Géométrie affine et euclidienne: Licence deuxième année - Parcours Maths - X4M0040

67 Pages·2015·0.61 MB·French

by  Sylvain Gervais

Universit´e de Nantes
G´eom´etrie affine et euclidienne
Licence deuxi`eme ann´ee - Parcours Maths - X4M0040
2014-2015
Gervais
Sylvain
2
L2 G´eom´etrieaffineeteuclidienne 2014-2015 S.Gervais
Table des mati`eres
Table des mati`eres 3
1 Notions affines 5
I Espaces affines dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II Propri´et´esdes sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
a) Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
b) Sous-espace affine engendr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
c) Rep`ere cart´esien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
d) Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
a) D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
b) Sous-espaces affines et barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
c) Coordonn´ees barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IV Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
a) D´efinition et application lin´eaire associ´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
b) Points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
c) Sous-espaces affines et applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
d) Applications affines et rep`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
e) Translations et homoth´eties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
f) Projections et sym´etries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
g) Une application : le th´eor`eme de Thal`es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Notions euclidiennes 19
I Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
a) D´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
b) Expression matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
a) Vecteurs orthogonaux - Bases orthonorm´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
b) Orthogonal d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
III Endomorphisme orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
a) G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
b) Cas d’un plan vectoriel euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
c) Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
IV Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
a) Angles orient´es de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
b) Angles orient´es de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
c) Angles g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
V Espaces affines euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
a) G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
b) Isom´etries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
c) Distance d’un point `a un sous-espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
d) m´ediatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
e) Bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
VI Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
VII Utilisation des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3
4 TABLE DES MATIE`RES
3 Triangles et cercles 43
I Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
a) D´efinitions et propri´et´es d’incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
b) Angle inscrit et angle au centre - Cocyclicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II Triangles du plan affine euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
a) M´edianes - Isobarycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
b) M´ediatrices - Cercle circonscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
c) Hauteurs - Orthocentre - Droite et cercle d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
d) Relations m´etriques dans le triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
e) Triangles homoth´etiques, isom´etriques ou semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III Conjugaison, polarit´e et inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
a) Puissance d’un point par rapport `a un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
b) Polarit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
c) Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
IV Cercles inscrit et exinscrits - Th´eor`emede Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
a) Bissectrices d’un triangle - Cercles inscrit et exinscrits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
b) Le th´eor`eme de Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Bibliographie 65
Index 66
L2 G´eom´etrieaffineeteuclidienne 2014-2015 S.Gervais
Chapitre 1 : Notions affines
I Espaces affines dans Rn
D´efinition Une partie non vide E de Rn est un espace affine s’il existe un ´el´ement A de E tel que l’ensemble
E ={M −A/M ∈E}
A
soit un sous-espace vectoriel de Rn.
Lemme 1 Soit E un espace affine dans Rn et A ∈ E tel que E soit un sous-espace vectoriel de Rn. Alors,
A
pour tout ´el´ement B de E, on a
E =E ={Q−P /P,Q∈E}.
B A
D´emonstration.
• Soit −→u un´el´ement de E et M ∈E tel que −→u =M −B. On a :
B
−→
u =M −B =(M −A)+(A−B)=(M −A)−(B−A)∈E
A
carM−A, B−Asontdans E et ce dernierest unsous-espacevectorielde Rn.Ainsi, E estinclus dansE .
A B A
• Soit −→u un ´el´ement de E et M ∈ E tel que −→u = M −A. Il s’agit de
A
−→muo=ntrNer−quBe.−→u ∈ EB, c’est-`a-dire de montrer qu’il existe N ∈ E tel que −→u bM
−→ −→
SiuntelN existe,ilestn´ecessairement´egal`aB+ u :soitdoncN =B+ u A
et montrons que N ∈E. On a : b
N
−→ b
u
N −A=(N −B)+(B−A)=~u+(B−A)=(M −A)+(B−A)∈E
A
B
car E est un sous-espace vectoriel de Rn. Il existe donc P ∈ E tel que b
A
N −A=P −A et on obtient N =P ∈E.
• Ainsi, on a E = E pour tout ´el´ement P de E. Puisque {Q−P /P,Q∈E} = ∪ E , on a bien
P A P
P∈E
E ={Q−P/P,Q∈E}.
A
(cid:3)
Remarque : en pratique, pour montrer qu’une partie E de Rn est espace affine, on exhibe un´el´ementA de E
et un sous-espace vectoriel E de Rn tel que E =A+E :={A+~u/~u∈E}.
