Gitter und Codes

84 Pages·0.509 MB·German

by  Gabriele Nebe, M. Künzer

Gitter und Codes
SS 2007
Prof. Dr. G. Nebe, Dr. M. Ku˜nzer
In dieser Vorlesung werden Grundlagen, sch˜one Beispiele und Ergebnisse der kombinato-
rischen und geometrischen Theorie von Gittern und einige Analoga fu˜r Codes vorgestellt.
Nicht behandelt werden arithmetische und algebraische Theorie quadratischer Formen, siehe
z.B. Scharlau oder Kneser.
Inhaltsverzeichnis
1 Gitter. 3
1.1 Wurzelgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Codes. 10
2.1 Hamming Codes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Von Codes zu Gittern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Wurzelgitter als Codegitter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Der LLL-Algorithmus und Anwendungen. 17
4 Dichte Kugelpackungen. 22
4.1 Der Beweis der Voronoischen Charakterisierung extremer Gitter. . . . . . . . 26
5 Der Voronoi Algorithmus zur Bestimmung aller perfekter Gitter. 31
6 Stark perfekte Gitter und sph˜arische Designs. 40
6.1 Harmonische Polynome und die orthogonale Gruppe. . . . . . . . . . . . . . 40
6.2 Sph˜arische Designs und stark perfekte Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.3 Designs und Wurzelgitter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.4 Klassiflkation stark perfekter Gitter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.4.1 Die stark perfekten Gitter in Dimension 7 . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4.2 Die stark perfekten Gitter in Dimension 8 . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Extremale selbstduale Codes und Blockdesigns. 56
7.1 Gewichtsz˜ahler von Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1
7.2 Bin˜are Codes und Blockdesigns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3 Extremale Codes und Blockdesigns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.4 Der bin˜are Golay Code und das Leech Gitter. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8 Thetareihen von Gittern. 68
8.1 Extremale gerade unimodulare Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.2 Theta Reihen mit harmonischen Koe–zienten und Designs. . . . . . . . . . . 73
8.3 Die Klassiflkation der 24-dimensionalen geraden unimodularen Gitter . . . . 75
8.4 Eindeutigkeit des Leech Gitters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.5 Ungerade unimodulare Gitter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Literatur:
W. Ebeling, Lattices and Codes, Vieweg
J. Martinet, Perfect lattices in euclidean spaces, Springer
Conway, Sloane, Sphere packings, lattices and groups, Springer
H. Cohen, A course in computational algebraic number theory, Springer
W. Scharlau, Quadratic and Hermitian forms, Springer
M, Kneser, Quadratische Formen, Springer
B. Venkov, R¶eseaux et designs sph¶eriques, L’enseignement math¶ematique. Monographie 37,
Gen(cid:181)eve 2001, S. 10-86.
2
I Grundlagen
1 Gitter.
Wir betrachten einen euklidischen Vektorraum E = (V;(;)) meist E = (R1£n;(;)). Unsere
Vektoren sind Zeilenvektoren.
Deflnition 1.1 (i) Eine Teilmenge L V hei…t Gitter , falls es ein linear unabh˜angiges
‰
Tupel B = (b ;:::;b ) Vm gibt, mit
1 m
2
m
L = b1;:::;bm Z = aibi ai Z :
h i f j 2 g
Xi=1
B hei…t dann auch eine Gitterbasis von L und m = dim(L) die Dimension von L. L hei…t
volles Gitter in E, falls dim(L) = dim(V), also B eine Basis von V ist.
(ii) Ist B Vm eine Gitterbasis von L und (B) := ((bi;bj)) Rm£m die Grammatrix von
2 G 2
B, so hei…t
det(L) := det( (B))
G
die Determinante des Gitters L. (B) nennt man auch eine Grammatrix von L.
G
Beispiele auf Folie: hexagonales und quadratisches Gitter, Gitterbasen und Grammatrizen.
Zugeh˜orige Kugelpackung. Keplerpackung und kubisch (cid:176)˜achenzentriertes Gitter.
