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Géométrie riemannienne en dimension 4 PDF

408 Pages·1981·20.385 MB·French
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111( -0/fJdJ/j 3 ~f~ . geom~trie nemann1enne en dimension 4 Seminaire Arthur Besse 1978/79 . 4650~- 111 com1" te' d'e'd "t1"1 on . Uonel Berard-Bergery Marcel Berger . Christion Houzel CEDIC/FERNAND NATHAN Dans la meme collection « Textes mathematiques » · 1 Structures metriques pour les varietes riemanniennes. M. Gromov; redige par J. Lafontaine et P. Pausu. 2 Cohomologie des groupes topologiques et des algebres de Lie. A. Guichardet. 3 Geometrie riemannienne en dimension 4. Seminaire Arthur Besse 1978179. Editions CEDIC 93, avenue d'Italie 75013 PARIS. Tel. : (1) 569.61.85 Ce volume porte Ia reference ISBN 2-7124-0717-2 © CEDIC, Paris 1981 << Toute reproduction, meme partielle, de cet ouvrage est interdite. Une copie ou repro duction par quelque procede que ce soit, photographie, photocopie, microfilm, bande magnetique, disque ou autre, constitue une contrefa~;:on passible des peines prevues par Ia loi du 11 mars 1975 sur Ia protection des droits d'auteur. » ' ERRATA Expose n° I p. 4, 1. 13, Iire « l'expose n° IV » I p. 7, 1. 22 Iire h+k=q p. 16, 1. 12 Iire w (E) 2 p. 23, 1. 12 Iire 1/45(7 X2 - Xi) Expose n° III p. 42, 1. 26 Iire « de dimension complexe 2 » p. 43, 1. 5 Iire « Ia representation <p de G » p. 44, 1. 1 Iire « G = H X1 S1), » p. 44, 1. 2 intercaler « ou bien G n'est pas resoluble et on a le tableau sui vant » p. 49, 1. 18 Iire « puisque K est compact » 2 p. 51, 1. 10 au debut Iire « son noyau est » ... » p. 54, 1. 15 Iire « un sous-groupe G resoluble unimodulaire simplement 0 connexe » p. 54, 1. 20 Iire « Ie s groupes resolubles unimodulaires simplement connexes » Expose n° IV CP p. 65, I. 13 au lieu de CP2 Iire 2 p. 66, I. 6 au lil'U lk ( C 2• p. CP1) Iire (C2, p, CP1) p. 67, 1. - 7, Iire « l'espace total d'un fibre » p. 71, 1. 12 Iire CP1 X El p. 73, I. 1 Iire « des courbes complexes distinctes » p. 74, 1. 11 au lieu de « Fn de Fn » Iire « f:n de Fn » F Proposition 3. 4. 3, I. 2, Iire n p. 74, I. - 1, Iire (CP2, orc) # (CP2, orc) p. 75, 1. 4, Iire (CP2, orc) # (CP2, - orc) (L'existence d'une metrique d'Einstein sur Ia somme connexe de deux projectifs de meme a orientation n'est pas demontree ce jour) Expose n° V p. 86, diagramme (27) : les fleches verticales qui figurent sur ce diagramme ne sont en fait definies que sur I es noyaux des fleches horizontales dr correspondantes et devraient de ce fait figurer en pointilU:s Expose n° VIII p. 157, I. 7, Il semble que cette partie du resultat de [17] soit encore endoute. I. - 3, kähleriennes IR - 1. - 1, C1 (X) No p. 158, 1. 13, V p. 161, I. 7, _:16 I. 10, ) , la ... I. 13, -16 I. - 1, si X n'est pas simplement connexe. p. 162, I. 2, Cheeger et D. Gromoll I. 7, sont celles obtenues ... I. 13, par I. - 2, complete d'une quadrique CJ p. 163, I. 2, sur I. 4, Chern. La -; . . I. 24, N° IV, apropos de l'eclatement). I. - 9, (Z1,- l. - 8, ~(... _!(Z1, ••• p. 164, I. 14, Kähler I. 24, complexe muni p. 165, I. - 5, induit sur p. 167, 1. 12, arj~ I. 18, precedemment (ou ... I. 21, (8ij(t)l p.168, 1.1, m- 1. - 8, bl,l p. 172, 1. 1, Bur.!!s a I. 3 7 Supprimer « Pourtant. .. kahlerienne. » p. 173, I. 4, N° XI) ur l I. 8, II I. 10, N° IX) I. 16, N° XIII) p. 176, I. 11, GROMOLL I. 14, New York (1967). I. 16, Interscience, N ew Y ork (1978). I. - 4, theorems for Kähler I. - 3, Compositio Math. p. 177, I. 7, Applications of the Kähler-Einstein-Calahi-Yau metrics to moduli of K 3 surfaces, Inventiones Math. 61 (1980), 251-265. 