Géométrie Différentielle Complexe Alain Yger

169 Pages·2011·1.63 MB·French

G´eom´etrie Diff´erentielle Complexe
Alain Yger
Institut de Mathe´matiques, Universite´ Bordeaux 1, Talence 33405,
France
E-mail address: [email protected]
1991 Mathematics Subject Classification. Primary 32C30, 32-02;
Secondary 13, 13P10
Key words and phrases. amsbook, AMS-LATEX
Re´sume´. Ce texte constitue la version compl`ete d’un cours de DEA de 50
heures dispens´e a` la Facult´e des Sciences de l’Universit´e Abdou Mounoumi
de Niamey (Niger) entre D´ecembre 2009 et Janvier 2010, dans le cadre du
programmedetroisi`emecycle«Syst`emesDynamiques».Jetiensa`remercier
sinc`erementleProfesseurModiMounkaila,a`l’initiativedelamiseenplacedu
programme dans lequel ce cours ´etait amen´e a` s’ins´erer, ainsi que, bien suˆr,
toutlepersonneldel’universit´e,pourl’extrˆemegentillessedel’accueilquim’a
accompagn´etoutaulongdemons´ejourauNiger.
Table des mati`eres
Pr´eface vii
Chapitre 1. Les objets g´eom´etriques en g´eom´etrie complexe 1
1.1. Vari´et´es diff´erentiables r´eelles et fibr´es r´eels ou complexes 1
1.2. Structure hermitienne sur un fibr´e vectoriel complexe 7
1.3. Formes de Chern d’un fibr´e holomorphe; classes caract´eristiques 19
1.4. Les objets de la g´eom´etrie analytique complexe 22
Chapitre 2. Le concept de positivit´e en g´eom´etrie complexe et ses avatars 51
2.1. Formes diff´erentielles, courants, courants positifs 51
2.2. Nombres de Lelong d’un (p,p)-courant positif ferm´e 61
2.3. Courant d’int´egration sur un sous-ensemble analytique 63
2.4. Stratification de Siu 75
2.5. Autour des notions g´eom´etrique et analytique de r´esidu 80
2.6. La formule de Lelong-Poincar´e 96
Chapitre 3. Autour des id´ees de Hodge en g´eom´etrie complexe 99
3.1. Structures hermitiennes ou ka¨hl´eriennes 99
3.2. Op´erateurs diff´erentiels sur les fibr´es (cadre riemannien) 103
3.3. Op´erateurs en g´eom´etrie riemannienne, hermitienne, ka¨hl´erienne 108
3.4. Le th´eor`eme de d´ecomposition de Hodge (cadre ka¨hl´erien) 115
3.5. Cohomologie de Pn(C) 119
3.6. Fibr´es holomorphes positifs, les divers concepts 121
3.7. Positivit´e et th´eor`emes d’annulation 123
3.8. Notions d’amplitude; exemples projectifs et toriques 125
3.9. Un crit`ere d’alg´ebricit´e : le th´eor`eme de Kodaira 136
Chapitre 4. La r´esolution L2 du D′′ 141
4.1. Le cadre ka¨hl´erien «complet» 141
4.2. Le cadre ka¨hl´erien «non complet» 144
4.3. M´ethodes L2 et r´esolution du complexe de Koszul 148
Bibliographie 153
Index 159
v

Pr´eface
L’objectif de ce cours est de proposer une initiation aux outils de la g´eom´etrie
complexeenplusieursvariables.Cecoursfaitsuiteaucoursd’Introduction a`l’Ana-
lyse Complexe en Plusieurs Variables dispens´e par Philippe Charpentier [Charp].
