Geometrie: Eine Einführung in die analytische und konstruktive Geometrie

215 Pages·1996·6.65 MB·German

by  Prof. Dr. Gert Bär (auth.)

G. Bär
Geometrie
Geometrie
Eine Einführung in die analytische
und konstruktive Geometrie
Von Prof. Dr. Gert Bär
B. G. Teubner Verlagsgesellschaft
Stuttgart . Leipzig 1996
Das Lehrwerk wurde 1972 begründet und wird herausgegeben von:
Prof. Dr. Otfried Beyer, Prof. Dr. Horst Erfurth,
Prof. Dr. Christian Großmann, Prof. Dr. Horst Kadner,
Prof. Dr. Karl Manteuffel, Prof. Dr. Manfred Schneider,
Prof. Dr. Günter Zeidler
Verantwortlicher Herausgeber dieses Bandes:
Prof. Dr. Christian Großmann
Autor:
Prof. Dr. Gert Bär
Technische Universität Dresden
Gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Bär, Gert:
Geometrie : eine Einführung in die analytische und konstruktive Geometrie I
von Gert Bär. - Stuttgart ; Leipzig: Teubner, 1996
(Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler)
ISBN 978-3-8154-2072-0 ISBN 978-3-322-97613-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-97613-0
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung
außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages
unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfil
mungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1996
Umschlaggestaltung: E. Kretschmer, Leipzig
Vorwort
Nach dem griechischen Wortursprung bedeutet Geometrie zunächst Landvermes
sung. Die Geometrie des Anschauungsraumes entwickelte sich daraus als Erfah
rungswissenschaft, die zeichnerische und rechnerische Modelle fur technische und
physikalische Objekte bereitstellt. Sie wurde als erste Wissenschaft axiomatisiert
(EUKLID, 300 v. u. Z.), d. h. aus grundlegenden Begriffen und Aussagen aufgebaut,
die eine Abstraktion der praktischen Erfahrungen darstellen. D. HILBERT gab 1899
mit seinem Axiomensystem eine exakte Begründung der Geometrie.
Wir wollen hier die geometrische Entwicklung nicht nachvollziehen, sondern an die
Schulkenntnisse anknüpfen. Die Bestimmung geometrischer Objekte und ihrer Be
ziehungen zueinander erfolgt sofort im Bereich algebraischer Strukturen. Eine Gera
de wird zum Beispiel mit Hilfe einer Gleichung definiert, nachdem man ein Koordi
natensystem in der Ebene vereinbart hat. Diese rechnerische Methode, die analyti
sche Geometrie, verdanken wir R. DESCARTES (1596 - 1650). Ihr Wesen besteht in
der Übersetzung eines geometrischen Problems in eine algebraische Aufgabe, dem
Bearbeiten der Aufgabe mit rechnerischen Verfahren und schließlich der Rücküber-
setzung der Resultate in die Sprache der Geometrie.
Technik, Informatik und Naturwissenschaften sind seither reich an geometrischen
Modellen: Lagebeziehungen, Maße, Winkel, Bewegungen und Oberflächenformen
sind fur die Gestaltung und computerunterstützte Berechnung von Mechanismen,
Robotern, Maschinenelementen, Bauwerken oder Karosserien, aber beispielsweise
auch von Strahlenverläufen in der Photogrammetrie von unentbehrlicher Bedeutung.
Dieses Buch will in ~:lie vielfältigen Anwendungen der Geometrie einfuhren und ein
solides Fundament an geometrischem Grundwissen zu geometrischen Formen, deren
Erzeugungsweisen und Eigenschaften sowie zu metrischen Beziehungen vermitteln.
Es behandelt die "Bewegungen und deren Zusammensetzungen, Abbildungen, wie
Parallel-und Zentralprojektion, und fuhrt bis zu den Grundmethoden der rechnerge
stützten Konstruktion von Kurven und Flächen, die in der Computergraphik und im
CAGD benötigt werden.
