Gesammelte Abhandlungen: Band III: Analysis · Grundlagen der Mathematik Physik · Verschiedenes Lebensgeschichte

442 Pages·1970·15.82 MB·German

by  David Hilbert (auth.)

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BBEERRLLIINN HHEEIIDDEELLBBEERRGG GGMMBBHH 11997700
ISBN 978-3-662-23645-1 ISBN 978-3-662-25726-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-25726-5
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1935 and 1970
Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1970
Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1970
Library of Congress Catalog Card Number 32-23172.
Titel-Nr.1669
Vorwort zum dritten Band.
Entgegen dem ursprünglichen Plan einer vierbändigen Ausgabe meiner
Abhandlungen konnte der Abdruck meiner Arbeiten über Analysis, Physik
und Grundlagen im Rahmen dieses dritten Bandes erfolgen und mit ihm
die Ausgabe abgeschlossen werden. Dies wurde durch Verzicht auf den Ab
druck der als Sonderdruck in Buchform veröffentlichten Abhandlungen über
Integralgleichungen ermöglicht. Ebenso wurde von der Aufnahme derjenigen
Abhandlungen zur Grundlegung der Mathematik, welche bereits als Anhänge
in meinem Buch über Grundlagen der Geometrie abgedruckt sind, abgesehen.
An Stelle der so entstandenen Lücken haben Herr HELLINGER eine zu
sammenfassende Darstellung meiner Arbeiten über Integralgleichungstheorie
und die daran anschließende Entwicklung, Herr BERNAYS eine solche Dar
stellung über die Arbeiten zur Grundlegung der Mathematik gegeben. Die
Arbeiten über Strahlungstheorie sind in freundlicher Weise von Herrn
KRATZER einer Durchsicht unterzogen worden.
Der vorliegende Band enthält ferner einen biographischen Aufsatz aus der
Feder von Herrn BLUMENTHAL.
Allen diesen Herren sowie Herrn HELMUT ULM, dem Generalredakteur
auch für diesen Band, und Herrn ARNOLD SCHMIDT spreche ich für ihre
Mitarbeit, für ihre kommentierenden Anmerkungen usw. meinen herzlichsten
Dank aus.
Endlich gebührt nochmals mein herzlichster Dank der Verlagsbuchhand
lung Julius Springer und ihrem großzügigen Leiter Dr. FERDINAND SPRINGER
für das überaus große Entgegenkommen bei der Fertigstellung dieser Ausgabe.
Göttingen. September 1935.
DAVID HILBERT.
Inhaltsverzeichnis.
1. Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück •.
[Mathem. Annalen Bd.38, S.459-460 (1891).]
2. Über die Entwicklung einer beliebigen analytischen Funktion einer Varia
blen in eine unendliche nach ganzen rationalen Funktionen fortschreitende
Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3
[Göttinger Nachrichten 1897, S. 63--70.]
3. Über das Dirichletsche Prinzip. . . . . . . . . . 10
[J. reine angew. Math. Bd. 129, S.63-67 (1905).]
4. Vber das Dirichletsche Prinzip . . . . . . . . 15
[Mathem. Annalen Bd. 59, S. 161-186 (1904).]
§ 1. Darlegung des Problems . . . . . . . . . 15
§ 2. Hilfssatz über Dirichletsche Integrale . . . 17
§ 3. Allgemeiner Hilfssatz über gleichmäßige Konvergenz. 18
§ 4. Hilfssatz über das Verschwinden eines gewissen Doppelintegrals bei will-
kürlicher Wahl einer unter dem Integralzeichen vorkommenden Funktion. 19
§ 5. Konstruktion der gesuchten Potentialfunktion auf Grund des Dirichletschen
Prinzips. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
§ 6. Beweis der Existenz der Funktion v. . . . . . . . . . . . . 25
§ 7. Existenz der Funktion u und Beweis ihrer Potentialeigenschaft . 27
§ 8. Beweis für die verlangte Unstetigkeit der Potentialfunktion u auf der
KurveC ......................... 32
§ 9. Der Wert des Dirichletschen Integrals der Potentialfunktion u auf der
Riemannschen Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§ 10. Beweis für das reguläre Verhalten der Potentialfunktion u in den unendlich
fernen Punkten und in den Verzweigungspunkten der Riemannschen Fläche 36
o. Zur Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
[Mathem. Annalen Bd. 62, S. 351-370 (1906).]
