Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung aus der Perspektive der dynamischen Systeme PDF
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Springer Studium Mathematik – Bachelor Lars Grüne Oliver Junge Gewöhnliche Diff erential- gleichungen Eine Einführung aus der Perspektive der dynamischen Systeme 2. Aufl age Springer Studium Mathematik – Bachelor Herausgegebenvon M.Aigner,FreieUniversitätBerlin,Berlin,Germany H.Faßbender,TechnischeUniversitätBraunschweig,Braunschweig,Germany B.Gentz,UniversitätBielefeld,Bielefeld,Germany D.Grieser,UniversitätOldenburg,Oldenburg,Germany P.Gritzmann,TechnischeUniversitätMünchen,Garching,Germany J.Kramer,Humboldt-UniversitätzuBerlin,Berlin,Germany V.Mehrmann,TechnischeUniversitätBerlin,Berlin,Germany G.Wüstholz,ETHZürich,Zürich,Switzerland Die Reihe „Springer Studium Mathematik“ richtet sich an Studierendealler mathemati- schenStudiengängeundanStudierende,diesichmitMathematikinVerbindungmiteinem anderen Studienfach intensiv beschäftigen, wie auch an Personen, die in der Anwen- dung oder der Vermittlung von Mathematik tätig sind. Sie bietet Studierenden während desgesamtenStudiumseinenschnellenZugangzudenwichtigstenmathematischenTeil- gebieten entsprechend den gängigen Modulen. Die Reihevermittelt neben einer soliden GrundausbildunginMathematikauchfachübergreifendeKompetenzen.Insbesondereim BachelorstudiummöchtedieReihedieStudierendenfürdiePrinzipienundArbeitsweisen derMathematikbegeistern.DieLehr-undÜbungsbücherunterstützenbeiderKlausurvor- bereitung und enthalten neben vielen Beispielen und Übungsaufgabenauch Grundlagen undHilfen,diebeimÜbergangvonderSchulezurHochschuleamAnfangdesStudiums benötigtwerden.WeiterbegleitetdieReihedieStudierendenimfortgeschrittenenBache- lorstudiumundzuBeginndesMasterstudiumsbeiderVertiefungundSpezialisierungin einzelnen mathematischen Gebieten mit den passenden Lehrbüchern.Für den Master in MathematikstelltdieReihezurfachlichenExpertiseBändezuweiterführendenThemen mitforschungsnahenEinblickenindiemoderneMathematikzurVerfügung.DieBücher könnendemAngebotderHochschulenentsprechendauchinenglischerSpracheabgefasst sein. WeitereBändedieserReihefindensieunter http://www.springer.com/series/13446 (cid:2) Lars Grüne Oliver Junge Gewöhnliche Differentialgleichungen Eine Einführung aus der Perspektive der dynamischen Systeme 2., aktualisierte Auflage LarsGrüne OliverJunge MathematischesInstitut ZentrumMathematik UniversitätBayreuth TechnischeUniversitätMünchen Bayreuth,Deutschland Garching,Deutschland ISBN978-3-658-10240-1 ISBN978-3-658-10241-8(eBook) DOI10.1007/978-3-658-10241-8 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum ©SpringerFachmedienWiesbaden2009,2016 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtaus- drücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Das giltinsbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEin- speicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesemWerk be- rechtigtauch ohnebesondere Kennzeichnung nicht zuderAnnahme, dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen- undMarkenschutz-Gesetzgebung alsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann benutztwerdendürften. DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenin diesemWerkzumZeitpunkt derVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlagnoch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit,Gewähr für den Inhalt des Werkes,etwaigeFehleroderÄußerungen. Planung:UlrikeSchmickler-Hirzebruch GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier. SpringerFachmedienWiesbadenGmbHistTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMedia (www.springer.com) Vorwort DiesesBuchbieteteinekompakteEinführungindieTheoriedergewöhnlichenDifferen- tialgleichungen aus dem Blickwinkel der dynamischen Systeme. Ziel ist es, sowohl die KernaussagenderklassischenTheoriezuvermitteln,alsaucheinenEinblickinzahlreiche