1. - 2, Am~re Expose n° X p. 191' 1. 11' Iire p = (cx, ß) p f p. 193, 1. 14, Iire p1 = 1/4 1t2 tr(R * R) Vg p. 194, 1. 4, lire « dans l'expose n° XI p. 207» Expose no XII p. 243, 1. 3, une surface reglee (de genre g) p. 246, 1. - 7, [A$] p. 43 Oll [RH] p. 376 p. 247, 1. 5, a courhure Scalaire partout positive 1. 9, [SY] p. 217-218 . ul p. 250, 1. 11, u U2 p. 260, 1. - 6, - (R( q>) + iq> o p, <P) Expose n° XIII p. 267, 1. 9, Iire « que Ia variete soit d'Einstein etacourhure scalairenulle » 1. 16, Iire « expose n° IX » p. 269, 1. - 1, lire Q = RiTjJ Rkkii 5 p. 274, 1. 9, p.441 1. 10, Ia projection de 3 sur M. p. 275, 1. 8, expose n° IX p. 277, 1. - 3, Iire « de dimension complexe 4 » Expose n° XVIII p. 347, 1. 10, ... , cf. 10 ... p. 348, 1. 3, theoreme 1. - 10 a _:-14, Supprimer ·de « Comme. .. produit ». p. 349, 1.- 5, II cxll-2 cx ... p. 350, I. 10, cr = ... f p. 351, I. 13, II ß 112 I. - 7, - II ß lll. 1. - 6, poser p. 354, 1. 22, me-- INTRODUCTION A. POURQUOI LA DIMENSION 4. A l'exception de deux d'entre eux, les textes de ce recueil sont des exposes a de mon Seminaire de Geometrie Riemannienne, tenu en 78-79 l'Universite Paris VII. L'originalite en est variable, et j'espere que les references donnees a dans chacun d'entre eux dissipent toute ambiguite ce sujet. Comme le titre l'indique, il ne s'agit pas de topologie des varietes de dimen sion 4, sujet sur lequel on pourra consulter [M]. Par contre, m'etant rendu compte que 4 = 2.2, j'y ai mis un materiel non negligeable de Geometrie Complexe. D'un point de vue geometrique les varietes compactes de hasse dimension presentent les grands traits suivants : a) En dimension deux, une fois connu si elles sont orientables ou non, elles sont classees topologiquement par le genre g, qui determine le groupe fondamentat explicitement. Chaque variete orientee a une structure complexe, unique si g = 0 ; on en a au contraire une famille continue si g > 0. Du point de vue a riemaimien, toute variete admet une metrique courhure constante, et le ·Iien entre courhure et topologie est concentre dans Ia formule de Gauss-Bonnet. b) En dimension trois, on ne sait toujours pas (conjecture de Poincare) si S3 est Ia seule variete simplement connexe. 11 existe des groupes de presentation finie qui ne sont le groupe fondamentat d'aucune variete (cf. [S]). Par ailleurs, W. Thurston a annonce qu'une variete « suffisamment grande » dont le groupe a fondamentat ne contient pas 7L EB 7L admet une metrique courhure constante negative. c) En dimension quatre, tout groupe de presentation finie est le groupe fondamentat d'une variete compacte (cf. [Ma], p. 96), ce qui öte tout espoir d'une classification topologique. Dans le cas simplement connexe, un röle fondamentat est joue par Ia forme d'intersection, dont le type en tant que forme quadratique entiere sur le deuxieme groupe d'homologie determine le type d'homotopie. L'etude des surfaces complexes (topologie des varietes qui admettent une structure complexe, etude des structures complexes d'une variete donnee ...) est d'une richesse et d'une complication dont le cas des courbes ne donne aucune idee. Une variete dont?ee peut comme S4 n'admettre aucune structure complexe, admettre comme S1 x S3 des structures complexes mais aucune structure kählerienne. Une