Notwendigkeit des Bestehens der Lagrangeschen Differentialgleichungen. 38
Unabhängigkeitssatz und Jakobi-Hamiltonsche Theorie des zugehörigen Integra-
tionsproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Übertragung der Methode des unabhängigen Integrals auf Doppelintegrale . 48
Minimum der Summe eines Doppelintegrals und eines einfachen Randintegrals 51
Allgemeine Regel für die Behandlung von Variationsproblemen und Aufstellung
eines neuen Kriteriums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6. Wesen und Ziele einer Analysis der unendlichvielen unabhängigen Variablen fi6
[Rend. deI. Circolo mat. di Palermo Bd. 27, S. 59-74 (1909).]
7. Zur Theorie der konformen Abbildung . . 73
[Göttinger Nachrichten 1909, S. 314-323.]
VI Inhaltsverzeichnis.
8. "Ober den Begriff der Klasse von Differentialgleiehungen 81
[Mathem. Annalen Bd. 73, S. 95-108 (1912).]
Hilberts Arbeiten über Integralgleichungssysteme und unendliche Gleichungs-
systeme. Von Ernst Hellinger. . . 94
I. Die Entwicklung vor Hilbert ... . . . . . 94
11. Hilberts Integralgleichungstheorie . . . . . 100
111. Anwendungen der Integralgleichungstheorie . 124
A. Eigenwerttheorie der Randwertaufgaben 124
B. Auflösungstheorie der Randwertaufgaben 133
C. Besondere Probleme. 135
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9. Axiomatisches Denken . . . . . . . . . 146
[Mathem. Annalen Bd. 78, S. 405-415 (1918).]
10. Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung . . . . . . . . . . . 157
[Abhand!. aus dem Math. Seminar d. Hamb. Univ. Bd. I, S.157-177 (1922).]
11. Die logischen Grundlagen der Mathematik ... 178
[Mathem. Annalen Bd. 88, S. 151-165 (1923).]
12. Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre ............. 192
[Mathem. Annalen Bd. 104, S. 485-494 (1931).]
Hilberts Untersuchungen über die Grundlagen derArithmetik. VonPaulBernays. 196
13. Begründung der elementaren Strahlungstheorie ............ 217
[Göttinger Nachrichten 1912, S. 773-789; Physik. Zeitschrift Bd. 13, S. 1056
bis 1064 (1912); Jahresber. d. deutsch. Mathem.-Vereinigung Bd.22, S.I-16
(1913).]
14. Bemerkungen zur Begründung der elementaren Strahlungstheorie .... 231
[Göttinger Nachrichten 1913, S. 409-416; Physik. Zeitschrift Bd. 14, S.592
bis 595 (1913).]
15. Zur Begründung der elementaren Strahlungstheorie. Dritte Mitteilung. . 238
[Göttinger Nachrichten 1914, S. 275-298; Physik. Zeitschrift Bd. 15, S.878
bis 889 (1914).]
Einleitung. . . . . . . . . . . . 238
§ 1. Die Axiome der Strahlungstheorie . 239
§ 2. Beweise des Kirchhoffschen Satzes. 243
§ 3. Strahlungstheorie und elementare Optik 248
§ 4. Die Widerspruchslosigkeit der Axiome . 252
16. Die Grundlagen der Physik . . . . . . . 258
[Mathem. Annalen Bd. 92, S. 1-32 (1924).]
17. Mathematische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 290
[Archiv f. Math. u. Phys. 3. Reihe, Bd. 1, So 44-63, S.213-237 (1901).]
