontientunesous-C∗-algŁbrecanoniqueC ((cid:0)),nondØgØnØrØeetengØnØralnonunifŁre,
0
qui sera frØquemment utilisØe dans ce mØmoire. La C∗-algŁbre C ((cid:0)) est elle-mŒme munie
0
d’un coproduit ∆ (cid:224) valeurs dans M(C ((cid:0))⊗C ((cid:0))), et de poids de Haar (cid:224) gauche et (cid:224)
0 0
droite hˆ , hˆ . On montre que (cid:0) est unimodulaire ssi ces poids co(cid:239)ncident, ce qui justi(cid:28)e
L R
la terminologie. Dans le cas classique C ((cid:0)) = C (Γ) est l’algŁbre des fonctions nulles (cid:224)
0 0
l’in(cid:28)ni sur le groupe discret Γ, les poids de Haar correspondent (cid:224) la mesure de comptage
et l’unimodularitØ est automatique.
3. Une autre classe importante de C∗-algŁbres de Woronowicz provient des groupes com-
pacts. Soit G un tel groupe, et A = C(G). On a alors A⊗A (cid:39) C(G×G) et on peut dØ(cid:28)nir
un ∗-homomorphisme ∆ : A → A⊗A en posant ∆(f)(g,h) = f(gh). Il n’est pas di(cid:30)cile de
vØri(cid:28)er que A devient ainsi une C∗-algŁbre de Woronowicz (cid:22) la densitØ de ∆(A)(1⊗A) et
∆(A)(A⊗1)dansA⊗Acorrespondentparexempleaufaitquelesemi-groupeGestbirØgu-
lier,cequiimpliquel’existenced’inversesparcompacitØ.Deplus,ilrØsultefacilementdela
thØorie de Gelfan’d-Naimark que toutes les C∗-algŁbres de Woronowicz commutatives sont
de ce type. Dans ce cas, l’Øtat de Haar h correspond (cid:224) l’intØgration des fonctions continues
contre la mesure de Haar de G, et A est automatiquement rØduite.
1. Ce sont les ∗-algŁbres de Hopf engendrØes par des coe(cid:30)cients de coreprØsentations unitaires, ou
encore les ∗-algŁbres de Hopf telle que x∗x=0⇒x=0, ou encore les ∗-algŁbres de Hopf cosemisimples
dont l’Øtat de Haar est positif.
6
Groupes quantiques discrets et compacts
Cette classe d’exemples fournit un autre point de vue sur la thØorie : on interprŁte
toute C∗-algŁbre de Woronowicz rØduite A = C (G) comme l’algŁbre des fonctions sur
r
un groupe quantique compact G. Les autres C∗-algŁbres de Woronowicz admettant C (G)
r
commeversionrØduitesontalorsnotØesC(G).C’estlepointdevueadoptØdanslesarticles
fondateurs [Wor87, Wor98]. On dit que les groupes quantiques compact et discret G, (cid:0)
associØs (cid:224) une mŒme C∗-algŁbre de Woronowicz rØduite sont duaux l’un de l’autre et on
note (cid:0) = Gˆ. Cette terminologie est motivØe par le cas oø G = G est un groupe compact
abØlien : en e(cid:27)et (cid:0) = Γ = Gˆ est alors son dual de Pontrjagin.
Ilexistedenombreuxexemplesdegroupesquantiquesdiscretsquinesontnidesgroupes
discrets, ni des duaux de groupes compacts. La classe de (cid:19) groupes quantiques (cid:20) la plus
cØlŁbreestprobablementcelledesq-dØformationsU (g)d’algŁbresenveloppantesd’algŁbres
q
deLiesimples[Dri87,Jim85],danslecadredesalgŁbresdeHopf,quionteudenombreuses
applications en thØorie des reprØsentations et en physique thØorique. Rosso a ØtudiØ la
thØorie des reprØsentations de ces (cid:19)groupes quantiques(cid:20) et montrØ qu’ils rentrent dans le
cadre des C∗-algŁbres de Woronowicz [Ros90] : on peut par exemple construire pour q ∈
]0,1[ des groupes quantiques compacts G = SU (N), Spin (N), Sp (2N), qui co(cid:239)ncident
q q q q
aveclesgroupescompactsG = SU(N),Spin(N),Sp(2N)lorsqueq = 1,etconsidØrerleurs
duaux. Cependant, les groupes quantiques discrets Gˆ ne sont pas les plus intØressants du
q
point de vue des propriØtØs que nous Øtudierons dans ce mØmoire, car ils sont moyennables
[Nag93, Ban99a, Sec. 6].