Bemerkung 1.2 Sei L ein Gitter in V und B Vm eine Gitterbasis.
2
(a) L ist ein volles Gitter in dem von ihm erzeugten Vektorraum RL := B R.
h i
(b) C Vm ist Gitterbasis von L genau dann wenn C R = B R und die Basiswechselmatrix
2 h i h i
T := C idB GLm(Z) ist. Dann gilt (C) = T (B)Ttr. Insbesondere ist det( (C)) =
2 G G G
det( (B)) und die Determinante von L ist wohldeflniert.
G
(c) Ist L ein volles Gitter, so ist det(L) = vol(V=L) das Volumen des von einer Gitterbasis
B aufgespannten ParallelepipedspP(B) := a b 0 i 1 .
i i
f j • • g
(d) Ist L ein volles Gitter, so ist P(B) einPFundamentalbereich der Operation von L auf V,
d.h.
(i) P(B) ist abgeschlossen.
(ii) Fu˜r alle v V gibt es ein ‘ L mit ‘ + v P(B). (iii) Sind v = w P(B) so dass
2 2 2 6 2
v w L liegt, dann liegen v und w auf dem Rand von P(B).
¡ 2
Bemerkung 1.3 Sei L ein volles Gitter in E = (V;(;)) mit Gitterbasis B. Dann ist
L# := v V (v;‘) Z fu˜r alle ‘ L
f 2 j 2 2 g
ebenfalls ein volles Gitter in E, das zu L duale Gitter. Die Dualbasis B = (b ;:::;b ) von
⁄ ⁄1 ⁄n
B ist eine Gitterbasis von L#.
3
Es gilt (B) (B ) = I , det(L#)det(L) = 1.
⁄ n
G G
Ist L L#, so nennt man das Gitter L auch ganz. Dann ist die Faktorgruppe L#=L
‰
eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung det(L). Es gilt B (B) Ln und (B) ist
⁄
G 2 G
eine Relationenmatrix von L#=L. Sind (d ;:::;d ) die Invariantenteiler von (B), so ist
1 n
G
L#=L »= Z=d1Z ::: Z=dnZ.
' '
Beweis. Sei v V. Dann ist
2
(‘;v) 2 Z fu˜r alle ‘ 2 L , ai := (bi;v) 2 Z fu˜r alle 1 • i • n , v = aib⁄i 2 hb⁄1;:::;b⁄niZ:
X
Also ist das duale Gitter L# genau das von der dualen Basis erzeugte Gitter. Weiter ist
id = (B) die Basiswechselmatrix, d.h. B (B) = B. Damit ist (B) die Relationen-
B⁄ B ⁄
G G G
matrix von L#=L und det( (B)) = L#=L . Die Elementarteiler von (B) Zn£n geben
G j j G 2
uns die Struktur der endlichen abelschen Gruppe L#=L an. ⁄
Deflnition 1.4 Seien L und L volle Gitter in E.
0
(a) L und L hei…en isometrisch, falls es ein g O(E) gibt, mit Lg = L .
0 0
2
(b) Aut(L) := g O(E) Lg = L hei…t die Automorphismengruppe von L.
f 2 j g
Bemerkung 1.5 (a) Zwei Gitter L und L sind isometrisch, genau dann wenn es Gitterba-
0
sen B und B gibt, mit (B) = (B ). \Sie haben gleiche Grammatrizen". Ein Gitter L ist
0 0
G G
also bis auf Isometrie bestimme durch jede seiner Grammatrizen. Umgekehrt bestimmt ein
Gitter L eine GLn(Z)-Bahn g (B)gtr g GLn(Z) von Grammatrizen.
f G j 2 g
(b) Ist B eine Gitterbasis von L, so ist BAut(L)B = g GLn(Z) g (B)gtr = (B) .
f 2 j G G g
2 1
Beispiel: Aut(A2). Das hexagonale Gitter hat Grammatrix G((b1;b2)) = (cid:181) 1 2 ¶.
tr
a b a b 2 1 a b 2 1
BAut(A2)B = f(cid:181) c d ¶ 2 Z2£2 j (cid:181) c d ¶(cid:181) 1 2 ¶(cid:181) c d ¶ = (cid:181) 1 2 ¶g:
Die Bilder (b g = ab +bb ;b g = cb +db ) unter den Automorphismen g durchlaufen genau
1 1 2 2 1 2
die 12 Paare (c ;c ) von Gittervektoren, mit (c ;c ) = 2;(c ;c ) = 1;(c ;c ) = 2.
