Groupes et algèbres de Lie: Chapitres 4, 5 et 6

284 Pages·1981·12.22 MB·French

by  Nicolas Bourbaki

CHEZ LE MÊME ÉDITEUR
ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES, par N. BOURBAKI.
Algèbre, chapitre 4 à 7. 1981, 432 pages.
Algèbre, chapitre 10. Algèbre homologique. 1980, 416 pages, 3 figures.
Espaces vectoriels topologiques. Chapitres 1 à 5. 1981, 400 pages.
Groupes et algèbres de Lie. Chapitres 4, 5 et 6. 1981, 288 pages.
N. BOURBAKI
GROUPES
DE LIE
Chapitres 4,5 et 6
CHAPITRE IV
Groupes de Coxeter et systèmes de Tits
CHAPITRE V
Groupes engendrés par des réflexions
CHAPITRE VI
Systèmes de racines
MASSON
Paris - New York - Barcelone - Milan
-
Mexico Rio de Janeiro
1981
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Masson, Paris, 1981
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IMTRODL-CTION AUX CHAPITRES IV, V ET VI
L'étude des groupes semi-simples (analytiques ou algébriques) et de leurs
algèbres de Lie conduit à la considération des structures de systèmes de racines,
groupes de Coxeter et systèmes de Tits. Les chapitres IV, V et VI sont consacrés à
ces structures.
Pour orienter le lecteur, nous en donnons ci-dessous quelques exemples.
1. Soient g une algèbre de Lie semi-simple complexe et ij une sous-algèbre de
.
Cartan de g (*) Une racine de g par rapport à ij est une forme linéaire non nulle
a sur ij telle qu'il existe un élément x non nul de 8 avec [h, x] = cr(h)x pour
tout h E ij, Ces racines forment dans l'espace vectoriel O* dual de ij un système
de racines réduit R. La donnée de R détermine g à un isomorphisme près et
tout système de racines réduit est isomorphe à un système de racines obtenu
de cette manière. Un automorphisme de g laissant stable ij définit un auto-
morphisme de ?j* laissant R invariant, et l'on obtient ainsi tout automorphisme
de R. Le groupe de Weyl de R se compose des automorphismes de ij* définis
par les automorphismes intérieurs de g laissant stable ij; c'est un groupe de
Coxeter.
Soient G un groupe de Lie complexe connexe, d'algèbre de Lie 9, et 'I le
sous-groupe de '5, formé des éléments h tels que expG(2xih)= 1. Soit RV le
système de racines dans ij inverse de R, soit Q(RV) le sous-groupe de f)
engendré par RV et soit P(RV) le sous-groupe associé au sous-groupe Q(R)
de ij* engendré par R (Le. l'ensemble des h ij tels que A(h) soit entier pour
E
tout A Q(R)). On a alors P(RV) I' Q(RV). De plus le centre de G est
E 2 2
canoniquement isomorphe à P(RV)/I'e t le groupe fondamental de G à r/Q(RV).
r r
En particulier, est égal à P(RV) si G est le groupe adjoint et est égal à
Q(Rv)s i G est simplement connexe. Enfin les poids des représentations linéaires
de dimension finie de G sont les éléments du sous-groupe de ?j* associé à I'.
(*) Nous utilisons librement dans cette Introduction la terminologie traditionnelle ainsi que les notions
définies dans les chapitres IV, V et VI.
8 INTRODUCTION
II. Soit G un groupe de Lie réel compact connexe semi-simple et soit g son
algèbre de Lie. Soient T un tore maximal de G, d'algèbre de Lie t, et X le
groupe des caractères de T. Soit R l'ensemble des éléments u non nuls de X
tels qu'il existe un élément x non nul de g avec (Ad t) .x = u(t)x pour tout
t E T. Identifions X à un réseau de l'espace vectoriel réel V = X g~~R ; alors
R est un système de racines réduit dans V. Soit N le normalisateur de T dans
G; l'action de N sur T définit un isomorphisme du groupe NIT sur le groupe
de Weyl de R. On a P(R) 3 X 3 Q(R); de plus, on a X = P(R) si G est
simplement connexe et X = Q(R) si le centre de G est réduit à l'élément
neutre.
L'algèbre de Lie gcc, complexifiée de g est semi-simple et qC) en est une
sous-algèbre de Cartan. 11 existe un isomorphisme canonique de V(C, sur le
dual de tee, qui transforme R en le système de racines de g,~,p ar rapport à qc,.
III. Soit G un groupe algébrique semi-simple connexe sur un corps commuta-
tif k. Soient T un élément maximal de l'ensemble des tores de G déployés sur k
et X le groupe des caractères de T (homomorphismes de T dans le groupe multi-
plicatif). On identifie X à un réseau de l'espace vectoriel réel V = X gZ R.
