Große mathematische Formelsammlung: Mathematische und naturwissenschaftliche Tafeln

118 Pages·1980·27.251 MB·German

by  Friedrich Kemnitz, Rainer Engelhard (auth.)

ISBN 978-3-528-24871-0 ISBN 978-3-663-14100-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-14100-6
Sachwortven:eichnis der mathematischen Formelsammlung Hessesehe Normalenform (Gerade) 13.1.2
- (Ebene) 13.1.3
Die Angaben bez.iehen sich auf die Absch.nitte, nicht auf die Settenzahlen. Hexaeder (Würfel) 12.2
hirneichende Bedingung 1.2.2
• Abbildung (Funktion) 3.4, 14.1 Drehkörper 14.3.3 Höhe, Höhensatz 12.1.1
- (Transformation) 13.3 Drehstreckung 13.3.2 homogenes Gleichungssystem 9.2.1
abelsche Gruppe 4.2 Drehung 4.2, 13.3.3 Homomorphismus 4.8
abgeschlossenes Intervall 6.1.5 Dreieck 12.1.1, 12.4, 13.1.1 l'Höpital, Regel von de 14.2.1
Ableitung 14.2 Dreiecksfläche 12.1.1, 12.4.2, 12.5.2, 13.1.1 Hyperbell3.2.3
Ableitungsregeln 14.2 Durchschnitt 2.1 Hyperbelfunktion 14.4.3, 15.2
Abschnittsform (Gerade) 13.1.2 • e (Eulersche Zahl) 6.2.5, 14.4.4 hyperbolische Spirale 15.4.2
- (Ebene) 13.1.3 Ebene 13.1.2, 13.1.3 Hypotenuse 12.1.1, 12.4.1
absolute Häufigkeit 16.2 ebene Trigonometrie 12.4 Hypozykloide 15.4.2
absoluter Betrag 6.1.4 echte Teilmenge 2.1
Absorptionsgesetz 4.6 Ecktransversale 12.1.1 • ldentivität 3.3.1
Abstand (Gerade) 13.1.2 e-Funktion 14.4.3 Ikosaeder 12.2
- (Ebene) 13.1.3 Eigenvektor 13. 3.1 imaginäre Zahlen 5, 7
AAcchhtseecnka f1fi2n.i1t.ä3t 13. 3.1 eEiingdeenuwtiegret 1L3ö.s3b.a1r keit 9.2.2 iImmpplliizkiateti oFnu n1k. 2ti on 14.2.2
AAAAdfddfddjiuniittniiitkooäntntis so1itnnh3 ve.13eo.r.2r1se e ms e6 .112.1.3, ,6 1.15..22 EEeEiiiinnnnehhhieeeniiidtttsssewmvuetuakirtgtrz oi3exrl. 4847 .. 18 .4 iiiinnnnjdfheiiomkrmetuikvomt ge3 er3.n 4.B3e es.1w G eliesi c1h.5u.n1g ssystem 9.2.1
aAAAAÄÄaÄaad--nlln'nqnnqnhgAtgaeatfuteunSeZllirialbilyiesknoynvtviarytmrocrisaagahieumdihsmillslbsrsceekenkk emecmhnnnt1eeanhruezz t4ieptude5 ,t rr t iG 1t ( e rAt3G4aK1.ial e.a2e tn4ll2ooi teo.v,i3n1m4i orgc.v41.nd3ee1he.. ns.22t ur13reug.,n i.1 t een2gz1 n g 3185z .34,.)3 2 ..117 254, ..644...111. 3 EEEEEEEEEEEEErrrrlpnnnlilllleiwwnelidtdiimeimzwppsgkwebaeyssiniraieenleokettcienpne uaisrlkm1dsrito ttnt lnf i13 iaug2oae11d .6l. nlnsn61212e l.wtsg.v..31 . 1v2312es4 1e..er p 5 .r.22rs32tu. f i 4 ,cna1 .h4hk62e.rt. 6 r3e1u,n 4n4 .9g.48. .21.15.11 . 3 IIIIIIIIiiiiIInrnnnnnnnnsnnnrovntvtttttktnaeeeeeemeeaeretgrrgggrgerrivvnosrrerroriieiaaaaasawr anesrVlltplnltarl lieairithE sobnleeo de6ecin1acrklni s.hekurhs411Zems manrsn3k..l1aec35 1üuu.oe4hg1h3. p2snnn2.le2t 3fe.4gest l.1un. nt1l .14n.au81 ,35 . ngn14 21 tg4.,42e3 . .4 63. 141... ,5134. 2,,4 . 3 .415..14 8 ..32.3
Arcusfunktion I4.4.3, 15.1 Eeruzkeluidg,e nSdaetzs Edelesm 1e2n.1t .41 .2 Isosymmetrie 3.3
AAArrrgietauhfmmuenenktittk i3o 6.n4. 2 1 5.3 E--utGeRreesrleaahtdeieo A n1ef2fn.i 1n1.i14tä .4t .133 .3.1 • JJaahhrreessrzeinnsteen 1 111.2.2.2.1
arithmetische Folge 11 Evolute 15.4.1 • Kappe 12.2
- Reihe 11 ewige Rente 11.2.2 Kardioide 15.4.1
arithmetisches Mittel6.2.2 Exponent 6.2.4 kartesische Koordinaten 8.1
