Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung in Theorie und Praxis

345 Pages·1986·13.784 MB·German

by  Prof. Dr. Helmut Werner, Dr. Herbert Arndt (auth.)

Hochschultext
Helmut Wemer Herbert Arndt
Gewöhnliche
Differentialgleichungen
Eine Einführung in Theorie und Praxis
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo
Prof. Dr. Helmut Wemer
Dr. Herbert Arndt
Institut für Angewandte Mathematik
Universität Bonn
Wegelerstr.6
5300 Bonn
Mathematics Subject Classification (1980): 34-01, 65-01
ISBN -13 :978-3-540-15288-0 e-ISBN -13: 978-3-642-70338-6
DOI: 10.1007/978-3-642-70338-6
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Werner, Helmut:
Gewöhnliche Differentialgleichungen: e. Einf. in Theorie u. Praxis 1H elmut Werner;
Herbert Arndt. - Berlin; Heidelberg; NewYork; London; Paris; Tokyo: Springer, 1986.
(Hochschultext )
ISBN-13:978-3-540-15288-0
NE: Arndt, Herbert:
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schaft Wort", München, wahrgenommen.
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1986
2144/3140-543210
Vorwort
Dieses Buch über gewöhnliche Differentialgleichungen ist aus einem Kurs für die
Fernhochschule Hagen hervorgegangen, an dem seinerzeit auch Herr Dr. P. Janßen
mitgearbeitet hatte. Ziel des damaligen Kurses war es, den Studenten, die ihrer Natur
nach nicht so häufig persönlichen Kontakt mit der Hochschule haben, eine Einführung
in die Theorie und Praxis der gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Form
zu geben, die dem häuslichen Selbststudium entgegenkommt. Dieses Konzept wurde
auch in der vorliegenden Darstellung beibehalten. Jedoch kann man bei einer solchen
Intention nicht erwarten, daß alle Aspekte der gewöhnlichen Differentialgleichungen
auch nur annähernd angesprochen werden können. Dem Leser, der an weiterführenden
Themen wie z.B. "Periodische Lösungen" oder "Verzweigungstheorie" interessiert ist,
soll das Literaturverzeichnis helfen.
Leider hat Herr Werner die endgültige Fertigstellung dieses Buches nicht mehr
erleben können - er verstarb im November 1985. Aus der engen Zusammenarbeit mit
ihm kann ich jedoch sagen, daß ihm die Anfertigung dieses Buches mit seinem Thema
und seiner didaktischen Ausrichtung ein besonderes Anliegen war und er bis zuletzt
stets mit Freude daran gearbeitet hat.
An dieser Stelle möchte ich allen denen herzlich danken, die an dem Zustandekom
men dieses Buches beteiligt waren. Dies gilt für Kollegen und Studenten, die durch
Verbesserungsvorschläge und Kritik zur jetzigen Darstellung beigetragen haben, und
die Unterstützungen, die mir die Universität von Miami gewährte; dies gilt auch für
die Studenten, die die Schriftsetzung mit dem Satz programm '!EX besorgten, nämlich
Christoph Jäger und Günter Oster, die einen Teil des Satzes übernahmen, und beson
ders Angelika Schofer, die den verbleibenden Teil gesetzt hat und für eine endgültige
Harmonisierung sorgte, und Jürgen Groß, der die Zeichnungen anfertigte; schließlich
gilt dies auch für den Springer-Verlag, der gern jede Unterstützung gewährte und alle
Wünsche stets wohlwollend behandelt hat.