Les objets principaux ØtudiØs dans ce mØmoire seront les groupes quantiques libres
orthogonaux,FO(Q),etunitaires,FU(Q),oøleparamŁtreQestunematriceinversibleQ ∈
GL (C). Leur duaux compacts sont appelØs groupes quantiques orthogonaux et unitaires
N
universelsetnotØsO+(Q),U+(Q).LesC∗-algŁbresdeWoronowiczpleinesassociØesA (Q),
o
A (Q) ont ØtØ introduites par Wang et Van Daele [Wan95, VDW96] : avec les notations
u
de ce mØmoire, on a donc A (Q) = C (O+(Q)) = C∗(FO(Q)) et A (Q) = C (U+(Q)) =
o p p u p
C∗(FU(Q)). Nous adoptons ici la dØ(cid:28)nition utilisØe par Banica [Ban96, Ban97], lØgŁrement
p
di(cid:27)Ørente de celle de Wang et Van Daele :
DØfinition 0.1.3 Soit Q ∈ GL (C). On note A (Q) la C∗-algŁbre unifŁre engendrØe par
N u
des ØlØments u , 1 ≤ i,j ≤ N, et les relations qui rendent unitaires les ØlØments u et
ij
Qu¯Q−1 de M (A (Q)), oø u = (u ) et u¯ = (u∗ ) . On note A (Q) la C∗-algŁbre unifŁre
N u ij ij ij ij o
engendrØe par des ØlØments u , 1 ≤ i,j ≤ N, et les relations qui rendent u = (u )
ij ij ij
unitaire dans M (A (Q)), et Øgale (cid:224) Qu¯Q−1. Les C∗-algŁbres A (Q), A (Q) deviennent
N u u o
des C∗-algŁbres de Woronowicz pour le coproduit ∆ dØ(cid:28)ni par ∆(u ) = (cid:80) u ⊗u .
ij k ik kj
Lorsque Q = I on note plus simplement A (N) = C (O+) = C∗(FO ) et A (N) =
N o p N p N u
C (U+) = C∗(FU ). Dans le cas orthogonal on limite classiquement l’Øtude au cas oø
p N p N
QQ¯ est scalaire ou, ce qui revient au mŒme, QQ¯ = ±I , oø Q¯ est la matrice obtenue en
N
conjuguant les entrØes de Q. La terminologie est motivØe par le fait que les groupes quan-
tiques discrets FO , FU prØsentent des similitudes avec les groupes libres (cid:19)classiques(cid:20)
N N
F , notamment du point de vue des algŁbres d’opØrateurs associØes. Ces similitudes font
N
l’objetdeplusieursrØsultatsquiserontprØsentØsplusloindanslemØmoire.Onpeutd’ores
et dØj(cid:224) noter les deux points suivants :
1. la famille {FU(Q) | N ∈ N,Q ∈ GL (C)} est universelle au sens suivant : pour
N
tout groupe quantique discret de type (cid:28)ni (cid:0), il existe une matrice inversible Q et un
morphisme surjectif de C∗-algŁbres de Woronowicz A (Q) → C∗((cid:0));
u p
7
INTRODUCTION
2. lesC∗-algŁbresA (N),N ≥ 2,etA (N),N ≥ 3,sont(cid:19)trŁs(cid:20)non-commutatives:en
u o
envoyantsur0lesgØnØrateursu telsquei (cid:54)= j,onobtientdesmorphismessurjectifs
ij
de C∗-algŁbres de Woronowicz A (N) → C∗(F ), A (N) → C∗((Z/2Z)∗N).
u p N o p
Notons que pour N = 1 on a FU(Q) = Z et FO(Q) = Z/2Z, et que pour N = 2 la
famille des groupes quantiques discrets FO(Q), QQ¯ = ±I , co(cid:239)ncide avec celle des duaux
2
des groupes quantiques compacts SU (2), q ∈ [−1,1], q (cid:54)= 0 [Ban97, Prop. 7]. Ces cas
q
(cid:19)moyennables(cid:20) seront systØmatiquement exclus dans la suite du mØmoire.
