Géométrie riemannienne en dimension 4

408 Pages·1981·20.385 MB·French

by  Arthur Besse

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geom~trie
nemann1enne
en dimension 4
Seminaire Arthur Besse 1978/79
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com1" te' d'e'd "t1"1 on .
Uonel Berard-Bergery
Marcel Berger .
Christion Houzel
CEDIC/FERNAND NATHAN
Dans la meme collection
« Textes mathematiques » ·
1 Structures metriques pour les varietes riemanniennes. M. Gromov;
redige par J. Lafontaine et P. Pausu.
2 Cohomologie des groupes topologiques et des algebres de Lie.
A. Guichardet.
3 Geometrie riemannienne en dimension 4. Seminaire Arthur Besse
1978179.
Editions CEDIC
93, avenue d'Italie
75013 PARIS. Tel. : [phone]
Ce volume porte Ia reference
ISBN 2-7124-0717-2
© CEDIC, Paris 1981
<< Toute reproduction, meme partielle, de cet ouvrage est interdite. Une copie ou repro
duction par quelque procede que ce soit, photographie, photocopie, microfilm, bande
magnetique, disque ou autre, constitue une contrefa~;:on passible des peines prevues par
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'
ERRATA
Expose n° I
p. 4, 1. 13, Iire « l'expose n° IV »
I
p. 7, 1. 22 Iire
h+k=q
p. 16, 1. 12 Iire w (E)
2
p. 23, 1. 12 Iire 1/45(7 X2 - Xi)
Expose n° III
p. 42, 1. 26 Iire « de dimension complexe 2 »
p. 43, 1. 5 Iire « Ia representation <p de G »
p. 44, 1. 1 Iire « G = H X1 S1), »
p. 44, 1. 2 intercaler « ou bien G n'est pas resoluble et on a le tableau sui
vant »
p. 49, 1. 18 Iire « puisque K est compact »
2
p. 51, 1. 10 au debut Iire « son noyau est » ... »
p. 54, 1. 15 Iire « un sous-groupe G resoluble unimodulaire simplement
0
connexe »
p. 54, 1. 20 Iire « Ie s groupes resolubles unimodulaires simplement connexes »
Expose n° IV
CP
p. 65, I. 13 au lieu de CP2 Iire 2
p. 66, I. 6 au lil'U lk ( C 2• p. CP1) Iire (C2, p, CP1)
p. 67, 1. - 7, Iire « l'espace total d'un fibre »
p. 71, 1. 12 Iire CP1 X El
p. 73, I. 1 Iire « des courbes complexes distinctes »
p. 74, 1. 11 au lieu de « Fn de Fn » Iire « f:n de Fn »
F
Proposition 3. 4. 3, I. 2, Iire
n
p. 74, I. - 1, Iire (CP2, orc) # (CP2, orc)
p. 75, 1. 4, Iire (CP2, orc) # (CP2, - orc) (L'existence d'une metrique
d'Einstein sur Ia somme connexe de deux projectifs de meme
a
orientation n'est pas demontree ce jour)
Expose n° V
p. 86, diagramme (27) : les fleches verticales qui figurent sur ce diagramme
ne sont en fait definies que sur I es noyaux des fleches horizontales
dr correspondantes et devraient de ce fait figurer en pointilU:s
Expose n° VIII
p. 157, I. 7, Il semble que cette partie du resultat de [17] soit encore endoute.
I. - 3, kähleriennes
IR -
1. - 1, C1 (X)
No
p. 158, 1. 13, V
p. 161, I. 7, _:16
I. 10, ) , la ...
I. 13, -16
I. - 1, si X n'est pas simplement connexe.
p. 162, I. 2, Cheeger et D. Gromoll
I. 7, sont celles obtenues ...
I. 13, par
I. - 2, complete d'une quadrique
CJ
p. 163, I. 2, sur
I. 4, Chern. La -; .
. I. 24, N° IV, apropos de l'eclatement).
