Graphes et combinatoire

67 Pages·2011·0.628 MB·French

by  Francette Bories

UniversitØ Pierre et Marie Curie
LM 226 (2010-2011)
Francette BORIES
GRAPHES ET COMBINATOIRE
TABLE DES MATI¨RES
Notations
CHAPITRE I. COMBINATOIRE (cid:201)NUM(cid:201)RATIVE
E F
(cid:159)1. Application d’un ensemble dans un ensemble ..................... 1
(cid:159)2. Famille indexØe ........................................................4
(cid:159)3. Relation binaire .......................................................5
(cid:159)4. Principe de rØcurrence. Suites rØcurrentes, fonctions gØnØratrices .......6
(cid:159)5. Notion de cardinal. Ensembles (cid:28)nis. Ensembles dØnombrables .........12
(cid:159)6. PropriØtØs de dØnombrement des ensembles (cid:28)nis ......................15
CHAPITRE II. TH(cid:201)ORIE DES GRAPHES
(cid:159)1. Graphes simples ......................................................27
(cid:159)2. Multigraphes .........................................................31
(cid:159)3. Matrices associØes (cid:224) un graphe ....................................... 35
(cid:159)4. Sous(cid:21)graphes. Graphes couvrants .....................................37
(cid:159)5. Coloration d’un graphe ...............................................38
(cid:159)6. Cha(cid:238)nes d’un graphe ..................................................41
(cid:159)7. Graphes connexes ....................................................45
(cid:159)8. Cycles d’un graphe ...................................................48
(cid:159)9. Arbres ............................................................... 49
(cid:159)10. Graphes eulØriens ...................................................55
(cid:159)11. Graphes hamiltoniens ...............................................57
(cid:159)12. Graphes orientØs ....................................................58
NOTATIONS
Toutes les notations particuliŁres (cid:224) ce cours sont dØ(cid:28)nies dans le texte lors de
leur emploi, et ont gØnØralement une valeur locale, limitØe au paragraphe oø
elles sont employØes. Les quelques notations ayant une valeur globale (pour les
quatre tomes du cours) sont ØnumØrØes ci(cid:21)dessous.
∈ : ∈/ :
symbole d’appartenance, symbole de non appartenance.
∀ : ∃ :
quanti(cid:28)cateur universel, quanti(cid:28)cateur existentiel.
⇒ : ⇐⇒ :
implication logique, Øquivalence logique.
∪ : ∩ :
rØunion, intersection.
⊂ : ∅ :
inclusion, ensemble vide.
∃!
: abrØviation pour "il existe un seul".
P(E) E
: ensemble des parties de l’ensemble .
E \A E
: ensemble des ØlØments de l’ensemble , n’appartenant pas au sous(cid:21)
A E
ensemble de .
{x ∈ E | P} x E P
: ensemble des ØlØments de , possØdant la propriØtØ .
(cid:89)n
E ×F E En
, i, : produits cartØsiens d’ensembles.
i=1
(a ) E I
i i∈I : famille d’ØlØments d’un ensemble , indexØe par un ensemble .
(cid:88)n
a (a ) E
i: somme des ØlØments de la famille i 1≤i≤n, dans le cas oø est muni
i=1
d’une loi additive.
(cid:89)n
a (a ) E
i : produit des ØlØments de la famille i 1≤i≤n, dans le cas oø est muni
i=1
d’une loi multiplicative.
IN : ensemble des entiers naturels, ZZ : anneau des entiers relatifs.
n,p i n ≤ i ≤ p n p
: ensemble des entiers tels que (oø et sont des entiers
n ≤ p
tels que ).
Ql : corps des rationnels, IR : corps des rØels, Cl : corps des complexes.
∗ = \{0}, ∗ = \{0}, ∗ = \{0}, ∗ = \{0}, ∗ = \{0}
IN IN ZZ ZZ Ql Ql IR IR Cl Cl .
(cid:89)n
n! = i n n 0! = 1
: factorielle (pour entier naturel, avec la convention ).
