Gesammelte Mathematische Abhandlungen

401 Pages·1956·12.949 MB·German

by  Ludwig Schläfli (auth.)

GESAMMELTE MATHEMATISCHE
ABHANDLUNGEN
VON
LUDWIG SCHLÄFLI
BAND 111
LUDWIG SCHLÄFLI
1814-1895
GESAMMELTE MATHEMATISCHE
ABHANDLUNGEN
Herausgegeben vom Steiner-Schläfli-Komitee
der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft
BAND III
Springer Basel AG
1956
ISBN 978-3-0348-4044-6 ISBN 978-3-0348-4116-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-4116-0
Nachdruck verboten. Alle Rechte vorbehalten,
insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und
der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm
Copyright 1956 by Springer Basel AG
Ursprünglich erschienen bei Verlag Birkhäuser Basel 1956.
Softcover reprint ofthe hardcover 1st edition 1956
5
INHALT
Erweiterung des Satzes, daß zwei polare Dreiecke perspektivisch liegen,
auf eine beliebige Zahl von Dimensionen. . . . . . . • . . . . . .• 9
J. reine angew. Math. 65, 189-197 (1866). Verzeichnis Graf, Nr. 33 •.
Über die Entwickelbarkeit des Quotienten zweier bestimmter Integrale von
J
der Form dx dy ... dz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
J. reine angew. Math. 67, 183-199 (1867). Verzeichnis Graf, Nr. 35.
Solution of a Partial Differential Equation. . . . . . . . . . 40
Quart. J. Math. 8, 252-256 (1867). Verzeichnis Graf, Nr. 67.
Sopra una equazione a differenziali parziali deI primo ordine . . 45
Ann. Mat. pura appl. [2] 2, 89-96 (1868/69). Verzeichnis Graf, Nr. 53.
Über die Bewegung eines starren Körpers, der in bezug auf seinen Schwer
punkt zwei gleiche Hauptträgheitsmomente hat, wenn ein in der Achse des
dritten ungleichen Hauptträgheitsmoments befindlicher Punkt befestigt
und der Körper der Schwere unterworfen ist . . . . . . . . . . . .. 52
Zum Lektionskatalog der Berner Hochschule (Buchdruckerei Fischer,
Bern 1867). Verzeichnis Graf, Nr. 25.
Sul moto di un pendolo, quando la retta passante pel punto di sospensione
e,
e pel centro di gravita per queste punto, il solo asse principale d'inerzia
che sia determinato di positione. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82
Ann. Mat. pura appl. [2] 1, 105-131 (1867/68). Verzeichnis Graf, Nr. 50.
Sulle relazioni tra diversi integrali definiti che giovano ad esprimere la
soluzione generale della equazione di Riccati . . . . . . . . . . • .. 85
Ann. Mat. pura appl. [2] 1,232-242 (1867/68). Verzeichnis Graf, Nr. 51.
Alcune osservazioni intorno alle funzioni di Laplace . . . . . . • • .. 97
Ann. Mat. pura appl. [2] 1, 243-247 (1867/6.8). Verzeichnis Graf, Nr. 52.
La risolvente dell'equazione di quinto grado sotto la forma di un deter
minante simmetrico a quattro linee . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Ann. Mat. pura appl. [2] 3,171-174 (1869/70). Verzeichnis Graf, Nr. 54.
Sullo sviluppo deI periodo immaginario, pel caso che il modulo delle funzioni
ellittiche sia abbastanza piccolo. . . . . . . . . . . . • . . . . .. 106
Ann. Mat. pura appl. [2] 3, 243-248 (1869/70). Verzeichnis Graf, Nr. 55.
Über die partielle Differentialgleichung iJw/iJt = iJ2wjiJx2 • • • • • • •• 111
J. reine angew. Math. 72, 263-284 (1870). Verzeichnis Graf, Nr. 36.
Einige Bemerkungen zu Herrn Neumanns Untersuchungen über die Bessel
sehen Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 136
Math. Ann. 3, 134-149 (1870). Verzeichnis Graf, Nr. 42.