Das Buch kann bereits im ersten Semester studiert werden. Generell wird dann in
nerhalb paralleler mathematischer Lehrveranstaltungen in die Lineare Algebra einge
fuhrt, die immer Matrizenrechnung beinhaltet. Mit Beginn des vierten Kapitels set
zen wir solche Grundkenntnisse voraus, haben aber den Anhang 1 zum Nachschla
gen angefugt. Dreireihige Determinanten und etwas Lösungstheorie linearer Glei
chungssysteme benutzt später der Abschnitt 5.3. Für die Klassifikation affiner Ab
bildungen werden schließlich im siebten Kapitel Kenntnisse über dreidimensionale
Eigenwertprobleme angenommen. Grundlagen aus der Differential- und Integral
rechnung (8. Kapitel) haben auch immer rechtzeitig zur Verfugung gestanden.
6 Vorwort
Den künftigen Ingenieuren und Mathematikern, aber auch manchem Praktiker wird
dieses Buch helfen, geometrische Formen und Vorgänge zu verstehen, zu gestalten,
zu zeichnen und natürlich auch zu berechnen. Der eigene Studienstand sollte dabei
kontinuierlich anband der zahlreichen Übungsaufgaben und der Lösungshinweise
getestet werden.
Mein Dank gilt vor allem Frau H. Mettke, die das Manuskript in die druckreife
Form gebracht und auch einige Bildentwürfe realisiert hat. Für die Berechnung wei
terer Figuren möchte ich Frau K. Nestler danken.
Herr Hans Havlicek (TU Wien) und Frau Susanne Harms (FHT Stuttgart) haben
das Manuskript gelesen und zahlreiche Fehler gefunden. Durch ihre Hinweise und
Anregungen haben sie dazu beigetragen, inhaltliche und methodische Verbesserun
gen zu erzielen. Darur gebührt ihnen mein besonderer Dank.
Ferner danke ich Herrn J. Weiß von der B. G. Teubner Verlagsgesellschaft fUr die
gute Zusammenarbeit.
Dresden, im Juni 1996 Gert Bär
Inhalt
1 Aus der analytischen Geometrie der Ebene .............................. . 11
1.1 Koordinatensysteme .................................................................................... . 11
1.1.1 Koordinatensysteme auf der Geraden ......................................................... . 11
1.1.2 Koordinatensysteme in der Ebene .............................................................. . 12
1.2 Koordinatentransformation und Polarkoordinaten ...................................... . 13
1.3 Kreise und Drehungen ............................................................................... . 14
1.4 Parameterdarstellung und Gleichung einer Geraden ................................... . 16
1.5 Kegelschnitte ............................................................................................. . 17
1.5.1 Parabel ...................................................................................................... . 17
1.5.2 Ellipse ....................................................................................................... . 19
1.5.3 Hyperbel ..................................................................................................... . 21
Aufgaben ................................................................................................... . 23
2 Grundbegriffe der analytischen Geometrie ............................... . 25
2.1 Geometrische Punkt-und Vektorräume ....................................................... . 25
2.1.1 Koordinatensysteme im Raum ..................................................................... . 25
2.1.2 Addition von Vektoren ............................................................................... . 27
2.1.3 Vervielfachung von Vektoren ..................................................................... . 28
2.1.4 Vektorräume ............................................................................................... . 29
2.1.5 Geraden und Ebenen ................................................................................... . 33
2.1.6 Beispiele ................................................................................................. . 36
2.2 Abstände, Winkel und Inhalte ..................................................................... . 37
2.2.1 Skalarprodukt ............................................................................................. . 37
2.2.2 Winkel zwischen Vektoren bzw. Geraden ................................................... . 39
2.2.3 Linearkombination und Basis. Orthogonalprojektion .................................. . 42
2.2.4 Zylinder-und Kugelkoordinaten im 3-Raum ............................................... . 46
2.2.5 Vektor-und Spatprodukt im 3-Raum .......................................................... . 48
2.3 Metrische Grundaufgaben mit Geraden und Ebenen ................................... . 52
2.3.1 Gleichung einer Ebene. Abstand Punkt-Ebene ........................................... . 52
2.3.2 Abstand Punkt-Gerade ................................................................................ . 56
2.3.3 Schnitt Gerade-Ebene ................................................................................. . 56
2.3.4 Schnitt zweier Ebenen ................................................................................ . 57
2.3.5 Winkel zwischen Geraden und Ebenen ....................................................... . 58