(cid:195) (cid:33) i=1
n n!
= p n
:nombredeparties(cid:224) ØlØmentsd’unensemble(cid:224) ØlØments.
p p!(n−p)!
f : E −→ F
E F x E
application de dans , qui (cid:224) tout ØlØment de associe
x (cid:55)−→ y
y F
l’ØlØment de .
f−1(A) f A F
: image rØciproque par l’application de la partie de l’ensemble .
f−1 f
: applicationrØciproquedel’application ,danslecasoøelleestbijective.
g ◦f f g
: application composØe de et .
id E
E : application identitØ de l’ensemble .
(A) : A,
max plus grand ØlØment de l’ensemble ordonnØ s’il existe,
(A) : A,
min plus petit ØlØment de l’ensemble ordonnØ s’il existe.
CHAPITRE I
COMBINATOIRE (cid:201)NUM(cid:201)RATIVE
Les notions ØlØmentaires de thØorie des ensembles sont suposØes connues
n p n ≤ p,
Rappelons que, soit et des entiers, tels que on note:
n,p = {i ∈ | n ≤ i ≤ p}.
ZZ
(cid:159)1. Application d’un ensemble E dans un ensemble F
E F f E
DØ(cid:28)nition 1.1: Soit et des ensembles non vides, une application de
F x E y,
dans est la donnØe, pour tout ØlØment de d’un unique ØlØment notØ
f(x) F. y x f x
de On dit alors que est l’image de par et que est un antØcØdant
y.
de
Notation:
f : E −→ F
x (cid:55)−→ f(x)
InterprØtation au moyen d’un graphe orientØ:
E F
On reprØsente les ØlØments de et de par des points et on relie un ØlØment
x E y F x y y = f(x).
de (cid:224) un ØlØment de par une (cid:29)Łche de vers , si
Exemple:
E = {1,2,3}, F = {a,b,c,d}, f f(1) = f(2) = a, f(3) = d.
dØ(cid:28)nie par:
a
(cid:42)
1
(cid:42)
b
2
c
3
(cid:106)
d
x E f.
Remarque: Un ØlØment de a une unique image par Mais un ØlØment
y F
de peut avoir un ou plusieurs antØcØdants, ou ne pas en avoir.
DØ(cid:28)nitions 1.2:
A E, A f F :
Soit une partie de l’image de par est le sous(cid:21)ensemble de
f(A) = {y ∈ F | ∃x ∈ A : f(x) = y}.
f(E) f.
L’ensemble est notØ im
B F B f
Soit une partie de . L’image rØciproque de par est le sous(cid:21)ensemble
E :
de
f−1(B) = {x ∈ E | f(x) ∈ B}.
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DØ(cid:28)nitions 1.3:
f E F
a) On dit qu’une application de dans est injective (ou est une injection)
si:
∀x ∈ E, ∀x(cid:48) ∈ E, f(x) = f(x(cid:48)) ⇒ x = x(cid:48).
Ceci Øquivaut (cid:224)
∀x ∈ E, ∀x(cid:48) ∈ E, x (cid:54)= x(cid:48) ⇒ f(x) (cid:54)= f(x(cid:48)).
InterprØtation au moyen d’un graphe orientØ:
F
Tout ØlØment de est extrØmitØ (cid:28)nale d’au plus une (cid:29)Łche.
f E F
b) On dit qu’une application de dans est surjective (ou est une surjec-
tion) si:
∀y ∈ F, ∃x ∈ E : y = f(x).
Ceci Øquivaut (cid:224)
f = F.
im
InterprØtation au moyen d’un graphe orientØ:
F
Tout ØlØment de est extrØmitØ (cid:28)nale d’au moins une (cid:29)Łche.
f E F
c) On dit qu’une application de dans est bijective (ou est une bijection),
si elle est (cid:224) la fois injective et surjective. Ceci Øquivaut (cid:224):
∀y ∈ F, ∃!x ∈ E : y = f(x).
InterprØtation au moyen d’un graphe orientØ:
F
Tout ØlØment de est extrØmitØ (cid:28)nale d’exactement une (cid:29)Łche.