1 2 1 1 1 2 2 2
Algorithmus 1.6 Das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren:
Eingabe: Eine Basis (b ;:::;b ) von V.
1 n
Ausgabe: Eine Orthogonalbasis B0 := (b01;:::;b0n) von E mit hb1;:::;biiR = hb01;:::;b0iiR fu˜r
alle i.
Algorithmus: Fu˜r i = 1;:::;n berechne sukzessive
i 1
¡
b := b „ b
0i i ¡ ij 0j
Xj=1
wo „ = (bi;b0j).
ij (b0;b0)
j j
4
Bemerkung 1.7 b ist die Projektion von b auf b ;:::;b .
Die von B und B 0ierzeugten Gitter haben diie glehic1he Detei¡r1mi?inante, n˜amlich n (b ;b ).
0 j=1 0j 0j
Da (b0j;b0j) • (bj;bj) ist, ergibt sich die folgende Hadamard Ungleichung. Q
Ende am 3.4.07
Folgerung 1.8 Die Hadamard Ungleichung:
Ist B := (b ;:::;b ) eine Gitterbasis von L, so ist det(L) n (b ;b ).
1 n • j=1 j j
Q
Beweis. Sei B die in Algorithmus 1.6 berechnete Orthogonalbasis und
0
1 0 ::: 0
0 „ 1 ::: 0 1
21
M := B ... ... ... ... C
B C
B „ ::: „ 1 C
n1 n;n 1
@ ¡ A
Dann ist det(M) = 1 und MB = B. Also ist (B) = M (B )Mtr und daher
0 0
G G
n n
det(L) = det( (B)) = det( (B )) = (b ;b ) (b ;b ):
G G 0 0i 0i • i i
Yi=1 Yi=1
⁄
Satz 1.9 L := v L (v;v) S ist endlich.
S
• f 2 j • g
Beweis. Sei B eine Gitterbasis von L und B ;„ wie in 1.6.
0 ij
Ist v = nj=1ajbj 2 L, so ist v = nj=1fijb0j mit fij 2 R,
fin = anP, fin 1 = an 1 „n;n 1an,P:::
¡ ¡ ¡ ¡
Aus
n
(v;v) = fi2(b ;b ) S
j 0j 0j •
Xj=1
folgt insbesondere a2n(b0n;b0n) • S. Also hat man nur endlich viele M˜oglichkeiten fu˜r an 2 Z.
Allgemein gilt
n n
fi2(b ;b ) = (a „ a )2(b ;b ) S fi2(b ;b )
j 0j 0j j ¡ i;j i 0j 0j • ¡ i 0i 0i
i=Xj+1 i=Xj+1
woraus man sukzessiv nur endlich viele M˜oglichkeiten fu˜r aj Z, j = n;n 1;:::;1 erh˜alt.
2 ¡
⁄
Folgerung 1.10 Aut(L) ist eine endliche Gruppe.
Beweis. Sei B = (b ;:::;b ) eine Gitterbasis von L und S := max (b ;b ) 1 i n . Ist
1 n i i
f j • • g
g Aut(L), so ist g eindeutig bestimmt durch die Bilder der Basisvektoren (b g;:::;b g)
1 n
2 2
Ln . Also gilt Aut(L) L n. ⁄
•S j j • j •Sj
5
1.1 Wurzelgitter
Deflnition 1.11 Ein ganzes Gitter L hei…t Wurzelgitter, falls L = ‘ L (‘;‘) = 2 Z.
hf 2 j gi
L = R(L) := ‘ L (‘;‘) = 2 hei…t die Menge der Wurzeln in L.