Aufgaben .................................................................................................... . 58
3 Elementare Kurven und Flächen .................................................. . 61
3.1 Kreis und Kugel .......................................................................................... . 61
3.1.1 Schnitt Gerade-Kugel ................................................................................. . 61
3.1.2 Tangente und Tangentialebene ................................................................... . 62
3.2 Darstellungsmöglichkeiten .......................................................................... . 63
3.2.1 Kurven und Tangenten ............................................................................... . 63
3.2.2 Flächen und Tangentialebenen .................................................................... . 65
3.2.3 EULERSChe und implizite Flächendarstellung .............................................. . 67
3.3 Spezielle Flächen ........................................................................................ . 68
3.3.l Zylinder und Prisma ................................................................................... . 68
3.3.2 Kegel und Pyramide .................................................................................... . 69
8 Inhalt
3.3.3 Kreis im Raum. Drehzylinder und -kegel .................................................... . 70
3.3.4 Tangentialebenen an Zylinder und Kegel .................................................... . 71
Aufgaben .................................................................................................... . 71
4 Parallelprojektion .............................................................................. . 73
4.1 Grundbegriffe ............................................................................................. . 73
4.1.1 Definition und Abbildungsdarstellung ........................................................ . 73
4.1.2 Eigenschaften ............................................................................................. . 75
4.1.3 Parallelriß einer Kurve bzw. Fläche ............................................................ . 76
4.2 Perspektive Affinität ................................................................................... . 78
4.2.1 Definition und Eigenschaften ...................................................................... . 78
4.2.2 Die Ellipse als perspektiv affines Kreisbild ................................................. . 79
4.3 Axonometrie ............................................................................................... . 83
4.3.1 Axonometrische Vorgaben und Abbildungsprinzip ..................................... . 83
4.3.2 Axonometrisches Zeichnen ......................................................................... . 85
4.3.3 Standardisierte Axonometrien ..................................................................... . 86
4.4 Zugeordnete Normalrisse ............................................................................ . 89
4.4.1 Abbildung von Grundelementen ................................................................. . 89
4.4.2 Seitenriß .................................................................................................... . 90
Aufgaben .................................................................................................... . 91
5 Zentralprojektion und projektiv erweiterte Räume ............... . 95
5.1 Zentralprojektion ........................................................................................ . 95
5.1.1 Definitionen und Eigenschaften .................................................................. . 95
5.1.2 Projektive Erweiterung des Anschauungsraumes ......................................... . 97
5.1.3 Fluchtpunkte und -geraden ......................................................................... . 98
5.1.4 Abbildungsgleichungen .............................................................................. . 99
5.2 Rekonstruktion einer ebenen Figur .............................................................. . 100
5.2.1 Doppelverhältnis ......................................................................................... . 100
5.2.2 Rekonstruktion des Zentralrisses einer Geraden .......................................... . 103
5.2.3 Rekonstruktion einer ebenen Figur .............................................................. . 104
5.3 Projektiv erweiterte Ebene .......................................................................... . 105
5.3.1 Homogene Punktkoordinaten ...................................................................... . 105
5.3.2 Homogene Geradenkoordinaten .................................................................. . 106
5.3.3 Inzidenz, Verbinden, Schneiden ................................................................. . 107
5.3.4 Dualitätsprinzip .......................................................................................... . 109
5.3.5 Schnittpunktsätze ....................................................................................... . 110
5.4 Grundoperationen in homogenen Koordinaten im Raum ............................. . 112