Assoziativgesetz 2.2, 4.2, 4.5, 4.6, 6.1.1, 8.2 Exzentrizität 13.2.2, 13.2.3 - Normalform (Gerade) 13.1.2
äAAAAauuusssßsytysgresmmoeraesigmpdc eVthee,o lteAto1reris5kue s.1ns e43s3nü.a. .2ep32gs f.e. u33Dfn o rgrim t4t e.11s ,1 4.5.5.1 • FF-FFFoliiaäxxlkcgg(puIheeunl ertnt1a äek(d4tgEt .eg6r1l,al.e iFl2rp).ai s 3xd1e )pe4 u.I13n33.k3..2 3 t ..1313 .3.1 KKKKKKeeeeaagpgntthheleneleelz,rs ttisceeKfchn fhe1ensegr2ai te.t6Ft1zl .sa. 211t1ß.3u,52r .me 2.11g p2.e1f.4 l 11, 241..223. .53.1
• Barwert 11. 2.1 Fundamentalfolge 6.3, 14.1 Kette 3.3.2
Basis 4.5, 4.8.4, 6.2.4, 6.2.5 Fundamentalsatz der Algebra 10 Kettenlinie 15.4.2
Basisvektor 8.1 Fünfeck 12.1.3 Kettenregel 14.2
Bayessche Formel16.3 Funktion, Funktionswert 3.4 kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) 4.6
BbBBBBbBbbiieeiieiienjnlnsssetrdouotrconki,amhmb mmotgBirjuivi uämisia6la lnnclld.3ltivkhk1kemk.e4tet.soe 4ir e ,oe1tF It,ntf 1enn4eogf7i3. t ilr1,ee1zu1 .m 3g.8i6n32e..re.g1. n3aI4l , ntl 1 1 166(46.b.23..i31.n 3 ..1 S atz) 6.2.3 • gggGGGGGgeeeaeeaeaoomngmouummzemißßeisneevs scetectZcehtrrhrhrratieittesseihie-eccs gali V hhelnEs1uneesie2lsn sori F 5 mgzs1M ioi c6ai1lnhi.gt6t3iaeevt. tr3,e-i uGo lR6nneeg.ss2i vhe1.et2e1rz f .143a1h. 5r,e n8 .92. 2.1 KkKkKKkKkkoooooololoalemmmmmmmlseippsmmnbbmpellelilaenuuauneanmettttrmataaiaa tne8tttre1iiinit. ovnvv15e8tnete igä..l 41, rreu2 G . eKs1n.R1ser go iut,En mz p21g lp.be2 214emi.. 2n5. 43e,a. 1.,nt42 o4t., r2. 4 4i7,k. .6 43 ,1., 5 464,.. .1844 ..,56 4, .65.,1 4.1.7, 8.2
-BogRene,i hBe o1g4e.n4m. 2a ß 12.3 Ggeerraaddee F1u3n.1k.t2io n 14.2.1 kKoommpploenxeen Zteanhdleanr s5te, l7lu ng 8.1
Bolzano-Weierstraß (Häufungspunkt) 14.1 Geradenbüschel 13.1. 2 Kongruenz 3.2, 4.2, 13.3.3
Boolesche Algebra (Verband) 4.6 geradentreu 13. 3. ~ . konjugiert 13.2.2, 13.2.3
BBrriegngnspscuhnekr tL, oBgraerninthsmtruahs l61.32..25. 2, 13.2.3 GgglTei c(ghrhöeßitt e3r. 2g ememsamer Teiler) 4.6 K-onkjoumnkptlieoxn 71 .2
Bruchrechnung 6.1. 2 Gleichung n-ten Grades 10 konkav 14.2.1
Büschel (Geraden-) 13.1. 2 Gleitspiegelung 13.3.3 Konnexität 3.3.2
- (Ebenen-) 13.1.3 Glied 14.1 Kontraposition 1.5.1
•CCaasuscinhiysfcohleg eK 1u4rv.1e 15.4.1 ggoonld(ioWenmienertk rSeiclsfhcuhnneikt tFt i1uo2nn.ek1nt.i)4o n12en.3 Kkkooonnnvvveeexrrgg 1een4n.tz 2r1.a41d .i1u,s 1 144.4.4 .1
• Dedekindscher Schnitt 6.3 Grenze, Grenzwert 14.1 Koordinatensysteme 8.1
Definitionsbereich 3.4 Grundfunktionen 14.2 Körper (Struktur) 4.4, 4. 7, 6, 7
dekadischer Logarithmus 6. 2.5 Gruppe4.2 - (Geometrie) 12.2
DDeetzeimrmalidnaarnsttee l9lu.1n.g2 5 GGrruuppppeennihsoommoomrpohripshmiusms 4u.s8 4.2.8 .2 kKöorrpreesrphoonmdoimeorrepnhdies rAnd~dsi.ti4O.n8 .u3n d
Diagonale 12.1.2, 12.2 Guldinsche Regel 14.3.3 Subtraktion 6.2.1
Differentialgleichung 14.2.4 • Halbgruppe 4. 2 Kosinus 12.~
Differentialquotient 14.2 halboffenes Interva116.1.5 Kosinussatz 12.4.2, 12.5.2
Differentialrechnung 14.2 Halbordnung 3. 3.1 Kotangens 12.3
Differentiationsregeln 14.2 harmonische Teilung 12.1.4 Kreis 12.1.5, 13.2.1 .