Dans les autres cas, Banica a e(cid:27)ectivement montrØ que FU(Q) et FO(Q) sont non
moyennables [Ban97, Crl. 1, Crl. 5]. Pour FO , cela se voit en considØrent l’ØlØment χ =
N 1
(cid:80)
u : en utilisant le morphisme Øvident A (N) → C(O ), on voit que (cid:107)χ (cid:107) = N dans
i ii o N 1
A (N), mais d’autre part Banica calcule les moments de χ relativement (cid:224) l’Øtat de Haar
o 1
h et en dØduit que l’image de χ /2 dans la C∗-algŁbre rØduite λ(A (N)) est une (cid:19)variable
1 o
semi-circulaire(cid:20), et en particulier (cid:107)λ(χ )(cid:107) = 2 [Ban97, Prop. 1].
1
Il est facile de dØ(cid:28)nir le produit libre (cid:0) = (cid:0) ∗(cid:0) de deux groupes quantiques discrets,
0 1
par exemple en posant C∗((cid:0)) = C∗((cid:0) ) ∗ C∗((cid:0) ), oø on prend le produit libre rØduit
r r 0 r r 1
relativement aux Øtats de Haar, muni de l’unique coproduit prolongeant ceux de C∗((cid:0) )
r 0
et C∗((cid:0) ). On adopte alors la terminologie suivante : on appelle groupe quantique libre un
r 1
groupe quantique discret F produit libre de groupes quantiques FO(Q ), FU(R ) avec Q ,
i j i
R inversibles et Q Q¯ = ±I.
j i i
4. Rappelons qu’un groupe quantique discret (cid:0) est dit moyennable ssi λ : C∗((cid:0)) → C∗((cid:0))
r
est un isomorphisme pour toute C∗-algŁbre de Woronowicz C∗((cid:0)) associØe (cid:224) (cid:0) (cid:22) et il
su(cid:30)t en fait de considØrer la C∗-algŁbre pleine C∗((cid:0)) = C∗((cid:0)). Il est facile de voir que cela
p
Øquivaut au fait que la co-unitØ est bornØe sur C∗((cid:0)), ou que l’Øtat de Haar est (cid:28)dŁle sur
r
C∗((cid:0)). On a Øgalement des caractØrisations de type (cid:19)Kesten(cid:20) [Ban99a, Thm. 6.1] : dans
p
le cas de type (cid:28)ni, (cid:0) est moyennable ssi dimv ∈ Spλ(χ ), oø χ ∈ C∗((cid:0)) est le caractŁre
v v p
d’une coreprØsentation gØnØratrice v, cf la section suivante.
Unemoyenneinvariantesur(cid:0)estunØtat(nonnormal)invariant((cid:224)droiteou(cid:224)gauche)
sur L∞((cid:0)) = C ((cid:0)). Si (cid:0) est moyennable au sens prØcØdent, en Øtendant la co-unitØ de
b
C∗((cid:0)) (cid:224) B((cid:96)2(cid:0)), puis en restreignant (cid:224) L∞((cid:0)), on obtient une moyenne invariante sur
r
(cid:0). On dit que (cid:0) est moyennable au sens faible si L∞((cid:0)) admet une moyenne invariante
[Voi79]. Pour les groupes localement compacts, il est bien connu que la moyennabilitØ au
sens faible est Øquivalente (cid:224) la moyennabilitØ au sens prØcØdent. On ignore si c’est le cas
en gØnØral pour les groupes quantiques localement compacts, cependant pour les groupes
quantiques discrets le rØsultat est connu [Tom06, Thm. 3.8].