6 Inhalt
Über die Gaußsche hypergeometrische Reihe . . . . . . 153
Math. Ann. 3, 286-295 (1870). Verzeichnis Graf, ~r. 41.
Über die allgemeinste Flächenschar zweiten Grades, die mit irgend zwei
andern Flächenscharen ein orthogonales System bildet. . . . . . . . . 163
J. reine angew. Math. 76, 126-148 (1873). Verzeichnis Graf, Nr: 38.
Beweis der Hermiteschen Verwandlungstafeln für die elliptischen Modular-
funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 190
J. reine angew. Math. 72, 360-369 (1870). Verzeichnis Graf, Nr. 37.
Über die Beziehung zwischen Analyse und geometrischer Intuition. .. 202
Boll. Bibliogr. Storia Sci. mat. 17, 81-82 (1915). Italienischer Titel: Dei
nesso ehe vige fra l'analisi e l'intuizione geometriea, Rend. reale Istit.
Lombardo Sci.Lett. [2J 5, 290-294 (1872). Verzeichnis Graf, Nr. 60.
Nota alla Memoria deI signor Beltrami, "Sugli spazi di curvatura costante)) 207
Ann.Mat. pu ra appl. [2] 5,178-193 (1871-1873). Verzeichnis Graf, Nr. 56.
Sopra una teorema di Jacobi recato a forma piit generale ed applicato alla
funzione cilindrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Ann.Mat. pura appl. [2J 5,199-205 (1871-1873). Verzeichnis Graf, Nr. 57.
Quand'e ehe dalla superficie generale di terzo ordine si stacca una patre
che non sia realmente segata da ogni piano reale? . . . . . . . . . . 229
Ann. Mat. pu ra appl. [2J 5, 289-295 (1871-1873). Verzeichnis Graf, Nr. 58.
Correzione alla Memoria intitolata: Quand'e che dalla superficie generale
di terzo ordine si stacca un pezzo rientrante? . . . . . . . . . . . . 235
Ann. Mat. pura appl. [2] 7, 193-196 (1875(76). Verzeichnis Graf, Nr. 59.
Sull'uso delle linee lungo le quali il valore assoluto di una funzione e
costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Ann. Mat. pura appl. [2] 6, 1-20 (1873-1875). Verzeichnis Graf, Nr.59a.
Über die linearen Relationen zwischen den 2 P Kreiswegen erster Art und
den 2 p zweiter Art in der Theorie der Abelschen Funktionen der Herren
Clebsch und Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
J. reine angew. Math. 76, 149-155 (1873). Verzeichnis Graf, Nr. 39.
Einige Zweifel an der allgemeinen Darstellbarkeit einer willkürlichen perio
dischen Funktion einer reellen Variablen durch eine trigonometrische Reihe 262
Programm der Berner Hochschule 1874. Verzeichnis Graf, Nr. 26.
Über die allgemeine Möglichkeit der konformen Abbildung einer von Ge
raden begrenzten ebenen Figur in eine Halbebene . . . . . . . . . . . 278
J. reine angew. Math. 78,63-80 (1874). Verzeichnis Graf, Nr. 40.
Über die Konvergenz der Entwicklung einer arbiträren Funktion f(x) nach
den Besselschen Funktionen r(ßl x), J"(ß2 x), r(ßa x), ... , wo ßl' ß2'
Pa, ... , die positiven Wurzeln der Gleichung r(ß) = 0 vorstellen 295
Math. Ann.l0, 137-142 (1876). Verzeichnis Graf, Nr. 43.
Einige Bemerkungen über die Lameschen Funktionen. 300
Collectanea mathematica in Memoriam D. Chelini (Mediolani 1881),
S. 277. Verzeichnis Graf, Nr. 48.
Inhalt 7
Verbesserungen und Zusätze zu den Bemerkungen über die Lameschen
Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Atti reale Accad. Lincei, Memorie Classe Sei. fis., mat. nato [4] 4, 37-44
(1887). Verzeichnis Graf, Nr. 49.
