Gewöhnliche Differenzialgleichungen leicht gemacht!

208 Pages·2020·3.162 MB·German

by  Jochen Balla

Jochen Balla
Gewöhnliche
Differenzial-
gleichungen
leicht gemacht !
Gewöhnliche Differenzialgleichungen
leicht gemacht!
Jochen Balla
Gewöhnliche
Differenzialgleichungen
leicht gemacht!
Jochen Balla
Fachbereich Geodäsie
Hochschule Bochum
Bochum, Deutschland
ISBN 978-3-662-61343-6 ISBN 978-3-662-61344-3 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-61344-3
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Für T. und C.
Vorwort
Differenzialgleichungen sind in den exakten Wissenschaften allgegenwärtig.
Die Grundgleichungen der Physik etwa sind praktisch allesamt Differenzial-
gleichungen, die Ingenieurwissenschaften – allen voran die Elektrotechnik – ver-
wenden Differenzialgleichungen und auch in der Biologie, den Geowissenschaften,
den Wirtschaftswissenschaften, den Sozialwissenschaften usw. spielen sie eine
mehr oder weniger wichtige Rolle.
Dessen ungeachtet kommt man auch ohne Kenntnisse über Differenzial-
gleichungen zunächst oft gut zurecht. Sobald aber eine tiefere Einsicht erfordert
ist, wird man sich mit den zugrundeliegenden Differenzialgleichungen befassen
wollen und müssen.
In der Schulmathematik werden Differenzialgleichungen normalerweise nicht
behandelt. Der Begriff ist daher neu und erscheint vielleicht schwierig. Und tat-
sächlich sind Differenzialgleichungen ein eigener Kosmos, der sich von ganz
leicht bis ganz schwierig erstreckt und der viele unterschiedliche Herangehens-
weisen erlaubt. Das erschwert den Einstieg, weil man nicht recht weiß, wo man
anfangen soll und was wichtig ist.
Zielsetzung dieses Buchs Dieses Buch bietet dir eine kurze und – wie ich
hoffe – leicht lesbare Einführung in Differenzialgleichungen. Das Ziel ist ein
pragmatischer Einstieg in das Themengebiet, der sich auf die wichtigen Grund-
kenntnisse konzentriert. Die Darstellung erfolgt anwendungsorientiert und mit
einer Vielzahl von Beispielen, enthält aber ebenso die notwendigen theoretischen
Grundlagen. Die analytische Lösung von Differenzialgleichungen steht dabei im
Vordergrund, aber auch eine numerische Lösung kann anhand von Programmier-
beispielen einfach selbst durchgeführt werden.
Der Inhalt lässt sich wie folgt umreißen:
• Differenzialgleichungen erster Ordnung werden ausführlich behandelt.
Anhand vieler Beispiele lernst du deren analytische Lösung kennen. Und auch
die numerische Lösung fällt nicht schwer.
VII
VIII Vorwort
• Die Eigenschaften der Lösungen von Differenzialgleichungen sind essenziell
für die Bedeutung der Gleichungen und werden detailliert besprochen. Dabei
werden auch Differenzialgleichungssysteme und Differenzialgleichungen
höherer Ordnung behandelt. Der Zugang zur numerischen Lösung fällt wieder
leicht.
• Lineare Differenzialgleichungen und insbesondere solche mit konstanten
Koeffizienten kommen in Anwendungen oft vor. Für sie entwickeln wir eine
vollständige Lösungstheorie, flankiert von ausführlich besprochenen Beispielen.
• Anhand der Saitengleichung wird abschließend ein Ausblick auf partielle
Differenzialgleichungen gegeben.
• Beweise stehen nicht im Vordergrund der Darstellung. Aber manchmal ist es
doch nützlich, zu sehen, woher eine Aussage stammt. Die nicht immer ein-
fachen Beweise sind dazu mit vielen Erläuterungen versehen.
• Zu jedem Kapitel gibt es Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen.
Lesehinweise Dieses Buch lässt sich in verschiedenen „Modellen“ lesen:
(1) K ap. 1 allein bietet eine fundierte Einführung in Differenzialgleichungen
erster Ordnung einschließlich ihrer analytischen und numerischen Lösung.