Differenz 2.1 harmonisches Mittel6.2.2 Kreisfunktionen (Winkelfunkhonen) 12.3
Differenzenquotient 14.2 Häufigkeit 16.2 Kreuzprodukt 8.2
differenzierbar 14.2 Häufungspunkt 14.1 Krümmungsradius 13.2, 14.2.1
Dimension 4.5 Hauptform (Gerade) 13.1.2 kubische Gleichung 10
diskontiert 11.3 Hauptscheitelpunkt 13.2.3 Kugel12.2
Distributivgesetz 2.2, 4.3, 4.5, 4.6, 6.1.1, 8.2 Heranische Formel12.1.1 Kurvendiskussion 14.2
Dodekaeder 12.2 Herzlinie 15.4.1 Kürzen 6.1. 2
o Lagrange (Restglied) 14.4.1 Polarkoordinaten 7, 14.3.3 • Tangens 12.3
Lebenserwartung 11.3 Positiv-definit-Gesetz 4.5 Tangente 12.1.5, 13.3, 14.2
leere Menge 2.1 postnumerando 11.2.2 Tangenten-n-Eck 12.1. 3
Leibniz (Konvergenz) 14.4.1 Potenz 6.2.4 Tangentenverfatuen 1 0
Leibrente I!. 3 Potenzmenge 2.1 Taylorsche Reihe 14.4.1
Leitlinie 13.2.2 Potenzreihe 14.4 Teilmenge 2.1
Lemniskate 15.4.1 Prämie 11.3 Teilpunkt 13.1.1
linear abhängig 4.5, 8.1 pränumerando 11.2.2, 11.3 Teilverhältnis, t.-treu 13.3.1
- unabhängig 4.5 Prisma 12.2 Tetraeder 12.2
lineare Abbildung 4.8.4 produktgleich 6.2.1 Tetraedervolumen 13.1.1
- Optimierung 9. 3 Produktmatrix 9.1.1 Tilgung 11.2.2
lineares Gleichungssystem 9.2 Proportion, proportional, Proportionalitäts Todesfallversicherung 11.3
- Ungleichungssystem 9.3 faktor 6.2.1 Torus 12.2
Linearfaktor lO Pyramide, Pyramidenstumpf 12.2 totale Wahrscheinlichkeit 16.3
Linearkombination 4.5 Pythagoras, Satz des 12.1.1 totales Differential14.2.2
LLiongkasrkitrhümmemnubnegre 1c4h.n2u.1n g 14.4.4 o qQuuaaddreart i1sc2h. 2e Gleichung 10 TTrraannssliatitviiotnä t4 3.2.2, , 133..33 .3
l-ogaIrnittehgmraistciohne D14if.f3e.r1e ntiation 14.2.1 - Matrix 9.1.1 t-ranZsazhenledne n5t e Funktionen 14.4.3
L-ogSapriitrhalme u1s5, .l4o.g 2. naturalis 6.2.5 Qquuoatnietonrtg 1le.3ic h 6.2.1 Ttrrigigoonnoommeettrrisiec h1e2 F.4u nktionen
Logarithmusfunktion 14.4.3 0 Radiant 12.3 (Winkelfunktionen) 12.3, 14.4.3
Logik 1 Radikand 6. 2.4 Tripel 2.1
Lösungsmenge 10 rationale Zahlen 5
Rechtskrümmung 14.2.1 •Umgebung 14.1
• MacLaurinsche Reihe 14.4.1 Rechtssystem 8.1 Umkehrabbildung 3.4
Mantelfläche 14.3.3 rechtwinkliges Dreieck 12.1.1, 12.4.1, 12.5.1 Umkehrfunktion 3.4, 14.2
Mantisse 6. 2. 5 reelle Zahlen 5, 6 Umkreisradius 12.1, 12.4.2
Matrix 4.8.4, 9.1.1 Reflexivität 3.2, 3.3 unabhängige Ereignisse 16.3
Maximum, Minimum 14.2 Regula falsi I 0 unbestimmtes Integral 14.3
Menge 2 Reihe 14.1 ungerade Funktion 14.2.1
Mise 11.2.1 Relation 3 unmögliches Ereignis 16.3
Mittelpunkt (Strecke) 13.1.1 Relationen von Euler 14.4.3 Unterdeterminante 9.1.2
- (Kreis) 13.2.1 relative Häufigkeit 16.2 untere Grenze, Schranke 3. 3.1
- (Kegelschnitt) 13.2.3 Rente 11.2, 11.3 Untergruppe 4.2
Mittelsenkrechte 12. !.I Restglied 14.4.1 Untersuchung von Funktionen 14.2
Mittelwert 6.2.2, 16.2, 16.3 Restklassengruppen 4.2 Untervektorraum 4.5
Mittelwertsatz 14.2.1 Ring 4.3, 6.1.1 Urbild, Urbildmenge 3.4