1. Cantors Problem von der Mächtigkeit des Kontinuums . . . . . . .. 298
2. Die Widerspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome . . . . . . .. 299
3. Die Volumengleichheit zweier Tetraeder von gleicher Grundfläche und Höhe 301
4. Problem von der Geraden als kürzester Verbindung zweier Punkte ... 302
5. Lies Begriff der kontinuierlichen Transformationsgruppe ohne die Annahme
der Differenzierbarkeit der die Gruppe definierenden Funktionen . . . . 304
Inhaltsverzeichnis. VII
6. Mathematische Behandlung der Axiome der Physik 306
7. Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen 308
8. Primzahlprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . 309
9. Beweis des allgemeinsten Reziprozitätsgesetzes im beliebigen Zahlkörper 310
10. Entscheidung der Lösbarkeit einer diophantischen Gleichung . . . " 310
11. Quadratische Formen mit beliebigen algebraischen Zahlkoeffizienten .. 310
12. Ausdehnung des Kroneckerschen Satzes über Abelsche Körper auf einen be·
liebigen algebraischen Rationalitätsbereich . . . . . . . . . . . . . . . 311
13. Unmöglichkeit der Lösung der allgemeinen Gleichung 7. Grades mittels Funk-
tionen von nur 2 Argumenten . . . . . . . . . . . . . . 313
14. Nachweis der Endlichkeit gewisser voller Funktionensysteme 314
15. Strenge Begründung von Schuberts Abzählungskalkül . . 316
16. Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen 317
17. Darstellung definiter Formen durch Quadrate. . . . . . 317
18. Aufbau des Raumes aus kongruenten Polyedern 318
19. Sind die Lösungen regulärer Variationsprobleme stets notwendig analytisch? 320
20. Allgemeines Randwertproblem .................... 321
21. Beweis der Existenz linearer Differentialgleichungen mit vorgeschriebener
Monodronomiegruppe ........................ 322
22. Uniformisierung analytischer Beziehungen mittels automorpher Funktionen 323
23. Weiterführung der Methoden der Variationsrechnung ...... 323
18. Zum Gedächtnis an Karl Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . 330
[Göttinger Nachrichten 1897, Geschäftliche Mitteilungen, S.60-69.]
19. Hermann MinkOlvski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
[Göttinger Nachrichten, Geschäftliche Mitteilungen, 1909, S.72-101, und
Mathem. Annalen Bd.68, S.445--471 (1910).]
20. Gaston Darboux .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
[Göttinger Nachrichten 1917, Geschäftliche Mitteilungen, S.71-75.]
21. Adolf Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
[Mathem. Annalen Bd.83, S. 161-168 (1921).]
22. Naturerkennen und Logik. . . . . . . . 378
[Naturwissenschaften 1930, S.959-963.]
Lebensgeschichte. Von Otto Blumenthai ... 388
a) Verzeichnis der von Hilbert gehaltenen Vorlesungen . . 430
b) Verzeichnis der bei Hilbert angefertigten Dissertationen. 431
c) Verzeichnis derjenigen Hilbertschen Schriften, die nicht in die Gesam
melten Abhandlungen aufgenommen worden sind . . . . . . . . . . 434
1. Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein
Flächenstück
1•
[Mathem. Annalen Bd.38, S.459-460 (1891).]
PEANO hat kürzlich in den Mathematischen Annalen 2 durch eine arith
metische Betrachtung gezeigt, wie die Punkte einer Linie stetig auf die Punkte
eines Flächenstückes abgebildet werden können. Die für eine solche Abbildung
erforderlichen Funktionen lassen sich in übersichtlicherer Weise herstellen,
wenn man sich der folgenden geometrischen Anschauung bedient. Die abzu
bildende Linie - etwa eine Gerade von der Länge 1 - teilen wir zunächst in
4 gleiche Teile 1, 2, 3, 4 und das Flächenstück, welches wir in der Gestalt eines
Quadrates von der Seitenlänge 1 annehmen, teilen wir durch zwei zu einander
senkrechte Gerade in 4 gleiche Quadrate 1,2,3,4 (Abb.1). Zweitens teilen wir
1 2 3 123 ~ U?
I I I I I I 111 I I I I I I I I 11111 I I
8 7 10 11
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Abb.1. Abb.2. Abb.3.
jede der Teilstrecken 1,2,3,4 wiederum in 4 gleiche Teile, so daß wir auf der
Geraden die 16 Teilstrecken 1,2,3, ... , 16 erhalten; gleichzeitig werde jedes
der 4 Quadrate 1, 2, 3, 4 in 4 gleiche Quadrate geteilt und den so entstehenden
16 Quadraten werden dann die Zahlen 1,2, ..., 16 eingeschrieben, wobei je
doch die Reihenfolge der Quadrate so zu wählen ist, daß jedes folgende Quadrat
sich mit einer Seite an das vorhergehende anlehnt (Abb. 2). Denken wir uns
dieses Verfahren fortgesetzt - Abb. 3 veranschaulicht den nächsten Schritt - ,
1 Vgl. eine Mitteilung über denselben Gegenstand in den Verhandlungen der Gesell
schaft deutscher Naturforscher und Ärzte. Bremen 1890.
2 Bd. 36, S. 157.
Hilben, Gesammelte Abhandlungen. Bd. 111. 1
2 Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück.