5.4.1 Homogene Punktkoordinaten ...................................................................... . 112
5.4.2 Homogene Ebenenkoordinaten .................................................................... . 114
5.4.3 Dualitätsprinzip im projektiv erweiterten Anschauungsraum ......................... . 114
5.4.4 Inzidenz, Verbinden, Schneiden ................................................................. . 114
5.4.5 PLOcKERSChe Geradenkoordinaten ............................................................. . 116
Aufgaben .................................................................................................... . 117
6 Koordinatentransformationen und Bewegungen .................... . 119
6.1 Basis-und Koordinatensystemtransformation ............................................. . 119
6.1.1 Basistransformation .................................................................................... . 119
6.1.2 Koordinatensystemtransformation ............................................................... . 121
6.2 Anwendungen in der ebenen Kinematik ...................................................... . 122
Inhalt 9
6.2.1 Kartesische Koordinatentransformation in der Ebene .................................. . 122
6.2.2 Punktbahnen und -geschwindigkeiten ......................................................... . 123
6.2.3 Radlinien .................................................................................................... . 124
6.3 Anwendungen in der räumlichen Kinematik ............................................... . 126
6.3.1 Drehungen im Raum ................................................................................... . 126
6.3.2 Roboter-Bewegung ...................................................................................... . 128
6.3.3 Getriebebewegung ...................................................................................... . 131
6.4 Bewegflächen ............................................................................................. . 134
6.4.1 Definition und Eigenschaften ....................................................................... . 134
6.4.2 Drehflächen ................................................................................................ . 135
6.4.3 Schraubflächen ........................................................................................... . 136
Aufgaben ...................................................................................................... . 138
7 Abbildungen ........................................................................................ . 139
7.1 Translationen, Spiegelungen und Drehungen .............................................. . 139
7.1.1 Translation ................................................................................................. . 139
7.1.2 Spiegelung an einem Punkt bzw. einer Geraden .......................................... . 139
7.1.3 Spiegelung an einer Ebene .......................................................................... . 140
7.1.4 Drehung ................................................................................................. . 141
7.2 Affine Abbildungen .................................................................................... . 142
7.2.1 Definition und Eigenschaften ...................................................................... . 142
7.2.2 Ähnlichkeit ................................................................................................. . 144
7.2.3 Produkte und Fixpunkte .............................................................................. . 145
7.3 Kongruente Abbildungen in der Ebene ....................................................... . 146
7.3.1 OrthonormaIe zweireihige Matrizen ........................................................... . 146
7.3.2 Bewegungen ............................................................................................... . 147
7.3.3 Umlegungen ............................................................................................... . 148
7.4 Kongruente Abbildungen im Raum ............................................................. . 149
7.4.1 Bewegungen ............................................................................................... . 150
7.4.2 Umlegungen ............................................................................................... . 152
7.4.3 Klassifikation ............................................................................................. . 155
Aufgaben .................................................................................................... . 155
8 Kurven .................................................................................................. . 157
8.1 Natürliche Darstellung ................................................................................ . 157
8.1.1 Sehnenpolygone einer Kurve ...................................................................... . 157
8.1.2 Bogenlänge .................................................................................................. 158