Noussupposonsdonciciacquiseslesbasesdel’analysecomplexeenuneetplusieurs
variables,tellesqueparexempleonlestrouvedanslesouvragesdeC.A.Berenstein
etR.Gay[BG]etdeL.Ho¨rmander[Hor],ainsiqu’unecertainefamiliarit´e avecla
g´eom´etrie(diff´erentieller´eelle,riemannienne,alg´ebriquedansleplanprojectifcom-
plexe)auniveauMaster,tellequ’elleestparexemplepr´esent´eedans[HY].Cecours
d´eveloppera les aspects g´eom´etriques, tant en ce qui concerne les aspects relevant
de la g´eom´etrie diff´erentielle (champs de vecteurs, fibr´es hermitiens et op´erateurs
diff´erentielssurcesfibr´es,connexions,classesetformesdeChern,etc.)queceuxre-
levantdelag´eom´etrieanalytiquecomplexeetdesesavatarseng´eom´etriealg´ebrique.
Les m´ethodes transcendantes jouent un roˆle important en g´eom´etrie alg´ebrique du
fait du tr`es important concept de positivit´e (courants, concepts de positivit´e pour
les fibr´es vectoriels), ouvrant la voie aux th´eor`emes d’annulation ou de plonge-
ment (Kodaira, Nakano, etc.). L’analyse harmonique et la th´eorie de Hodge en
g´eom´etrie ka¨hl´erienne (sur une vari´et´e analytique compacte ´equip´ee d’une struc-
ture ka¨hl´erienne, telle que Pn(C)´equip´e de sa m´etrique de Fubini-Study) y auront
´egalement leur place, illustr´ees en cela par des exemples souvent emprunt´es `a la
g´eom´etriedesvari´et´estoriques(soussesaspectssymplectiquesoualg´ebriques).Les
techniques L2 seront ´egalement transpos´ees du cadre de l’analyse pluri-complexe
`a celui des vari´et´es ka¨hl´eriennes et des fibr´es hermitiens ayant ces vari´et´es comme
base.L’unedenosr´ef´erencesdebaseseral’ouvragedeJ.P.Demailly[De0].Certains
des tous r´ecents travaux de M. Andersson et de son´equipe [And1, And2, And3]
serontenparticulierintroduits.Lath´eoriedescourantspositifs,ainsiquelesobjets
g´eom´etriques quesontlescourants d’int´egration etlescourants r´esiduels, feral’ob-
jetd’unchapitredececours.Onint`egrera`acesnotesuneapprocheendirectiondes
applications arithm´etiques via les r´ecents d´eveloppements de la th´eorie d’Arakelov
(voir [BGS]), mettant en lumi`ere l’importance de la formule de Lelong-Poincar´e,
de l’op´erateur de Monge-Amp`ere et de l’´equation de Green. En ce qui concerne les
aspectsrelevantdelag´eom´etrieanalytiquetranscendante(etdesesapplicationsen
g´eom´etrie alg´ebrique), l’ouvrage de P. Griffiths et J. Harris [GH] sera ´egalement
uner´ef´erencepr´ecieuse.Biensuˆr,touslesr´esultats´enonc´es danscecoursneseront
pas d´emontr´es, loin de la`! Notre souci ici est d’introduire les lignes directrices des
argumentsetdefaireensortequecesnotes(bienquetr`espartielles)puissentservir
de point de d´epart pour de futures directions de recherche.
Alain Yger
vii

CHAPITRE 1
Les objets g´eom´etriques en g´eom´etrie complexe
Onpr´esentedanscechapitrelesobjetsg´eom´etriques(relevantenparticulierde
lag´eom´etriediff´erentielle)telsqu’ilsinterviendronteng´eom´etriepluri-complexe.Le
cadre riemannien (plutˆot de fait hermitien) sera plus particuli`erement d´evelopp´e,
l’aspect m´etrique (intrins`equement li´e `a la notion de positivit´e) ´etant pour nous
fondamental. Pour ce premier chapitre, outre la r´ef´erence au chapitre 5 de J.P.
Demailly [De0], on pourra ´egalement s’appuyer sur le livre de R.O. Wells [We0].
La r´edaction de ce chapitre est inspir´ee d’un cours de DEA dispens´e `a Bordeaux
en 1991-1992 [Y2].
