Graphentheorie in Planungs- und Tourenproblemen: am Beispiel des städtischen Straßendienstes PDF
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Lecture Notes Operations Research and Mathematical Systems Economics, Computer Science, Information and Control Edited by M. Beckmann, Providence and H. P. KOnzi, ZOrich 21 • Thomas M. Liebling Eidg. Technische Hochschule ZOrich Graphentheorie in Planungs und To urenproblemen am Beispiel des stadtischen StraBendienstes Spri nger-Verlag Berlin· Heidelberg· New York 1970 Advisory Board H. Albach A. V. Balakrishnan F. Ferschl W. Krelle . N. Wirth ISBN-13: 978-3-540-04945-6 e-ISBN-13: 978-3-642-95161-9 DOl: 10.1007/978-3-642-95161-9 This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher. © by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1970. LibraryofCongress Catalog Card Number 70-113432 Title No. 3770. Meinen Eltern Meinem hochverehrten Lehrer, Herrn Prof. Dr. F. Weinberg, sei fUr seinen standigen Beistand und sein Wohlwollen mein herzlichster Dank ausgesprochen. Ebenfalls danke ich Herrn Prof. Dr. P. Lauchli fUr das Interesse, das er mit der Uebernahme des Korreferates fUr diese Arbeit entgegengebracht hat, herzlichst. VORWORT Die vorliegende Arbeit befasst sich mit den Problemkreisen der Standortwahl und der Tourenplanung. Zwischen diesen beiden Themen besteht meist grund satzliche gegenseitige Abhangigkeit, ob sie nun in die konkrete Aufgaben stellung miteinbezogen oder willentlich von ihr ausgeklammert werde: fiir die Festlegung von wirts chaftlichen Tourenplanen beis pielsweis e zum Zwecke der Belieferung von Filialgeschaften wird man wissen mussen, wie viele Filialgeschafte zu bedienen sind und wo sie ihren Standort haben, aber auch von wie vie len Bedienungspunkten aus dies geschehen solI und wo diese letzteren gefunden werden konnen. Umgekehrt lassen sich Zahl und Standorte der an einem solchen Verteilsystem gesamthaft angeschlossenen Umschlagpunkte zweifellos durch Mitberucksichtigung der Tourenplanung neben den anderen Einflussquellen in wirtschaftlicher Sicht bestimmen. Dennoch kann der Grad dieser gegenseitigen Abhangigkeit je nach Aufgaben stellung recht unterschiedlich sein: die Wahl des genauen "Standorts" eines Flughafens innerhalb einer grosseren Region wird sich vermutlich weit weniger ausgepragt oder praktisch gar nicht auf die Wirtschaftlichkeit der internationa len "Tourenplanung" von dort beheimateten Flugzeugen einer Fluggesellschaft auswirken verglichen mit der Bedeutung des Standorts eines Lagerhauses fiir die Wirtschaftlichkeit der Tourenplanung zwecks Belieferung von Detailge- s chaften von dort aus, weil im ersteren FaIle die beiden Problem -Kreis e von anderen, unabhangigen Einflus sfaktoren dominierenden Charakters tiber schattet werden. Beide erwahnten Aufgabentypen: Standortwahl und Festlegung von Bedienungs touren sind vom Standpunkt des Operations Research aus gesehen anspruchs voll und nicht ohne weiteres losbar. Die mathematische Behandlungsschwierig keit steigt mit dem Grade der Berucksichtigung der gegenseitigen Abhangigkeit. Bei der Problemstellung der vorliegenden Arbeit ist diese gegenseitige Ab hangigkeit beider Aufgabentypen nun aber praktisch maximal: es handelt sich urn die Bestimmung einer vorerst noch unbekannten Anzahl betrieblicher Standorte mit dem Ziele der Ermoglichung besonders gut konzipierter Touren, - VIII - wobei die Touren nicht eine beschrankte, sondern eine unendliche Menge von zu bedienenden Punlden zu verbinden haben. Tatsachlich ist bei der Strassen reinigung ja jeder Quadratzentimeter des offentlichen Verkehrsgrunds zu bedienender Punkt und die Absolvierung von Touren ist in diesem Faile nicht Hilfsmittel der Kommunikation zwis chen vorges chriebenen oder wahlbaren diskreten Punkten, sondern Selbstzweck, indem die Mission der Tour durch Vollzug derselben gewissermassen auch schon erfUilt ist. Ziel dieser am Institut fUr Operations Research der ETH durchgeftihrten Arbeit war die Vermittlung von Entscheidungsgrundlagen fUr das Tiefbauamt der Stadt Zurich, das im Zusammenhang mit der ihm unter anderen ubertra genen Aufgabe der Strassenreinigung und - im Winter - der Schneeraumung vor wichtigen Ents chlussen steht. Der Verfasser nimmt eine sehr zweckmassige Aufteilung dieses ausserordent lich komplexen Problems vor: in einer ersten Phase der Grobplanung wird die Stadt in Gebiete aufgespalten, die arbeitsmassig einigermassen ausgegli chen sind und fUr die zweite Phase der Feinplanung (Tourenfestlegung) keine unliebsamen Ueberraschungen mehr erwarten lassen. Das Problem der Grobplanung besteht in der Aufteilung eines ebenen Gebiets in eine minimale Anzahl Teilgebiete unter Einhaltung von FUi.chenintegral Restriktionen. Dieses allerdings nur in Spezialfallen geschlossen los bare Problem geht diskretisiert in jenes der Aufteilung eines Graphen in Unter graphen