Wenn nur Gleichungen erster Ordnung von Interesse sind, reicht das schon :-)
(2) Kap. 1 und 2 bieten eine allgemeine Einführung in Differenzialgleichungen
höherer Ordnung und auch in Differenzialgleichungssysteme einschließlich
ihrer numerischen Lösung.
(3) Die Kap. 3, 4 und 6 behandeln lineare Differenzialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten. Sofern das Beispiel der Schwingungsgleichung für
dich uninteressant ist, kannst du dich – natürlich neben Kap. 1 und 2 mit den
Grundlagen – auf Kap. 4 beschränken, das die allgemeine Lösungstheorie
enthält.
Der Ausblick in Kap. 6 ist naturgemäß nur dann „notwendig“, wenn partielle
Differenzialgleichungen von Interesse sind.
Komplexe Zahlen Für die Lösung linearer Differenzialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten benötigen wir komplexe Zahlen. Das notwendige Wissen
wird vor Ort jeweils mit Lesehilfen bereitgestellt bzw. aufgefrischt. Sofern du mit
komplexen Zahlen nicht vertraut bist, bietet der Anhang darüber hinaus eine kurze
zusammenhängende Einführung.
Das ist aber alles halb so wild: In der Anwendung auf lineare Differenzial-
gleichungen haben wir es letztendlich nur mit zwei drei Kochrezepten zu tun, die
immer in derselben Weise angewandt werden. Also einfach machen ;-)
Hilfestellungen Differenzialgleichungen „leicht gemacht“ ist natürlich leicht
gesagt. Tatsachlich ist das Thema nicht immer einfach. Um den Zugang zu
erleichtern, gibt dir das Buch eine Reihe zusätzlicher Hilfestellungen, die sich in
grauen Boxen wie der folgenden finden:
Vorwort IX
• Zu Beginn eines jeden Kapitels wird noch einmal erläutert, in welchen
Zusammenhängen die Inhalte bedeutsam sind.
• Der Text wird durch zahlreiche Lesehilfen ergänzt, die Begriffe, Schreib-
weisen, Hintergründe erläutern und dir über problematische Stellen
hinweghelfen.
• Insbesondere gibt es in Kap. 1 Lesehilfen zur Integration und in den
Kap. 3, 4 und 5 Lesehilfen zu komplexen Zahlen.
• Der Text enthält Zwischenfragen (und etwas verzögert auch die
Antworten), die dich zum Hinterfragen des Gelesenen anregen und das
Verständnis prüfen und vertiefen.
• Am Ende eines jeden Kapitels erlaubt „Das Wichtigste in Kürze“ eine
Rekapitulation der Inhalte, ergänzt durch eine kleine Formelsammlung.
Verstehst du genau, was hier steht, und kannst du jede Formel erklären, so
hast du das Kapitel gut verinnerlicht.
Darüber hinaus ist jedes Kapitel mit Übungsaufgaben versehen. Sie zielen vor-
wiegend auf das Verständnis der Inhalte ab, insbesondere für die Kap. 1 und 4
ermöglichen sie aber auch das Training der Rechentechniken. Die ausführlichen
Lösungen erlauben dir eine unmittelbare Selbstkontrolle.
Weiterführende Literatur Es gibt viele gute Bücher, die ein vertiefendes
Studium von Differenzialgleichungen erlauben. Die Bandbreite der Bücher ist
allerdings außergewöhnlich groß, da es stark unterschiedliche Anwendungsgebiete
und Zielsetzungen gibt. Eine passende Empfehlung lässt sich daher praktisch nicht
aussprechen.
Als ein umfangreiches und allgemeines Standardwerk sei aber zumindest
„Gewöhnliche Differentialgleichungen“ von Harro Heuser genannt. Es liegt
aktuell in der 6. Auflage vor.
