Géométrie 4

34 Pages·2014·0.154 MB·French

by  Nicolas Jacon

Licence Math(cid:19)ematiques 3(cid:18)eme ann(cid:19)ee
GEOMETRIE 4
Nicolas JACON
Universit(cid:19)e de Reims
Table des mati(cid:18)eres
1 Angles 3
1.1 Rappel sur les espaces a(cid:14)nes euclidiens . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Ecart angulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Rotations et orientations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Angle orient(cid:19)e de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Propri(cid:19)et(cid:19)es des angles orient(cid:19)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Cercles et angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Angle orient(cid:19)e de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Isom(cid:19)etries a(cid:14)nes 22
2.1 G(cid:19)en(cid:19)eralit(cid:19)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Classi(cid:12)cation des Isom(cid:19)etries du plan et de l’espace . . . . . . . . 26
3 Similitudes 30
3.1 G(cid:19)en(cid:19)eralit(cid:19)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Groupe de similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Propri(cid:19)et(cid:19)es des similitudes dans le plan euclidien . . . . . . . . . . 32
2
Chapitre 1
Angles
1.1 Rappel sur les espaces a(cid:14)nes euclidiens
!(cid:0)
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.1.1 Soit E un R-espace vectoriel de dimension (cid:12)nie. On dit que
(cid:0)!
E est un espace vectoriel euclidien s’il existe une application appel(cid:19)ee produit
scalaire : (cid:0)! (cid:0)!
E (cid:2) E (cid:2) R
!(cid:0) !(cid:0) !(cid:0) !(cid:0)
(u; v) 7! (ujv)
v(cid:19)eri(cid:12)ant les propri(cid:19)et(cid:19)es suivantes :
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! !(cid:0) (cid:0)!(cid:0)! (cid:0)!(cid:0)! !(cid:0) !(cid:0)
1. 8(u; v;w)2 E3; 8((cid:21);(cid:22))2R2; ((cid:21)u +(cid:22)vjw)=(cid:21)(ujv)+(cid:22)(vjw),
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! !(cid:0) (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
2. 8(u; v)2 E2; (u; v)=(v; u);
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
3. 8u 2 E; (u; u)(cid:21)0 avec (cid:19)egalit(cid:19)e si et seulement si u = 0.
√
(cid:0)! (cid:0)!(cid:0)! (cid:0)!
Dans la suite, on note ∥u∥ pour (uju), la norme du vecteur u. On dit
(cid:0)! !(cid:0) (cid:0)!!(cid:0) !(cid:0) !(cid:0)
que les vecteurs u et v sont orthogonaux si on a (ujv) = 0. Si V est un
(cid:0)! (cid:0)!
sous espace vectoriel de E, on note (V )? l’ensemble des vecteurs orthogonaux
!(cid:0)
(cid:18)a ceux de V , on v(cid:19)eri(cid:12)e alors que
(cid:0)! (cid:0)!
{ (V )? est un sous espace vectoriel de E,
(cid:0)! (cid:0)! !(cid:0) (cid:0)!
{ il est suppl(cid:19)ementaire (cid:18)a V c’est (cid:18)a dire que l’on a V (cid:8)(V )? = E.
(cid:0)! !(cid:0)
Notons que si u et v sont des vecteurs orthogonaux alors
!(cid:0) !(cid:0) (cid:0)! !(cid:0)
∥u + v∥2 =∥u∥2+∥v∥2
Rappelons (cid:19)egalement les deux r(cid:19)esultats fondamentaux suivants concernant la
norme de vecteurs :
(cid:0)! !(cid:0)
Proposition 1.1.2 (In(cid:19)egalit(cid:19)e de Cauchy-Schwarz) Soient u et v deux
vecteurs non nuls. Alors on a
(cid:0)!(cid:0)! (cid:0)! !(cid:0)
j(ujv)j(cid:20)∥u∥∥v∥:
(cid:0)! (cid:0)!
avec (cid:19)egalit(cid:19)e si et seulement si u et v sont colin(cid:19)eaires.
3
1.1.Rappelsurlesespacesa(cid:14)neseuclidiens
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
Preuve. Soit (cid:21) 2 R. On a ∥u (cid:0)(cid:21)v∥ = 0 si et seulement si u et v sont
colin(cid:19)eaires. Or, on a
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!(cid:0)!
