Graphen Algorithmen Netze: Grundlagen und Anwendungen in der Nachrichtentechnik PDF
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Firoz Kaderali Werner Poguntke Graphen Algorithmen Netze Moderne KODlDlllnikationstechnik Herausgegeben von Prof. Dr.-Ing. Firoz Kaderali, Hagen DatenkoDlDlllnikation von Dieter Conrads Digitale KODlDlunikationstechnik I von Firoz Kaderali Digitale KODlDlllnikationstechnik II von Firoz Kaderali Graphen · Algorithmen · Netze von Firoz Kaderali und Werner Poguntke Firoz Kaderali Werner Poguntke Graphen Algorithmen Netze Grnndlagen nnd Anwendnngen in der Nachrichtentechnik I I Vlewag Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Kaderali, Firoz: Graphen, Algorithmen, Netze: Grundlagen und Anwendungen in der Nachrichtentechnik I Firoz Kaderali; Werner Poguntke. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1995 (Moderne Kommunikationstechnik) NE: Poguntke, Werner: Aile Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweigIWiesbaden, 1995 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschtitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheber(echtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzuliissig und strafbar. Das gilt ins besondere ftir Vervielfiiltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf siiurefreiem Papier ISBN-13 :978-3-528-06662-8 e-ISBN -13 :978-3-322-89870-8 DOl: 10.1007/978-3-322-89870-8 5 Vorwort Die Graphentheorie ist heute ein wichtiges Hilfsmittel beim Studium komplexer Probleme in verschiedenen Wissenschaften wie auch in direkten Anwendungsberei chen. Der universelle Charakter der Graphentheorie hat seinen Ursprung in der Einfachheit der Struktur von Graphen: die Konzepte und Ergebnisse der Graphentheorie sind immer dann anwendbar, wenn ein System zu modellieren ist, in dem Paare von Ob jekten in einer Beziehung stehen konnen. Die strukturelle Einfachheit (und damit auch Anschaulichkeit) zusammen mit dem interdiszipliniiren Charakter geben der Graphentheorie viel von ihrem besonderen Reiz. Bei einer Modellierung durch Graphen bleiben natiirlich stets (mitunter wichtige) Aspekte des zu untersuchenden Systems unberiicksichtigt, weshalb die erzielten Ergebnisse mit Zuriickhaltung in terpretiert werden miissen. Dies diirfte besonders fii.r sozialwissenschaftlicheAnwen dung en der Graphentheorie zutreffen. Historisch hat die Graphentheorie viele Urspriinge, die oft auf Riitsel oder Spiele zuriickzufiihren sind. Viele Konzepte und Ergebnisse sind dabei mehrfach einge ffihrt bzw. erzielt worden. Einige markante Stationen sollen hier aufgeruhrt werden: 1737 Euler lost das Konigsberger Briickenproblem. 1847 Kirchhoff verwendet graphentheoretische Ubedegungen zur Analyse elek trischer Netzwerke. 1852 Guthrie wirft gegeniiber deMorgen die Vierfarbenvermutung als Problem auf, das 1878179 von Cayley noch einmal offentlich gestellt wird. 1857 Cayley untersucht die Isomeren gesiittigter Kohlenwasserstoffe und be stimmt die Anzahl der Geriiste vollstiindiger Graphen. 1859 Hamilton erfindet ein Spiel, bei dem entlang der Kanten eines reguliiren Dodekaeders eine geschlossene Linie zu finden ist, die jede Ecke genau einmal beriihrt. 1890 Heawood beweist, daB jeder planare Graph 5-flirbbar ist. 1927 Menger beweist, daB in jedem zusammenhiingenden Graphen die Min destanzahl von Ecken, deren Wegnahme zwei nicht benachbarte Punkte unverbindbar macht, gleich der Maximalzahl eckendisjunkter Wege zwi schen diesen Punkten ist. 1930 Kuratowski beweist, daB ein Graph genau dann planar ist, wenn er bis auf Homoomorphie Ks oder K3,3 nicht als Teilgraphen enthiilt. 1936 Das erste Buch iiber Graphentheorie erscheint in Leipzig: D. Konig, Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. 