Bonn, im Juni 1986 H. Arndt
Inhaltsverzeichnis
Symbolverzeichnis .......................................................... IX
Kapitell Einführung und elementare Lösungsmethoden
§1 Beispiele für das Auftreten von Differentialgleichungen ................... 1
§2 Klasseneinteilung der Differentialgleichungen, Definition von
Anfangs- und Randwertaufgaben ......................................... 8
§3 Einige elementare Lösungsmethoden .................................... 15
§4 Lösung homogener linearer Differentialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten ................................................ 22
§5 Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten ............. 32
Kapitel 2 Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen für
Anfangswertaufgaben
§1 Der Existenzsatz von Peano ............................................. 48
§2 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf ................. 57
§3 Fortsetzung von Lösungen: Das Verhalten der Lösungen im Großen ....... 62
§4 Spezialisierung der Ergebnisse für lineare Differentialgleichungen
höherer Ordnung und lineare Differentialgleichungssysteme ................ 66
Kapitel 3 Verhalten der Lösung bei Variation der
Anfangswertaufgabe, praktische Konsequenzen
§1 Stetige Abhängigkeit der Lösung von Anfangspunkt und
Anfangswerten, benachbarte Differentialgleichungen ...................... 72
§2 Differenzierbarkeit nach Parametern, Störungsrechnung .................. 84
§3 Vergleichs- und Monotonieaussagen ..................................... 106
VIII Inhaltsverzeichnis
Kapitel 4: Ein- und Mehrschrittverfahren bei
Anfangswertaufgaben
§1 Eine Einführung in Einschrittverfahren ................................. 111
§2 Konvergenz von Einschrittverfahren .................................... 119
§3 Taylor-Verfahren und Runge-Kutta-Verfahren ........................... 132
§4 Spezielle Mehrschrittverfahren, insbesondere Adams-Verfahren .......... 146
§5 Konsistenz, Stabilität und Konvergenz bei Mehrschrittverfahren ......... 159
§6 Allgemeine lineare Mehrschrittverfahren ................................ 170
§7 Prädiktor-Korrektor-Verfahren vom Typ p(EC)lE und p(EC)l ........ 184
§8 Extrapolation, Schrittweitensteuerung und Vergleich von Algorithmen ... 198
Kapitel 5 Verfahren für Anfangswertaufgaben bei steifen
D ifferen tialgleichungen
§1 Besonderheiten steifer Differentialgleichungen ........................... 225
§2 Diskussion einiger Stabilitätsbegriffe .................................... 233
§3 Stabilitätsgebiete von Runge-Kutta-Verfahren .......................... 239
§4 Stabilitätsgebiete von linearen Mehrschrittverfahren .................... 244
§5 Weitere Techniken und Vergleich von Algorithmen ...................... 252
Kapitel 6 Existenzaussagen und Verfahren bei
Randwertaufgaben
§1 Einführung und Beispiele ............................................... 259
§2 Existenzaussagen bei linearen Randwertaufgaben, Greensche Matrix
und Greensche Funktion ................................................ 262
§3 Existenzaussagen bei nichtlinearen Randwertaufgaben .................. 274
§4 Einfach- und Mehrfachschießverfahren .................................. 285
§5 Das Integralgleichungsverfahren ........................................ 301
§6 Differenzenverfahren zur Lösung von Randwertaufgaben
linearer Differentialgleichungen ......................................... 313
§7 Asymptotische Entwicklungen von Lösungen linearer
Operatorgleichungen .................................................... 323
Literaturverzeichnis ........................................................ 330
Index ...................................................................... 333
Symbolverzeic:hnis
-+ S. siehe Seite
definiert als
Menge der natürlichen Zahlen
:=lNU{O}
Menge der ganzen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
Menge der positiven reellen Zahlen
Menge der komplexen Zahlen
:=CU{oo}
x komplex Konjugierte von xE C
Rex, [mx Realteil bzw. Imaginärteil von x E C
xT transponierter Vektor x
iRR := {x = (Xl> X2,"" xR)Tlx, E iRR ,i = 1,2, ... , n}
[a,b] := {x E iRla :S x :S b} abgeschlossenes Intervall
(a,b) := {x E lRla < x < b} offenes Intervall
yI , Tdx y, D y Ableitung der Funktion y, Frechet-Ableitung, -+ S. 89
Dd, !~, Ableitung der Funktio-Inx!. ,: iRR ~ iR nach der i-ten Variablen
= =
partielle Ableitung i 1,2, ... , n
=
id identische Abbildung, id(x) x für alle x
min, max Minimum, Maximum
inf, sup Infimum, Supremum
R Randoperator Ry = My(a) + Ny(ß), -+ S. 13
Ck(U, iRR) := {f : U ~ iRRI! ist k-mal stetig differenzierbar}, -+ S. 49
C(U, iRR) := C0(U, iRR)
ck(U) := Ck(u, iR)
(Y,d) metrischer Raum, -+ S. 48
Kr(yo) offene Kugel um Yo mit dem Radius r, -+ S. 48
Z
Inneres der Menge Z, -+ S. 48
Z Abschluß der Menge Z, -+ S. 48
az := Z\ Z Rand von Z, -+ S. 48
(Y,II·II) normierter Raum, -+ S. 49
lxi Betrag von x, falls x E iR
lxi := max Ix,l, falls x = (Xl>X2"" ,xn)T E iRR, -+ S. 50
l$;I$;R
x Symbolv erzeichnis
sup I/(x)1 für (beschränktes) 1 E C(U, m.n), Supremumsnorm,
zEU
-+ S. 50
(Yj);EN Folge in Y, falls Yj E Y für alle j, -+ S. 49
dist(S, T) := inf 18 - tl Distanz der Mengen S, T c m.n
sES
tET
c',L lineare Differentialoperatoren,
+
c,y:= Y' Ay',
Lz := an(x)z(n} + an-l (x)z(n-l) + ... + ao(x)z
n} =
{YI ,y2 , ... ,y Fundamentalsystem von c,y 0, -+ S. 69
L(Y,Z) Menge der beschränkten linearen Operatoren von Y nach Z,
-+ S. 87
Landausche Symbole, -+ S. 88
Funktionalmatrix, -+ S. 94
Gitter auf I, -+ S. 112
:= min{n E !tIn ~ x} Gau~Klammer für x E m.