8.2 Das begleitende Dreibein ............................................................................ . 160
8.2.1 Tangenten-, Haupt-und BinormaIenvektor ................................................. . 160
8.2.2 Formeln von FRENET .................................................................................. . 161
8.3 Geometrische Deutung von Krümmung und Windung ................................ . 162
8.3.1 Berechnung von Krümmung und Windung ................................................. . 162
8.3.2 Kanonische Entwicklung ............................................................................ . 163
8.3.3 Der Krümmungskreis ................................................................................. . 164
8.3.4 NormaIprojektionen der Näherungskurve 3. Ordnung ................................. . 164
8.4 Technisch wichtige ebene Kurven ............................................................... . 165
8.4.1 Evolute und Evolvente ................................................................................ . 165
8.4.2 Parallelkurven ............................................................................................ . 167
8.4.3 Kurven 2. Ordnung ..................................................................................... . 169
8.5 Computergestützter Kurvenentwurf ............................................................ . 172
10 Inhalt
8.5.1 Aufgabenstellung ......................................................................................... 172
8.5.2 LAGRANGESChe IP-Kurve ............................................................................. 174
8.5.3 C'-undGr-VerbindungvonKurvensegmenten .......................................... 176
8.5.4 HERMITESChe IP-Kurven .............................................................................. 178
8.5.5 BEzIER-Kurven ............................................................................................ 180
Aufgaben ..... ..... ...... ..... ....... ..... ..... .... ....... ..... ....... ........... ........ .......... ........... 183
9 Weitere spezieUe Flächen .................................................................. 184
9.1 Interpolations-und Freifonnflächen ... ............ ....... ...... ... ... ................ ........... 184
9.1.1 Tensorprodukt-Interpolation mit LAGRANGESChen Polynomen ..................... 184
9.1.2 BEzIER-Flächen ............................................................................................ 185
9.2 Flächen 2. Ordnung ..................................................................................... 187
Aufgaben ..................................................................................................... 189
Lösungen 190
Anhang 1: Überblick zur Matrizenrechnung ........................................ 1%
Anhang 2: Normalriß auf eine Ebene ...................................................... 198
Anhang 3: Grundkonstruktionen im Grund-Aufriß-Verfahren 200
Anhang 4: Zentralprojektion in Graphik-Standards ......................... 207
Literatur 209
Sachregister 211
Bezeichnungen 215
1 Aus der analytischen Geometrie der Ebene
Wir beginnen mit ausgewählten Grundbegriffen der analytischen Geometrie der
Ebene, um gleichzeitig Schulkenntnisse zu aktivieren und auch in die Symbolik der
Vektoralgebra einzufiihren, die später auf höhere Dimensionen verallgemeinerungs
fähig ist. Zu diesem Zweck werden z. B. Punktkoordinaten, Koordinatentransfor
mationen, Kreis- und Geradengleichungen und die Kegelschnitte behandelt. Die
geometrischen Punkträume unserer physikalischen Erfahrungswelt sind die (abstrak
te) Gerade EI, die Ebene E2 und der Raum E3. Allgemein bezeichnen wir mit Ed
den d-dimensionalen euklidischen Punktraum. Die Beschreibung geometrischer
Punkträume durch Vektorräume wird bereitgestellt und damit die Verbindung zur
Linearen Algebra.
Die Berechnung von Abständen zwischen Punkten, den Winkeln zwischen Geraden
und von Inhalten elementarer Körper wird auf das Skalarprodukt als grundlegende
Abbildung zurückgefiihrt. Die Linearkombination eines Vektors aus Basisvektoren
und die Orthogonalprojektion eines Vektors werden als wichtiges Handwerkszeug
aufbereitet, mit dessen Hilfe dann metrische Grundaufgaben mit Geraden und Ebe
nen bequem gelöst werden können. Die Behandlung elementarer Eigenschaften an
Kugeln, Zylindern, Prismen, Kegeln und Pyramiden rundet dieses Einfiihrungskapi
tel ab.
1.1 Koordinatensysteme
1.1.1 Koordinatensysteme auf der Geraden
Auf der Geraden EI wird ein beliebiger Punkt als Null-
punkt 0 und ein beliebiger anderer Punkt als Einheitspunkt
0 E X
Egewählt. I I
Dem Nullpunkt wird die Zahl 0 und dem Einheitspunkt die 0 .1 1 2 x
2
Zahl 1 zugeordnet und damit eine Maßeinheit festgelegt. -I
Nach einer exakten Einfiihrung der reellen Zahlen, z. B.
Fig. 1.1
durch Intervallschachtelungen, kann schließlich jedem
Punkt X umkehrbar eindeutig eine reelle Zahl x, seine Ko-
ordinate, zugeordnet werden:
X EE1 ~xE1R.
Die Koordinate x von X kann als vorzeichenfähiger Abstand des Punktes X vom
Nullpunkt interpretiert werden, wobei x > 0 gilt, wenn X und E auf der gleichen
o.
Seite der Geraden bezüglich 0 liegen; andernfalls ist X:$;