variete simplement connexe peut comme CP2 avoir une struc ture complexe unique, ou comme S2 x S2 ou les surfaces K3 avoir uneinfinite de structures complexes distinctes. · Enfin, du point de vue riemannien, la dimension 4 est la premi<!re dimension ou le tenseur de courhure intervient en tant que tenseur d'ordre 4, n'etant plus determine parIacourhure scalaire (comme pour n = ~) ou Ia courhure de Ricci (comme pour n = 3). De plus, S04 est le seul des groupes SOn (n ~ 3) a n'etre pas presque simple. Cela se traduit geometriquement par l'existence d'une decomposi tion du fihre des 2-formes exterieures sur une variete riemannienne orientee qui intervient dans presque chaque expose. d) I1 m'a ete suggere indirectement de passer a l'etude de Ia dimension cinq. Mes chevres ne veulent pas en entendre parler, et je crois que je vais me ranger a leur avis. B. CONTENU DES EXPOSEs. Le premier donne des resultats topologiques de hase (caracteristique d'Euler Poincare, signature, classes caracteristiques ... ) et une description elementaire (i.e. sans utiliser les racines) des representations lineaires en dimension inferieure egale a 4. Dans le troisieme, on classifie les varietes riemanniennes homogenes Oll de dimension 4. Si leur type topologique est hien ce qu' on attend (S\ CP2 et les produits evidents de varietes de dimension inferieure ), Ie s structures rieman niennes homogenes sont heaucoup plus nomhreuses. Le quatrieme presente au contraire l'exemple le plus simple de variete sim plement connexe qui n'ait pas Ia topologie d'un espace homogene : la somme connexe ( CP2, +) # ( CP2, - ). I1 s'agit d 'un exemple cle a plus d'un titre : pour distinguer cette variete de S2 x S2, on doit utiliser les proprietes arithme tiques de Ia forme d'intersection. Elle admet une infinite denomhrahle de struc tures complexes distinctes. Du point de vue riemannien enfin, c'est le premier exemple de variete simplement connexe admettant une metrique a courhure non negative sans avoir Ia topologie d'un espace homogene. (Ceci est un resultat de J. Cheeger qui fait l'ohjet de l'expose n° XIV.) 11 y a aussi sur (CP2, +) # (CP2, -) une metrique d'Einstein (ce qui veut dire que Ia courhure de Ricci est propor tionnelle a la metrique) qui est le seul exemple coilnu de metrique d'Einstein non homogene a courhure de Ricci positive. La construction de cette metrique est decrite dans l'expose n° XV. Enfin, la ressemhlance deja evoquee entre (CP2, +) # (CP2, -) et S2 x S2 fait qu'une des tentatives de resoudre Ia conjecture de Hopf (non-existence de metriques a courhure strictement positive sur S2 X S2) emploie des techniques li qui englobent Ie s deux cas. Un bilan de ce qui est connu ( ou m'est connu) de Ia conjecture de H. Hopfest fait dans l'expose n° XVIII. Les exposes V et VI pretendent donner au lecteur familier avec Ia geometrie differentielle des elements de base de geometrie complexe qu'il serait susceptible d'ignorer et qui sont pourtant indispensables ä. une bonne comprehension de · certaines parties de l'ouvrage, en ·particulier des exposes VII, VIII et XII; il y est traite, de fa9on plus ou moins allusive, de fibres vectoriels holomorphes, de diviseurs, de nombres d'intersection, etc. (cf. table des matieres), en privile giant naturellement le cas de Ia dimension (complexe) 2; dans ce cas, nous nous sommes efforces de donner des demonstrations completes. L'expose VII developpe dans une premiere partie quelques proprietes des surfaces de Hopf- au sens restreint du terme - c'est-ä.