u" :
Gitterfunktion, I" --+ /Rn, -+ S. 113
n X n-Einheitsmatrix oder Verschiebungsoperator, -+ S. 38
:= {p: m. --+ m.lp(x) = anxn + an_lXn-1 + ... + ao, ai E m.}
reelle Polynome höchstens n-ten Grades, -+ S. 24
8p (tatsächlicher) Grad von p E IIn, -+ S. 24
II~ Menge der komplexen Polynome höchstens n-ten Grades
an(XO' ... ,xn)! n-ter Differenzenquotient, -+ S. 150
Vn/i absteigende Differenzen, -+ S. 150
Ch := C(h, m.n), -+ S. 160
lIullh := max lu(x)1 für u E Ch, -+ S. 160
zEll.
Kronecker-Symbol, Oij = 0 für i :F j und Oij = 1 für i = j
abgeschnittene Potenzen, -+ S. 254
linke komplexe Halbebene
Kapitell Einführung und elementare Lösungsmethoden
§1 Beispiele für das Auftreten von Differentialgleichungen
Das Lösen von Gleichungen ist eine Aufgabe, die sehr häufig und in vielfältiger
Form in der Mathematik selbst und bei ihrer Anwendung auftritt. Ihr Ziel kann sein,
eine Lösung durch theoretische Überlegungen ("analytisch") zu ermitteln und expli
zit anzugeben, oder aber, falls dies nicht möglich ist, eine Näherungslösung mit Hilfe
numerischer Verfahren zu berechnen. Es gibt sogar Fälle, in denen man das Lösen
durch numerische Verfahren der Auswertung des explizit bekannten Ausdrucks vor
zieht, weil jenes organisatorisch (Programmierung) und numerisch einfacher ist als
die analytische Auswertung.
Eine Bestimmungsgleichung für eine Größe y läßt sich in der Form
=
F(y) 0
darstellen, wobei F beispielsweise eine Abbildung eines linearen Raumes R in einen
1
linearen Raum Rz bezeichnen kann. Gesucht wird entweder eine Lösung y E R1 oder
die Gesamtheit der Lösungen der Gleichung.
Typische Beispiele solcher Aufgaben sind die Bestimmung einer Nullstelle einer
reellen Funktion oder das Lösen eines linearen Gleichungssystems.
Durch die Gleichung
F(x, y(x)) = 0, x aus einem Intervall ,
kann implizit eine Funktion y bestimmt sein. Differentialgleichungen sind ebenfalls
Bestimmungsgleichungen für Funktionen, sie sind aber dadurch charakterisiert, daß
eine oder mehrere Ableitungen der gesuchten Funktion in der Bestimmungsgleichung
auftreten.
Wie bei allen anderen Gleichungen ergibt sich zunächst die Frage nach der Exi
stenz einer Lösung bzw. nach der Gesamtheit der Lösungen einer Differentialglei
chung. Darüber hinaus gibt es speziellere Fragen, wie die nach der Empfindlichkeit
der Lösung gegen Veränderungen der Daten des Problems, denn die Daten können
aus der Praxis stammen, durch Messungen gewonnen und damit fehlerbehaftet sein,
und diese Ungenauigkeiten sollten nicht zu großen Abweichungen der Lösung führen.