mittlere Proportionale 6.2.1 Ringhomomorphismus, Ringisomorphismus Ursprung 8.1
modulo 3.2 4.8.3
Moivresche Formeln 7 Rotationskörper 14.3.3 o Variable 1.1
monoton 4.8.1, 14.1 • Sarrus, Regel von 9.1.2 Varianz, Variation 16.2, 16.1
Morgan, de (Boolesche Algebra) 4.6 Satz des Euklid, Pythagoras 12.1.1 Vektor, V.-funktion 8, 8.3
Morphismus 4.8 - von Vieta 10 Vektorraum 4.5, 8.1
Multiplikationssatz 16.3 Scheitelform (Kegelschnitte) 13.2.2, 13.2.3 Vektorraumhomomorphismus, Vektorraurn-
•Näherungsformeln 14.4, 14.4.5 Scheitelpunkt 13.2.2, 13.2.3 isomorphismus 4.8.4
Näherungslösungen 10 Scherung 13.3.1 Verband 3.3.1, 4.6, 4.8.5
natürliche Zahlen 5 Schiefkörper 4.4 Vereinigung 2.1
natürlicher Logarithmus 6.2.5 Schnittwinkel (Gerade) 13.1.2 Verkettung 3.4
Nebenscheitelpunkt 13.2.3 - (Ebene) 13.1.3 Verknüpfung 1.2, 4.1, 8.1
n-Eck 12.1.3 Schrägspiegelung 13.3.1 Verknüpfungsgebilde 4.1
Negation 1.2 Schranke 3.3.1 Verschiebung 13.3.3
Neilsche Parabel15.4.1 Schwerpunkt 12.1.1, 13.1.1, 14.3.3 Versicherungsrechnung 11.3
Nepersehe Regell2.5.1 Sechseck 12.1. 3 Vierblatt 15.4.1
neutrales Element 4.2, 4.5, 4.8.2 Segment, Sehne 12.1.5 Viereck 12.1.2, 12.1.3
Newtonsehe FormellO Seitenhalbierende 12.1.1 VH!ta, Satz von 10
nichtperiodische Dezimaldarstellung Seitenkosinussatz 12.5.2 vollständige Induktion 1.5.2
Normalenform 13.1.2, 13.1.3 Sekante 12.1.5, 14.2 - Ordnung 3.3.2, 4.7
Normalform 10 Sekantenverfahren 10 vollständiger Körper 6. 3
notwendige Bedingung 1.2.2 Sektor 12.1.5 Volumenberechnung 14.3.3
n-Tupel2.1, 9.1.1 sicheres Ereignis 16.3 Vorzeichenregeln 6.1.1, 6.1.2
Nullelement 4.3, 4.6, 4.8.5 Simpsonsche Regel 14.3.3
NNnNuuuumllmlltveeereriiklusetcsro h 6r4e . .42I4..n5 5t, e g8.r1a tion 14.3.3 SSSSiikpnnaauultssap srr1apo2trzd.o 3ud1 ku2t.k 48t. .422,. 51, 28..52. 2 • WWWWWaaaaehhhcnhrrdrshssecctepuhhiutemesniitnsnkaflfltuiie ccn1lhh 4kk1k.te.2ei2oii.t.1tn1 s 1 fu111n.3.k2,t .i11o6 n , W.-rechnung 16.3
•~bere Grenze, Schranke 3.3.1 spezielle Funktionen 15 Wertebereich 3.4
Oberflächenberechnung 14.3.3 sphärische Höhe, Trigonometrie, sphärischer Widerspruch 1.5.1
Objektfunktion 9. 3 Exzeß, sphärisches Dreieck 12.5 Winkel12.1, 12.3
offenes Intervall6.!.5 Spiegelachse 13.3.3 Winkelfunktion 12.3, 14.4.3
Oktaeder 12.2 Spiegelstreckung 13. 3. 2 Winkelhalbierende (Gerade) 12.1.1, 13.1.2
Ordnung 3.3, 4.7, 4.8.1 Spiegelung 13.3.3 - (Ebene) 13.1.3
Ordnungsrelation 3. 3 Spirale 15.4.2 Winkelkosinussatz 12.5. 2
Orientierung 8.1 Statistik 16.2 Wohlordnung 3. 3.4
Jrtsvektor 8.1 Steigung 13.1.1, 14.2 Wlirfel12.2
•Paar 2.1 Stelle 3.4 Wurzel, W.-exponent 6.2.4
Parabell3.2.2 Stereometrie 12.2
parallelentreu 13. 3.1 Sternkurve 15.4.2 • Zahlenmengen 5
parallelgleich 3. 2, 8.1 stetig 14.1, 14.2 Zehneck 12.1.3
Parameter 13.2.2, 13.2.3 stetig differenzierbar 14.2 Zehnerlogarithmus 6.2.5
Parameterdarstellung 14.2.3, 14.3.3 stetige Teilung 12.1.4 zentrische Streckung 4.2, 13.3.2
Partialsumme 14.1 Stetigkeit 14.1 Zielfunktion 9.3