Par ailleurs, rappelons qu’une C∗-algŁbre A est dite nuclØaire si pour tout C∗-algŁbre
B les produits tensoriels minimal et maximal co(cid:239)ncident : A⊗ B (cid:39) A⊗B. D’autre part
max
une algŁbre de von Neumann M ⊂ B(H) est injective s’il existe une projection de norme
1 de B(H) sur M. On montre que l’existence d’une moyenne invariante sur (cid:0) implique
la nuclØaritØ de C∗((cid:0)), cf par exemple [BMT03, Crl. 4.3], ainsi que l’injectivitØ de L((cid:0)).
r
Danslecasdesgroupesdiscretsusuels,onsaitquelanuclØaritØdeC∗((cid:0))oul’injectivitØde
r
L((cid:0)) sont Øquivalentes (cid:224) la moyennabilitØ de (cid:0). Dans le cas quantique, cette Øquivalence
n’est connue que pour les groupes quantiques discrets unimodulaires [Rua96, Prop. 4.6].
En(cid:28)n, il s’avŁre que la moyennabilitØ ne dØpend que de l’anneau de fusion R((cid:0)) et
de la fonction dimension dim : R((cid:0)) → Z [Ban99a, Prop. 6.1], cf la section suivante et
plus prØcisØment le thØorŁme 0.2.6. On peut en fait formuler la moyennabilitØ entiŁrement
au niveau de (R((cid:0)),dim) [Kye08a, Thm. 4.5], et on a alors des caractØrisations de la
moyennabilitØ dans R((cid:0)) de type Fłlner [HI98, 4.6].
8
CoreprØsentations et graphes de Cayley classiques
CoreprØsentations et graphes de Cayley classiques
Dans cette section, on introduit la catØgorie des coreprØsentations d’un groupe quan-
tique discret ainsi que les notions de rŁgles de fusion et d’Øquivalence mono(cid:239)dale. On prØ-
sente Øgalement deux lemmes techniques concernant ces catØgories qui sont utiles pour
l’Øtude des algŁbres d’opØrateurs associØes (cid:224) FO(Q), et on introduit la notion de graphe
de Cayley classique d’un groupe quantique discret.
1. On commence par introduire la catØgorie Corep(cid:0), l’anneau de fusion R((cid:0)), et par
discuter les questions de classi(cid:28)cation associØes.
DØfinition 0.2.4 Soit (cid:0) un groupe quantique discret, G son dual compact, et A une C∗-
algŁbre de Woronowicz. On appelle coreprØsentation de A sur un espace de Hilbert H un
ØlØment v ∈ M(K(H)⊗A) tel que (id⊗∆)(v) = v v . On appelle coreprØsentation de
12 13
(cid:0), ou reprØsentation de G, une coreprØsentation de C∗((cid:0)) = C (G). On note Corep(cid:0) la
r r
catØgorie des coreprØsentations unitaires de dimension (cid:28)nie de (cid:0).
PourtouteC∗-algŁbredeWoronowiczC∗((cid:0))onpeutalorsconstruireunesous-∗-algŁbre
deHopfdensenaturelleC[(cid:0)] ⊂ C∗((cid:0))commesuit.Onappellecoe(cid:30)cientd’unecoreprØsen-
tation v un ØlØment du type (ζ⊗1|v(ξ⊗1)) ∈ C∗((cid:0)) = C(G), et on note C[(cid:0)] = Pol(G) le
sous-espace de C∗((cid:0)) = C(G) engendrØ par les coe(cid:30)cients de toutes les coreprØsentations
de dimension (cid:28)nie de C∗((cid:0)). Woronowicz montre que le sous-espace C[G] est une sous-∗-
algŁbre dense de C∗((cid:0)) [Wor98, Thm. 1.2], sur laquelle la reprØsentation rØguliŁre λ est
(cid:28)dŁle. En particulier la ∗-algŁbre C[(cid:0)], et la catØgorie des coreprØsentation de C∗((cid:0)), ne
dØpendent pas de la C∗-algŁbre de Woronowicz C∗((cid:0)) associØe (cid:224) (cid:0) choisie.