F E,
Dans ce cas, on peut dØ(cid:28)nir une application de dans appelØe application
f f−1. f−1
rØciproque de et notØe L’application est caractØrisØe par:
x = f−1(y) ⇐⇒ y = f(x).
F,
Remarque: Ne pas confondre l’image rØciproque d’une partie de qui est
f E F
dØ(cid:28)nie pour toute application de dans et l’application rØciproque de
f f
l’application qui n’est dØ(cid:28)nie que si est bijective.
ThØorŁme 1.4: (Principe de recollement)
Soit deux applications:
f : E −→ F
g : E(cid:48) −→ F(cid:48)
E E(cid:48) F F(cid:48)
oø et sont deux ensembles non vides, disjoints, et et sont deux
ensembles non vides, disjoints. On dØ(cid:28)nit l’aplication:
h : E ∪E(cid:48) −→ F ∪F(cid:48)
par:
si x ∈ E, h(x) = f(x),
si x ∈ E(cid:48), h(x) = g(x).
h f g
1) L’application est injective, si et seulement si et sont injectives.
h f g
2) L’application est surjective, si et seulement si et sont surjectives.
h f g
3) L’application est bijective, si et seulement si et sont bijectives.
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Preuve:
f g x x(cid:48) E ∪E(cid:48),
1) Supposons et injectives et soit et des ØlØments de tels que
h(x) = h(x(cid:48)).
x E x(cid:48) E(cid:48) h(x) = f(x),
Si appartient (cid:224) et appartient (cid:224) , on a qui appartient
F h(x(cid:48)) = g(x(cid:48)), F(cid:48). h(x) = h(x(cid:48))
(cid:224) et qui appartient (cid:224) La condition est alors
F F(cid:48)
contradictoire avec et disjoints.
x x(cid:48) E, f(x) = f(x(cid:48)) x x(cid:48)
Si et appartiennent (cid:224) on a et si et appartiennent (cid:224)
E(cid:48), g(x) = g(x(cid:48)). x = x(cid:48).
on a Dans les deux cas, on obtient
h
On a ainsi prouvØ que l’application est injective.
h x x(cid:48) E,
RØciproquement, supposons injective et soit et des ØlØments de tels
f(x) = f(x(cid:48)). h(x) = h(x(cid:48)), x = x(cid:48).
que On a alors donc On a ainsi prouvØ
f g
que l’application est injective. On montre de mŒme que l’application est
injective.
h h = F ∪F(cid:48).
2) L’application est surjective, si et seulement si im Or, on a:
h = f ∪ g. F F(cid:48)
im im im De plus, les ensembles et Øtant disjoints, il en est
f g.
de mŒme de leurs sous(cid:21)ensembles respectifs im et im Donc,
h = F ∪F(cid:48) ⇐⇒ ( f = F g = F(cid:48)).
im im et im
3) dØcoule de 1) et 2).
DØ(cid:28)nition 1.5: Soit des applications
f : E −→ F g : F −→ G.
et
f g g ◦f
La composØe de et , notØe est l’application:
h : E −→ G
x (cid:55)−→ g(f(x))
PropriØtØs 1.6:
La composØe de deux applications injectives est injective.
La composØe de deux applications surjectives est surjective.
La composØe de deux applications bijectives est bijective et, avec les notations
f g
de la dØ(cid:28)nition 1.5, si les applications et sont bijectives, on a:
(g◦f)−1 = f−1◦g−1.
La vØri(cid:28)cation (facile) est laissØe au lecteur.
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(cid:159)2. Famille indexØe
E I
DØ(cid:28)nition 2.1: Soit un ensemble non vide et soit un ensemble non vide,
E I
que nous appellerons ensemble d’indices, une famille de indexØe par est
une application:
ϕ : I −→ E
i (cid:55)−→ a
i
(a ) .
qui sera notØe i i∈I
(a ) ϕ = {a | i ∈ I}.