∥u (cid:0)(cid:21)v∥2 =∥u∥2(cid:0)2(ujv)(cid:21)+(cid:21)2∥v∥2
Ce polyn^ome en (cid:21) (cid:19)etant toujours positif (ou nul), son discriminant est n(cid:19)egatif
ou nul. Or, ce discriminant est pr(cid:19)ecisemment (cid:19)egal (cid:18)a
(cid:0)!(cid:0)! !(cid:0) (cid:0)!
4(j(ujv)j2(cid:0)∥u∥2∥v∥2)
ce qui implique que
(cid:0)!(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
j(ujv)j2 (cid:20)∥u∥2∥v∥2
soit encore
(cid:0)!(cid:0)! (cid:0)! !(cid:0)
(j(ujv)j(cid:20)∥u∥∥v∥
Onadeplus(cid:19)egalit(cid:19)esietseulementsilediscriminantestnulc’est(cid:18)adirelorsque
lepolyn^omeadmetuneraciner(cid:19)eel.Ceciest(cid:19)equivalent(cid:18)adirequ’ilexiste(cid:21) 2R
(cid:0)! (cid:0)! 0
tel que u =(cid:21) v
0
□
Cettein(cid:19)egalit(cid:19)epermetded(cid:19)emontrerl’in(cid:19)egalit(cid:19)etriangulairecequifaitde∥:∥
une norme au sens topologique.
(cid:0)! (cid:0)! !(cid:0)
Proposition 1.1.3 Pour tout u et v dans E, on a
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
∥u + v∥(cid:20)∥u∥+∥v∥
!(cid:0)
Si u ̸= 0, l’(cid:19)egalit(cid:19)e est v(cid:19)eri(cid:12)(cid:19)ee si et seulement si il existe (cid:21) 2 R+ tel que
(cid:0)! (cid:0)!
v =(cid:21)u.
Preuve. On a
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!(cid:0)!
∥u + v∥2 =∥u∥2+∥v∥2+2(ujv):
Or, d’apr(cid:18)es Cauchy Schwarz :
(cid:0)!(cid:0)! !(cid:0) !(cid:0) !(cid:0) (cid:0)!
(ujv)(cid:20)j(ujv)j(cid:20)∥u∥∥v∥
On obtient donc :
(cid:0)! !(cid:0)
∥u + v∥2 (cid:20)∥u∥2+∥∥v∥2+2∥u∥∥v∥=(∥u∥+∥v∥)2:
Ceci permet de conclure concernant l’in(cid:19)egalit(cid:19)e triangulaire. L’(cid:19)egalit(cid:19)e intervient
(cid:0)!(cid:0)! !(cid:0) (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
si et seulement si j(ujv)j = ∥u∥∥v∥; c’est (cid:18)a dire lorsque u et v sont co-
lin(cid:19)eaires.
□
(cid:0)!
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.1.4 Soit E un espace a(cid:14)ne de direction E. On dit que E est un
(cid:0)!
espace a(cid:14)ne euclidien si et seulement si E est euclidien.
Th(cid:19)eor(cid:18)eme 1.1.5 (Perpendiculaire commune (cid:18)a deux droites) SoientDet
D′ deux droites non concourrantes et non parall(cid:18)eles d’un espace a(cid:14)ne euclidien
E de dimension n (cid:21) 3. Alors il existe M 2 D et M′ 2 D′ telle que la droite
(cid:0)(cid:0)(cid:0)!
(MM′) soit l’unique perpendiculaire commune (cid:18)a D et D′. La valeur ∥MM′∥ est
la distance de D (cid:18)a D′ c’est (cid:18)a dire
(cid:0)(cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)!
∥MM′∥=Inf(∥NN′;∥N 2D;N′ 2D′g
4
1.1.Rappelsurlesespacesa(cid:14)neseuclidiens
!(cid:0) !(cid:0) (cid:0)! (cid:0)! !(cid:0) !(cid:0)
Preuve. Soient A 2 D et A′ 2 D′, u 2 D, u′ 2 D′ tels que ∥u∥ = ∥u′∥ = 1.
(cid:0)(cid:0)! (cid:0)!
AlorspourtoutM 2D.ilexiste(cid:21)2RtelqueAM =(cid:21)u.Dem^eme,pourtout
(cid:0)(cid:0)(cid:0)!
!(cid:0)
M′ 2D′, il existe (cid:21)′ 2R tel que A′M′ =(cid:21)′u. Remarquons que l’on a alors
(cid:0)(cid:0)(cid:0)!(cid:0)! (cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)(cid:0)!!(cid:0)
(MM′ju) = (MA+AA′+A′M′ju)
(cid:0)(cid:0)! (cid:0)!