=2
f 2 j g
Bemerkung 1.12 Ist L ein ganzes Gitter und ‘ L mit (‘;‘) = 2, so ist die Spiegelung (cid:190)
‘
2
entlang ‘ deflniert durch
(v;‘)
v(cid:190) := v 2 ‘ = v (v;‘)‘
‘
¡ (‘;‘) ¡
fu˜r alle v V eine orthogonale Abbildung die L festl˜asst, also (cid:190) Aut(L).
‘
2 2
Ist L ein Wurzelgitter, so hei…t
W(L) := (cid:190) ‘ R(L) Aut(L)
‘
h j 2 i •
die Weyl-Gruppe von L. Da Konjugierte von Spiegelungen wieder Spiegelungen sind (g 1(cid:190) g =
¡ ‘
(cid:190) ), ist die Weyl-Gruppe ein Normalteiler in Aut(L).
‘g
Satz 1.13 (Witt, fu˜r einen Beweis vgl. Ebeling) Ist L ein Wurzelgitter, so hat L eine Git-
terbasis B = (b ;:::;b ) mit (b ;b ) = 2 und (b ;b ) 0; 1 fu˜r 1 i = j n.
1 n i i i j
2 f ¡ g • 6 •
Beispiel 1.14 Die Grammatrix einer solchen Basis wird durch einen Graphen kodiert. Die
Knoten entsprechen dabei den Basisvektoren. Zwei Knoten b , b sind durch eine Kante
i j
verbunden, genau dann wenn (b ;b ) = 1. Diese Graphen nennt man Dynkin-Diagram.
i j
¡
An : t t t ::: t t
E6 : t t t t t
t
E7 : t t t t t t
t
E8 : t t t t t t t
t
¢t
¢
¢
¢
¢
¢
¢
Dn : t t t ::: t¢==
=
=
=
=
=
=
t
6
Die zugeh˜origen Grammatrizen ergeben sich als
2 1 0 ::: ::: 0 0
2 1 0 ::: ::: 0 ¡
¡ 0 1 2 1 0 ::: 0 0 1
0 1 2 1 0 ::: 0 1 ¡ ¡
¡ ¡ 0 1 2 1 ::: 0 0
G(An) := BBB 0... ¡..1. .2.. ¡..1. :..:.: 0... CCC; G(Dn) := BBBB ... ¡... ... ¡... ... ... ... CCCC
B C B 0 ::: 0 1 2 1 1 C
B 0 ::: 0 1 2 1 C B ¡ ¡ ¡ C
B ¡ ¡ C B 0 ::: ::: 0 1 2 0 C
B 0 ::: ::: 0 1 2 C B ¡ C
@ ¡ A B 0 ::: ::: 0 1 0 2 C
@ ¡ A
2 1 0 0 0 0 0
2 1 0 0 0 0 ¡
¡ 0 1 2 1 0 0 0 0 1
0 1 2 1 0 0 0 1 ¡ ¡
¡ ¡ 0 1 2 1 0 0 1
0 1 2 1 0 1 B ¡ ¡ ¡ C
G(E6) = BB 0 ¡0 1 ¡2 1 ¡0 CC; G(E7) = BB 0 0 ¡1 2 ¡1 0 0 CC
B ¡ ¡ C B 0 0 0 1 2 1 0 C
B 0 0 0 1 2 0 C B ¡ ¡ C
B ¡ C B 0 0 0 0 1 2 0 C
B 0 0 1 0 0 2 C B ¡ C
@ ¡ A B 0 0 1 0 0 0 2 C
@ ¡ A
2 1 0 0 0 0 0 0
¡
0 1 2 1 0 0 0 0 0 1
¡ ¡
0 1 2 1 0 0 0 1
B ¡ ¡ ¡ C
B 0 0 1 2 1 0 0 0 C
G(E8) = BB 0 0 ¡0 1 ¡2 1 0 0 CC
B ¡ ¡ C
B 0 0 0 0 1 2 1 0 C
B ¡ ¡ C
B 0 0 0 0 0 1 2 0 C
B ¡ C
B 0 0 1 0 0 0 0 2 C
@ ¡ A
Es gilt det(E6) = 3, det(E7) = 2, det(E8) = 1.