-dire des structures complexes sur 81 x 83, qui constituent les premiers exemples connus de sur faces complexes n'admettant pas de metriques kähleriennes; dans une seconde partie est aborde le problerne de l'existence d'une structure presque complexe ou complexe sur une variete compacte de dimension (reelle) 4. L'expose XII, apres un bref rappel de geometrie kählerienne, se donne pour täche de decrire les surfaces complexes qui admettent des metriques dont Ia COUrbure verifie diverses proprietes de positivite : COUrbure Scalaire totale posi tive, courhure scalaire positive, courhure de Ricci definie positive, courhure bisectionnelle holomorphe positive. Saufdans ce demier cas, nous nous sommes bornes pour l'essentiel ä. developper les parties correspondantes de [NH] et [SY] (cf. bibliographie de l'expose n° XII); on trouvera aussi une demonstration de l'unicite de Ia structure complexe de CP2• Les exposes IX, X et XI donnent Ia decomposition de l'espace vectoriel des tenseurs de courhure en composantes 80 -irreductibles et son application 4 aux formules de Gauss-Bonnet-Chem et de Ia signature en dimension 4. La consequence riemannienne principale est l'inegalite de J. Thorpe : si une variete orientable V (compacte et de dimension 4) admet une metrique d'Einstein, alors . I I sign (V) ~ 2/3 x(V). C'est Ia seule obstruction topologique connue ä.l'existence de metriques d'Einstein. Le cas d'egalite, etudie par N. Hitchin, est particulie rement interessant : si V n'est pas plate, elle doit etre revetue par une surface K3 ä. courhure de Ricci nulle. Quand cette propriere fut etablie en 1972, l'exis tence de telles metriques sur les surfaces K3 etait suspendue ä. Ia resolution de Ia conjecture de Calabi, formulee en 1954. Et Ia resolution de celle-ci par S. T. Yau en 1976 a permis de voir que ce cas Iimite etait effectivement obtenu. Tout cela imposait un expose, le n° VIII, consacre ä. l'etude des surfaces K3 et de leurs metriques riemanniennes (en fait kähleriennes) Ricci-plates. Comme on suspecte que toute surface K3 est kählerienn~, on devrait. pouvoir mettrede telles metriques sur toutes Ie s surfaces K3. On a ainsi le premier exemple lll de modules de varietes d'Einstein autres que les varietes plates et les produits a de surfaces courhure constante negative. a Les surfaces K3 courhure de Ricci nulle sont aussi un cas particulier de varietes autoduales, auxquelles Ia transformation de Penrose associe une variete complexe de dimension 3. Ce sujet est aborde dans les exposes n° XIII et XVII. 8 Enfin, on trouvera dans l'expose n° XVI une classification des operateurs differentiels lineaires « naturels » sur les varietes riemanniennes et une philoso phie des formules de Weitzenbock a Un appendice, consacre Ia geometrie spinorielle, complt!te les exposes n° II, XIII et XVI, mais a surtout pour but de donner un expose autosuffisant 8 d'une theorie dont de nombreux travaux recents (M. Atiyah, M. Gromov, N. Hitchin, B. Lawson, I. Singer) ont montre l'importance. Nous remercions tout particulierement Mesdames N. Parvan, de l'U.E.R. de Mathematiques de Paris XI, C. Pradier, de l'U.E.R. de Mathematiques de Paris VII, Serot-Aimeras et J. Laurent qui ont assure avec une constante bonne humeur Ia frappe de ces textes dans des conditions souvent difficiles. Arthur BESSE, Esq. IV

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