!(cid:0) (cid:0)! (cid:0)!
= (cid:0)(cid:21)∥u∥2+(AA′ju)+(cid:21)′(u;u′)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)!
(cid:0)!
Il suit ainsi que (MM′ju)=0 si et seulement si
!(cid:0) (cid:0)(cid:0)!
(cid:0)! (cid:0)! !(cid:0)
(cid:21)∥u∥2(cid:0)(cid:21)′(u;u′)=(AA′ju)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)!!(cid:0)
et de m^eme, on a (MM′ju′)=0 si et seulement si
(cid:0)! (cid:0)(cid:0)!(cid:0)!
(cid:0)! (cid:0)!
(cid:21)′∥u′∥2(cid:0)(cid:21)(u′; u)=(A′Aju′):
Le probl(cid:18)eme revient donc (cid:18)a prouver l’existence et l’unicit(cid:19)e d’un couple ((cid:21);(cid:21)′)2
R2 v(cid:19)eri(cid:12)ant le syst(cid:18)eme suivant :
{
(cid:0)! (cid:0)(cid:0)!
(cid:0)! !(cid:0)
∥u∥2(cid:21)(cid:0)(cid:21)′(uju′) = (AA′ju)
!(cid:0) (cid:0)! (cid:0)(cid:0)!!(cid:0)
!(cid:0)
(cid:0)(uju′)+∥u′∥2(cid:21)′ = (A′Aju′)
Le d(cid:19)eterminant de ce syst(cid:18)eme est (cid:19)egal (cid:18)a
(cid:0)! (cid:0)!
(cid:0)! (cid:0)!
(∥u∥∥u′∥)2(cid:0)(uju′)2
(cid:0)!
D’apr(cid:18)es Cauchy-Schwarz, ce d(cid:19)eterminant est strictement positif puisque u et
(cid:0)!
u′ sont non colin(cid:19)eaires. Le syst(cid:18)eme ci-dessus admet donc une unique solution
qui d(cid:19)e(cid:12)nit de fa(cid:24)con unique M et M′ comme convenu. On a de plus
(cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)(cid:0)!
′ ′ ′ ′
AA =AM +MM +M A
(cid:0)(cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)(cid:0)!
et comme MM′ et AM +M′A′ sont orthogonaux, on a :
(cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)(cid:0)!
∥AA′∥2 =∥MM′∥2+∥AM′+M′A′∥2 (cid:21)∥MM′∥2
□
Dans la suite, si A et B sont deux points d’un espace a(cid:14)ne euclidien, on
(cid:0)(cid:0)!
note AB pour la norme ∥AB∥.
!(cid:0) (cid:0)!
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.1.6 Soit E unespacevectorieldedimensionn,B unebasede E
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
et u ,..., u unefamilledenvecteursde E.Onappellevolumedanslabase
1 n(cid:0)! (cid:0)!
B des vecteurs u , ..., u le d(cid:19)eterminant :
1 n
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
VB(u1;:::; un)=detB(u1;:::; un)
(cid:0)! (cid:0)!
Proposition 1.1.7 Soient u ;:::; u une famille de n vecteurs lin(cid:19)eairement
!(cid:0) (cid:0)! 1 (cid:0)! n
ind(cid:19)ependantsde E.Soient v ;:::; v uneautrefamilledenvecteurslin(cid:19)eairement
(cid:0)! 1 n
ind(cid:19)ependants de E. Alors le rapport
!(cid:0) !(cid:0) (cid:0)! (cid:0)!
VB(u1;:::; un)=VB(v1;:::; vn)
ne d(cid:19)epend pas de la base B choisie.
5
1.1.Rappelsurlesespacesa(cid:14)neseuclidiens
(cid:0)!
Preuve. On consid(cid:18)ere une autre base B′ de E. Soit P :=PB!B′ la matrice de
passage de B (cid:18)a B′. C’est donc la matrice dont les colonnes sont les coordonn(cid:19)ees
de B′ dans la base B (ie la matrice de l’identit(cid:19)e lorsque la base de d(cid:19)epart est B′
et la base d’arriv(cid:19)ee B.
(cid:0)! (cid:0)!
Si A est la matrice des coordonn(cid:19)ees des vecteurs u ;:::; u dans la base
(cid:0)! 1 (cid:0)! n
B, alors P(cid:0)1A est la matrice des coordonn(cid:19)ees de u ;:::; u dans la base B′.