Notations et vocabulaire. Si E est un espace affine dans Rn :
• les ´el´ements de E sont des points;
−→
• l’espace vectoriel E (=E ∀B ∈E) est la direction de E, not´ee E ;
A B
−→ −−→
• les ´el´ements de E sont des vecteurs; si P et Q sont deux points de E, le vecteur Q−P est not´e PQ.
Remarque : si E est un espace affine dans Rn, alors, pour tout point A de E, on a
E =A+−→E := A+−→u /→−u ∈−→E .
Exemples. ¶ ©
1) (x,y)∈R2/3x−7y =5 est un espace affine (dans R2) de direction (x,y)∈R2/3x−7y =0 .
2) Rn est lui-mˆeme un espace affine.
(cid:8) (cid:9) (cid:8) (cid:9)
3) Plus g´en´eralement,tout sous-espace vectoriel de Rn est un espace affine de direction lui-mˆeme.
−→
4) Si A∈Rn, alors E ={A} est un espace affine de direction {0}.
5
6 CHAPITRE 1. NOTIONS AFFINES
Proposition 1.1 Soit E un espace affine dans Rn.
−→
1) Pour tout point A de E, on a AA=~0.
−−→ −−→ −→
2) Pour tous points A, B et C de E, on a AB+BC =AC (relation de Chasles1).
−−→ −−→
3) Pour tous points A et B de E, on a BA=−AB.
−−→
4) Pour tous points A et B de E, on a A+AB =B.
−−→ −→
5) Pour tout point A de E, l’application M 7→AM est une bijection de E sur E .
6) Pour tous points A, B, C et D de E, on a : B
b
−−→ −−→ −→ −−→
AB =CD ⇐⇒ AC =BD. D
A b
b
On dit dans ce cas que ABDC est un parall´elogramme.
Cb
−−→
D´emonstration. il n’y a aucune difficult´e : ces propri´et´esd´ecoulentimm´ediatement du fait que PQ=Q−P
dans Rn et leur d´emonstration est laiss´ee en exercice.
(cid:3)
D´efinition La dimension d’un espace affine est la dimension de sa direction.
Ainsi, un sous-espace affine de dimension nulle est r´eduit `a un point.
Un sous-espace affine de dimension 1 est appel´e une droite (affine).
Un sous-espace affine de dimension 2 est appel´e une plan (affine).
II Propri´et´es des sous-espaces affines
a)Sous-espaces affines
D´efinition Un sous-espace affine d’un espace affine E est une partie F de E qui est un espace affine dans
Rn. Un hyperplan d’un espace affine E est un sous-espace affine de E de dimension dimE −1.
−→
Remarque : si F est un sous-espace affine d’un espace affine E, la direction F de F est un sous-espace
−→
vectoriel de E .
−→
Proposition 1.2 Soit E un espace affine, A un point de E et F un sous-espace vectoriel de E .
Il existe un unique sous-espace affine de E dirig´e par F et contenant A : il s’agit de
A+F :={A+~u/~u∈F}.
D´emonstration. C’est une cons´equence imm´ediate des d´efinitions.
(cid:3)
Proposition 1.3 Soit F et G deux sous-espaces affines d’un espace affine E.
−→ −→ −→ −→ −→ −→
1) Si F et G sont suppl´ementaires dans E (ie E =F⊕G), alors l’intersection F∩G est r´eduite `a un point.
−→ −→
2) Si F = G, alors F =G ou F ∩G =∅.
−−→
D´emonstration. 1) Fixons deux points A et B respectivement dans F et G. Le vecteur AB se d´ecompose
−−→ −→ −→
sous la forme AB =~u+~v avec ~u∈F et~v ∈ G. Alors, si M =A+~u, on a :
−→ A
→ M ∈F car A∈F et ~u∈F ; b
−−→ −→ ~u
→ M =B+BA+~u=B−(~u+~v)+~u=B−~v ∈G car B ∈G et~v ∈ G.
Ainsi, M ∈F ∩G et cette derni`ere intersection est non vide. M
b
B ~v
1. MichelChasles,math´ematicienfran¸cais,1793-1880.
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II Propri´et´es des sous-espaces affines 7
−−→ −→ −→
SimaintenantN estunsecondpointdeF∩G alorslevecteurMN estdansF∩G.Maislesdeuxsous-espaces
−→ −→ −−→
vectoriels F et G ´etant suppl´ementaires,cette intersectionest r´eduite `a {~0}. Parcons´equent,on a MN =~0 et
donc N =M.