partielle Ableitung 14.2.2 Stirlingsche Formel6.2.3 Zielmenge 3.4
PP-PPPpaaeeeferrsrrtcIimiiionplakSdulthuse.itecls!gaärhc rtriheiaeloseötw ni sDoDi unn1renke6 zg1ie.ie1 m419c .1k.a322 l..d.6111a . .2r5.s 3te llung 5 SSSSSsstttttutrrrrrrebieeeuknjccuktugkkuetn eeunmOk ngr1to tr i43e1don i.6nnol1u.u t.21no1n, g.ng 21 s 146r2.e.83l.a1. 1t.i4,o ,1n 14 33.1..3 1..31 ZZZZZZZoiiiwuwnnenfelessaepeifile aplus1sczkungk2itnknro .ö2k1tsr ß t2,81 fe..Zo151 r1i. .2nm 36 s . f31u 3ß. 11.12. 2, 11.3
"(pi) 12.1.5, 14.4.4 Substitution 14.3.1 Zwischenwertsatz 14.1
Planimetrie 12.1 supremum 3. 3.1 zyklisch 4.2
Poissonverteilung 16.3 surjektiv 3.4 Zykloide 15 .4.2
Polare 13.2 Symmetrie 3. 2 Zylinder 12.2
symmetrische Differenz 2.1
1. Logik und Beweismethoden
1. Logik und Beweismethoden
1.1. Aussagen, Aussageformen
Aussagen sind sprachliche Gebilde, die entweder wahr oder falsch sind. Bezeichnung der
Aussagen: p, q, ....
Aussageformen in den Variablen x, y, ... auf den Grundmengen Mx, MY • ... sind sprachliche
Gebilde, die nach Ersetzung der Variablen x, y, ... durch Elemente aus Mx, M Y• ... in Aus
sagen übergehen. Bezeichnung der Aussageformen: p(x,y, ... ), q(x,y, ... ).
Eine Aussageform heißt genau dann erfiillbar auf den Grundmengen Mx, My, ... , wenn es Eie·
mente aus den jeweiligen Grundmengen gibt, die die Aussageform dadurch in eine wahre Aus
sage überfUhren, daß man sie für die Variablen einsetzt.
Eine Aussageform heißt genau dann allgemeingültig auf den Grundmengen Mx, MY • ... , wenn
sie bei jeder Ersetzung der Variablen durch Elemente der jeweiligen Grundmenge in eine wahre
Aussage übergeht.
Eine Aussageform heißt genau dann teilgültig auf den Grundmengen Mx, My, ... , wenn sie auf
diesen erflillbar, aber nicht allgemeingilltig ist.
Eine Aussageform heißt genau dann unerfiillbar aufden Grundmengen Mx, My, ... , wenn sie
auf diesen nicht erftillbar ist.
Aussageformen sind: Aussagen sind:
fl"llb <allgemeingültig
er u ar teilgültig unerfüllbar wahr falsch
1.2. Negation und Verknüpfungen von Aussagen und Aussageformen
1.2.1. Aussagen
Es seien p und q Aussagen. Dann bedeutet:
Negation p nicht p Wahrheitstafeln:
Konjunktion pl\q p und q
p q I P pl\q pv q p-->q p+-+q
(sowohl p als auch q)
Adjunktion p v q p oder q w w f w w w w
(entweder p oder q oder beides) w f f f w f f
Subjunktion p.--.q wenn p, dann q f w w f w w f
Bisubjunk- p+-+q p genau dann, wenn q f f w f f \1' w
tion ausführlich:
I
(wenn p, dann q) und (wenn q, dann p)
1.2.2. Aussageformen
Aussageformen lassen sich durch 1\ , V , -+, +-+ verknüpfen. Die Verknüpfungsergebnisse
sind dann wieder Aussageformen.
Dagegen verknüpft die Implikation Aussageformen zu Aussagen:
-=
Implikation: p(x,y, ... ) q(x,y, ... ): aus p(x,y, ... ) folgt q(x,y, ... )1)
Diese Aussage ist genau dann wahr, wenn die Aussageform p (x, y, ... ) -> q (x, y, ... ) auf ihren
Grundmengen allgemeingilltig ist.