1 n
On a donc :
(cid:0)! (cid:0)! !(cid:0) !(cid:0)
VB′(u1;:::; un)=det(P(cid:0)1)(cid:2)VB(u1;:::; un)
!(cid:0) !(cid:0)
etlam^emeformuleestvalablepour v ;:::; v .Onconclutdoncensimpli(cid:12)ant
1 n
par det(P(cid:0)1).
□
!(cid:0)
Rappellons qu’une base orthonormale d’un espace euclidien E est une base
(cid:0)! (cid:0)!
orthonorm(cid:19)ee de E c’est (cid:18)a dire une base de E compos(cid:19)ee de vecteurs unitaires
et orthogonaux 2 (cid:18)a 2. On sait que tout espace euclidien admet une base ortho-
normale (non unique).
(cid:0)! (cid:0)! fcalg
Proposition 1.1.8 Souslesm^emesnotations,(cid:0)!jVB(u1;:::; un)jestind(cid:19)ependant
delabaseorthonormalechoisie.Deplus,siles u sontorthogonauxdeux(cid:18)adeux,
i
on a :
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
jVB(u1;:::; un)j=∥u1∥(cid:2):::(cid:2)∥un∥:
Preuve. Si B′ est une autre base orthonormale alors la matrice P de la propo-
sition pr(cid:19)ec(cid:19)edente est une matrice orthogonale, c’est (cid:18)a dire que l’on a PPt = I
donc son d(cid:19)eterminant vaut (cid:6)1 ce qui permet de montrer le premier point. Pour
le second,on a :
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
det(u ;:::; u )=∥u ∥:::∥u ∥det(u =∥u ∥;:::; u =u ∥)
1 n 1 n 1 1 n n
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
et comme u =∥u ∥;:::; u =∥u ∥ est une base orthonormale, le d(cid:19)eterminany
1 1 n n
vaut(cid:6)1,c’estled(cid:19)eterminantd’unematriceorthogonal.Onpeutdoncconclure.
□
Quelquespr(cid:19)ecisionsquant(cid:18)alapreuve.LamatriceP ci-dessusestlamatrice
dont les colonnes sont les coordonn(cid:19)ees de B′ dans la base B. Si on (cid:19)ecrit P =
(aij)1(cid:20)i;j(cid:20)n, on a pour tout 1(cid:20)j (cid:20)n
∑
′
e = a e
j ij i
1(cid:20)i(cid:20)n
en utilisant le produit scalaire, on voit que pour tout 1(cid:20)i;j (cid:20)n, on a
a =(e′je )
ij j i
La matrice Pt est la matrice ((e′ijej))1(cid:20)i;j(cid:20)n = ((ejje′i))1(cid:20)i;j(cid:20)n, c’est donc la
matrice P(cid:0)1 = PB′!B. P est donc bien orthogonal pour le d(cid:19)eterminant et le
volume, (cid:19)etant entendu que la valeur absolue est invariante si on consid(cid:18)ere des
bases orthonorm(cid:19)eees.
Par la suite, on omettra souvent l’indice B quand il n’y a pas d’ambiguit(cid:19)e
sur le choix de la base.
6
1.2. Ecartangulaire
1.2 Ecart angulaire
SoientA,BetC troispointsdisctinctsdeux(cid:18)adeuxd’unplana(cid:14)neeuclidien
E. D’apr(cid:18)es l’in(cid:19)egalit(cid:19)e de Cauchy-Schwarz, on a que :
(cid:0)(cid:0)!(cid:0)!
(ABjAC)
(cid:0)1(cid:20) (cid:20)1
AB:AC
Rappelons que la fonction cosinus est une bijection de [0;(cid:25)] dans [(cid:0)1;1] et
elle admet donc une fonction r(cid:19)eciproque de [(cid:0)1;1] dans [0;(cid:25)] not(cid:19)ee arccos. On
d(cid:19)e(cid:12)nit l’(cid:19)ecart angulaire entre (AB) et (AC) par :
( )
(cid:0)(cid:0)!(cid:0)!
\ (ABjAC)
BAC =arcos
AB:AC
On a les propri(cid:19)et(cid:19)es suivantes :
1. 0(cid:20)B\AC (cid:20)(cid:25),
\ \
2. BAC =CAB, le produit scalaire (cid:19)etant sym(cid:19)etrique.
(cid:0)(cid:0)! (cid:0)!