Ne pas confondre i i∈I et im i
Exemple: Soit
ϕ : {1,2,3} −→ {a,b,c,d},
ϕ(1) = ϕ(2) = a ϕ(3) = d
dØ(cid:28)nie par: , .
ϕ = (a,a,d) ϕ = {a,d}.
On a: et im
Cas particuliers:
I = , (a ) E E.
Si IN une famille n n∈IN de est appelØe suite de
I = 1,p , (a ) E, p p E
Si une famille n n∈ 1,p de est appelØe (cid:21)uplet ou (cid:21)liste de
(a ,...,a ).
et est notØe 1 p
E,
Rappel: Pour tout ensemble on admet l’existence d’un unique ensemble,
E. P(E).
dont les ØlØments sont les parties de Cet ensemble est notØ
E (A ) P(E),
DØ(cid:28)nition 2.2: Une partition de est une famille indexØe i i∈I de
telle que:
(cid:91)
A = E,
i
i∈I
∀i ∈ I, A (cid:54)= ∅,
i
(cid:92)
∀i ∈ I, ∀j ∈ I, i (cid:54)= j ⇒ A A = ∅.
i j
(E ,...,E ) p
DØ(cid:28)nition 2.3:Soit 1 p une (cid:21)listedesous(cid:21)ensemblesnonvidesd’un
E. E ,...,E ,
ensemble Onappelleproduit cartØsiendesensembles 1 p l’ensemble:
E ×···×E = {(x ,...,x ) | ∀i ∈ 1,p , x ∈ E }.
1 p 1 p i i
(cid:89)p
E ×···×E E .
L’ensemble 1 p est aussi notØ i
i=1
i 1,p , E = E, Ep
Cas particulier: Si, pour tout de i on note le produit
E ×···×E p E
cartØsien 1 p, c’est(cid:21)(cid:224)(cid:21)dire l’ensemble des (cid:21)liste de .
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(cid:159)3. Relation binaire
R E,
DØ(cid:28)nition 3.1: Une relation binaire sur un ensemble non vide, est un
E ×E.
sous(cid:21)ensemble de
(x,y) ∈ R xRy.
Notation: est notØe
InterprØtation au moyen d’un graphe orientØ:
E x E
On reprØsente les ØlØments de par des points et on relie un ØlØment de
y E x y, xRy
(cid:224) un ØlØment de par une (cid:29)Łche de vers si .
≤ {1,2,3}
Exemple: La relation sur l’ensemble d’entiers est le sous(cid:21)ensemble
{1,2,3}×{1,2,3} :
de
{(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)},
reprØsentØ par le graphe:
(cid:54)
1 3
(cid:45) (cid:45)
(cid:45) (cid:45)
2
(cid:45)
E
DØ(cid:28)nitions 3.2: Une relation binaire sur est dite:
∀x ∈ E, xRx,
rØ(cid:29)exive si:
∀(x,y) ∈ E ×E, xRy ⇒ yRx,
symØtrique si:
∀(x,y) ∈ E ×E, (xRy) (yRx) ⇒ x = y,
antisymØtrique si: et
∀(x,y,z) ∈ E ×E ×E, (xRy) (yRz) ⇒ xRz.
transitive si: et
DØ(cid:28)nitions 3.3: On appelle relation d’Øquivalence, une relation binaire, rØ-
(cid:29)exive, symØtrique et transitive.
R E. x E,
Soit une relation d’Øquivalence sur Pour tout de on appelle classe
x,
d’Øquivalence de l’ensemble
x = {y ∈ E | xRy}.
PropriØtØ 3.4:
E.
1) L’ensemble des classes d’Øquivalence est alors une partition de
E
2) RØciproquement, toute partition de dØtermine une relation d’Øquivalence.
La vØri(cid:28)cation est laissØe au lecteur, en montrant, pour la rØciproque, que, si
(A ) E, R E,
i i∈I est une partition de on dØ(cid:28)nit une relation d’Øquivalence sur
par:
∀(x,y) ∈ E ×E, xRy ⇐⇒ ∃i ∈ I : x ∈ A et y ∈ A .
i i
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DØ(cid:28)nitions 3.5:
a)Onappellerelation d’ordre,unerelationbinaire,rØ(cid:29)exive,antisymØtriqueet
transitive. Un ensemble ordonnØ est un ensemble muni d’une relation d’ordre.