Ist p(x,y, ... ) => q(x,y, ... ) wahr, so nennt man p(x,y, ... ) auch hinreichende Bedingung
fur q(x,y, ... ), q(x,y, ... ) auch notwendige Bedingung für p(x,y, ... ).
-=
Entsprechend wird <=> (äquivalent) definiert und bedeutet .,notwendig und hinreichend".
1) Im folgenden wird zwischen den Zeichen -+ und => unterschieden. Wer auf diesen Unterschied
verzichten will, nehme ftir ->stets =>, entsprechend ftir +-+stets ~.
2
2. Mengenlehre
1.3. Quantoren
Ist p(x) eine Aussageform auf der Grundmenge M und N eine Teilmenge von M, so bedeutet:
1\ p(x) für alle x EN gilt p(x) (d.h. p(x) ist allgemeingültig auf N)
xeN
V p(x) es gibt (mindestens) ein x EN, für das p(x) gilt (d.h. p(x) ist erfüllbar auf N)
xeN
" 1\ p(x)" und " V q(x)" sind Aussagen.
x<N x<N
1.4. Logische Regeln
Es gilt stets:
I (ip) +-+ p (p->-q) +-+I (p/\ ( q))
1(pl\q) +-+ (1 p)V (1q) 1 1\ p(x) +-+ V 1p(x)
xeM xeM
I (p V q) +-+ (I p) 1\ (I q)
l(p->-q) <--+ pi\(I Q) I xV<M p(x) +-+ x1•M\ I p(x)
V 1\ p(x,y) --+ 1\ V p(x,y) (nicht umgekehrt1)
:xeM yeN y<N :xeM
1.5. Besondere Beweismethoden
= =
Kontraposition (p(x) q(x)) +-+ (1 q(x) 1 p(x))
Satz vom ausgeschlossenen Dritten p V 1 p
Satz vom Widerspruch ----, (p 1\ 1 p)
Indirekter Beweis: Wenn aus 1 o: folgt ß 1\ 1 ß, gilt a
(Wenn aus 1 a etwas Falsches folgt, gilt o:).
Vollständige Induktion:
Ist M eine Teilmenge von IN mit den Eigenschaften
(I) I EM, (2) 1\ (n EM ->- (n +I) EM),
neiN
dann gilt M= IN.
Das Beweisprinzip läßt sich auch so aussprechen:
p(x) sei eine Aussageform in der Variablen x auf der Grundmenge IN. Weiter seien
die folgenden beiden Aussagen wahr:
(!) p(I), (2) 1\ (p(n) ->- p(n + !));
neiN
dann ist p(x) allgemeingültig auf IN.
2. Mengenlehre
2.1. Bezeichnungen
Die Menge, gebildet aus den Elementen a., a2, ... , an, wird bezeichnet mit {a 1, a2, ... , an}.
Die Menge aller Elemente, die die Aussageform p(x) erfüllen, wird bezeichnet mit {x lp(x)}
(Lies: Menge aller x, für die p(x) gilt).
1/J oder { } : leere Menge
E bzw. EI:: "ist Element von" bzw. "ist nicht Element von"
Paar: (x,y)={x,{x,y}}, folglich: (x,y) '*-(y,x) genaudann,wennx*-y
Tripel: (x, y, z) = ((x, y), z)
n-Tupel:
3
3. Relationen
A ist Teilmenge von B: A ~ B: x EA => x EB
A ist gleich B: A = B: A ~ B AB ~ A Es gilt für
A ist echte Teilmenge von B: A C B: A ~ B 1\ A =F B alleMengenA: (/J~A. A ~A
Potenzmenge: ~A = {TIT~A}
Durchschnitt: A n B = {x lx E A 1\ x E B} (AnBlies: A durchschnitten mit B)
Vereinigung: A U B = {x lx EA V x E B} (AU Blies: A vereinigt mit B)
Differenz: A \ B = {x lx EA A x $ B} (A \ Blies: A ohne B)
Komplement: CAB = A \ B, kurz auch: li (CAB lies: Komplement von B bzgl. A)
Symmetrische Differenz: At:,. B = (A \ B) U (B \ A); es gilt: At:. B =(AU B) \ (An B)
Kartesisches Produkt: A X B = {(x, y) lx EA 1\ y EB}
A2 =AXA, An= A XA X ... XA, nEIN
n·mal
Jt ist eine Teilmenge von ~ A, flir die gilt:
( 1) Die Vereinigung aller Elemente aus .$1 ist gleich A,
d.h. jedes Element x EA gehört zu einem
Element K E St
(A, .!t ) heißt kurz: x1e\A KV e~ ~, x EK
Klasseneinteilung von A (2) Kein Element aus Jt ist leer, kurz: 1\ .;,K =F (/)
Ke~'
(3) Zwei verschiedene Elemente aus .$1 sind elementfremd,
kurz: 1\ .,.(K1 =F K2-+ K1 nK2 = (/))
K1,K2e~l
2.2. Gesetze
Assoziativgesetze. Für alle Mengen A, B, C gilt:
0nmnc = An~nq 0umuc = Au~uq
Kommutativgesetze. Für alle Mengen A, B gilt:
AnB=Bn A AUB=BUA
Distributivgesetze. Für alle Mengen A, B, C gilt:
0nmuc = 0uqn~uq 0umnc = 0nqu~nq
3. Relationen
3.1. Definitionen
Sind A, B nichtleere Mengen, so heißt jede nichtleere Teilmenge p von A X B
(zweistellige) Relation. Ist (a, b) E p, so sagt man: a steht in der Relation p zu b
und schreibt dann auch a p b.