1.1. Vari´et´es diff´erentiables r´eelles et fibr´es r´eels ou complexes
1.1.1. Vari´et´es diff´erentiables (C∞) r´eelles. La donn´ee d’une vari´et´e dif-
f´erentiable r´eelle de dimension (r´eelle) N de classe C∞ ´equivaut `a la donn´ee :
(1) d’un espace topologique s´epar´e , d´enombrable `a l’infini (i.e. union d´e-
X
nombrable croissante de compacts);
(2) d’un atlas (U ,τ ) «cartographiant» , ce qui signifie que les ouverts
α α
X
U recouvrent , que τ est, pour chaque α, un hom´eomorphisme entre
α α
X
U et un ouvert V de RN, et que, pour toute paire d’indices (α,β),
α α
τ =τ (τ )−1 est un diff´eomorphisme de classe C∞ entre τ (U U )
αβ α β β α β
◦ ∩
et τ (U U ).
α α β
∩
Lanotiondechampdevecteursr´eelsur (ousurunouvertde )peutˆetrepens´ee
X X
detroismani`eres´equivalentes;cestroispointsdevuereposentsurlestroismani`eres
de d´efinir, au point courant x de , l’espace tangent r´eel T ( ) `a . Ces trois
R,x
mani`eres de «penser» ce R-espaceXvectoriel de dimension N sonXt les Xsuivantes :
(1) lepremiermod`eleestunmod`ele g´eom´etrique:siU estunouvertdecarte
α
contenantx,onintroduitlesgermesdecourbest I =] ǫ,ǫ[ γ(t) U
α
∈ − 7→ ∈
trac´essur auvoisinagedex,passantparx,etdeclasseC1 (γ(0)=xet
X
τ γestdeclasseC1),puisleR-espacevectorieldesclassesdetangenceen
α
◦
xdecesgermesdecourbes(laclassedetangencede(I,γ)estmat´erialis´ee
par d [τ γ](1));
0 α
◦
(2) lesecondmod`eleestunpremiermod`ele alg´ebrique,consistant`aconcevoir
leR-espacevectorielT ( )commeleR-espacevectorieldesd´erivations1
R,x
X
delaR-alg`ebre desgermesdefonctionsdeclasseC∞ `avaleursr´eelles
X,x
E
aupointx;cemod`eled´ecritl’´el´ementdeT ( )entermesdesonaction;
R,x
X
1C’est-a`-dire une application R-lin´eaire a` valeurs r´eelles ob´eissant a` la r`egle de Leibniz :
D[fg]=f(a)D[g]+g(a)D[f].
1
2 1. LES OBJETS GE´OME´TRIQUES EN GE´OME´TRIE COMPLEXE
(3) le troisi`eme mod`ele est plus encore un mod`ele alg´ebrique : on introduit
l’alg`ebre (pens´ee cette fois comme un anneau local), son id´eal maxi-
X,x
E
mal M , et l’on pense les ´el´ements de T ( ) comme les ´el´ements du
X,x R,x
X
dual du quotient M /(M )2, consid´er´e comme R-espace vectoriel.
X,x X,x
1.1.2. Notiondefibr´e vectoriel (r´eel oucomplexe)localementtrivial,
de rang fini. La collection des T ( ), x , ainsi d´efinie est visualis´ee sous la
R,x
X ∈X
formed’unobjetg´eom´etrique,celuidefibr´e vectoriel r´eel localement trivialderang
m (ici m=N) et de classe C∞ au dessus de . Il s’agit de la donn´ee :
X
(1) d’une collection, index´ee par la base , de R-espaces vectoriels tous de
X
dimensionN,ditsfibres(leR-espacevectorield’indicex´etantditfibreau
dessus du point x);
(2) d’une structure de vari´et´e diff´erentielle elle aussi de classe C∞ (et de
dimension r´eelle N +m) sur l’ensemble (x Rm), coupl´ee avec la
x∈X ×
donn´ee d’une projection C∞ π : E , telle que, pour chaque x ,
→ XS ∈ X
il existe un voisinage U de x dans , un diff´eomorphisme θ de classe
x x
X
C∞ entre π−1(U ) et U Rm (π d´esignant la projection (x,ξ) x) de
x x
× 7→
mani`ere `a ce que
π (e)=pr (θ (e)), e π−1(U ),
π−1(Ux) Ux x ∀ ∈ x
ou` pr (x′,v) = x′ pour x′ U et v Rm, et que, pour tout x′ U ,
Ux ∈ x ∈ ∈ x
(θ ) soit un R-isomorphisme entre E et Rm.