La ∗-algŁbre C[(cid:0)] est en fait munie d’une structure de ∗-algŁbre de Hopf par restriction
du coproduit ∆ : autrement dit ∆(C[(cid:0)]) est contenu dans le produit tensoriel algØbrique
C[(cid:0)]⊗C[(cid:0)], et il existe une co-unitØ (cid:15) : C[(cid:0)] → C et une antipode S : C[(cid:0)] → C[(cid:0)]
relativement (cid:224) ∆. On vØri(cid:28)e par ailleurs que C[(cid:0)] admet une C∗-algŁbre enveloppante
C∗((cid:0)), dite C∗-algŁbre pleine de (cid:0), (cid:224) laquelle s’Øtend le coproduit ∆. Le caractŁre d’une
p
coreprØsentation v ∈ Corep(cid:0) est χ = (Tr⊗id)(v) ∈ C[(cid:0)] ⊂ C∗((cid:0)) = C (G).
v p p
Dans le cas oø (cid:0) est dual d’un groupe compact usuel G, les coreprØsentations de (cid:0) cor-
respondent aux reprØsentations (fortement continues) de G via l’identi(cid:28)cation M(K(H)⊗
C(G)) (cid:39) C(G,B(H)). En gØnØral, la catØgorie Corep(cid:0) jouit de propriØtØs similaires (cid:224)
celles des catØgories de reprØsentations unitaires de dimension (cid:28)nie des groupes compacts.
On a notamment un analogue de la thØorie de Peter-Weyl qui fournit le thØorŁme de
dØcomposition ci-dessous.
ThØorŁme 0.2.5 [Wor98] Toute coreprØsentation de (cid:0) est somme directe de coreprØsen-
tations de dimension (cid:28)nie. La catØgorie Corep(cid:0) est semi-simple.
La catØgorie Corep(cid:0) est une C∗-catØgorie : c’est une catØgorie C-linØaire, abØlienne,
dont les espaces de morphismes sont munis de normes et d’involutions (Hom(u,v) →
Hom(v,u),f (cid:55)→ f∗) vØri(cid:28)ant les propriØtØs usuelles, notamment (cid:107)f∗f(cid:107) = (cid:107)f(cid:107)2. On peut
de plus dØ(cid:28)nir le produit tensoriel de deux coreprØsentations, u⊗v = u v : cela munit
13 23
Corep(cid:0) d’une structure de C∗-catØgorie mono(cid:239)dale [DR89, Sec. 1]. La coreprØsentation
triviale 1 = idC⊗1C∗((cid:0)) est un objet neutre, et on montre que Corep(cid:0) est rigide : toute
coreprØsentation v admet une coreprØsentation duale v¯caractØrisØe par l’existence de mor-
phismes t : 1 → v⊗v¯ et t(cid:48) : 1 → v¯⊗v satisfaisant les relations usuelles. On dit que deux
v v
groupes quantiques discrets sont mono(cid:239)dalement Øquivalents si les catØgories associØes sont
∗-mono(cid:239)dalement Øquivalentes [BDRV06, Def. 3.1, Rk. 3.5].
9
INTRODUCTION
Notons Hilb la C∗-catØgorie mono(cid:239)dale des espaces de Hilbert de dimension (cid:28)nie. On
dØ(cid:28)nit un ∗-foncteur mono(cid:239)dal F : Corep(cid:0) → Hilb en associant (cid:224) toute coreprØsentation
de dimension (cid:28)nie v ∈ L(H)⊗C∗((cid:0)) l’espace de Hilbert associØ H. Ce foncteur est appelØ
foncteur(cid:28)brede(cid:0).Onmontrequedeuxgroupesquantiquesdiscrets(cid:0) ,(cid:0) sontisomorphes
1 2
(c’est-(cid:224)-dire que les C∗-algŁbres de Woronowicz C∗((cid:0) ), C∗((cid:0) ) sont isomorphes) si et
r 1 r 2
seulement s’il existe une Øquivalence de C∗-catØgories mono(cid:239)dales E : Corep(cid:0) → Corep(cid:0)
1 2
qui Øchange les foncteurs (cid:28)bre : F ◦E (cid:39) F . On montre de plus que toute C∗-catØgorie
2 1
mono(cid:239)dale C, avec sous-objets, sommes directes et duaux, munie d’un ∗-foncteur mono(cid:239)dal
C → Hilb, provient d’un groupe quantique compact comme prØcØdemment [Wor88].