Sind A 1, A2, ... , An nichtleere Mengen, so heißt jede nichtleere Teilmenge p
von A 1 X A2 X ... X An (n-stellige) Relation. Ist (a t> a2, ... , an) E p, so schreibt
man auch: p(a1, a2, ... , an).
4
3. Relationen
3.2. Äquivalenzrelationen
Eine zweistellige Relation p ~ A X A heißt Äquivalenzrelation auf A
1
Reflexivität: 1\ a pa a p a für alle a E A
aeA in
anderer
Symmetrie: a,1be\ A (a p b -> b p a) Schreib apb => bpa
weise:
Transitivität: 1\ (a p b 1\ b p c -> a p c) apb/\bpc => apc
a,b,ceA
Beispiele von wichtigen ilquivalenzrelationen:
Gleichheit: a = b
ÄKohnnglircuheknezit v voonn FFigiguurerenn: : FF1 ,~- FF22 <<== EEss ggiibbtt eeiinnee KÄohnnlgircuhekneziatsbabbibldiludnugn ga am mit iat (aF(F1) 1=) =F2 F 2
Parallelgleichheit von Pfeilen: (A. B) # (C, D) <= ABDC ist ein Parallelogramm
Kongruenz von ganzen Zahlen: a; 111b <= m teilt (a-b)
(a o= 111b lies: a kongruent b modulo m; mE IN}
3.3. Ordnungsrelationen
3.3.1.
! Eine zweistellige Relation p ~ A X A heißt Ordnungsrelation1) auf A
1
Reflexivität: 1\ a p a a p a für alle a E A
aeA in
lsosymmetrie2): 1\ (a p b 1\ b p a _,. a = b) anderer apbl\ bpa=a=b
a,beA • Schreib-
Transitivität: 1\ (a p b 1\ b p c _,. a p c) weise: apb/\ bpc apc
a.b.ccA
Ist p eine Ordnungsrelation, so schreibt man oft a !o b {lies: a vor-oder-gleich b) statt a p b.
Beispiele:
Ist A eine Menge, so ist ~ eine Ordnungsrelation auf 'l3 A.
::::; {kleiner oder gleich) und I (teilt) sind Ordnungsrelationen auf IN
= =
(a :5b V a+x=b bzw. alb V a·x=b).
xeiN0 xeiN
Das Paar (A, f.) heißt Ordnung').
Ist B eine Teilmenge von A, so definiert man:
s0 E A heißt genau dann obere Schranke von B (bzgl. 1,), wenn 1\ x f s0 gilt.
xcß
heißt genau dann untere Schranke von 8 (bzgl. !:), wenn x1e\ 8 Su!: x gilt.
heißt genau dann obere Grenze von B {bzgl. !;), wenn g obere Schranke von 8 ist
0
und für alle oberen Schranken s0 von B gilt: g0 .s s0.
heißt genau dann untere Grenze von 8 {bzgl. .s), wenn gu untere Schranke von 8 ist
und für alle unteren Schranken Su von B gilt: Su!: gu.
Es gilt.· Jede Menge B hat bzgl. E höchstens eine obere und höchstens eine untere Grenze.
Man schreibt auch sup B (supremum von B) statt g und inf B (infimum von B) statt gu.
0
1) Statt Ordnung und Ordnungsrelation sind auch die Bezeichnungen Halbordnung und Halbordnungs
relation gebräuchlich.
2) Diese Eigenschaft wird auch Antisymmetrie oder Identitivität genannt.
5
3. Relationen
Eine Ordnung (V,'=) Jede zweielementige Teilmenge von V besitzt sowohl
heißt Verband eine obere als auch eine untere Grenze bzgl. f .
1D iese Definition des Verbandes ist mit der in 4.6 angegebenen gleichwertig.
3.3.2.
Eine Ordnung (A, s)
heißt vollständig ~ Konnexität: 1\ (a I; b V b I; a)
a,beA
(linear, total oder Kette)
I
Eine wichtige vollständige Ordnung ist (IR, ~). dagegen ist (IN, I) keine vollständige Ordnung.
3.3.3.
Relation p ~ A X A heißt strikte Ordnung;relat10n auf A
nmetne. 1\ (apb->!bpa) md apb=-, bpa
a,beA an crcr
=
TransitiVItät: 1\ (a p b 1\ b p c -> a p c) Scl~rcib· a p b 1\ b p c a p c
a, b, C< A IVCJSC:
Man schreibt dann meist a c b (lies: avor b) statt a p b.