x |Ex′ x′
Lorsqu’il existe un tel diff´eomorphisme C∞ entre π−1(U) et U Rm, on dit que
×
le fibr´e est trivialisable au dessus de l’ouvert U. Un fibr´e vectoriel r´eel localement
trivial de rang m est donc par d´efinition mˆeme toujours localement trivialisable;
parcontre,iln’esteng´en´eralpastrivial,c’est-a`-diretrivialisableaudessusdetoute
sa base .
X
Exemple 1.1. L’exemple du fibr´e tangent T ( ). En d´efinissant
R
X
τ˜ (x,γ˙)=(τ (x),d (τ γ)(1)),
π−1(Uα) α 0 α◦
on construit pr´ecis´ement une structure de fibr´e vectoriel r´eel localement trivial de
classe C∞ et de rang N sur (x T ( )); c’est ainsi qu’est d´efini l’atlas. Ce
x∈X × R,x X
sera le fibr´e tangent r´eel T ( ). Les sections de classe C∞ de T ( ) au dessus
R R,x
SX X
d’unouvertU de decefibr´e,c’est-a`-direlesapplicationsξ declasseCk deU dans
X
T ( )(tousdeux´equip´esdeleursstructuresC∞)tellesenplusqueξ(x) T ( ),
R R,x
X ∈ X
sont par d´efinition les champs de vecteurs r´eels de classe C∞ sur l’ouvert U. Dans
unecartelocaleU =τ−1(V )auvoisinaged’unpointx,onrepr´esenteraunchamp
α α α
de vecteurs sous la forme
N
∂
a (x) ,
j
∂x
j
j=1
X
ou` a ,...,a sont des fonctions de classe C∞ dans V =τ(U ).
1 N α α
Unemani`ereplusabstraited’appr´ehenderlanotiondefibr´evectorielr´eellocalement
trivial etdeclasse C∞ estlasuivante :untelfibr´e est(a` isomorphisme entrefibr´es
localement triviaux et de mˆeme rang pr`es 2) la donn´ee d’un recouvrement (U )
α α
2On dit que deux K-fibr´es vectoriels E1 π1 et E2 π2 localement triviaux et de mˆeme
→ X → X
rang sont isomorphes si et seulement si il existe un diff´eomorphisme C∞ f : , un
X → X
diff´eomorphismeC∞ F :E1 E2 telsquef π1=π2 F.
→ ◦ ◦
1.1. VARIE´TE´S DIFFE´RENTIABLES RE´ELLES ET FIBRE´S RE´ELS OU COMPLEXES 3
de par des ouverts et d’un 1-cocycle au sens de Cˇech, c’est-a`-dire, pour chaque
X
(α,β), d’une application de classe C∞
g :U U GL(m,R)
α,β α β
∩ →
telle que
[g g ](x)=g (x) α,β,γ, x U U U .
α,β β,γ α,γ α β γ
◦ ∀ ∀ ∈ ∩ ∩
Lastructuredefibr´evectoriellocalementtrivialderangmetdeclasseC∞ associ´ee
`a ce 1-cocycle est obtenue en ´equipant l’union disjointe des U Rm (lorsque
α
{ }×
α parcourt la famille de tous les indices) de la structure quotient consistant `a
quotienterparlarelationd’´equivalenceautorisantl’identificationdescouples(x,v)
et (x,g (x).v) lorsque α,β sont deux indices quelconques et x U U .