La catØgorie Corep(cid:0) Øtant semi-simple, l’ensemble Irr(cid:0) des classes d’Øquivalences de
ses objets simples joue un r(cid:244)le important et permet notamment de dØ(cid:28)nir des invariants
algØbriques pour (cid:0). Notant R((cid:0)) le Z-module libre de base Irr(cid:0), le produit tensoriel des
coreprØsentations dØ(cid:28)nit une structure d’anneau sur R((cid:0)), qui est appelØ anneau de fusion
de (cid:0). Cet anneau est muni de la base canonique donnØe par les ØlØments de Irr(cid:0), ainsi
que de deux morphismes d’anneaux dim : R((cid:0)) → Z et qdim : R((cid:0)) → R. Le premier
est donnØ par dimv = dimH pour v ∈ Irr(cid:0). Le deuxiŁme est la dimension quantique,
v
qui provient de la structure mono(cid:239)dale de Corep(cid:0), et plus prØcisØment des morphismes de
dualitØ 1 → v⊗v¯,v¯⊗v pour v ∈ Irr(cid:0).
Danslecasoø(cid:0) = Γestungroupediscretusuel,onpeutidenti(cid:28)erIrr(cid:0)(cid:224)Γenassociant
(cid:224) g ∈ Γ la coreprØsentation idC⊗g de (cid:0). De plus, le produit tensoriel des coreprØsentations
irrØductibles correspond (cid:224) la loi de groupe de Γ (cid:22) en particulier R((cid:0)) = Z[Γ] est l’anneau
du groupe Γ. Dans ce cas on a dim(g) = qdim(g) = 1 pour tout g ∈ Γ = IrrΓ. Si (cid:0) est le
dual d’un groupe compact usuel, on a Øgalement dim = qdim, mais ce n’est pas le cas en
gØnØral : en fait on montre que dim = qdim sur Irr(cid:0) ssi (cid:0) est unimodulaire.
Lorsque (cid:0) = FO(Q) avec Q ∈ GL (C) vØri(cid:28)ant QQ¯ = ±I , N ≥ 2, l’anneau de fusion
N N
R((cid:0)) a ØtØ dØterminØ par Banica [Ban96, Thm. 1]. Notons tout d’abord que la condition
QQ¯ ∈ CI (qui implique QQ¯ ∈ RI ) correspond (cid:224) l’irrØductibilitØ de la coreprØsentation
N N
u ∈ L(CN)⊗A (Q) (cid:39) M (A (Q)) donnØe par la matrice des gØnØrateurs u . On peut
o N o ij
alors indexer les ØlØments r ∈ IrrFO(Q) par les entiers naturels k ∈ N de maniŁre (cid:224) avoir
k
r = 1, r = u, r¯ (cid:39) r , et les rŁgles de fusion
0 1 k k
r ⊗r (cid:39) r ⊕r ⊕···⊕r .
k l |k−l| |k−l|+2 k+l
La dimension et la dimension quantique se calculent facilement par rØcurrence. On a
dim1 = qdim1 = 1, dimu = N. Par ailleurs, en supposant Q normalisØe de maniŁre (cid:224) ce
queQQ¯ = ±I ,onaqdimu = Tr(Q∗Q) = Tr((Q∗Q)−1) ≥ N.Sionposeqdimu = q+q−1
N
avec q ∈ ]0,1], les dimensions quantiques des irrØductibles sont alors donnØes par les q-
nombres
q−k−1−qk+1
qdimr = [k+1] = ,
k q q−1−q
tandis que dimr = [k+1] oø p+p−1 = N. Pour N = 2 on a dimr = k+1. On voit en
k p k
particulier que pour QQ¯ = ±I , le groupe quantique discret FO(Q) est unimodulaire ssi
N
Q est unitaire.
On aura reconnu ci-dessus les rŁgles de fusion des reprØsentations irrØductibles de
SU(2). En fait Banica montre que tout groupe quantique discret qui vØri(cid:28)e ces rŁgles de
fusion est isomorphe (cid:224) un groupe FO(Q) avec QQ¯ = ±I [Ban96, Thm. 2]. Cela inclut les
N
duaux des groupes quantiques compacts SU (2), qui correspondent au cas N = 2. On peut
q
montrerdeplusqueFO(Q ),FO(Q )sontmono(cid:239)dalementØquivalentsssileurscoreprØsen-
1 2
tations fondamentales r = u ont mŒme dimension quantique et si les (cid:19)signes(cid:20) de Q Q¯ ,
1 1 1
10