uber, welch letzteres der Autor mit Hilfe einer ingeniosen heuristi schen Methode behandelt. Das zur Feinplanung gehorende Tourenplanungsproblem ist bekanntlich so strukturiert, dass meist ein Verfahren der vollstandigen Enumeration heran gezogen werden muss, wobei die Unannehmlichkeit des exponentiell mit dem Problemumfang wachsenden Rechenaufwands in Kauf zu nehmen ist. Diese Schwierigkeiten umgeht der Verfasser, indem er zunachst Teilaufgaben des Euler'schen Typus formuliert, ihren Zusammenhang mit Hamilton- und Transportproblemen herausarbeitet und solcherart die Grundlage fUr die Formulierung einer leicht losbaren Aufgabe der dynamischen Programmierung fUr die endgultige Festlegung der Standorte und Touren schafft. - IX - Der Autor hat mit seiner Studie eine theoretisch und praktisch gleichermassen wertvolle Leistung erbracht und seine Methoden werden zweifellos bei gleich artigen Aufgaben auch in anderen Stadten nutzbringenden Einsatz finden. Dane ben aber sind diese Methoden auf ein ausserordentlich breites Feld verwandter Probleme ubertragbar, so dass der Arbeit erheblich grossere Bedeutung zu kommt als der ursprungliche Anwendungszweck zunachst vermuten lasst. Darum wunsche ich dieser schonen Abhandlung das weite Interesse, das sie verdient. Prof. Dr. F. Weinberg Direktor des Instituts fUr Operations Research der ETH This work deals with some problems that arise during planning the street cleaning and snow clearing of a city such as Zurich. The problems are approached in two phases; 1. ~?!l~!t_p!a::~i!1~~ splitting up the city into regions such that each can be served by one team of workers, 2. ~~~ J~.l~~~~ ~ planning the cleaning tours, garage locations etc. for each team and region. The first phase consists of dividing a region on a plane into as few connected sub-regions as possible. Certain restrictions have to be observed to allow for the different cleaning periodicities of the streets and the limited work capacity of the cleaning teams. The exact solution of this problem is possible in some simple cases. In others, the problem is discretized by first splitting the entire region into a number of small cells and then joining these cells to form the sub-regions. A heuristic algorithm has been developed that does not guarantee the optimal solution - as would the corresponding non-linear integer programming model - but which yields sufficiently good solutions efficiently. In the second phase, a family of "Euler-problems" related to the chinese postman's problem arose and relationships that exist between these, the travelling salesman and the transportation problem were found and utilized. Dynamic programming was applied to sub-problems in order to find "good" tours, garage locations and machines. The sub-problems were generated by simulating Euler-cycles on Euler-graphs obtained from the above. The resulting algorithms were programmed. Data was collected for the city of Zurich; in particular, the topological connections and dimensions of every pavement and road were determined and stored on magnetic tape. This data bank has other uses for purposes such as city planning, traffic control, postal distribution, etc .. INHALTSVERZEICHNIS 0.1. Vorwort 5 0.2. Zus ammenfas sung 6 1. Einige Begriffe aus der Graphentheorie 9 1.1. Einleitung 9 1. 2. Definition en 10 1. 3. Graphen und Abbildungen 18 1. 4. Funktionen auf Graphen 20 1. 5. Matrizendarstellung von Graphen und Funktionen darauf 22 2. Euler-Graphen, -Zyklen und -Kreise 24 2. 1 . Begriffe und Einleitung 24 2.2. Anzahl verschiedener Eule r-Kreise und -Zyklen eines 25 -Graphen 2.3. Erzeugung eines Euler-Zyklus auf einem Euler-Graphen mit 27 Hilfe eines Zufallsmechanismus (Irrgang) 3. Probleme des chines is chen Brieftriigers 32 3. 1 . Einleitung 32 3.2. Erstes Problem: Fall eines einzigen zusammenhiingenden Unter- 32 graphen 3. 3. Zweites Problem: Fall mehrerer je zusammenhiingender 38 Komponenten 3.4. Diskussion 42 - 3 - 4. Optimale Bedeckung eines Euler-Graphen, unter Einhaltung 42 gewisser Restriktionen 4.1. Problemstellung 42 4.2. Diskussion 44 4.3. Heuristis ches Losungsverfahren 47 4.4. Beispiel 50 5. Restriktionen fUr die Planung periodisch wiederkehrender 54 Tiitigkeiten, z. B. Strassenreinigung 5.1. Einleitung 54 5.2. Erster Fall 54 5.3. Zweiter Fall 59 5.4. Dritter Fall 61 5.5. Schlussfolgerungen 62 5.6. Reinigungsdichten und Umformung der Restriktionen 63 6. Zerschneidung einer ebenen Figur, unter Einhaltung gewisser 64 Restriktionen 6. 1 . Einleitung 64 6.2. Problemstellung 65 6.3. Diskussion 66 7. Optimale Aufteilung eines Graphen, unter Einhaltung gewisser 70 Restriktionen 7.1. Einleitung 70 7.2. Problemstellung 71 7.3. Diskussion 72 7.4. Formulierung des Problems durch ein Modell der ganzzahligen 74 Programmierung 7.5. Heuristisches Losungsverfahren 76
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