α,β α β
∈ ∩
Cettemani`eredevoirautoriselesop´erationssurlesfibr´esvectorielsr´eelslocalement
triviaux(a`isomorphismeentreR-fibr´esdemˆemerangpr`es),parexemplel’addition
E E de deux fibr´es de rangs m et m (cela donne un fibr´e de rang m +m ),
1 2 1 2 1 2
⊕
lespuissancesext´erieures(jusqu’a`lapuissancem,ditaussifibr´e d´eterminant)d’un
fibr´e vectoriel r´eel loc. trivial E de rang m (la puissance ext´erieure p-i`eme est
→X
un fibr´e de rang m!/(p!(m p)!) si p = 0,...,m, la puissance d’ordre 0 ´etant par
−
conventionlefibr´etrivial R),lefibr´edualE∗ d’unfibr´evectorielr´eelloc.
X× →X
trivial de rang m, le produit tensoriel E E de deux fibr´es vectoriels r´eels loc.
1 2
⊗
triviaux de rangs respectifs m et m (c’est un fibr´e de rang m m ), etc. Dans
1 2 1 2
×
chaque cas, on travaille avec un recouvrement de qui soit un raffinement des
X
deux recouvrements permettant de d´efinir les 1-cocycles d´efinissant l’un E ,
1
→ X
l’autre E . L’ensemble des classes d’isomorphismes des fibr´es vectoriels r´eels
2
→ X
localement triviaux et de rang 1 (dits aussi fibr´es en droites) peut ainsiˆetre´equip´e
d’une structure de groupe commutatif. On peut´egalement d´efinir, `a isomorphisme
entre fibr´es localement triviaux et de mˆeme rang pr`es, ´etant donn´es deux fibr´es
vectorielsr´eelsloc.triviauxE etE derangsrespectifsm etm ,lefibr´evectoriel
1 2 1 2
loc. trivial Hom (E ,E ) dont la fibre au dessus de x est Hom (E ,E ) (il
R 1 2 R 1,x 2,x
s’agit d’un fibr´e vectoriel r´eel loc. trivial de rang m m , dont on notera qu’il est
1 2
×
isomorphe`aE E∗).Onnoteiciquelesfibr´esE E (resp.E E )
2⊗ 1 1⊕ 2 →X 1⊗ 2 →X
et E E (resp. E E ) d´efinis suivant ce proc´ed´e ne sont pas´egaux,
2 1 2 1
⊕ →X ⊗ →X
maissimplementisomorphes(les1-cocyclesnesonticipaslesmˆemes!);l’op´eration
naive correspondant `a prendre (au dessus de chaque point de ) la somme directe
X
(resp. le produit tensoriel) des fibres ne suffit pas `a justifier de la construction d’un
fibr´e;cetteop´erationned´ecriteneffetpascequ’estl’applicationπ deprojectionet
il faut en effet prendre garde `a la construction des isomorphismes de trivialisation!
Exercice 1.2. Pour chacun des exemples ci-dessus (somme, produit tensoriel,
fibr´e Hom ( , )), indiquer comment se d´eduit le 1-cocycle (G ) `a partir des
R α,β
• •
cocycles(g(1))et(g(2))desdeuxfibr´esenjeu.Mˆemequestionpourcequiconcerne
α,β α,β
le 1-cocycle attach´e au fibr´e dual E∗.