\
3. BAC =(cid:25)=2 si et seulement si AB et AC sont orthogonaux.
\
4. BAC = 0 ou (cid:25) si et seulement si A, B et C sont align(cid:19)es. Ceci provient
(cid:0)(cid:0)!(cid:0)! (cid:0)(cid:0)! (cid:0)!
du fait que (ABjAC)=AB:AC si et seulement si les vecteurs AB et AC
sont colin(cid:19)eaires.
5. On a
(cid:0)(cid:0)!(cid:0)!
(ABjAC)=AB:AC:cos(B\AC)
(cid:0)! faireg
Lemme 1.2.1 Soit E un plan vectoriel euclidien et soit B =(e ;e ) une base
(cid:0)! !(cid:0) !(cid:0) 1 (cid:0)!2
orthonormale(cid:0)!d(cid:0)!e E. Soient u et v deux vecteurs non nuls de E. Alors si
(ujv)
(cid:18) =arcos( (cid:0)! (cid:0)! ) on a :
∥u∥∥v∥
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
jV(u; v)j=∥u∥∥v∥sin((cid:18))
(cid:0)! (cid:0)!
Preuve. Soient (a;b) et (c;d) les coordonn(cid:19)ees de u et v dans la base (e ;e ).
1 2
On a alors
(cid:0)!(cid:0)!
(ujv)=ac+bd
et
(cid:0)! (cid:0)!
det(u; v)=ad(cid:0)bc
et par d(cid:19)e(cid:12)nition :
ac+bd
cos((cid:18))= √
(a2+b2)(c2+d2)
On obtient :
(a2+b2)(c2+d2)(cid:0)(ac+bd)2
1(cid:0)cos2((cid:18)) =
(a2+b2)(c2+d2)
(ad(cid:0)bc)2
=
(a2+b2)(c2+d2)
ce qui permet de conclure, le sinus de (cid:18) 2[0;(cid:25)] (cid:19)etant positif.
□
7
1.2. Ecartangulaire
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.2.2 SoientA,BetC troispointsd’unplana(cid:14)neeuclidien.ALors
on a :
(cid:0)(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)(cid:0)!
V(AB;AC)=V(BC;BA)=V(CA;CB)
Ceci ne d(cid:19)ependant pas de la base orthonormale choisie. On pose
1 (cid:0)(cid:0)! (cid:0)!
S = jV(AB;AC)j
2
l’aire du triangle ABC, il ne d(cid:19)epend pas de la base orthonormale choisie.
On v(cid:19)eri(cid:12)e par exemple
(cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)(cid:0)!
det(BC;BA) = det(BA+AC;BA)
(cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)(cid:0)!
= det(BA;BA)+det(AC;BA)
(cid:0)(cid:0)! (cid:0)!
= (cid:0)det(BA;AC)
(cid:0)(cid:0)! (cid:0)!
= det(AB;AC)
fpg
Th(cid:19)eor(cid:18)eme 1.2.3 Soient A, B et C trois points non align(cid:19)es d’un plan a(cid:14)ne
b \ b \
eucilidien. On note a = BC, b = CA, c = AB, A = BAC, B = CBA,
Cb =A\CB et S l’aire du triangle ABC. Alors on a :
1. a2 =b2+c2(cid:0)2bccos(Ab),
√
2. sin(Ab)= 2 p(p(cid:0)a)(p(cid:0)b)(p(cid:0)c) ou(cid:18) p= a+b+c
√ bc 2
3. S = p(p(cid:0)a)(p(cid:0)b)(p(cid:0)c)
1 b
4. S = bcsin(A),
2
a b c abc
5. = = =
sin(Ab) sin(Bb) sin(Cb) 2S
6. On a au plus un seul (cid:19)ecart angulaire sup(cid:19)erieur ou (cid:19)egal (cid:18)a (cid:25)=2.
b b b
7. A+B+C =(cid:25).
Preuve. On a
(cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)! (cid:0)!
a2 =∥BC∥2 = ∥BA+AC∥2
(cid:0)(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)(cid:0)!(cid:0)!
= ∥BA∥2+∥AC∥2+2(BAjAC)
(cid:0)(cid:0)!(cid:0)! (cid:0)(cid:0)!(cid:0)!