80 ist leicht ersichtlich, wie man einem jeden gegebenen Punkte der Geraden
einen einzigen bestimmten Punkt des Quadrates zuordnen kann. Man hat nur
nötig, diejenigen Teilstrecken der Geraden zu bestimmen, auf welche der ge
gebene Punkt fällt. Die mit den nämlichen Zahlen bezeichneten Quadrate
liegen notwendig in einander und schließen in der Grenze einen bestimmten
Punkt des Flächenstückes ein. Dies sei der dem gegebenen Punkte zugeordnete
Punkt. Die so gefundene Abbildung ist eindeutig und stetig und umgekehrt einem
jeden Punkte des Quadrates entsprechen ein, zwei oder vier Punkte der Linie.
Es erscheint überdies bemerkenswert, daß durch geeignete Abänderung der
Teillinien in dem Quadrate sich leicht e'ine eindeutige und stetige Abbildung
finden läßt, deren Umkehrung eine nirgertds mehr als dreideutige ~:st.
Die oben gefunder.en abbildenden Funktionen sind zugleich einfache Bei
spiele für überall stetige und nirgends differenzierbare Funktionen.
Die mechanische Bedeutung der erörterten Abbildung ist folgende: Es kann
sich ein Punkt stetig derart bewegen, daß er während einer endlichen Zeit sämt
liche Punkte eines Flächenstückes trifft. Auch kann man - ebenfalls durch
geeignete Abänderung der Teillinien im Quadrate - zugleich bewirken, daß
in unendlich vielen überall dichtverteilten Punkten des Quadrates eine bestimmte
Bewegungsrichtung sowohl nach vorwärts wie nach rückwärts existiert.
Was die analytische Darstellung der abbildenden Funktionen anbetrifft,
so folgt aus ihrer Stetigkeit nach einem allgemeinen von K. WEIERSTRASS be
wiesenen Satzel sofort, daß diese Funktionen sich in unendliche nach ganzen
rationalen Funktionen fortschreitende Reihen entwickeln lassen, welche im
ganzen Intervall absolut und gleichmäßig konvergieren.
Königsberg i. Pr., 4. März 1891.
1 Vgl. Sitzungsber. der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 9. Juli 1885, S. 326.
2. Ober die Entwicklung einer beliebigen analytischen
Funktion einer Variahlen in eine unendliche nach ganzen
rationalen Funktionen fortschreitende Reihe.
[Göttinger Nachrichten 1897, S.63-70.]
In der vorliegenden Note soll der folgende Satz bewiesen werden:
Es sei in der Ebene der komplexen Variablen z irgend ein endliches, einfach
zusammenhängendes und die Ebene nirgends mehrfach überdeckendes Gebiet J
und ferner eine im Inneren dieses Gebietes J überall reguläre analytische Funk
tion f(z) der komplexen Variablen z vorgelegt: dann läßt sich diese Funktion f(z)
stets in eine unendliche Reihe
entwickeln, welche in der Umgebung jedes Punktes im Inneren von J gleich
mäßig konvergiert und deren Glieder G (z) , G (z) , G (z) , ... sämtlich ganze
1 2 3
rationale Funktionen von z sind.
Wir denken uns das Gebiet J durch eine Kurve begrenzt, die aus end
lich vielen Stücken mit stetig sich ändernden Tangenten und Krümmungen
besteht, wenngleich diese beschränkende Annahme für das Folgende keine
wesentliche ist. Unter dem Inneren des Gebietes J verstehen wir die inner
halb J und nicht auf der Grenzkurve von J gelegenen Punkte. Auch sei be
merkt, daß der Satz noch gültig bleibt, wenn das Gebiet J sich ins Unendliche
hin erstreckt; nur muß dann der unendlichferne Punkt selbst zur Begrenzung
des Gebietes J gehören. Die analytische Funktion f(z) darf auf der Grenz
kurve und außerhalb des Gebietes J beliebige Singularitäten besitzen. So
gestattet beispielsweise nach der eben erwähnten Erweiterung des auf-
gestellten Satzes jede der Funktionen~, (Z, l(z) eine Entwicklung in eine
z
unendliche Reihe, die nach ganzen rationalen Funktionen fortschreitet und in
der ganzen Ebene gleichmäßig konvergiert, wenn man allein die Punkte der
positiven Achse der reellen Zahlen ausnimmt.
Die Forderungen des einfachen Zusammenhanges von J und der ein
fachen Oberdeckung der Ebene durch J sind offenbar notwendig, wenn
jede in J reguläre Funktion die verlangte Entwicklung gestatten soll.
Es ist nicht schwer, die Funktion f(z) in eine unendliche, innerhalb J gleich-
1*