Es gilt: Eine strikte Ordnungsrelation ist nie eine Ordnungsrelation. Ist s eine Ordnungs
re*lat ion, so erhält man eine strikte Ordnungsrelation c, indem man setzt: a c b ~ (a s b und
a b); umgekehrt: ist c eine strikte Ordnungsrelation, so erhält man eine Ordnungsrelation s,
indem man setzt: a s b = (a c b oder a =b ).
3.3.4.
~e Ordnung (A,!;) Jede nichtleere Teilmenge T von A besitzt ein kleinstes
heißt Wohlordnung Element, kurz: 1\ V 1\ k s x.
T~A k:eT xeT
----------------~
3.4. Abbildungen, Funktionen
Eine zweistellige Relation (l) 1\ V (x,y)Ep
xeA Y<B
p ~ A X B heif~t ~
Abbildung von A in B (2) 1\ 1\ ((x,y)Ep-> y=z)
xeA y,zeB (x, z) Ep
Statt p schreibt man in diesen Fällen meist [, g, ... , statt (x ,y) Ef bzw. xfy meist y =f (x)
oder f: x ~ y, statt [ r.:;.A X B meist f: A -> B, so daß sich als neue Schreibfigur ergibt:
(r
f A -+ B A abgebildet in 82) )
: x 1-+ f(x) ') Ies: x abgebildet auf f(x)
Man nennt f(x) das Bild von x und x das Urbild von f(x).
Ist T r.:;. A, so definiert man f(T) = {y I V y =f (x)}.
xeT
Man nennt A die Urbildmenge (den Definitionsbereich),f(A) die Bildmenge (den Wertebereich)
und B die Zielmenge der Abbildung f (statt Zielmenge ist auch Bildmenge gebräuchlich).
t) Statt 1--+ wird oft auch -+ verwendet.
2) Im Falle der Surjektivität (s. u.) sagt man auch: A wird abgebildet auf B.
6
4. Algebraische Strukturen
[:A ~B
heißt injektiv
/: A _,. B
heißt surjektiv +-7 y1e\B .<VeA f(x) =y , kurz: /(A) = B
[ : A _,. B heißt
+-> f ist injektiv und surjektiv
bijektiv (eineindeutig) 1)
Ist fr b ijektiv, so gibt es gcnau eine Umkehrabbildung r I von f, die definiert ist durch:
X= (y) <= Y =[(X).
A- B d a~c 'dctn· 1 A-c
Flir .f: x f-> f(x) un g y f-> g(y) wn e 1mert g o : (!( ))
(lies g kreis f) x f-> g x
Diese Verknüpfufng: h:e:iß t Verkettung. Es gilt also (g o f) (x) =g (f(x)).
Eine Abbildung j;x) heißt Funktion, wenn A und B Zahlenmengen (siehe 5.) sind.
Statt Urbild sagt man dann Argument oder Stelle, statt Bild Funktionswert.
4. Algebraische Strukturen
----------------~--------------~
4.1. Verknüpfungen
Jede Abbildung der Art A X B _,. C heißt Verknlipfung.
Verknüpfungen werden meist mit o bezeichnet. Statt o ((a, b)) schreibt man a ob.
Eine Verknüpfung heißt genau dann innere Verknüpfung (auf A), wenn A =B = C ist.
Eine Verknlipfung heißt genau dann äußere Verknüpfung l. Art, wenn A =/:-B = C ist.
Eine Verknlipfung heißt genau dann äußere Verknüpfung 2. Art, wenn A = B =/:-C ist.
Wichtige Beispiele:
Innere Verknüpfungen: Auf IN: +, ·; auf~ IR: n, U, \, /::,.
Äußere Ycrknlipfung I. Art: IR X V~ V
(siehe 4.5)
Produkt von reeller Zahl und Vektoren: (X, a) f-> Xo a
VX V-+ IR
Äußere Verknlipfung 2. Art: Skalarprodukt: (siehe 4.5)
(a,b)f->a·b
Ein Paar (A, o) heißt
<-> o ist innere Yerknüpfung auf A
Verknüpfungsgebilde
4.2. Gruppen
(I) (H, o) ist ein Verknlipfungsgebilde
(H, o) heißt Halbgruppe (2) Assoziativgesetz (Verbindungsgcsctz):
+-7
1\ (aob)oc=ao(b oc)
a,b,e<H
(!) (G,o) istHalbgruppe
(2) Existenz eines neutralen Elementes:
V 1\ noa=aon=a
( G, o) heißt Gruppe +-7 neG aEG
(3) Existenz der inversen Elemente:
1\ V aoi(a)=i(a)oa=n2)
aoG i(a)eG
--------------------------~
1) Oft werden auch injektive Abbildungen "eineindeutig" genannt.
2) n ist das durch (I) und (2) eindeutig bestimmte neutrale Element.
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