6 VOlwort Hier wollen wir die Aufziihlung abbrechen. Die folgende Zeit ist gekennzeichnet durch das Eindringen der Graphentheorie in immer mehr Anwendungsbereiche, auf der anderen Seite durch eine intensive innermathematische Entwicklung der Graphentheorie selbst. Dabei bestimrnt neben den Anstossen von auBen zunehmend auch eine innermathematische Dynamik diese Entwicklung. Besonders stiirmisch wurde die Entwicklung der Graphentheorie in den letzten drei Jahrzehnten durch die Verfugbarkeit immer leistungsfahigerer Rechner. Wie allgemein fUr die Kombinatorische Optimierung gilt insbesondere fUr die Graphentheorie, daB viele Probleme praktisch losbar wurden, nachdem sie vorher wegen der groBen Anzahl durchzufUhrender Rechenoperationen nicht in vertretba rer Zeit bearbeitet werden konnten. Viele dieser Probleme kommen aus Operations Research oder Informatik. Eine neuere Station in der Entwicklung der Graphentheorie muB allerdings noch herausgehoben werden: im Jahre 1976 bewiesen Appel und Haken die Richtigkeit der Vierfarbenvermutung, die mehr als hundert Jahre lang als einfachstes und zu gleich faszinierendstes ungelostes Problem der Mathematik gegolten hatte. Bri sant an dem Beweis ist, daB zur Untersuchung einer groBen Anzahl gleichartiger Faile die Hilfe eines Computers in Anspruch genommen wurde und es fUr Men schen praktisch kaum moglich ist, diese Faile einzeln (ohne Hilfe eines Rechners) nachzupriifen. 1m vorliegenden Buch, welches sich an einen Kurs der FernUniversitiit Hagen an lehnt, ist die Auswahl des gebotenen Stoffes unter dem Aspekt der Anwendungen in der Elektrotechnik erfolgt. Dies konnte nur eine grobe Leitlinie sein, denn schon die Einordnung des Stoffes in das "Gebiiude" der Graphentheorie verlangt auch ein Eingehen auf nicht unmittelbar praxisrelevante Bereiche. Methodisch wird der Stoff vorwiegend yom algorithmischen Standpunkt her entwickelt. Fur ein solches Vorgehen ist ein kurzes Eingehen auf die Theorie der Algorithmen, wie sie in Logik und Theoretischer Informatik betrieben wird, notig. Der erste Teil des Buches hat neben der Vermittlung der grundlegenden Begriffe der Graphentheorie das Herstellen eines Grundverstiindnisses fur die Theorie der Algorithmen zum Inhalt. Ferner werden einige der "klassischen" Graphen algorithmen behandelt (z.B. zur Bestimmung kiirzester Wege), die in verschieden sten Anwendungen eine Rolle spielen. Der mit Kapitel 8 beginnende zweite Teil ist einigen speziellen Anwendungen der Graphentheorie in der Elektrotechnik gewidmet. Es werden folgende Themen behandelt: Wegeauswahl in Netzen - ZuverHissigkeit von Netzen - Chip-Design Vorwort 7 Die ersten beiden sind Themen, die der ,,modemen" Nachrichtentechnik mit groBer Niihe zur Informatik zugerechnet werden. Das Zusammenwachsen von Kom munikations- und Informationstechnik spiegelt sich hier darin, daB die betrachteten ,,Netze" sowohl Femsprech-wie Datennetze sein konnen. Auch das dritte Thema liegt im Uberschneidungsbereieh von Diskreter Mathematik, Informatik und Elektrotechnik. Die Probleme des "VLSI-Layout" sind in den letzten Jahren zu einem wichtigen Anwendungsbereieh der Graphentheorie geworden. . Weitere, eher ,,klassische" Anwendungen der Graphentheorie in der Elektrotechnik (z. B. bei der Netzwerkanalyse und -synthese) konnten wir nicht berucksichtigen. Die behandelten mathematischen Slitze werden in der Regel vollstlindig bewiesen. Es gibt zwei Ausnahmen von dieser Regel: Handelt es sich urn einen Satz mit einem technisch komplizierten Beweis, so daB der groBe Aufwand des Beweises zu der Be deutung des Satzes fUr dieses Buch in einem MiBverhliltnis steht, so wird nur die Beweisidee angedeutet. Geht es gar urn einen Satz, der eigentlich nieht zu dem be handelten Stoff gehOrt, sondem mehr dem Ausblick auf angrenzende Bereiche der Graphentheorie dient, so ist der Beweis ganz weggelassen. An Voraussetzungen fiir das Studium des Buches sind notig die Vertrautheit mit der Mengensprache sowie Kenntnis der Grundlagen der Linearen Algebra (einschlieB lich des Umgangs mit Matrizen). Die wiehtigsten Begriffe aus diesen Bereichen sind - sozusagen zur Erinnerung - in Anhlingen kurz erlliutert. Das Literaturverzeichnis fiihrt die bei der Erstellung des Textes verwendete Literatur sowie einige weitere Bucher auf, die anzusehen fur einen Leser sicher lohnend ist. Es erhebt jedoch nicht den Anspruch, eine vollstlindige Bibliographie des Gebietes der Graphentheorie zu sein, eine solche ware wesentlich umfangreicher. Fur die ersten Kapitel wurden auch die Unterlagen zu Vorlesungen verwendet, die - jeweils an der Technischen Hochschule Darmstadt - yom ersten Autor zusammen mit Prof. Dr. P. Burmeister im Jahre 1975 und yom zweiten Autor im Jahre 1982 gehal ten wurden. An der Fertigstellung des Textes und der Erstellung der Bilder waren verschiedene Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter des Lehrgebiets Kommunikationssysteme der FemUniversitat Hagen beteiligt. Besonders zu danken ist Ulrike Welzel und Dr. Hel ge Winterstein fUr die Unterstutzung bei der Erstellung der Pascal-Programme sowie Jorg Heck fUr die endgiiltige Fertigstellung der druckreifen Fassung. 8 Inhalt 1 Gnmdbegrift'e 1.1 Pseudographen, Multigraphen, Graphen ................................................ 10 12 Wege, Kreise, Zusammenhang .......................................................... ..... 21 1.3 Kreise und Schnitte ........ .................................. ........... ........................... 35 2 DarsteIlung von Graphen 2.1 Diagramme und Planaritat .. .................... ................................................. 49 22 Matrizen .................................................................................................. 55 33 Weitere Matrizen und deren Eigenschaften ............................................ 64 3 Algorithmen 3.1 Das Erkennen und Suchen von Baumen ................................................ /U 32 Algorithmen und deren Komplexitat ....................................................... 74 33 Weitere Algorithmen und Begriffe .......................................................... 83 4 PSeud~phen 4.1 Grundbegriffe .......................................................................................... 92 42 Multidigraphen und Matrizen ................................................................. 104 5. Bewertungen 5.1 Ecken-, Kanten-und Bogenbewertungen ............................................... 121 52 Die algebraische Struktur von Bewertungen .. ........................................ 124 6 Kiirzeste Wege und minimale Geriiste 6.1 Kiirzeste Wege ........ ........................................ ....... ...................... .......... 138 62 Minimale Gertiste .................................................................................... 100 7 Fliisse 7.1 Einfiihrung .............................................................................................. 174 72 Die Satze von Ford und Fulkerson ......................................................... 180 73 Der Satz von Edmonds und Karp ............................................................ 193 7.4 Eine kombinatorische Anwendung: Der Satz von Menger ..................... 198 75 Weitere kombinatorische Anwendungen ........................................ ....... 201 7.6 Zullissige Fliisse und Zirkulationen ....................................................... 'lfJ) 7.7 Synthese minimaler Netze ....................................................................... 219 8 Wegeauswahl in Netzen 8.1 Das Problem der Wegeauswahl in Kommunikationsnetzen .................... 232 82 Algorithmen zur Bestimmung kiirzester Wege ........................................ 240 83 Das Stabilitatsproblem bei der Nutzung kiirzester Wege ........................ 259 8.4 Zur Ubertragung von Routing-Informationen ........................................ 268 Inhalt 9 8.5 Das Routing im ARPANET und im TYMNET ....... ...... .... ... ... ...... ....... ..... Tl6 8.6 Das Routing im Zeichengabesystem Nr. 7 ...... , ... ......... ......... ... .......... ..... 