I. - 9, (Z1,-
l. - 8, ~(... _!(Z1, •••
p. 164, I. 14, Kähler
I. 24, complexe muni
p. 165, I. - 5, induit sur
p. 167, 1. 12,
arj~
I. 18, precedemment (ou ...
I. 21, (8ij(t)l
p.168, 1.1, m-
1. - 8,
bl,l
p. 172, 1. 1, Bur.!!s
a
I. 3 7 Supprimer « Pourtant. .. kahlerienne. »
p. 173, I. 4, N° XI)
ur
l
I. 8, II
I. 10, N° IX)
I. 16, N° XIII)
p. 176, I. 11, GROMOLL
I. 14, New York (1967).
I. 16, Interscience, N ew Y ork (1978).
I. - 4, theorems for Kähler
I. - 3, Compositio Math.
p. 177, I. 7, Applications of the Kähler-Einstein-Calahi-Yau metrics to
moduli of K 3 surfaces, Inventiones Math. 61 (1980), 251-265.
1. - 2, Am~re
Expose n° X
p. 191' 1. 11' Iire p = (cx, ß) p
f
p. 193, 1. 14, Iire p1 = 1/4 1t2 tr(R * R) Vg
p. 194, 1. 4, lire « dans l'expose n° XI p. 207»
Expose no XII
p. 243, 1. 3, une surface reglee (de genre g)
p. 246, 1. - 7, [A$] p. 43 Oll [RH] p. 376
p. 247, 1. 5, a courhure Scalaire partout positive
1. 9, [SY] p. 217-218 .
ul
p. 250, 1. 11, u U2
p. 260, 1. - 6, - (R( q>) + iq> o p, <P)
Expose n° XIII
p. 267, 1. 9, Iire « que Ia variete soit d'Einstein etacourhure scalairenulle »
1. 16, Iire « expose n° IX »
p. 269, 1. - 1, lire Q = RiTjJ Rkkii
5
p. 274, 1. 9, p.441
1. 10, Ia projection de 3 sur M.
p. 275, 1. 8, expose n° IX
p. 277, 1. - 3, Iire « de dimension complexe 4 »
Expose n° XVIII
p. 347, 1. 10, ... , cf. 10 ...
p. 348, 1. 3, theoreme
1. - 10 a _:-14, Supprimer ·de « Comme. .. produit ».
p. 349, 1.- 5, II cxll-2 cx ...
p. 350, I. 10, cr = ...
f
p. 351, I. 13, II ß 112
I. - 7, - II ß lll.
1. - 6, poser
p. 354, 1. 22, me--

INTRODUCTION
A. POURQUOI LA DIMENSION 4.
A l'exception de deux d'entre eux, les textes de ce recueil sont des exposes
a
de mon Seminaire de Geometrie Riemannienne, tenu en 78-79 l'Universite
Paris VII. L'originalite en est variable, et j'espere que les references donnees
a
dans chacun d'entre eux dissipent toute ambiguite ce sujet.
Comme le titre l'indique, il ne s'agit pas de topologie des varietes de dimen
sion 4, sujet sur lequel on pourra consulter [M]. Par contre, m'etant rendu compte
que 4 = 2.2, j'y ai mis un materiel non negligeable de Geometrie Complexe.
D'un point de vue geometrique les varietes compactes de hasse dimension
presentent les grands traits suivants :
a) En dimension deux, une fois connu si elles sont orientables ou non, elles
sont classees topologiquement par le genre g, qui determine le groupe fondamentat
explicitement. Chaque variete orientee a une structure complexe, unique si
g = 0 ; on en a au contraire une famille continue si g > 0. Du point de vue
a
riemaimien, toute variete admet une metrique courhure constante, et le ·Iien
entre courhure et topologie est concentre dans Ia formule de Gauss-Bonnet.
b) En dimension trois, on ne sait toujours pas (conjecture de Poincare)
si S3 est Ia seule variete simplement connexe. 11 existe des groupes de presentation
finie qui ne sont le groupe fondamentat d'aucune variete (cf. [S]). Par ailleurs,
W. Thurston a annonce qu'une variete « suffisamment grande » dont le groupe
a
fondamentat ne contient pas 7L EB 7L admet une metrique courhure constante
negative.
c) En dimension quatre, tout groupe de presentation finie est le groupe
fondamentat d'une variete compacte (cf. [Ma], p. 96), ce qui öte tout espoir d'une
classification topologique. Dans le cas simplement connexe, un röle fondamentat
est joue par Ia forme d'intersection, dont le type en tant que forme quadratique
entiere sur le deuxieme groupe d'homologie determine le type d'homotopie.