2)SupposonsqueF∩G 6=∅etfixonsunpointAdanscetteintersection.D’apr`eslaproposition1.2,ilexisteun
−→ −→
unique sous-espace affine de E contenant A et dirig´e par F = G. Puisque F et G sont deux tels sous-espaces
affines, ils sont´egaux.
(cid:3)
D´efinition Deux sous-espaces affines d’un espace affine E sont dits parall`eles s’ils ont mˆeme direction.
b)Sous-espace affine engendr´e
Proposition 1.4 L’intersection d’une famille de sous-espace affines d’un espace affine E est soit vide, soit un
sous-espace affine de E.
D´emonstration. Soit (F ) une famille de sous-espaces affines d’un espace affine E telle que F :=∩F
i i∈I i
i∈I
−−→
soit non vide et fixons un point A dans F. On veut montrer que F := AM/M ∈ F est un sous-espace
A
−→ −→
vectoriel de E . Mais on a F =∩F :
A i (cid:8) (cid:9)
i∈I
−−→ −→
→ si M ∈F, alors, pour tout i∈I, M ∈F donc AM ∈F ;
i i
−→
→ Si ~u∈∩F et M =A+~u, alors M est dans F pour tout i∈I, c’est-`a-dire que M ∈F et donc
i i
i∈I
−−→
~u=AM ∈F .
A
L’intersectiond’une famillede sous-espacesvectoriels´etantencoreunsous-espacevectoriel,cecimontrequeF
A
−→
est un sous-espace vectoriel de E .
(cid:3)
D´efinition Soit S une partie non vide d’un espace affine E. On appelle sous-espace affine de E engendr´e par
S le plus petit sous-espace affine de E contenant S : c’est l’intersection des sous-espaces affines de E contenant
S d’apr`es la propri´et´e pr´ec´edente. On le note hSi.
Exemples. 1) Si A est un point de E, alors hAi={A}.
−−→
2) Si A et B sont deux points distincts de E, alors hA,Bi est la droite passant par A et dirig´ee par AB. Plus
g´en´eralement,nous avons la propri´et´esuivante :
Proposition 1.5 Soit E un espace affine. Le sous-espace affine hA ,...,A i de E engendr´e par k+1 points
0 k
−−−→ −−−→
A ,A ,...,A co¨ıncide avec le sous-espace affine de E contenant A et dirig´e par Vect A A ,...,A A .
0 1 k 0 0 1 0 k
Ä ä
−−−→ −−−→
D´emonstration. NotonsF lesous-espaceaffinedeE contenantA etdirig´eparF :=Vect A A ,...,A A :
0 0 1 0 k
F =A +F.
0
Ä ä
−−−→
• Puisque A =A +A A ∈F, F est un sous-espace affine de E contenant A ,A ,...,A .
i 0 0 i 0 1 k
• D’autre part, si G est un sous-espace affine de E contenant A ,...,A , sa direction contient les vecteurs
−−−→ −−−→ −→ 0 k −→
A A ,...,A A donc F ⊂ G. Par cons´equent, on obtient F =A +F ⊂A + G =G.
0 1 0 k 0 0
Ainsi, F est le plus petit sous-espace affine de E contenant A ,A ,...,A : F =hA ,...,A i.
0 1 k 0 k
(cid:3)
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8 CHAPITRE 1. NOTIONS AFFINES
c)Rep`ere cart´esien
D´efinition 1) On dit que k+1 points d’un espace affine E sont affinement ind´ependants si le sous-espace
affine qu’ils engendrent est de dimension k.
2) Un rep`erecart´esiend’un espace affine E est la donn´ee d’un point Ω (l’origine du rep`ere) et d’une base de la
−→
direction E .
Proposition-D´efinition Si (Ω;e~,...,e~ ) est un rep`ere cart´esien d’un espace affine E, alors, pour tout point
1 n
n
M de E, il existe un unique n-uplet (α ,...,α ) dans Rn tel que M =Ω+ α e~.
1 n i i
i=1
X
Ces n nombres r´eels (ordonn´es) sont appel´es coordonn´eescart´esiennes de M dans le rep`ere (Ω;e~,...,e~ ).
1 n
−−→
D´emonstration. Les nombres r´eels α ,...,α sont les coordonn´eesdu vecteur ΩM dans la base (e~,...,e~ ).