Ist (e ;:::;e ) eine Orthonormalbasis von E, so ist
1 n
Dn = e1 e2;e2 e3;:::;en 1 en;en 1 +en Z:
h ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ i
Insbesondere ist det(Dn) = 4. Weiter ist v := 12(e1 + ::: + en) 2 D#n und e1 2 D#n. Es
gilt immer 2e1 2 Dn. Es ist 2v 2 Dn genau dann, wenn n gerade ist. Dann ist D#n=Dn »=
Z=2Z'Z=2Z, ansonsten ist D#n=Dn »= Z=4Z.
Fu˜r An gilt: det(An) = n+1 und A#n=An »= Z=(n+1)Z.
An ist ein Teilgitter (kein volles Teilgitter) von Zn+1: Ist (e1;:::;en+1) eine ON-Basis von
Rn+1, so ist (e1 e2;e2 e3;:::;en en+1) eine Gitterbasis von An. Das Gitter An erh˜alt
¡ ¡ ¡
man als
n+1
An = aiei Rn+1 ai Z; ai = 0
f 2 j 2 g
Xi=1 X
als (e1 + ::: + en+1)? in Zn+1. Der Vektor v := n+11(ne1 ¡ e2 ¡ ::: ¡ en+1) 2 A#n erfu˜llt
(n+1)v An.
2
7
Gitter L R(L) det(L) L#=L Dimension n
j j
An n(n+1) n+1 Z=(n+1)Z 1
‚
Dn 2n(n 1) 4 Z=4Z 4; ungerade
¡ ‚
Dn 2n(n 1) 4 Z=2Z Z=2Z 4; gerade
¡ ' ‚
E6 72 3 Z=3Z 6
E7 126 2 Z=2Z 7
E8 240 1 1 8
Ohne Beweis m˜ochte ich angeben:
Satz 1.15 (vgl. Ebeling) Jedes Wurzelgitter ist orthogonale Summe von Wurzelgittern der
Form An, Dm (m 4), E6; E7; E8.
‚
Deflnition 1.16 (i) Ein Gitter L hei…t gerade, falls (‘;‘) 2Z fu˜r alle ‘ L.
2 2
(ii) Ein Gitter L hei…t unimodular, falls L = L#.
Bemerkung 1.17 (i) Ein gerades Gitter ist ganz.
(ii) Ein ganzes Gitter ist gerade, genau dann wenn fu˜r alle Basisvektoren b in einer Gitter-
i
basis gilt, dass (bi;bi) 2Z.
2
Folgerung 1.18 Wurzelgitter sind gerade Gitter.
Das Gitter E8 ist ein gerades unimodulares Gitter.
Deflnition 1.19 (i) Fu˜r 2 Gitter L ;L in V bzw. V bezeichnet L L die orthogonale
1 2 1 2 1 2
?
Summe . Dies ist ein Gitter in V V der Dimension dim(L )+dim(L ). Sind B bzw. C
1 2 1 2
'
Gitterbasen von L bzw. L , so ist ((b ;0);:::;(b ;0);(0;c );:::;(0;c )) eine Gitterbasis
1 2 1 n1 1 n2
von L L mit Grammatrix
1 2
?
(B) 0
G
(cid:181) 0 (C) ¶
G
(ii) Ist L M ein Teilgitter, so hei…t
•
L ;M := L := m M (‘;m) = 0 fu˜r alle ‘ L
? ?
f 2 j 2 g
das Orthogonalgitter von L in M.
(iii) Ein Teilgitter L M hei…t rein , falls
•
L = m M m L R = M RL:
f 2 j 2 h i g \
Bemerkung 1.20 Sei L M ein Teilgitter, B = (b ;:::;b ) eine Gitterbasis von M,
1 n
•
C = (c1;:::;ck) eine Gitterbasis von L und T = C idB Zk£n die Basiswechselmatrix.