Les racines de G par rapport à T sont les éléments a non nuls de X tels qu'il
.
existe un élément x non nul de l'algèbre de Lie g de G avec (Ad t) x = u(t)x
pour tout point t de T. On obtient ainsi un système de racines R dans V, qui
n'est pas nécessairement réduit. Soient N le normalisateur et Z le centralisa-
teur de T dans G et soient N(k) et Z(k) leurs groupes de points rationnels sur k.
L'action de N(k) sur T définit un isomorphisme de N(k)/Z(k) sur le groupe de
Weyl de R.
Soit U un élément maximal de l'ensemble des sous-groupes unipotents
. .
de G, définis sur k et normalisés par Z. Posons P = Z U. On a P(k) =Z(k) U(k)
et P(k) n N(k) = Z(k). De plus, il existe une base (ai, . . . ,a ,) de R telle que les
poids de T dans U soient les racines de R positives pour cette base; le quadru-
plet (G(k), P(k), N(k), S), où S désigne l'ensemble des éléments de N(k)/Z(k)
correspondant grâce à l'isomorphisme défini plus haut aux symétries sEi W(R)
E
associées aux racines ug, est un système de Tits.
IV. Dans la théorie des groupes algébriques semi-simples sur un corps local,
on rencontre des systèmes de Tits dont le groupe W est le groupe de Weyl
+
affine d'un système de racines. Soit, par exemple, G = SL(n l,Qp)
+
(avec n 2 1). Soit B le groupe des matrices (azj) SL(n 1, Z,) telles que
E
afj= pzpp our i < j et soit N le sous-groupe de G formé des matrices n'ayant
qu'un seul élément non nul dans chaque ligne et dans chaque colonne. Il
existe alors une partie S de N/(B n N) telle que le quadruplet (G, N, B, S)
soit un système de Tits. Le groupe W = N/(B n N) est le groupe de Weyl
affine d'un système de racines de type A,; c'est un groupe de Coxeter infini.
Pour la rédaction de ces trois chapitres, de nombreuses conversations avec J. Tits
nous ont apporté une aide Prkcieuse. Nous l'en remercions très amicalement.
CHAPITRE IV
GROUPES DE COXETER
ET SYSTÈMES DE TITS
§ 1. Groupes de Coxeter
Dans tout ce paragraphe, on désigne par W un groupe, notC multiplicativement,
d'élément neutre 1, et par S un sous-ensemble générateur de W tel que S = S-l
et 1 e S. Tout élément de W est produit d'une suite finie d'éléments de S.
A partir du no 3, on suppose que tout élément de S est d'ordre 2.
1. Longueur et décompositions réduites
DÉFINITIO1N. - Soit w E W. On appelle longueur de w (par rapport à S), et l'on note
ls(w) ou simplement I(w), le plus petit entier q 2 O tel que w soit produit d'une suite
de q éléments de S. On appelle décomposition réduite de w (par rapport à S) toute suite
s = (s,, . . . , s,) d'éléments de S telle que w = s,. . .s, et q = l(w).
Ainsi 1 est l'unique élément de longueur O et S se compose des éléments
de longueur 1.
PROPOSITIO1N. - Soient w et w' dans W. On a les formules:
Soient (s,, . . . , s,) et (si, . . . , si) des décompositions réduites de w et w'
respectivement; on a donc l(w) = p et l(w') = q, et comme on a
ww' = s1 . . . S& . . . sQ, on a ~(ww'<) p + q, d'où (1). Comme S = S-l
et w-l = spi . . . si1, on a l(w-l) < p = l(w); remplaçant w par w-l, on obtient
l'inégalité opposée l(w) < l(w-l), d'où (2). Remplaçant w par ww'-1 dans (1)
et (2), on obtient les relations:
en échangeant w et w' dans (4), on obtient 1(w1)- l(w) < 1(ww1-l) d'après
(5),d 'où (3).
COROLLAIRE-. Soient s = (s,, . . .,s p) et s' = (si, . . ., sQ) deux suites d'éléments
de S telles que w = s, . . . s, et w' = si . . . si. Si la suite (s,, . . ., s p, si, . . ., sh)
1O GROUPES DE COXETER ET SYSTÈMES DE TITS Ch. IV, $ 1
est une léc composition réduite de ww', alors s est une décomposition réduite de w et s'
en est une de w'.
+
Par hypothèse, on a l(w) < p, 1(w1) < q et 1(ww1)= p q. D'après (l),
on a donc l(w) = p et 1(w1)= q, d'où le corollaire.
Remarque. - La formule d(w,wl) = 1(ww1-l) définit une distance d sur W,
invariante par les translations à droite, en vertu des formules (1) et (2).
2. Groupes diédraux
DÉFINITION2. - On appelle groupe diédral tout groupe engendré par deux éléments
d'ordre 2, distincts.
