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Mathematik Kompakt Wolfgang König Große Abweichungen Techniken und Anwendungen Mathematik Kompakt Mathematik Kompakt Reihe herausgegeben von Martin Brokate, Garching, Deutschland Aiso Heinze, Kiel, Deutschland Mihyun Kang, Graz, Österreich Götz Kersting, Frankfurt, Deutschland Moritz Kerz, Regensburg, Deutschland Otmar Scherzer, Wien, Österreich Die Lehrbuchreihe Mathematik Kompakt ist eine Reaktion auf die Umstellung der Diplomstudiengänge in Mathematik zu Bachelor- und Masterabschlüssen. Inhaltlich werden unter Berücksichtigung der neuen Studienstrukturen die aktuellen Ent- wicklungen des Faches aufgegriffen und kompakt dargestellt. Die modular aufgebaute Reihe richtet sich an Dozenten und ihre Studierenden in Bachelor- und Masterstudiengängen und alle, die einen kompakten Einstieg in aktuelle Themenfelder der Mathematik suchen. Zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben stehen zur Verfügung, um die Anwendung der Inhalte zu veranschaulichen. • Kompakt: relevantes Wissen auf 150 Seiten • Lernen leicht gemacht: Beispiele und Übungsaufgaben veranschaulichen die Anwendung der Inhalte • Praktisch für Dozenten: jeder Band dient als Vorlage für eine 2-stündige Lehrver- anstaltung Weitere Bände in der Reihe http://www.springer.com/series/7786 Wolfgang König Große Abweichungen Techniken und Anwendungen Wolfgang König Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Berlin, Deutschland Institut für Mathematik Technische Universität Berlin Berlin, Deutschland ISSN 2504-3846 ISSN 2504-3854 (electronic) Mathematik Kompakt ISBN 978-3-030-52777-8 ISBN 978-3-030-52778-5 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-030-52778-5 Mathematics Subject Classification: primär: 60F10, sekundär: 60J55, 82D30, 82D60 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Nature Switzerland AG 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Dorothy Mazlum Birkhäuser ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Nature Switzerland AG und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland Vorwort Dies ist ein Skript zu einer vierstündigen Vorlesung über die Theorie der (Wahrschein- lichkeiten von) Großen Abweichungen. Kap. 1–3 behandeln die Grundbegriffe der Theorie und die wichtigsten allgemeinen Konzepte, und Kap. 4 erklärt anhand von Bei- spielen aus der Forschung der letzten 30 Jahre erfolgreiche Anwendungen. Diese Bei- spiele wählte ich aus Bereichen, in denen ich arbeitete oder zumindest sehr interessiert war; sie stammen meist aus der Statistischen Mechanik und verwandten Gebieten. Ich halte es für ein motivierendes Lehrkonzept, die Theorie in einer Vorlesung zu vermitteln und die Forschungsbeispiele einem studentischen Seminar zu überlassen. Die Theorie der Großen Abweichungen ist ein Zweig der Wahrscheinlichkeits- theorie, der sich mit der Asymptotik der Wahrscheinlichkeiten sehr seltener Ereignisse befasst. Die exponentielle Abfallrate dieser Wahrscheinlichkeiten wird in Termen einer Variationsformel ausgedrückt, deren Wert und deren Minimierer meist interessante Rückschlüsse auf die betrachteten Ereignisse zulassen. Erste spezielle Ergebnisse wurden in den 1930er Jahren von Cramér und Sanov erzielt, aber eine weit reichende Fundierung fand erst in den 1970er Jahren statt, als Donsker und Varadhan bzw. Freidlin und Wentzell geeignete abstrakte Formulierungen eines Prinzips Großer Abweichungen fanden und sogleich auf eine Anzahl interessanter Modelle anwendeten. Sie hatten erkannt, dass diese neu geschaffene Theorie sehr gut geeignet ist, um gerade in der Statistischen Mechanik entscheidende Beiträge zu erbringen. Seitdem wächst die Liste der Modelle und Gebiete, in denen die Theorie adaptiert und eingesetzt wird, selber exponentiell, und ein Ende ist nicht abzusehen. Durch das routinemäßige Auftreten von Variationsformeln werden die Variations- rechnung und auch andere Bereiche der Funktionalanalysis, etwa Konvexe Analysis, zu eng verwandten Gebieten, und dieses Skript streift auch ein paar Themen