Über die zwei Heineschen Kugelfunktionen mit beliebigem Parameter und
ihre ausnahmslose Darstellung durch bestimmte Integrale . . . . . . . 317
Sollemnia Anniversaria Conditae Universitatis, Heinr. Koerber, Bern
1881. Verzeichnis Graf, Nr. 27.
!00
Ü ber -S.in- bax- . -1dx- - und verwandte Integrale ....... . 393
sm x +x 2
o
Acta mathematica 7, 187-196 (1885). Verzeichnis Graf, Nr. 69.
Verzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
9
Erweiterung des Satzes, daß zwei
polare Dreiecke perspektivisch liegen, auf eine beliebige
Zahl von Dimensionen
Im «Quarterly Mathematical Journal», Bd. I, S. 191,239 und 241, haben
SALMON1) und FERRERs2) Beweise des im Titel ausgesprochenen Satzes für die
Ebene und den Raum gegeben; in dem letzteren treten vier Reihen von je vier
Koordinatenwerten auf, die zusammen eine symmetrische Determinante bilden.
Da die diagonalen Elemente dieser Determinante in den dortigen Proportionen
[5.241, (1) bis (4)] nicht vorkommen, so sind sie variabel, aber durch drei
Relationen, die aus der Aufgabe entspringen, miteinander verbunden. FERRERs
zeigt dann, daß eine vierte von der Aufgabe verlangte Relation, die, wenn sie
unabhängig wäre, alle vier Punkte vollständig bestimmte, nur eine notwendige
Folge der drei vorigen ist. Die Betrachtung des Ferrersschen Beweises hat mich
überzeugt, daß er wesentlich auf diesem Satze beruht:
Das Verschwinden aller ersten Minoren einer symmetrischen Determinante
zählt nur für drei Bedingungen, während es für eine freie Determinante deren
vier zählt.
Der Beweis dieses Satzes ist überflüssig, da er als spezieller Fall in dem
Kroneckerschen Satze enthalten ist, welchen BALTZER in seiner Theorie der
Determinanten, 2. Auflage, 5.33, mitteilt.
Ich will die Zeilen einer Determinante
n)
LI = (0 1 2 3 ...
0123 ... n
mit obern, die Spalten mit untern Zeigern bezeichnen, und indem ich die Ele
mente selbst als Determinanten erster Ordnung betrachte, bezeichne ich die
jenigen der obersten Zeile mit
(~), (~), (~), ... , (~),
ferner setze ich
G) -
(~) (~) (~) = (~~) usw.;
1) G .. SALMON, Geometrical Notes, Quart. ]. pure appl. Math. 1, 237-241 (1857).
I) M. N. FERRERS, Note on Reciprocal Triangles and Tetrahedra, Quart. ]. pure appl. Math. 1,
191-195 (1857).
10 Abhandlung Nr. 33
das in der Determinante mit (~) multiplizierte Aggregat bezeichne ich mit
[0] (123 ... n)
° =
123 ... n'
das mit (~~) multiplizierte Aggregat mit
[01] = (234 ... n) usw.,
02 314 ... n
so daß zum Beispiel
wird.
Dies vorausgesetzt, kann der Satz über die ersten Minoren, um den es sich
hier handelt, folgendermaßen ausgesprochen werden: Es seien die zweiten Mi
noren der Determinante LI nicht sämtlich gleich Null, sondern mindestens einer
derselben, zum Beispiel [~~] , von Null verschieden, dann hat das Verschwinden
der vier ersten Minoren
G], G]
[~], [~],
das Verschwinden sämtlicher ersten Minoren zur Folge.