2
Dann ist L rein in M die Invariantenteiler von T sind alle gleich 1 M=L ist torsionsfrei
, ,
C kann zu einer Gitterbasis von M erg˜anzt werden.
,
8
Ende am 10.4.2007
Beweis.NachdemHauptsatz u˜berendlicherzeugteabelscheGruppengibteseineGitterbasis
B0 = (b01;:::;b0n) von M und Zahlen d1;:::;dk 2 Z (die Invariantenteiler von T) so da…
C0 = (d1b01;:::;dkb0k) eine Gitterbasis von L ist. Da RL \ M aus der Menge aller ganzen
Linearkombinationen der (b01;:::;b0k) besteht, gilt RL \ M = L genau dann, wenn alle di
gleich 1 sind. ⁄
Satz 1.21 Sei V = U U , … End(V) die Projektionen auf U . Sei L ein volles Gitter
1 2 i i
' 2
in V, so dass Li := L Ui ein volles Gitter in Ui ist (i = 1;2). (dann ist Ui = RLi und Li
\
ist reines Teilgitter in L.) Setze L := L… . Dann ist L L (i = 1;2) und es gilt:
0i i i • 0i
L =L = L =L = L=(L L ) = L L =L:
01 1 » 02 2 » 1 ' 2 » 01 ' 02
Beweis. Klar ist L =L = L L =L L = L L =L L .
01 1 » 01 ' 2 1 ' 2 » 01 ' 02 1 ' 02
Wir betrachten zun˜achst die Projektion … : L L . Gefolgt vom natu˜rlichen Epimorphis-
1 ! 01
mus L L =L liefert sie eine surjektive Abbildung … : L L =L . Sei
01 ! 01 1 1 ! 01 1
K := ker(… ) = ‘ L ‘… L :
1 1 1 1
f 2 j 2 g
Fu˜r ‘ = x +x L mit x U ist ‘… = x L = U L genau dann wenn x L und
1 2 i i 1 1 1 1 1
2 2 2 \ 2
somit x = ‘ x L U = L liegt. Also ist K = L L und nach dem Homomorphiesatz
2 1 2 2 1 1 2
¡ 2 \ '
gilt
L =L = Bild(… ) = L=ker(… ) = L=(L L ):
01 1 1 » 1 1 ' 2
Ebenso erh˜alt man L =L = L=(L L ). Fu˜r die letzte Isomorphie zeigen wir, dass L +L =
02 2 » 1' 2 01
L L . Denn dann ist nach dem Noetherschen Isomorphiesatz
01 ' 02
(L L )=L = (L +L)=L = L =(L L) = L =L :
01 ' 02 01 » 01 01 \ 01 1
Nach Deflnition ist L +L = L ;L . Es ist x L genau dann wenn x U und es gibt ein
01 h 01 i 1 2 01 1 2 1
‘ L, x U mit ‘ = x +x (dann notwendigerweise x L ). Also ist L +L L L .
2 2 2 2 1 2 2 2 02 01 (cid:181) 01' 02
Umgekehrt liegt natu˜rlich L L + L und obige Rechnung zeigt auch L L + L und
01 ‰ 01 02 ‰ 01
damit L +L = L L . ⁄
01 01 ' 02
Satz 1.22 Sei M ein unimodulares Gitter und L M ein reines Teilgitter. Dann ist
•
det(L) = det(L ), sogar L#=L = (L )#=L .
? » ? ?
Beweis. Wir wenden Satz 1.21 an auf U1 := RL, U2 = U1? = RL?, L1 = L = U1 \ M,
L = L = U M und mu˜ssen nur noch zeigen, dass
2 ? 2
\
L = M… = L#; L = M… = (L )#:
01 1 02 2 ?
Ist nun ‘ L und m M, so ist (‘;m) = (‘;m…1) Z und daher M…1 L#. Sei (b1;:::;bk)
2 2 2 ‰
eine Gitterbasis von L und erg˜anze diese zu Basis B := (b ;:::;b ;b ;:::;b ) von M. Da
1 k k+1 n
M = M# ist auch die duale Basis B = (b ;:::;b ;b ;:::;b ) eine Gitterbasis von M.