aus diesen Gebieten, jedoch nur soweit es unvermeidbar ist. Beweise aus diesem Gebiet werden nur gebracht, sofern sie zum Verständnis der probabilistischen Seite beitragen. Ich lege hier besonderen Wert auf Anwendungen und behandle viele Modelle, in deren Erforschung die Theorie der Großen Abweichungen einen entscheidenden Bei- trag leistet. Teilweise erreiche ich die aktuelle Forschung. Wegen des großen technischen Aufwandes, der oft nötig ist, breite ich allerdings nicht alle Details aus, aber schaffe V VI Vorwort jeweils das Verständnis für das Modell und seine Behandlung und gebe Hinweise, wie die ausgelassenen Beweisteile anzugehen sind und wo man ihre Ausführung nach- lesen kann. Auf diese Weise ist eine große Anzahl von mehr oder weniger schwierigen Übungsaufgaben über den gesamten Text verteilt und in ihn eingebettet worden. Dieser Text setzt Kenntnisse und Fertigkeiten voraus, wie sie an mathematischen Instituten deutscher Universitäten in den beiden Vorlesungen Wahrscheinlichkeitstheorie I und II vermittelt werden; insbesondere maßtheoretisch fundierte Theorie, schwache Konvergenz, zentraler Grenzwertsatz, diverse Ungleichungen für Zufallsvariablen und Verteilungen, ein wenig Ergodentheorie sowie Punktprozesstheorie. Ferner sollten der Leser und die Leserin sattelfest in topologischen Fragen sein, denn das Zusammen- spiel zwischen Wahrscheinlichkeitstheorie und Analysis liegt am Herzen der Theorie der Großen Abweichungen. Dieses Skript basiert zu einem großen Teil auf den beiden Monographien von den Hollander [Ho00] und Dembo/Zeitouni [DeZe10], aber auch auf Notizen von früheren Vorlesungen von N. Gantert und J. Gärtner, denen ich hiermit sehr herzlich danke für deren Überlassung. Ich hielt nach einer Vorgängerversion dieses Skriptes Vorlesungen im Wintersemester 2004/2005 und im Sommersemester 2006 am Mathematischen Institut der Universität Leipzig sowie im Wintersemester 2010/2011 an der TU Berlin. Daher wurde der vorliegende Text mehrmals durchgesehen, korrigiert und verbessert sowie für die jetzige Veröffentlichung in Buchform deutlich erweitert, und zwar um die Abschn. 3.7 über projektive Grenzwerte und 3.8 über empirische Maße von markierten Punktprozessen sowie Abschn. 4.7 über Bose–Einstein-Kondensation. Ich möchte mich für Hinweise und Hilfe mehrerer Kolleginnen und Kollegen bedanken, namentlich bei Peter Friz, Nina Gantert und Gabriela Grüninger. Berlin Wolfgang König im Mai 2020 Inhaltsverzeichnis 1 Der Satz von Cramér ............................................. 1 1.1 Ein einführendes Beispiel ...................................... 1 1.2 Warum große Abweichungen? ................................... 5 1.3 Ein paar Hilfsmittel ........................................... 6 1.4 Der Satz von Cramér .......................................... 7 1.5 Der Satz von Cramér ohne exponentielle Momente .................. 12 2 Prinzipien Großer Abweichungen ................................... 15 2.1 Abstraktes Prinzip Großer Abweichungen .......................... 15 2.2 Irrfahrten und der Satz von Cramér ............................... 20 2.3 Brown’sche Bewegung und die Sätze von Schilder und Strassen ........ 23 2.4 Empirische Maße und der Satz von Sanov ......................... 29 2.5 Paarempirische Maße von Markovketten ........................... 36 3 Grundlegende Techniken .......................................... 43 3.1 Kontraktionsprinzip ........................................... 43 3.2 Exponentielle Approximationen ................................. 47 3.3 Das Lemma von Varadhan ...................................... 50 3.4 Das Gärtner-Ellis-Theorem ..................................... 55 3.5 Anwendungen des Satzes von Gärtner–Ellis ........................ 62 3.6 Aufenthaltsmaße zeitstetiger stochastischer Prozesse ................. 67 3.6.1 Irrfahrten .............................................. 67 3.6.2 Brown’sche Bewegung ................................... 72 3.7 Projektive Grenzwerte ......................................... 