E ≤ A
b)Soit unensembleordonnØ.Notons larelationd’ordre.Soit unepartie
E, A m E,
non vide de un majorant de est un ØlØment de tel que:
∀x ∈ A, x ≤ m,
A m(cid:48) E,
un minorant de est un ØlØment de tel que:
∀x ∈ A, m(cid:48) ≤ x.
A E
c) Un sous(cid:21)ensemble de admettant un majorant est dit majorØ et un
A E
sous(cid:21)ensemble de admettant un minorant est dit minorØ.
m A, m A
d) On dit que est plus grand ØlØment de si est un majorant de
A.
appartenant (cid:224) Cet ØlØment, s’il existe, est unique.
m(cid:48) A, m(cid:48) A
On dit que est plus petit ØlØment de si est un minorant de appar-
A.
tenant (cid:224) Cet ØlØment, s’il existe, est unique.
PropriØtØs 3.6: (PropriØtØs des entiers liØes (cid:224) la relation d’ordre)
1) Tout sous(cid:21)ensemble non vide, majorØ de ZZ admet un plus grand ØlØment.
2) Tout sous(cid:21)ensemble non vide, minorØ de ZZ admet un plus petit ØlØment.
3) En particulier, tout sous(cid:21)ensemble non vide de IN admet un plus petit
ØlØment.
Remarque: Un sous(cid:21)ensemble, non vide, majorØ de IR n’admet pas toujours
[1,3[
un plus grand ØlØment (contre(cid:21)exemple: ).
(cid:159)4. Principes de rØcurrence. Suites rØcurrentes, sØries gØnØratrices
R(n) n .
ThØorŁme 4.1: Soit une proposition dØpendant d’un entier de IN
R(0)
Si la proposition est vraie et si on a:
∀n ∈ , R(n) ⇒ R(n+1),
IN
n , R(n)
alors, pour tout de IN la proposition est vraie.
E n , R(n)
Preuve: Soit l’ensemble des entiers de IN tels que la proposition est
fausse.
E
Supposons que l’ensemble soit non vide. D’aprŁs la propriØtØ 3.6.3, il ad-
n . 0 E, n
mettrait un plus petit ØlØment 0 Or n’appartient pas (cid:224) donc 0 serait
n −1 . n R(n −1)
non nul et 0 appartiendrait (cid:224) IN Par dØ(cid:28)nition de 0, 0 serait
R(n ) n
vraie, donc 0 serait vraie, ce qui contredirait le fait que 0 est ØlØment de
E.
E n R(n)
On en dØduit que est vide et que, pour tout de IN, est vraie.
R(n) n .
Corollaire 1: Soit une proposition dØpendant d’un entier de IN
R(0)
Si la proposition est vraie et si on a:
(cid:179) (cid:180)
∀n ∈ , R(0) ··· R(n) ⇒ R(n+1),
IN et et
n , R(n)
alors pour tout de IN la proposition est vraie.
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R(cid:48)(n)
Preuve: Notons la proposition:
R(0) ··· R(n).
et et
On a:
R(0) ⇐⇒ R(cid:48)(0)
.
De plus, si on a:
(cid:179) (cid:180)
∀n ∈ , R(0) ··· R(n) ⇒ R(n+1),
IN et et
on a aussi:
(cid:179) (cid:180) (cid:179) (cid:180)
∀n ∈ , R(0) ··· R(n) ⇒ R(0) ··· R(n+1) ,
IN et et et et
donc on a:
∀n ∈ , R(cid:48)(n) ⇒ R(cid:48)(n+1).
IN
R(cid:48)(n).
On applique alors le thØorŁme 4.1 (cid:224) la proposition
Remarque: L’hypothŁse de ce corollaire est moins restrictive que celle du thØo-
rŁme 4.1.