L'etude des surfaces complexes (topologie des varietes qui admettent une
structure complexe, etude des structures complexes d'une variete donnee ...) est
d'une richesse et d'une complication dont le cas des courbes ne donne aucune
idee. Une variete dont?ee peut comme S4 n'admettre aucune structure complexe,
admettre comme S1 x S3 des structures complexes mais aucune structure
kählerienne. Une variete simplement connexe peut comme CP2 avoir une struc
ture complexe unique, ou comme S2 x S2 ou les surfaces K3 avoir uneinfinite
de structures complexes distinctes. ·
Enfin, du point de vue riemannien, la dimension 4 est la premi<!re dimension
ou le tenseur de courhure intervient en tant que tenseur d'ordre 4, n'etant plus
determine parIacourhure scalaire (comme pour n = ~) ou Ia courhure de Ricci
(comme pour n = 3). De plus, S04 est le seul des groupes SOn (n ~ 3) a n'etre pas
presque simple. Cela se traduit geometriquement par l'existence d'une decomposi
tion du fihre des 2-formes exterieures sur une variete riemannienne orientee qui
intervient dans presque chaque expose.
d) I1 m'a ete suggere indirectement de passer a l'etude de Ia dimension cinq.
Mes chevres ne veulent pas en entendre parler, et je crois que je vais me ranger
a leur avis.
B. CONTENU DES EXPOSEs.
Le premier donne des resultats topologiques de hase (caracteristique d'Euler
Poincare, signature, classes caracteristiques ... ) et une description elementaire
(i.e. sans utiliser les racines) des representations lineaires en dimension inferieure
egale a 4. Dans le troisieme, on classifie les varietes riemanniennes homogenes
Oll
de dimension 4. Si leur type topologique est hien ce qu' on attend (S\ CP2 et les
produits evidents de varietes de dimension inferieure ), Ie s structures rieman
niennes homogenes sont heaucoup plus nomhreuses.
Le quatrieme presente au contraire l'exemple le plus simple de variete sim
plement connexe qui n'ait pas Ia topologie d'un espace homogene : la somme
connexe ( CP2, +) # ( CP2, - ). I1 s'agit d 'un exemple cle a plus d'un titre :
pour distinguer cette variete de S2 x S2, on doit utiliser les proprietes arithme
tiques de Ia forme d'intersection. Elle admet une infinite denomhrahle de struc
tures complexes distinctes. Du point de vue riemannien enfin, c'est le premier
exemple de variete simplement connexe admettant une metrique a courhure non
negative sans avoir Ia topologie d'un espace homogene. (Ceci est un resultat de
J. Cheeger qui fait l'ohjet de l'expose n° XIV.) 11 y a aussi sur (CP2, +) # (CP2, -)
une metrique d'Einstein (ce qui veut dire que Ia courhure de Ricci est propor
tionnelle a la metrique) qui est le seul exemple coilnu de metrique d'Einstein
non homogene a courhure de Ricci positive. La construction de cette metrique
est decrite dans l'expose n° XV.
Enfin, la ressemhlance deja evoquee entre (CP2, +) # (CP2, -) et S2 x S2
fait qu'une des tentatives de resoudre Ia conjecture de Hopf (non-existence de
metriques a courhure strictement positive sur S2 X S2) emploie des techniques
li
qui englobent Ie s deux cas. Un bilan de ce qui est connu ( ou m'est connu) de Ia
conjecture de H. Hopfest fait dans l'expose n° XVIII.