75 3.8 Markierte Poisson’sche Punktprozesse ............................ 80 4 Ausgewählte Anwendungen ........................................ 91 4.1 Testen von Hypothesen ........................................ 91 4.2 Das Spektrum zufälliger Matrizen ................................ 93 VII VIII Inhaltsverzeichnis 4.3 Zufällige Polymerketten ........................................ 99 4.3.1 Das Modell ............................................ 99 4.3.2 Große Abweichungen für eindimensionale Polymerketten ....... 101 4.3.3 Überblick über den Beweis von Satz ........................ 104 4.3.4 Brownsche Polymermaße ................................. 111 4.4 Das parabolische Anderson-Modell ............................... 112 4.4.1 Das Modell und die Fragestellungen ........................ 112 4.4.2 Momentenasymptotik für die Doppelt-Exponential-Verteilung .... 115 4.4.3 Ein „dualer“ Alternativbeweis ............................. 118 4.4.4 Fast sichere Asymptotik .................................. 120 4.4.5 Nach oben beschränkte Potenziale .......................... 123 4.4.6 Fast beschränkte Potenziale ............................... 128 4.5 Eindimensionale Irrfahrten in zufälliger Umgebung .................. 130 4.5.1 Gesetz der Großen Zahlen und Drift ........................ 131 4.5.2 Prinzip Großer Abweichungen für den Endpunkt .............. 132 4.5.3 Treffzeiten und der Beweis des Prinzips ..................... 134 4.5.4 Analyse der Ratenfunktion ................................ 136 4.5.5 Vergleich mit der gewöhnlichen Irrfahrt ..................... 138 4.6 Warteschlangen .............................................. 140 4.6.1 Begriffe und Fragestellungen .............................. 140 4.6.2 Länge der Schlange ..................................... 142 4.6.3 Ein Schalter mit vielen Quellen ............................ 146 4.7 Bose–Einstein-Kondensation .................................... 149 4.7.1 Eine kurze Geschichte ................................... 149 4.7.2 Stochastische Beschreibung der Zustandssumme .............. 150 4.7.3 Drei Umformulierungen .................................. 151 4.7.4 Zwei Variationsformeln .................................. 156 Literaturverzeichnis ................................................. 159 Stichwortverzeichnis ................................................. 163 1 Der Satz von Cramér WirbeginneninAbschn.1.1mitderBetrachtungeinerStandardsituation,dieoftvonInter- esseistundanHanddererwirindieProblematikderTheoriederGroßenAbweichungen einführen.DanngebenwirinAbschn.1.2einenkleinenEinblickdarin,vonwelcherNatur dieFragensind,diedieseTheoriebehandelt,undinAbschn.1.3gebenwireinpaareinfache Hilfsmittel.EinerstesHauptergebnis,derSatzvonCramér,wirdinAbschn.1.4vorgestellt, undeineVariantedavoninAbschn.1.5. 1.1 EineinführendesBeispiel Seien X ,X ,... unabhängige und identisch verteilte reellwertige Zufallsgrößen, deren 1 2 Varianz σ2 existiert und deren Erwartungswert E[X ] gleich Null ist. Wir betrachten die (cid:2) 1 Partialsummenfolge (Sn)n∈N mit Sn = in=1Xi und möchten ihr Verhalten für große n diskutieren.InpraktischalleneinführendenTextenüberWahrscheinlichkeitstheoriewerden diefolgendenasymptotischenAussagenbehandelt: (cid:3)(cid:4) (cid:4) (cid:5) SchwachesGesetzderGroßenZahlen: lim P (cid:4)1S (cid:4)≥(cid:3) =0fu¨rjedes(cid:3) >0, n→(cid:3) ∞ n n (cid:5) StarkesGesetzderGroßenZahlen: P lim 1S =0 =1, n→∞n n (cid:6) (cid:7) (cid:8) C e−x2/2 ZentralerGrenzwertsatz: lim P √1 S ≤C = √ dx n→∞ nσ2 n −∞ 2π fu¨rjedesC ∈R. Während diese klassischen Aussagen das „übliche“, das „normale“ Verhalten von S n beschreiben, will die Theorie der Großen Abweichungen das „untypische“, das Abwei- chungsverhalten analysieren. Genauer gesagt, einer der Hauptgegenstän(cid:9)de dieser(cid:10)Theo- rieistdieasymptotischeAnalysederWahrscheinlichkeitdesEreignisses 1S > x bzw. n n ©Der/dieHerausgeberbzw.der/dieAutor(en),exklusivlizenziertdurchSpringerNature 1 SwitzerlandAG2020 W.König,GroßeAbweichungen,MathematikKompakt, https://doi.org/10.1007/978-3-030-52778-5_1