1 n 1 n
(cid:3)
Exemples
−−→
1) Deux points distincts A et B engendrent une droite et (A;AB) en est un rep`ere cart´esien;
−−→ −→
2) Trois points non align´es A,B,C engendrent un plan et (A;AB,AC) en est un rep`ere cart´esien.
d)Orientation
E d´esigne un espace vectoriel r´eel de dimension finie et B l’ensemble des bases de E.
Notation : si b1 et b2 sont deux bases de E, on notera Pb1,b2 la matrice de passage de b1 `a b2.
Fixons une base e de E. On note :
B+ ={ bases b de E telles que detPe,b >0} et B− ={ bases b de E telles que detPe,b <0}.
Lemme 2 On a B+∩B− =∅ et B+∪B− =B.
D´emonstration. L’intersectionestvidecarund´eterminantnepeuxpasˆetresimultan´ementstrictementpositif
etstrictementn´egatif.D’autrepart,toutebaseestdansunedecesdeuxpartiescarled´eterminantdelamatrice
de passage entre deux bases n’est pas nul.
(cid:3)
Lemme 3 Cette partition de B ne d´epend pas du choix de la base e.
D´emonstration. Soite′ unesecondebasedeE,{B′+,B′−}lapartitiondeBassoci´eeetεlesignededetPe,e′.
Pour toute base b de E, on a
detPe,b = detPe,e′ detPe′,b =ε detPe′,b .
On a donc : (cid:0) (cid:1)(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
B′+ =B+ et B′− =B− si ε>0, et B′+ =B− et B′− =B+ si ε<0.
(cid:3)
D´efinition OrienterE, c’est choisir unebase e de E.Alors, les bases dans la mˆemeclasse quee (ie dans B+)
sont dites directes, celles de l’autre classe (ie dans B−) ´etant dites indirectes. Un espace affine est dit orient´e
si sa direction est orient´ee.
Proposition-D´efinition SoientE unespacevectorielorient´eetf unisomorphisme deE.Lestroisassertions
suivantes sont ´equivalentes :
(i) f transforme toute base directe en une base directe;
(ii) il existe une base directe b de E telle que f(b) soit directe;
(iii) detf >0.
Un isomorphisme v´erifiant une de ces trois assertions (et donc toutes) est dit direct.
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III Barycentres 9
D´emonstration. Il est clair que la premi`ere assertion implique la seconde. Supposons donc que b soit une
base directe de E telle que f(b) soit directe. Si A est la matrice de f dans cette base b, alors A est la matrice
de passage de b `a f(b) donc detf =detA>0. Ceci montre que la deuxi`eme assertion implique la troisi`eme.
Supposons `a pr´esent que f soit de d´eterminant strictement positif et consid´erons une base directe b. Puique la
matrice de passage de b `a f(b) est la matrice de f dans la base b, on a detPb,f(b) = detf > 0 donc f(b) est
´egalement directe.
(cid:3)
III Barycentres
a)D´efinition
Proposition-D´efinition Soient A ,...,A k points d’un espace affine E et λ ,...,λ k nombres r´eels tels que
1 k 1 k
k
λ =1. Il existe un unique point G dans E v´erifiant :
i
i=1
P
k
−−→ −−−→
∀M ∈E, MG= λ MA .
i i
i=1
X
Le point G est appel´e barycentre du syst`eme de points pond´er´es (A ,λ ) .
i i 1≤i≤k
k
−−→
D´emonstration. Soit Ω un point de E. Le point G cherch´ev´erifie n´ecessairementG=Ω+ λ ΩA et est
i i
i=1
donc unique s’il existe. R´eciproquement, si G est ce point, on a, pour tout point M de E : X
k k
−−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−−→
MG = MΩ+ΩG=MΩ+ λ ΩA =MΩ+ λ (ΩM +MA )
i i i i
i=1 i=1
X X
k k k k
−−→ −−→ −−−→ −−−→
= MΩ+ λ ΩM + λ MA = λ MA car λ =1.
i i i i i i
!
i=1 i=1 i=1 i=1
X X X X
(cid:3)
Remarque : On a en fait montr´e que dans un espace affine E, un point G est barycentre d’un syst`eme de
−→ −−→
points pond´er´es (A ,λ ) si, et seulement si, il existe un point Ω dans E tel que ΩG= λ ΩA .
i i i∈I i i
i∈I
X
k
Remarque : Si λ ,...,λ sont k nombres r´eels tels que λ:= λ 6=0, on appellera barycentre de la famille de
1 k i
i=1
points pond´er´es (Ai,λi)1≤i≤k le barycentre du syst`eme (Ai,λPλi)1≤i≤k; il sera not´e bar(Ai,λi)1≤i≤k.