⁄ ⁄1 ⁄k ⁄k+1 ⁄n
(Dabei ist (b ;:::;b ) eine Gitterbasis von L .) Und L# = b … ;:::;b … M… . ⁄
⁄k+1 ⁄n ? h ⁄1 1 ⁄k 1i ‰ 1
9
Bemerkung 1.23 Als Anwendung zeigen wir, dass A#n=An »= Z=(n+1)Z. Setzt man L =
‘ := e1 + ::: + en+1 Zn+1 = e1;:::;en+1 Z, so ist L ein reines Teilgitter in dem
h i • h i
Gitter M := Zn+1 mit det(M) = 1. Weiter ist An = L?. (‘) = (n + 1) = ((‘;‘)) liefert
G
L#=L »= Z=(n+1)Z, L# = hn+11‘i. Mit Satz 1.22 flndet man also auch A#n=An »= Z=(n+1)Z.
Als U˜bung konstruieren Sie E7 = b7 ? und E6 = b6;b7 ? als Teilgitter von E8 und folgern
h i h i
so aus det(E8) = 1, dass det(E7) = 2 und det(E6) = 3. E8 kann man z.B. als Teilgitter von
A#8 = hv;A8i erhalten, E8 = hA8;3vi.
2 Codes.
Deflnition 2.1 (i) Ein linearer Code C u˜ber Fq der L˜ange n ist ein linearer Teilraum C
•
Fn.
q
(ii) Auf Fnq deflnieren wir die nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform x¢y := ni=1xiyi.
Dann ist fu˜r einen Code C • Fnq der duale Code deflniert als der OrthogonalraumPC? von
C,
C? = fx 2 Fnq j x¢c = 0 fu˜r alle c 2 Cg:
(iii) C hei…t selbstdual , falls C = C und selbstorthogonal , falls C C .
? ?
(cid:181)
Bemerkung 2.2 Sei C • Fnq ein Code der Dimension k und B = (b1;:::;bk) eine Basis von
C, H = (h ;:::;h ) eine Basis von C . Dann hat C zwei verschiedene Beschreibungen:
1 n k ?
(i) Die Matrix G 2¡ Fqk£n, deren Zeilen genau die Zeilenvektoren bi sind, nennt man eine
Erzeugermatrix von C. Interpretiert man G als Matrix einer linearen Abbildung cod : Fk
q !
Fn;x xG, so ist C genau das Bild von cod. Diese Beschreibung eignet sich sehr gut zum
q 7!
Codieren der qk Informationsworte.
n (n k)
(ii) Die Matrix P Fq£ ¡ , deren Spalten genau die Zeilenvektoren hi sind, nennt man
2
eine Pru˜fmatrix von C. Interpretiert man P als Matrix einer linearen Abbildung decod :
Fnq ! Fnq¡k;x 7! xP, so ist C genau der Kern von decod. Diese Beschreibung eignet sich
sehr gut zum Testen, ob ein empfangenes Wort zum Code geh˜ort.
(iii) Ist P eine Pru˜fmatrix fu˜r C und x 2 Fnq so nennt man xP 2 Fqn¡k das Syndrom von x
(unter H). Es ist x C genau dann wenn sein Syndrom gleich 0 ist.
2
Deflnition 2.3 (i) Auf Fn deflniert der Hamming-Abstand
q
d : Fnq £Fnq ! Z;d(x;y) := jfi 2 f1;:::;ng j xi 6= yigj
eine Metrik, d.h. fu˜r alle x;y;z Fn gilt
2 q
d(x;y) 0 und d(x;y) = 0 x = y,
‚ ,
d(x;y) = d(y;x),
d(x;y)+d(y;z) d(x;z).
‚
(ii) Das Gewicht eines Wortes x 2 Fnq ist w(x) := d(x;0) = jfi 2 f1;:::;ng j xi 6= 0gj.
(iii) Das Minimalgewicht d(C) eines Codes C ist d(C) := min d(c) 0 = c C .
f j 6 2 g
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