Exemple. -Soit M le groupe multiplicatif (1, - l), et soit m un entier 2
(resp. m = co). On fait opCrer M sur le groupe ZlmZ (resp. sur Z)
par (- 1).x = - x, et l'on note Dm le produit semi-direct correspondant
de M par ZlmZ (resp. de M par Z). Les éléments de Dm sont donc les couples
(E, X) avec E = $. 1 et x E ZlmZ (resp. x E Z) ; la loi de groupe dans Dm est
donnée par la formule:
On note 1 la classe de 1 modulo m (resp. 1 = 1) et l'on pose
on a alors p2 = pi2 = 1 et x = pp'. Les formules
montrent que Dm est un groupe diédral engendré par ip,p ').
PROPOSITIO2.N - 011 suppose que S se compose de deux éléments dirtincis s et s'
d'ordre 2.
(i) Le sous-groupe P de W engendré par p = ss' est distingué, et W est produit semi-
direct du sous-groupe T = (1, s) et de P. De plus, on a (IV: P) = 2.
(ii) Soit m l'ordre (fini ou non) de p. On a m 2 2 et W est d'ordre 2m. II existe un
unique isomorphisme y de Dms ur W tel que T ( ~=) s et y(pl) = s'.
(i) On a sps-l = sss's = s's = p-l, d'où
pour tout entier n. Comme W est engendré par {s, s'), donc par {s, p), le sous-
groupe P de W est distingué. Par suite, TP est un sous-groupe de W; comme
TP contient s et s' = sp, on a donc W = TP = P u sP. Pour prouver (i), il
+
suffit donc de montrer que l'on a W P. Si l'on avait W = P, le groupe W
serait commutatif, d'oùp2 = s ~ s=' ~ 1 ; 1e s seuls éléments de W = P seraient 1
no 1.3. GROUPES DE COXETER 11
et p, contrairement à l'hypothèse que W contient au moins trois éléments, à
savoir 1, s et s'.
(ii) Comme on a s # s', on a p # 1, d'où m 2 2. Comme P est d'ordre m
et que l'on a (W : P) = 2, l'ordre de W est 2m. Si m est fini (resp. infini), il
existe un isomorphisme cp' de ZlmZ (resp. Z) sur P appliquant TC sur p; il existe
de plus un isomorphisme cp" de M = (1, - 1) sur T appliquant - 1 sur S.
Le groupe W est produit semi-direct de T et P; d'après les formules (9) et
p p - l = X-", on déduit de cp' et cp" un isomorphisme rp de Dms ur Mi tel que
cp(p) = s et y(x) = p, d'où y(pl) = s'. L'unicité de cp résulte de ce que Dm est
engendré par (p, pl).
Remarque. - Considérons un groupe diédral W d'ordre 2m, engendré par deux
éléments distincts s et s' d'ordre 2. Désignons par s, (resp. sh) la suite de
longueur q dont les termes de rang impair (resp. pair) sont égaux à s et les
termes de rang pair (resp. impair) à s' et soit w, (resp. wq) le produit de
la suite s, (resp. sb). On a:
Si s = (s,, . . ., s,) est une décomposition réduite (par rapport à {s, sl)j
<
d'un élément w de W, on a évidemment sr # sr+l pour 1 i y - 1.
Par suite, on a s = s, ou s = si.
Si m = co, les éléments (ss1)ne t (ssl)nsp our n E Z sont distincts. Par suite,
les éléments w, (q 2 O) et wa (q > O) sont distincts et si s est une décomposition
réduite de w, (resp. wh), on a nécessairement s = s, (resp. s = s;). Il en résulte
que l(w,) = l(w4) = q et que l'ensemble des décompositions réduites d'éléments de W
est l'ensemble des s, et des si. De plus, tout élément de W possède une seule
décomposition réduite.
Supposons maintenant mjni. Si q 2 2m, on a w, = wq-2, et teii = wQ-2,;
< <
si m q 2m, on a w, = whm-,, wl, = wznt-,. Par suite, ni s, ni sl, ne sont des
décompositions réduites dès que q > m. On en déduit que chacun des 2m
éléments de W est l'un des 2m éléments wo = wo, wq et teih pour 1 q < m - 1
&.
et wm = Ces 2m éléments sont donc distincts et il en résulte comme plus
haut que l(w,) = l(wq) = q pour q < m et que l'ensemble des décompositions
réduites d'éléments de W est l'ensemble des s, et des Qs pour O q < m. Tout élément de
W distinct de w , possède une seule décomposition réduite; wm en possède deux.
3. Premières propriétés des groupes de Coxeter
Rappelons qu'à partir de maintenant, on suppose que les Cléments de S sont
d'ordre 2.
DÉFINITION3. - On dit que (W, S) est un système de Coxeter s'il satisfait à la condition
suivante :
(C) Pour s, s' dans S, soit m(s, s') l'ordre de ss'; soit 1 l'ensemble des couples (s, s!)