verwandteunddaraufaufbauendeThemenzugeben.DieDarstellungistdabeisokonkret wiemöglichgehalten. Das Buch gliedert sich in zwei Teile. Im ersten Teil wird die grundlegende Theorie linearerundnichtlinearerDifferentialgleichungen–ExistenzundEindeutigkeit,Darstel- lungundRegularitätvonLösungen–mitausführlichenBeweisen undvielen Beispielen behandelt. Neben einem Kapitel mit ausgewählten Techniken zur analytischen Lösung vonDifferentialgleichungenfindetsich dabeiauchein einführendesKapitelzur numeri- schen Integration von Anfangswertproblemen, um die Relevanzdieser Methoden in der Praxis zu betonen. Diese beiden Kapitel werden ergänzt durch zwei einführende An- hänge zu den Paketen MAPLE und MATLAB, die zum Experimentieren anregen sollen. Auf der zum Buch gehörigen Web-Seite http://www.dgl-buch.de stehen neben den in denbeidenAnhängenbeschriebenWorksheetsundM-FilesweitereProgrammezurVer- fügung, die sich auch zur Verwendung in Vorlesungen eignen. Insbesondere sei dabei das Pendel-Demonstrationsprogramm pendel_anim.m erwähnt, mit dem die Lösun- gen des linearen und des nichtlinearen Pendel-Modellsauf verschiedeneWeise animiert dargestelltwerdenkönnen,vgl.Abb.1.VieleimBucherläutertenKonzeptekönnenhier- mitexperimentellnachvollzogenwerden. Der zweite Teil des Buches beginnt mit Kap. 7 und ist fokussiert auf Themen aus der Theorieder Dynamischen Systeme und Anwendungen.Hier soll insbesonderedeut- lich werden, in welcher Weise die grundlegenden Aussagen und Techniken des ersten Teilshelfen,ModellerealerSystemedetailliertzuanalysieren.DieKapitelzurStabilitäts- theorie führen auf Fragen der Steuerungs- bzw. Regelungstheorie hin, die insbesondere in den Ingenieurwissenschaftenvon zentralem Interesse sind. Die Kapitelüber spezielle Lösungsmengen,VerzweigungenundAttraktorenführendasThemaimHinblickaufdie ÄnderungvonSystemparametern bzw.allgemeinereStabilitätskonzepte fort.Im Kapitel überHamilton-SystemeerarbeitenwirBasiswissenzudieserinderMechanik,Physikund ChemiesowichtigenSystemklasse, dasimabschließendenKapitelaufgegriffenwird,in V VI Vorwort Phasenportrait 1.5 6 1 4 0.5 2 0 (t)2 0 x −0.5 −2 −1 −4 −1.5 −6 −1 0 1 −2 0 2 x (t) 1 Lösungskomponenten abhängig von t 6 4 (t)2 2 (t), x1 0 x −2 −4 −6 3 4 5 6 7 t Abb.1 DasProgramm pendel_anim.m demModellierungundAnalysemitgewöhnlichenDifferentialgleichungenexemplarisch anhanddreierAnwendungsbeispieledurchgeführtwird. ImVergleichzurerstenAuflagehabenwirdieAnordnungdesStoffsindervorliegen- den,gründlichüberarbeitetenzweitenAuflageeinwenigumgestellt.Insbesonderewurde die Behandlung der Stabilitätstheorie für Gleichgewichte vorgezogen und wird nun vor der Einführung weiterer Begriffe aus der Theorie dynamischer Systeme behandelt, was unsausdidaktischerSichtvorteilhafterscheint.ZudemwurdenkleinereErgänzungenim StoffgemachtsowieFehlerundUngenauigkeitenbeseitigt. HinweisefürDozenten DasBuchistsostrukturiert,dasseinKapitelinetwademStoffeinerVorlesungswochemit vierWochenstundenentspricht.Esistdahermöglich,dasBuchdirektalsVorlagefüreine vierstündige Vorlesung mit 13 Semesterwochen zu verwenden. Da auch wir selbst aber eherseltensovorgehen,istesunswichtig,dennochRaumfürindividuelleSchwerpunkte zulassen.Gründehierfürgibtesviele:EineDozentin,dievielWertaufausführlicheEr- läuterungenvonBeweisenlegt,wirdindenGrundlagenkapitelnmöglicherweisemehrZeit Vorwort VII Kapitel 1-4 Einfu¨hrung LineareDifferentialgleichungen L¨osungstheorie L¨osungseigenschaften Kapitel 5 Kapitel 6 LA¨onsaulnytgiesnche LN¨ousmunergiesnche nurfu¨r12.3 Kapitel 7 Kapitel 8 Kapitel 9 Gleichgewichte Lyapunov-Fkt., SpezielleLsg. undStabilit¨at Linearisierung undMengen Kapitel 10 Kapitel 11 Kapitel 12 Verzweigungen Attraktoren Hamiltonsche Diff’gleichungen Kapitel 13 Anwendungs- beispiele Abb.2 VoraussetzungenfürdieKapitel benötigen, während ein Dozent, der die anwendungsorientierten Aspekte betont, diesen Teil schneller abhandelt und dafür mehr Zeit auf die Beispiele verwendet. Eine