Im allgemeinen reichen also die vier Bedingungen
G]
[~] = 0, [~] = 0, [~] = 0, = 0
hin, um das Verschwinden sämtlicher ersten Minoren der Determinante LI zu
bewirken. Wenn aber die Determinante symmetrisch ist, so ist [~] = [~] , und
die Bedingungen sind bloß drei an Zahl.
Die Behandlung des allgemeinen Satzes, der Gegenstand dieses Aufsatzes
ist, wird verständlicher werden, wenn ich zuerst den Ferrersschen Beweis für
den räumlichen Fall mit stärkerer Hervorhebung dessen, was ich als Funda
ment betrachte, wiederhole.
Es sei V = (w, x, y, Z)2 das Polynom einer gegebenen Fläche zweiten Grades,
p=kw+ax+by +cz,
q=aw+lx+hy +gz,
r=bw+hx+my+!z,
s=cw+gx+!y +nz
seien seine halben Abgeleiteten, also V = P w + q x + r y +° s z = 0 die Glei°
chung der Fläche. Dann sind die zwei Tetraeder w x y z = und p q r s =
zueinander polar. Im Eck o!ow des ersten Tetraeders ist p = k, q = a, r = b,
s = c, im homologen Eck des zweiten Tetraeders q = 0, r = 0, s = O. Wenn also
Über polare Gebilde höherer Dimension 11
<p eine Variable bedeutet und p, q, r, s als Koordinaten gelten, die auf das zweite
Tetraeder bezogen sind, so sind cp, a, b, e Koordinaten des laufenden Punktes
in der Geraden, die beide homologen Ecken verbindet. Wenn X' 'IjJ, webenfalls
Variable bedeuten, so sind alle vier Geraden, die je zwei homologe Ecken beider
Tetraeder verbinden, durch die Zeilen der Matrix
cp a b e
a X h g
t
b h 'IjJ
t
e g w
dargestellt. Verlangen wir nun, daß alle vier Punkte, je einer auf jeder Verbin
dungslinie, in einer Geraden liegen, so müssen sämtliche ersten Minoren dieser
Matrix verschwinden. Da dieses nur drei Relationen liefert, denen die Variablen
<p, X, 'IjJ, w genügen müssen, so bleibt eine derselben frei, die verlangte Gerade
wird nicht bestimmt, sondern kann sich einfach bewegen und beschreibt daher
eine Fläche zweiten Grades. Es sei (P, q, r, s) ein Punkt der erzeugenden Ge
raden, so steht es uns frei, für denselben die Bedingungen
a h g p q r p q s
t t
b 'IjJ = 0, b h 'IjJ =0, b h = 0
t t
c w e g c g w
zu wählen und aus diesen 'IjJ, w zu eliminieren. Schließen wir den Fall aus, wo
b g = e h, diesem System also entweder durch h p = b q und eine Relation zwi
schen 'IjJ, w, oder ohne eine Relation zwischen p, q, r, s durch e 'IjJ = b t, b w = e t
genügt würde, so ergibt sich
(b g - eh) (f p q + ars) + (e h - a t) (g pr + bq s)
+ (a t - b g) (h P s + e q r) = 0
als Gleichung der Fläche zweiten Grades, die alle vier Verbindungsgeraden ent
hält, was man mit größter Leichtigkeit verifizieren kann.
Will man diese Fläche auf das erste Tetraeder beziehen, so braucht man nur
p, q, r, s durch w, x, y, z und die Elemente a, b, ... durch die entsprechenden
Minoren A, B, ... zu ersetzen. Da BG - eH = LI (b g - eh) usw., so erhält
man 1: (b g - eh) (F w x + A y z) = o. °
Wollte man diese Fläche in bezug auf V = polarisieren, um diejenige
Fläche zweiten Grades zu erhalten, die alle vier Geraden (w = 0, p = 0),
(x = 0, q = 0), (y = 0, r = 0), (z = 0, s = 0) enthält, in denen je zwei homologe
Seitenebenen beider Tetraeder sich schneiden, so hätte man,
b g - eh = eh -: at = p, at - b g = y
(x,