Les exposes V et VI pretendent donner au lecteur familier avec Ia geometrie
differentielle des elements de base de geometrie complexe qu'il serait susceptible
d'ignorer et qui sont pourtant indispensables ä. une bonne comprehension de
· certaines parties de l'ouvrage, en ·particulier des exposes VII, VIII et XII; il y
est traite, de fa9on plus ou moins allusive, de fibres vectoriels holomorphes,
de diviseurs, de nombres d'intersection, etc. (cf. table des matieres), en privile
giant naturellement le cas de Ia dimension (complexe) 2; dans ce cas, nous nous
sommes efforces de donner des demonstrations completes.
L'expose VII developpe dans une premiere partie quelques proprietes des
surfaces de Hopf- au sens restreint du terme - c'est-ä.-dire des structures
complexes sur 81 x 83, qui constituent les premiers exemples connus de sur
faces complexes n'admettant pas de metriques kähleriennes; dans une seconde
partie est aborde le problerne de l'existence d'une structure presque complexe
ou complexe sur une variete compacte de dimension (reelle) 4.
L'expose XII, apres un bref rappel de geometrie kählerienne, se donne pour
täche de decrire les surfaces complexes qui admettent des metriques dont Ia
COUrbure verifie diverses proprietes de positivite : COUrbure Scalaire totale posi
tive, courhure scalaire positive, courhure de Ricci definie positive, courhure
bisectionnelle holomorphe positive. Saufdans ce demier cas, nous nous sommes
bornes pour l'essentiel ä. developper les parties correspondantes de [NH] et [SY]
(cf. bibliographie de l'expose n° XII); on trouvera aussi une demonstration de
l'unicite de Ia structure complexe de CP2•
Les exposes IX, X et XI donnent Ia decomposition de l'espace vectoriel
des tenseurs de courhure en composantes 80 -irreductibles et son application
4
aux formules de Gauss-Bonnet-Chem et de Ia signature en dimension 4. La
consequence riemannienne principale est l'inegalite de J. Thorpe : si une variete
orientable V (compacte et de dimension 4) admet une metrique d'Einstein, alors .
I I
sign (V) ~ 2/3 x(V). C'est Ia seule obstruction topologique connue ä.l'existence
de metriques d'Einstein. Le cas d'egalite, etudie par N. Hitchin, est particulie
rement interessant : si V n'est pas plate, elle doit etre revetue par une surface
K3 ä. courhure de Ricci nulle. Quand cette propriere fut etablie en 1972, l'exis
tence de telles metriques sur les surfaces K3 etait suspendue ä. Ia resolution de
Ia conjecture de Calabi, formulee en 1954. Et Ia resolution de celle-ci par S. T. Yau
en 1976 a permis de voir que ce cas Iimite etait effectivement obtenu.
Tout cela imposait un expose, le n° VIII, consacre ä. l'etude des surfaces
K3 et de leurs metriques riemanniennes (en fait kähleriennes) Ricci-plates.
Comme on suspecte que toute surface K3 est kählerienn~, on devrait. pouvoir
mettrede telles metriques sur toutes Ie s surfaces K3. On a ainsi le premier exemple
lll
de modules de varietes d'Einstein autres que les varietes plates et les produits
a
de surfaces courhure constante negative.
a
Les surfaces K3 courhure de Ricci nulle sont aussi un cas particulier de
varietes autoduales, auxquelles Ia transformation de Penrose associe une variete
complexe de dimension 3. Ce sujet est aborde dans les exposes n° XIII et XVII.
8
Enfin, on trouvera dans l'expose n° XVI une classification des operateurs
differentiels lineaires « naturels » sur les varietes riemanniennes et une philoso
phie des formules de Weitzenbock
a
Un appendice, consacre Ia geometrie spinorielle, complt!te les exposes
n° II, XIII et XVI, mais a surtout pour but de donner un expose autosuffisant
8
d'une theorie dont de nombreux travaux recents (M. Atiyah, M. Gromov,
N. Hitchin, B. Lawson, I. Singer) ont montre l'importance.
Nous remercions tout particulierement Mesdames N. Parvan, de l'U.E.R.
de Mathematiques de Paris XI, C. Pradier, de l'U.E.R. de Mathematiques de
Paris VII, Serot-Aimeras et J. Laurent qui ont assure avec une constante bonne
humeur Ia frappe de ces textes dans des conditions souvent difficiles.
Arthur BESSE, Esq.
IV