Ich wünsche dir viel Erfolg im Studium und würde mich freuen, wenn dieses
Buch einen Beitrag dazu leisten kann :-)
im Januar 2020 Jochen Balla
Inhaltsverzeichnis
1 Differenzialgleichungen erster Ordnung ........................ 1
1.1 Definition und Grundbegriffe ............................... 2
1.2 Richtungsfeld und numerische Lösung ....................... 8
1.2.1 Idee der numerischen Lösung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Unterschiedliche Einschrittverfahren ................... 13
1.2.3 Beispiel zur numerischen Lösung ..................... 15
1.3 Separable Gleichungen ................................... 17
1.4 Lineare Gleichungen erster Ordnung ......................... 21
1.4.1 Homogene Gleichung ............................... 22
1.4.2 Inhomogene Gleichung: Variation der Konstanten. . . . . . . . . 22
1.5 Allgemeine Bemerkung zur Lösung einer Differenzialgleichung ... 26
Übungsaufgaben ............................................. 28
2 Eigenschaften der Lösungen .................................. 31
2.1 Differenzialgleichungssysteme erster Ordnung ................. 32
2.2 Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung ..................... 36
2.2.1 Lipschitz-Stetigkeit ................................ 36
2.2.2 Eindeutigkeitssatz .................................. 40
2.2.3 Existenzsatz ...................................... 46
2.3 Differenzialgleichungen höherer Ordnung .................... 47
2.3.1 Zurückführung auf ein System erster Ordnung ........... 49
2.3.2 Lösbarkeit und Eindeutigkeit ......................... 53
2.4 Lineare Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.1 Beispiel: Euler-Differenzialgleichung .................. 59
Übungsaufgaben ............................................. 62
3 Beispiel: Freie gedämpfte Schwingung .......................... 65
3.1 Differenzialgleichung der gedämpften Schwingung ............. 66
3.2 Exponentialansatz und charakteristische Gleichung ............. 69
3.3 Ungedämpfte Schwingung: µ=0. .......................... 70
3.4 Schwache Dämpfung: 0<µ<ω0 .......................... 73
3.5 Aperiodischer Grenzfall: µ=ω0. ........................... 74
3.6 Starke Dämpfung: µ>ω0 ................................. 77
3.7 Übersicht .............................................. 77
Übungsaufgaben ............................................. 80
XI
XII Inhaltsverzeichnis
4 Lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten ..................... 83
4.1 Definition und Grundbegriffe ............................... 84
4.2 Homogene Gleichung .................................... 87
4.2.1 Fundamentalsatz der Algebra ......................... 88
4.2.2 Nur einfache Nullstellen ............................. 91
4.2.3 Allgemeiner Fall ................................... 95
4.2.4 Beweis des Hauptsatzes für homogene Gleichungen ....... 98
4.3 Inhomogene Gleichung ................................... 101
4.3.1 Form der Inhomogenität ............................. 102
4.3.2 Keine Resonanz ................................... 106
4.3.3 Resonanz ........................................ 110
4.3.4 Reelle Gleichungen reell lösen? ....................... 114
4.3.5 Analytische Lösung mit einem Computerprogramm ....... 115
Übungsaufgaben ............................................. 116
5 Beispiel: Erzwungene Schwingung ............................. 119
5.1 Differenzialgleichung der erzwungenen Schwingung ............ 120
5.2 Ungedämpfte Schwingung ................................. 122
5.2.1 Fall � =ω0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.2 Fall �=ω0: Resonanz .............................. 124
5.3 Gedämpfte Schwingung ................................... 126
Übungsaufgaben ............................................. 133
6 Ausblick: Eine partielle Differenzialgleichung .................... 135
6.1 Differenzialgleichung der schwingenden Saite. . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2 Separationsansatz ........................................ 138
6.2.1 Lösung der separierten Gleichungen ................... 139
6.2.2 Einzellösungen und Summen ......................... 142
6.3 Anfangsbedingungen der angezupften Saite ................... 144
6.3.1 Entwicklung in Eigenfunktionen ...................... 146
6.3.2 Beispiel: Lineares mittiges Anzupfen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Übungsaufgaben ............................................. 153
A Komplexe Zahlen ........................................... 155
B Lösungen der Übungsaufgaben ................................ 173
Stichwortverzeichnis ............................................ 199