Gesammelte Abhandlungen: Band I PDF
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C.L. SIEGEL· GESAMMELTE ABHANDLUNGEN phot. E. Reidemeister C.L. 5~ CARL LUDWIG SIEGEL GESAMMELTE ABHANDLUNGEN BAND I Herausgegeben von K. Chandrasekharan und H. Maaß SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1966 ISBN 978-3-662-27214-5 ISBN 978-3-662-28697-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-28697-5 AI1e Rechte vorbehaltcn. Ohne ausdriickliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) zu vervielfiiltigen @ by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1966 Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin · Heidelberg 1966 Softcover reprint of the hardcover lSt edition 1966 Library of Congress Catalog Card Number 65·2.82.89 Titei-Nr. 13n Preface The publication of this collection of papers is intended as a service to the mathematical community, as weH as a tribute to the genius of CARL Lunwm SIEGEL, who is rising seventy. In the wide range of his interests, in his capacity to uncover, to attack, and to subdue problems of great significance and difficulty, in his invention of new concepts and ideas, in his technical prowess, and in the consummate artistry of his presentation, SIEGEL resembles the classical figures of mathematics. In his combina tion of arithmetical, analytical, algebraical, and geometrical methods of investiga tion, and in his unerring instinct for the conceptual and structural, as distinct from the merely technical, aspects of any concrete problem, he represents the best type of modern mathematical thought. At once classical and modern, his work has profoundly infl.uenced the mathematical culture of our time. Thanks are due to Springer-Verlag for undertaking this publication, which will no doubt stimulate generations of scholars to come. K.CHANDRASEKHARAN Zur Bibliographie Die vorliegende dreibändige Sammlung umfaßt alle bisher im Druck erschiene nen Arbeiten und Aufsätze SIEGELs. Sie enthältferner unter Nr. 72 eine Monographie von grundlegender Bedeutung in der Theorie der quadratischen Formen. Unberück sichtigt bleiben Bücher und hektographierte Vorlesungsausarbeitungen, die ebenso wie die zahlreichen Briefe aus SIEGELs Feder wichtige Entdeckungen und An regungen enthalten. Ein an W. GRÖBNER gerichteter Brief, der dem vorliegenden Werk mit freundlicher Zustimmung von Absender und Empfänger als Faksimile unter Nr. 82 beigefügt ist, gibt hiervon Zeugnis. Korrekturen sind, soweit dies bei dem photomechanischen Reproduktionsverfahren möglich ist, bereits im Text berücksichtigt worden. In einigen wenigen Fällen, in denen eine längere Bemer kung angezeigt war, wurden Fußnoten eingefügt. Im großen Ganzen sind die Korrekturen geringfügig und vom Autor meist selbst angegeben worden. Die Anordnung der Arbeiten entspricht einer von SIEGEL festgelegten Reihenfolge. Eine vollständige Liste aller Titel istmit Literaturangaben in Bandill aufgenommen worden. Im Oktober 1965 H. MAASS Inhaltsverzeichnis Band I 1. Approximation algebraischer Zahlen . . . . . . 1 2. Approximation algebraischer Zahlen . . . . . . 6 3. Darstellung total positiver Zahlen durch Quadrate 47 4. Über Näherungswerte algebraischer Zahlen . . . 77 5. Ueber die Coefficienten in der Taylorschen Entwicklung rationaler Funktionen. 97 6. Ueber den Thueschen Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7. Neuer Beweis für die Funktionalgleichung der Dedekindschen Zetafunktion 113 8. Additive Theorie der Zahlkörper I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 9. Bemerkungen zu einem Satz von Hamburger über die Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion . . . . . . . . 154 10. Über die Diskriminanten total reeller Körper ...... . 157 11. Neuer Beweis des Satzes von Minkowski über lineare Formen 165 12. Additive Zahlentheorie in Zahlkörpern . . . . . . . . . . 168 13. Neuer Beweis für die Funktionalgleichung der Dedekindschen Zetafunktion II . 173 14. Additive Theorie der Zahlkörper II. . .. . . . . . . . . . . . . 180 15. The integer solutions of the equation y• = ax" + bx" ~ 1 + · · : + k . 207 16. Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen 209 17. Über die Perioden elliptischer Funktionen . . . . . . . . . . . . 267 18. Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie 275 19. Über Gitterpunkte in convexen Körpern und ein damit zusammenhängendes Extre- malproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 20. Über die analytische Theorie der quadratischen Formen . . 326 21. Über die Glassenzahl quadratischer Zahlkörper . . . . . . 406 22. Über die analytische Theorie der quadratischen Formen II 410 23. Über die algebraischen Integrale des restringierten Dreikörperproblems 444 24. Mittelwerte arithmetischer Funktionen in Zahlkörpern . . . . 453 25. The volume of the fundamental domain for some infinite groups 459 26. Über die analytische Theorie der quadratischen Formen III . . 469 1. Approximation algebraischer Zahlen Jahrbuch der Philosophischen Fakultät Göttingen Teil II Auszüge aus den Dissertationen der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Abteilung 1921, 291-296 1) Die Frage nach der Ordnung des Restgliedes bei der Ap proximation algebraischer Zahlen durch rationale Brüche ist erst in den letzten zwölf Jahren wesentlich gefördert worden. Im Jahre 1908 machte nämlich Thue 1) die wichtige Entdeckung, daß bei jeder reellen algebraischen Zahl ~ vom Grade n > 2 und jedem E > 0 die Ungleichung ,<_n_ (1) ~~-; 1 __ (y>O) 2+l+E y nur endlich viele Lösungen in ganzen rationalen x, y besitzt. Vor Thue war nur durch Liouville 2) die Existenz einer positiven Zahl m c = c bekannt, für welche die Ungleichung -; I :n I~ < (y > 0) unlösbar ist. Ich habe nun gefunden, daß auf der rechten Seite von (1) der Exponent von y unter die Größenordnung n herab gedrückt werden kann; es ist nämlich nur für endlich viele ganze rationale x, y ,<_1 II:_ X "' y = 2..;;:" · y 1) Bemerkungen über gewisse Näherungsbrüche algebraischer Zahlen. Über rationale Annäherungswerte der reellen Wurzel der ganzen Fanktion dritten Grades x3- ax-b. Om en generel i store hele tal ulgsbar ligning. Skrifter udgivne af Videnskabs-Selskabet i Christiania, Jahrgang 1908. Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen. Journal für die reine und augewandte Mathematik, Bd. 135 (1909), S. 284-305. 2) Sur des classes tres-etendues de quantites, dont la valeur n'est ni alge brique, ni meme reductible a des irrationnelles algebriques. Journal de Mathe matiques pures et appliquees, Ser. 1, Bd. 16 (1851), S. 133-142. Siegel, Gesammelte Abhandlungen I 2 Dies gilt auch noch, wenn der Exponent 2 \jn durch die Zahl l) min (;.-~ + + mit festem > 0 ersetzt wird. Dieser + E E Ä= 1, ... n Satz ist mit dem Thue'schen nur für n < 7 identisch; für alle n > 7 ist er schärfer als dieser. 2) Die Beweismethode ist einer Verallgemeinerung fähig, welche gestattet, einen Satz über die Approximation einer alge braischen Zahl durch andere algebraische Zahlen (also nicht nur durch rationale Brüche) herzuleiten; es ergibt sich I. Ist ~ vom Grade d > 2 in Bezug auf einen algebraischen Zahlkörper K und wird für jede Zahl a aus K die Funktion H(a) ("Höhe von a") als das Maximum unter den absoluten Beträgen der teilerfremden ganzen Koeffizienten in der im Körper der rationalen Zahlen irreduzibeln Gleichung für a erklärt, so hat die Ungleichung nur endlich viele Lösungen in primitiven Zahlen~ aus K. Dies gilt auch noch, wenn der Exponentc 2 :\jld durch _min +l)+s Ä-1, ... d mit festem > 0 ersetzt wird. E II. Man beschränke sich bei der Approximation von ~ nicht auf primitive Zahlen eines festen Körpers, sondern lasse für ~ be liebige algebraische Zahlen eines festen Grades h < n zu. Dann hat die Ungleichung 1~-~1<--1 --= H(~)2hyn Vn nur endlich viele Lösungen; und hierin kann 2 h noch durch l l) h + + den besseren Wert min ( +n 1 E ersetzt werden. Ä= 1, ... n 3) Die bedeutendste Anwendung, welche Thue 1) von seiner Abschätzung machte, ist der Beweis seines bekannten Satzes: Ist U(x, y) ein rationalzahliges homogenes irreduzibles Polynom vom Grade > 3, so hat die Diophantische Gleichung U(x, y) = h 1) Vergl. die oben genannten Arbeiten.
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