Géométrie : Cours de mathématiques - Première et deuxième année

154 Pages·2016·3.88 MB·French

by  Arnaud Bodin et al.

G É O M É T R I E
C
OURS DE MATHÉMATIQUES
P
REMIÈRE ET DEUXIÈME ANNÉE
Exo7

Géométrie
Cerecueilregroupedifférentschapitresdegéométriedeniveaupremièreetdeuxièmeannée.

Sommaire
1 La règle et le compas 1
1 Constructionsetlestroisproblèmesgrecs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Lesnombresconstructiblesàlarègleetaucompas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Élémentsdethéoriedescorps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Corpsetnombresconstructibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Applicationsauxproblèmesgrecs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 L’inversion 29
1 Cercle-droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 L’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Leshomographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Dispositifsmécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Constructionaucompasseulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 La chaînette 53
1 Lecosinushyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 Équationdelachaînette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Longueurd’unechaînette. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Systèmes itérés de fonctions 67
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2 Topologiede(cid:82)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Attracteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Isométries,similitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Exemplesàpartirdesimilitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6 Transformationsaffines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7 Exemplesàpartirdestransformationsaffines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8 DimensiondeHausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9 Lethéorèmeducollageetlejeuduchaos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5 Mathématiques du GPS 95
1 L’îleaux7phares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2 SerepérergrâceauGPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3 Temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5 Systèmesdecoordonnées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6 Positionapprochée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Chapitre
1
La règle et le compas
Vidéo (cid:132) partie 1. Constructions
Vidéo (cid:132) partie 2. Nombres constructibles
Vidéo (cid:132) partie 3. Éléments de théorie des corps
Vidéo (cid:132) partie 4. Corps et nombres constructibles
Vidéo (cid:132) partie 5. Applications aux problèmes grecs
Vousavezà votredisposition une règleetun compas etbien sûrdu papieretun crayon! Avecsi peu de
matériels’ouvreàvousunmondemerveilleuxremplidegéométrieetd’algèbre.
1. Constructions et les trois problèmes grecs
Nousallonsvoirdanscettepremièrepartiequetoutuntasdeconstructionssontpossibles.Maislebutde
cecoursestderépondreàtroisproblèmesquidatentdesmathématiciensgrecs:latrisectiondesangles,la
duplicationducubeainsiquelecélèbreproblèmedelaquadratureducercle.
1.1. Premières constructions géométriques
Nousavonsànotredispositionuncompasetunerègle(nongraduée).Ondémarrepardesconstructions
élémentaires.
• SiA,B sontdeuxpointsdonnésduplan,alorsonpeutconstruire,àlarègleetaucompas,lesymétrique
de B par rapport à A. Pour cela, il suffit juste de tracer la droite (AB) et le cercle de centre Apassant
par B.Cettedroiteetcecerclesecoupenten B biensûretaussien B(cid:48)=s (B),lesymétriquede B par
A
rapportàA.
C
B
B
A I
(cid:48) A
B
D
• Si A,B sont deux points donnés du plan, alors on peut construire la médiatrice de [AB]. Pour cela,
tracerlecerclecentréenApassantpar B etaussilecerclecentréen B passantparA.Cesdeuxcercles
LA RÈGLE ET LE COMPAS 1.CONSTRUCTIONS ET LES TROIS PROBLÈMES GRECS 2
s’intersectentendeuxpoints C, D.Lespoints C, D appartiennentàlamédiatricede[AB].Aveclarègle
ontraceladroite(CD)quiestlamédiatricede[AB].
• Enparticuliercelapermetdeconstruirelemilieu I dusegment[AB].Eneffet,c’estl’intersectiondela
droite(AB)etdelamédiatrice(CD)quel’onvientdeconstruire.
• SiA,B,C sonttroispointsdonnésalorsonpeutconstruirelaparallèleàladroite(AB)passantpar C.
Tout d’abord construire le milieu I de [AC]. Puis construire D le symétrique de B par rapport à I. La
figureABCD estunparallélogramme,doncladroite(CD)estbienlaparallèleàladroite(AB)passant
par C.
D
C
C
I
A
A B
B
• Pourconstruirelaperpendiculaireà(AB)passantparunpoint C,onconstruitd’aborddeuxpointsde
lamédiatricede[AB],puislaparallèleàcettemédiatricepassantpar C.
1.2. Règles du jeu
Ilestpeut-êtretempsd’expliquercequel’onestautoriséàfaire.Voicilesrèglesdujeu:partezdepointssur
unefeuille.Vouspouvezmaintenanttracerd’autrespoints,àpartirdecerclesetdedroitesenrespectantles
conditionssuivantes:
• vouspouveztracerunedroiteentredeuxpointsdéjàconstruits,
• vouspouveztraceruncercledontlecentreestunpointconstruitetquipasseparunautrepointconstruit,
• vouspouvezutiliserlespointsobtenuscommeintersectionsdedeuxdroitestracées,oubienintersections
d’unedroiteetd’uncercletracé,oubienintersectionsdedeuxcerclestracés.
LA RÈGLE ET LE COMPAS 1.CONSTRUCTIONS ET LES TROIS PROBLÈMES GRECS 3
• Uneremarqueimportante:larègleestunerèglesimple,quin’estpasgraduée.
• Conventionpourlescouleurs:lespointsdonnésàl’avancesontlespointsbleus.Lesconstructionsse
fontenrouge(rougepâlepourlesconstructionsquiviennentenpremier,rougevifpourlesconstructions
quiviennentendernier).
1.3. Conserver l’écartement du compas
• Onpeutconserver l’écartement du compas.C’estunepropriétéimportantequisimplifielesconstruc-
tions.
(cid:48)
Sil’onaplacédespointsA,B,A alorsonpeutplacerlapointeenAavecunécartementdelongueurAB.
C’est-à-dire que l’on peut mesurer le segment [AB], puis soulever le compas en gardant l’écartement
(cid:48)
pourtracerlecerclecentréenA etd’écartementAB.
(cid:48) (cid:48) (cid:48)
Cetteopérationsejustifiedelafaçonsuivante:onpourraitconstruirelepoint B telqueAABB soitun
(cid:48) (cid:48)
parallélogrammeetensuitetracerlecerclecentréenA passantpar B .
(cid:48)
B B
A A(cid:48)
• Enconservantl’écartementducompas,nouspouvonsplusfacilementconstruirelesparallélogrammes,
avecseulementdeuxtraitsdecompas.Donnons-noustroispointsA,B,C.Onmesurel’écartement[AB],
ontracelecerclecentréen C derayonAB.Puisonmesurel’écartement[BC]etontracelecerclecentré
enAderayon BC.Cesdeuxcerclesserecoupentendeuxpoints,dontl’unest D,telqueABCD estun
parallélogramme.