282 8.7 Optimales Routing. ........... ....... ..... ........ ... ..... ...... ......... ... ... ...... .... .... ....... 30) 9 Zuverlassigkeit von Netzen 9.1 EinfUhrung ...... .... ........ .......... ................ ..... ...... ..... ...... ....... ................. .... 3(1.) 9.2 Der Zusammenhang von Zufallsgraphen ............................................... 312 9.3 ZuverlassigkeitsmaBe und -polynome ................. ,. .............. ,. ................. 322 9.4 Zur Komplexitat des Zuverlassigkeitsproblems .. ... ... ... ... ....... ...... ....... .... 334 9.5 Abschatzungen fUr das Zuverlassigkeitspolynom .. ...... ....... ....... ...... ..... 345 9.6 Routing und Zuverlassigkeit . ..... ...... ... ... ..... ........... ...... ... ... .... ....... ......... 359 9.7 Synthese extremaler Netze . ....... .... ..... ... ..... ....... ............... .... ... .... ... ......... 378 10 Einige graphentheoretische Aspekte des VLSI-Layout 10.1 Programmierbare Logikfelder (PLA) ....... ..... ....... ...... .... ...... .......... ....... .... 388 10.2 AIternierende Kreise in gemischten Graphen ......................................... 402 10.3 Das Matrix-Permutationsproblem ........................................................... 416 10.4 Fiirbungen, Cliquen und Intervallgraphen .............................................. 419 10.5 Zur Sauberung von Baumen ... ...... ...... ...... ..... ....... ............ ........... ........... 433 A Verwendete Begriffe und Symbole aus der MengenJehre .......... ...... ..... 443 B Erliiuterung der verwendeten Begriffe aus der Linearen Algebra .. ..... 446 C Erlauterung der verwendeten Begriffe aus der Theorie der Matrizen . ... .... ... ... ..... ............ ....... ..... ...... ...... .... ... ............... 450 D Pascal-Programme zu den Algorithmen von Dijkstra und von Kruskal .. ..... ..... ....... ...... ... ............. ..... ...... ...... ....... .... ... ... .......... 453 E Pascal-Programm zorn Algorithmus von Ford und Fulkerson .. .... ... ..... ....... ....... ...... ..... ..... ........ ...... ............. ...... ... ........ 463 F Boolesche Ausdriicke .. ....... ..... ... ..... ..... ....... ........... ...... ............. .... ... ..... 470 G Geriiste eines Graphen .. ............ ...... ....... ..... ........ ..... .... ... ...... .......... ...... 478 H Ein Pascal-Programm zur Berechnung des Zuverlassigkeitspolynoms... .... ........ ... ......... ....... ...... ....... ...... .......... ...... 483 I LOsungen zu den Aufgaben . ..... ....... .... ........ ..... ...... ...... .......... ....... ... ... ... 487 Literaturverzeichnis .. .... ...... ........ ..... ..... ....... .......... ....... ...... .......... ....... ... ... ......... 516 Sachregister .. .... ... ...... ...... ...... ...... ..... ...... ..... ........ ...... ... ........ ....... ... ....... .... ... ..... 525 1. Grundbegriffe 1.1 Pseudographen, Multigraphen, Graphen 1.1.1 Ein Pseudograph ist ein Tripel P == (E, K, v) bestehend aus einer Eckenmenge E, einer Kantenmenge K und einer (Inzidenz-) Abbildung v: K -t {{x, y}lx, y E E}. Die Elemente von E heiBen Ecken, die von K K anten. 1st k E K mit v( k) = {x, y}, so heiBen x und y die Endecken von k. ( Man sagt auch: x und y inzidieren mit k bzw. k inzidiert mit x und y.) Es werden im folgenden nur endliche Pseudograph en (d. h. E und K sind endliche Mengen) betrachtet. Einen endlichen Pseudographen kann man sich stets durch ein Diagramm veranschaulichen: die Ecken werden durch Punkte der Zeichenebene dargestellt, die Kanten als Linien, die die Endecken der Kante verbinden. 1.1.2 Beispiel = = Der Pseudograph P mit E {el,e2,e3}, K {k1,k2,k3,k4} und v(kd = = = = V(k2) {el,e3}, V(k3) {el,e2},v(k4) {e2} wird durchjedes der beiden folgenden Diagramme dargestellt:
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