D´efinition L’isobarycentrede k points A ,...,A estle barycentredu syst`emepond´er´e (A ,1) .Le milieu
1 k i 0≤i≤k
d’un couple de point (A,B) est l’isobarycentre de ces deux points.
Proposition 1.6 (Associativit´e du barycentre) SoitE unespaceaffine.Soient(A ,λ ) unefamillefinie
i i i∈I
de points pond´er´es de E et I = ∪ I une partition de I. On note, pour j ∈J,
j
j∈J
µ = λ , λ= µ = λ
j i j i
iX∈Ij Xj∈J Xi∈I
et on suppose que λ et les µ sont tous non nuls.
j
Alors, si, pour j ∈J, G d´esigne le barycentre du syst`eme (A ,λ ) , on a :
j i i i∈Ij
bar(A ,λ ) =bar(G ,µ ) .
i i i∈I j j j∈J
S.Gervais L2 G´eom´etrieaffineeteuclidienne 2014-2015
10 CHAPITRE 1. NOTIONS AFFINES
D´emonstration. Soit Ω un point de E. On a, si G=bar(G ,µ ) :
j j j∈J
−→ 1 −−→ 1 1 −−→ 1 µ −−→
j
ΩG = µ ΩG = µ λ ΩA = λ ΩA
j j j i i i i
λ λ µ λ µ
Xj∈J Xj∈J Ñ j iX∈Ij é Xj∈J j ÑiX∈Ij é
1 −−→ 1 −−→
= λ ΩA = λ ΩA
i i i i
λ λ
Xj∈JiX∈Ij Xi∈I
ce qui montre bien que G est le barycentre du syst`eme (A ,λ ) .
i i i∈I
(cid:3)
Exercice. Montrer que dans un triangle, les trois m´edianes sont concourantes en G, l’isobarycentre des trois
sommets.
b)Sous-espaces affines et barycentres
Th´eor`eme 1.1 Soient E un espace affine et F une partie non vide de E. Alors F est un sous-espace affine de
E si, et seulement si, pour toute famille finie (A ) de points de F et toute famille de scalaires (λ ) telle
i i∈I i i∈I
que λ 6=0, le barycentre du syst`eme (A ,λ ) appartient `a F.
i i i i∈I
i∈I
P
D´emonstration. • Supposons que F soit un sous-espace affine de E et consid´eronsun syst`eme (A ,λ )
i i 1≤i≤k
k
de points pond´er´es de F tel que λ =1. Si G est le barycentre de ce syst`eme, alors
i
i=1
P
k k k
−−→ −−−→ −−−→ −−−→
A G= λ A A = λ A A =⇒ G=A + λ A A .
1 i 1 i i 1 i 1 i 1 i
i=1 i=2 i=2
X X X
−−−→ −−−→ −→ k −−−→
Les points A ,...,A ´etant dans F, les vecteurs A A ,...,A A sont dans F et donc λ A A ´egalement
1 k 1 2 1 k i 1 i
i=2
−→ −→
puisque F est un sous-espace vectoriel de E . Par cons´equent, le point G appartient `a FP.
• R´eciproquement, supposons que F soit stable par ≪prise de barycentre≫. Fixons un point A dans F et
−−→ −→
montrons que E = AM/M ∈F est un sous-espace vectoriel de E . Soient ~u et ~v deux ´el´ements de E et
A A
−−→ −−→
α un nombre r´eel.Il existe deux points M et N dans F tels que~u=AM et~v =AN.Si P estle barycentredu
¶ © −→
syst`eme (A,−α),(M,α),(N,1) , alors P ∈F par hypoth`ese donc AP ∈E . Mais on a :
A
(cid:0) (cid:1) −→ −→ −−→ −−→
AP =−αAA+αAM +AN =α~u+~v
donc α~u+~v ∈E .
A
(cid:3)
Corollaire 1.1 Soit F une partie non vide d’un espace affine E. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :
(i) F est un sous-espace affine de E ;
(ii) pour tout couple (A,B) de points de F et tout r´eel λ, le barycentre de (A,λ),(B,1−λ) appartient
`a F ;
(cid:0) (cid:1)
(iii) pour tout couple (A,B) de points de F, la droite (AB) est incluse dans F.
D´emonstration. C’est une cons´equence du th´eor`eme pr´ec´edent et de l’associativit´e du barycentre.
(cid:3)
L2 G´eom´etrieaffineeteuclidienne 2014-2015 S.Gervais