praxis- orientierte Vorlesung kann die Anhänge über MAPLE und MATLAB, die ansonsten in den Übungen behandelt oder den Studierenden zum Selbststudium empfohlen werden können, in die Vorlesung integrieren und dafür Beweise nur skizziert vorstellen oder einzelne Abschnitte oder Kapitel weglassen. In einem Curriculum, in dem eine Vorle- sungübernumerischeMethodenfürDifferentialgleichungenzumKanongehört,kanndas Kap.6ausgelassenoderstarkgekürztwerden;wennandererseitsderExistenz-undEin- deutigkeitssatzbereitsindergrundlegendenAnalysis-Vorlesungbehandeltwird,kanner hier sicherlich auch recht kurz abgehandelt werden. Und nicht zuletzt gibt es an vielen HochschulenKurseüberDifferentialgleichungen,dienurdreioderzweiWochenstunden vorsehen,sodassKürzungendesStoffesunumgänglichsind. UmsolcheSchwerpunktsetzungenundKürzungensoeinfachwiemöglichzumachen, habenwirdieVoraussetzungenfürdieeinzelnenKapitelinAbb.2grafischdargestellt. EinPfeilvonKapitelxzuKapitelybedeutetdabei,dassKapitelxStoffenthält,derin Kapitely benötigtwird.Diesbedeutetnatürlichnicht,dassalleDefinitionenundResul- tatedieser Kapitel dortgebrauchtwerden.Wenn also dievollständigeBehandlungeines VIII Vorwort vorhergehendenKapitelsausZeitgründennichtmöglichist,empfiehltessich,genauerzu prüfen, welche Teile tatsächlich benötigt werden. Insbesonderegilt dies für die Anwen- dungsbeispieleinKap.13,diebeientsprechenderAufbereitungauchparallelzumaktuell behandeltenStoffineineVorlesungintegriertwerdenkönnen. Die Anhänge zu MAPLE und MATLAB sind in Abb. 2 nicht berücksichtigt, weil sie primärzurBehandlungindenÜbungenoderzumSelbststudiumgedachtsind.Siesetzen den Stoff der Kapitel 1–5 für die analytischen Methoden sowie von Kapitel 6 für die numerischen Methoden voraus; will man allerdings nur die Bedienungder numerischen Methoden erlernen,ohneviel Wertauf den theoretischen Hintergrundzu legen, so kann mandieAnhängeauchohneKapitel6lesen. Danksagung WirmöchtenandieserStelledenHerausgebernderReiheSpringerStudiumMathematik –Bachelor desVerlagesSpringerSpektrumdanken,ohnederenAnregungdieses Buch- projekt wahrscheinlich nicht begonnen worden wäre. Großer Dank gebührt zudem Nils Altmüller, Stefan Jerg, Péter Koltai, Marcus von Lossow, Florian Müller, Sina Ober- Blöbaum, Jürgen Pannek und Karl Worthmann, die durch gründliches Korrekturlesen, vielfältigeAnregungenzurPräsentationdesStoffesundnichtzuletztdasProbelösender ÜbungsaufgabenzumGelingendesBuchesentscheidendbeigetragenhaben.Fürallever- bleibendenFehlerübernehmennatürlichalleinwirdieVerantwortung,sindaberdankbar fürjedenHinweis. Bayreuth LarsGrüne München,imApril2015 OliverJunge Inhaltsverzeichnis 1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 LineareDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1 AutonomeSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 NichtautonomeSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 InhomogenelineareSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Lösungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1 UmformungineineGleichungersterOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 DerExistenz-undEindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4 FolgerungenausdemEindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 DynamischeSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4 Lösungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 LinearisierungundDifferenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5 AnalytischeLösungsmethoden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.1 TrennungderVariablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.2 ExakteDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.3 BernoulliDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.4 ZweidimensionaleautonomeSysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.5 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 IX
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