Weiter kann man nach dem größten Intervall fragen, in dem die in einem Punkte
festgelegte Lösung einer Differentialgleichung durch stetige Fortsetzungen erklärt wer
den kann.
Erst bei Vorliegen positiver Antworten auf diese Fragen ist die Anwendung nume
rischer Verfahren, d.h. der Einsatz von Mühe und Arbeit gerechtfertigt. Es erscheint
deshalb zweckmäßig, Theorie und Praxis der Differentialgleichungen als eine Einheit
zu behandeln.
In diesem Buch wollen wir Fragen ausschließen, wie sie z.B. bei regeltechnischen
Problemen auftreten. Das Verhalten eines zu regelnden Systems hängt häufig nicht
2 Kap.l Einführung und elementare Lösunpmethoden
nur von seinem augenblicklichen Zustand, sondern auch von der Vorgeschichte ab.
Man denke etwa an die Einstellung der Hähne einer Dusche, deren Ergebnis man erst
Sekunden später spürt und in gewünschter Weise korrigieren kann. Die Beschreibung
solcher Regelsysteme führt in einfachsten Fällen auf Differentialgleichungen mit nach
eilenden Argumenten, allgemein auf sogenannte Funktional-Differentialgleichungen.
Die unten folgenden Beispiele sollen auf einige Phänomene aufmerksam machen,
die bei Differentialgleichungen auftreten können. Häufig hilft bei der Beantwortung
obiger Fragen ein Blick auf das zugrundeliegende Problem, das durch die Differen
tialgleichung beschrieben werden soll, und die dort durch die realen Gegebenheiten
und Verhältnisse gestellten Bedingungen. Differentialgleichungen begegnet man auch
in der Physik, Chemie, Biologie, Medizin, den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften.
Die mathematische Modellbildung für dort auftretende Probleme und damit gege
benenfalls die Aufstellung zugehöriger Differentialgleichungen als Aufgabe für den
Mathematiker wäre eine eigene Behandlung wert, hierauf kann in diesem Band nicht
eingegangen werden.
1.1.1 Beispiel. Die Differentialgleichung
(1) 1/' = a1/ mit a E IR
beschreibt u.a. modellartig die Zerfalls- oder Wachstumsprozesse einer Größe 1/(z) in
=
Abhängigkeit von der Zeit z. Die erste Ableitung 1/' d1//dz ist proportional zu 1/, d.h.
die Abnahme oder das Anwachsen von 1/ zum Zeitpunkt z ist proportional zur Größe
1/ selbst im Zeitpunkt z. Auch wenn man sich auf reellwertige Lösungsfunktionen
beschränkt, existiert eine Vielfalt von Lösungen. Sie besteht aus allen Funktionen
1/(z) = ceGZ mit c E IR, wie man durch Einsetzen in die Differentialgleichung veri
fiziert; wir werden später beweisen, daß jede Lösung diese Form besitzt. Man sieht
ferner, daß bei dieser Differentialgleichung, in der nur eine Ableitung ersten Grades
auftritt, eine Lösung aus der Gesamtheit der Lösungen durch Vorgabe ihres Werts 1/0
an der Stelle Zo eindeutig festgelegt wird. Ist beispielsweise Zo = 0, so ist c = 1/0 zu
setzen. Der Bereich, in dem eine Lösung durch Fortsetzung definierbar ist, besteht in
diesem Beispiel offensichtlich aus ganz IR.
Dieses Beispiel gibt uns gleichzeitig einen ersten Hinweis auf den Begriff der "Sta
bilität" von Lösungen einer Differentialgleichung, denn falls c :f; 0 ist, wächst 1/(z) bei
a > 0 für z --+ 00 betragsmäßig über jede Grenze, während "stabile" Verhältnisse
vorliegen, wenn a = 0 oder a < 0 ist, da dann 1/(z) konstant ist bzw. für z --+ 00
~~O~~. 0
1.1.2 Beispiel. Die Differentialgleichung
(2) 1/' = -aJY mit a > 0
kann als Modell für das Auslaufen einer Flüssigkeit aus einem im Querschnitt
gleichförmigen Gefäß angesehen werden, wenn 1/(z) die Höhe des Flüssigkeitsspiegels
über der Auslauföffnung in Abhängigkeit von der Zeit z bedeutet. Denn zum einen ibt
die momentane Abnahme 1/' der Höhe naturgemäß proportional zur Geschwindigkeit