R(n) n
Corollaire 2: Soit une proposition dØpendant d’un entier de IN et
q . R(q)
soit un ØlØment de IN Si la proposition est vraie et si on a:
∀n ≥ q, R(n) ⇒ R(n+1),
n q, R(n)
alors pour tout entier supØrieur ou Øgal (cid:224) la proposition est vraie.
n , Q(n) R(n+q).
Preuve: Pour tout de IN notons la proposition On applique
Q(n).
alors le thØorŁme 4.1 (cid:224) la proposition
E f
ThØorŁme et dØ(cid:28)nition 4.2: Soit un ensemble non vide et soit une
application:
f : ×E −→ E.
IN
(u ) E, u
Il existe une unique suite n n∈IN de dØ(cid:28)nie par la donnØe de 0 et la
condition:
∀n ∈ , u = f(n,u ).
IN n+1 n
Une telle suite est appelØe suite rØcurrente.
n ∗ R(n)
Preuve: Pour tout de IN , notons la proposition:
(n+1) (u ,...,u ) E,
R(n) il existe une unique (cid:21)liste 0 n de
∀k ∈ 0,n−1 , u = f(k,u ).
telle que k+1 k
On applique alors, (cid:224) cette proposition, le corollaire 2 du thØorŁme 4.1, avec
q = 1
.
u
Remarque 1: Noter l’importance du terme initial 0:
E = f(n,u ) = 2u , u = 1
Pour IN et n n le terme initial 0 dØ(cid:28)nit la suite de terme
2n, u = 0
gØnØral alors que le terme initial 0 dØ(cid:28)nit la suite constante nulle.
E
Remarque 2: Soit un ensemble non vide et soit une application:
f : ×E ×E −→ E.
IN
(u ) E, u u
On dØ(cid:28)nit de mŒme une unique suite n n∈IN de par la donnØe de 0 et 1
et par la condition:
∀n ∈ , u = f(n,u ,u ).
IN n+2 n+1 n
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(u ) ,
Corollaire et dØ(cid:28)nition 4.3: Il existe une unique suite n n∈IN de IN
dØ(cid:28)nie par:
u = 1 ∀n ∈ , u = (n+1)u .
0 et IN n+1 n
n , u n
Pour tout de IN l’ØlØment n de IN ainsi dØ(cid:28)ni est appelØ factorielle et
n!
notØe .
(cid:89)n
0! = 1 ∀n ∈ ∗, n! = i.
ConsØquences: On a: et IN
i=1
Rappels 4.4: (Suites rØcurrentes linØaires)
Les rØsultats suivants, obtenus par un raisonnement d’algŁbre linØaire, sont (cid:224)
revoir dans un cours de 1Łre annØe.
a u (u ) , u
a) Soit et 0 des rØels. La suite n n∈IN dØ(cid:28)nie par 0 et la condition
∀n ∈ , u = au ,
IN n+1 n
a pour terme gØnØral:
u = anu .
n 0
a,b,u ,u b (u ) ,
b)Soit 0 1 desrØels,telsque soitnonnul.OnconsidŁrelasuite n n∈IN
u ,u
dØ(cid:28)nie par 0 1 et la condition
∀n ∈ , u = au +bu .
IN n+2 n+1 n
On appelle Øquation caractØristique de cette suite, l’Øquation
x2 −ax−b = 0.
r
1er cas: L’Øquation caractØristique admet deux racines rØelles, distinctes 1 et
r
2
(u )
La suite n n∈IN est alors de terme gØnØral:
u = λrn +µrn,
n 1 2
λ µ
oø et sont les rØels dØterminØs par:
(cid:40)
λ + µ = u
0
λr + µr = u
1 2 1
r
2Łme cas: L’Øquation caractØristique admet une racine double
(u )
La suite n n∈IN est alors de terme gØnØral:
u = (λn+µ)rn,
n
λ µ
oø et sont les rØels dØterminØs par:
(cid:40)
µ = u
0
λr + µr = u
1