Indications:pourlad´efinitiondu1-cocycleG correspondant`alasommedirecte
α,β
(a` isomorphisme entre fibr´es localement triviaux pr`es), on consid`erera par exemple
les applications
g(1)(x) 0
x U U G (x):= α,β GL(m +m ,R);
∈ α∩ β 7−→ α,β " 0 g(2)(x)#∈ 1 2
α,β
4 1. LES OBJETS GE´OME´TRIQUES EN GE´OME´TRIE COMPLEXE
pour la d´efinition du 1-cocycle G correspondant au produit tensoriel (a` isomor-
α,β
phisme entre fibr´es localement triviaux pr`es), on consid`erera l’application
x U U G (x):=g(1)(x) g(2)(x),
∈ α∩ β 7−→ α,β α,β ⊗ α,β
ou` g(1)(x) g(2)(x) d´esigne l’´el´ement de
αβ ⊗ αβ
GL(m1m2,R) HomR(Rm1 Rm2,Rm1 Rm2)
≃ ⊗ ⊗
qui`ae e ,j =1,...,m ,j =1,...,m (cesontles´el´ementsdelabasecanonique
j1⊗ j2 1 1 2 2
de Rm1 ⊗Rm2 ≃Rm1m2) associe (gα(1,)β(x)·ej1)⊗(gα(2,)β(x)·ej2). Pour la d´efinition
de la classe d’isomorphisme du fibr´e dual E∗ , c’est le 1-cocycle
→X
(U U ,[tg ]−1)
α β α,β
∩
qu’il convient de consid´erer. Pour la construction (a` isomorphisme pr`es) du fibr´e
Hom (E ,E ) , le 1-cocycle `a consid´erer est le 1-cocycle (U U ,G ), ou`
R 1 2 α β α,β
→X ∩
Gα,β(x):=gα(2,)β⊗[tgα(1,)β]−1(x)∈HomR(Rm2⊗(Rm1)∗,Rm2⊗(Rm1)∗)≃GL(m1m2,R)
´etantentenduquel’onexploiteicil’isomorphismeentreRm2 (Rm1)∗etleR-espace
⊗
vectoriel HomR(Rm1,Rm2) qui `a fjl ⊗e∗jk associe l’homomorphisme de Rm1 dans
Rm2 de matrice [δjljk] dans les bases canoniques (e1,...,em1) et (f1,...,fm2).
Dans tout ce qui pr´ec`ede, tout en nous appuyant sur le concept de vari´et´e diff´eren-
tiable r´eelle, nous pouvons aussi d´efinir la notion de fibr´e vectoriel complexe de
rang m (et localement trivial) sur . Les fibres E sont cette fois des C-espaces
x
X
vectoriels et θ est un diff´eomorphisme de classe C∞ entre π−1(U ) et U Cm
x x x
×
((θ ) ´etantdanscecas,pourtoutx′ U ,unC-isomorphismeentreE etCm).
x |Ex′ ∈ x x′
Si l’on adopte le point de vue des cocycles, de tels fibr´es vectoriels complexes loc.
triviauxderangmsontconstruits`apartirdecocycles`avaleursdansGL(m,C).On
construitunexempledetelfibr´evectorielcomplexe(derangiciN)encomplexifiant,
pour chaque x , le R-espace vectoriel T ( ). Ceci prendra tout son sens `a
R,x
∈ X X
partir de la section 1.2.2, lorsque nous nous placerons dans la situation particuli`ere
ou` N = 2n et ou` la structure diff´erentiable (C∞) sur sera la structure r´eelle
X
sous-jacente `a une structure de vari´et´e analytique complexe. Dans ce paragraphe,
lorsque nous parlerons du fibr´e tangent T ( ) (et plus loin de son dual le fibr´e
R
X
cotangent T∗( )), nous entendrons cependant toujours des fibr´es r´eels; ce n’est
R X
r´eellement qu’a` partir de la section 1.2.2 que nous envisagerons la complexification
des fibres de ces fibr´es r´eels.
Exemple 1.3. L’exemple du fibr´e cotangent T∗( ). Si k 1, le fibr´e
R X ≥
cotangent T∗( ) est par d´efinition le fibr´e dual du fibr´e tangent. Les sections de
R X
classe Ck (k N) du fibr´e cotangent sont les 1-formes diff´erentielles r´eelles de
∈
classe Ck sur U; on exprime (dans un ouvert de carte U ) une telle forme en
α
coordonn´ees locales sous la forme
N
ω = ω dx ,
j j
j=1
X
ou` ω ,...,ω sont des fonctions de classe Ck dans l’ouvert V =τ (U ) RN. On
1 N α α α
⊂
peutcomplexifierlasituationetconsid´ererlefibr´eT∗( ) Cdontlessectionssont
R X ⊗R
les 1-formes diff´erentielles `a valeurs complexes sur (mais il s’agit ici, lorsqu’on le
X
voit ainsi, d’un fibr´e r´eel sur ).
X