Or, on a (BAjAC)=(cid:0)(ABjAC)=(cid:0)bccos(Ab) d’ou(cid:18) le premier point.
b b2+c2(cid:0)a2
Pour le second point, on a cos(A)= d’apr(cid:18)es 1. Alors :
2bc
1(cid:0)cos2(Ab) = 4b2c2(cid:0)(b2+c2(cid:0)a2)2
4b2c2
(2bc(cid:0)b2(cid:0)c2+a2)(2bc+b2+c2(cid:0)a2)
=
4b2c2
(a2(cid:0)(b(cid:0)c)2)((b+c)2(cid:0)a2)
=
4b2c2
(a+c(cid:0)b)(a+b(cid:0)c)(b+c(cid:0)a)(b+c+a)
=
4b2c2
2(p(cid:0)b)2(p(cid:0)c)2(p(cid:0)a)2p
=
4b2c2
4p(p(cid:0)a)(p(cid:0)b)(p(cid:0)c)
=
b2c2
8
1.3.Rotationsetorientations
√
Donc sin(Ab)= 2 p(p(cid:0)a)(p(cid:0)b)(p(cid:0)c)
bc
Lespoints3et4sontdescons(cid:19)equencedeslemmes1.2.1etde2.Encombinant
2 et 4, on obtient le point 5.
Pour le point 6, supposons que Ab (cid:21) (cid:25)=2 et Bb (cid:21) (cid:25)=2. Alors, d’apr(cid:18)es la
(cid:0)(cid:0)!(cid:0)! (cid:0)(cid:0)!(cid:0)(cid:0)!
d(cid:19)e(cid:12)nition de l’(cid:19)ecart angulaire, on a (cid:18)a la fois (ABjAC) (cid:20) 0 et (BCjBA) (cid:20) 0.
Donc on a
(cid:0)(cid:0)!(cid:0)(cid:0)! (cid:0)(cid:0)!(cid:0)! (cid:0)!(cid:0)(cid:0)!
(ABjAB)=(ABjAC)+(ACjCB)(cid:20)0
(cid:0)(cid:0)!
La norme de AB est nul donc A=B ce qui est exclus.
En(cid:12)n, pour le dernier point, on peut supposer que Ab(cid:20)(cid:25)=2 et Bb (cid:20)(cid:25)=2. et
donc que
0(cid:20)Ab+Bb <(cid:25)
On a alors
cos(Ab+Bb)=cosAbcosBb(cid:0)sinAbsinBb
Or, on a :
b b (b2+c2(cid:0)a2)(c2+a2(cid:0)b2)
cosAcosB =
4abc2
c4(cid:0)(a2(cid:0)b2)2
=
4abc2
c4(cid:0)a4(cid:0)b4+2a2b2
=
4abc2
et
sinAbsinBb = 4 p(p(cid:0)a)(p(cid:0)b)(p(cid:0)c)
abc2
et en tenant compte des calculs faits en 2, on obtient :
b b 4b2c2(cid:0)(b2+c2(cid:0)a2)2
sinAsinB =
4abc2
4b2c2(cid:0)b4(cid:0)c4(cid:0)a4(cid:0)2b2c2+2a2b2+2a2c2
=
4abc2
Donc
cos(Ab+Bb)= 2c4(cid:0)2a2c2(cid:0)2b2c2 = c2(cid:0)a2(cid:0)b2 =cos((cid:25)(cid:0)Cb
4abc2 2ab
Puisque Ab+Bb et (cid:25)(cid:0)Cb sont dans [0;(cid:25)] on peut conclure.
□
1.3 Rotations et orientations
Nousallonsmaintenantchercher(cid:18)ad(cid:19)e(cid:12)nirunemesurepluspr(cid:19)ecisequel’(cid:19)ecart
angulaire de deux vecteurs en associant (cid:18)a deux vecteurs un (cid:19)el(cid:19)ement de [(cid:0)(cid:25);(cid:25)]
qui\g(cid:19)en(cid:19)eralise"(dansunsens(cid:18)apr(cid:19)eciser)l’(cid:19)ecartangulaire.L’id(cid:19)eeessentielleest
d’utilisercertainstypesd’automorphismesd’espacevectoriels:lesrotations.Le
but va ^etre d’associer (cid:18)a ces rotations un (cid:19)el(cid:19)ement de [(cid:0)(cid:25);(cid:25)] qui sera la mesure
voulue. La premi(cid:18)ere di(cid:14)cult(cid:19)e est que cette notion d(cid:19)ependra du choix de bases.
(cid:0)!
Consid(cid:19)eronsunespacevectoriel E dedimensionnetl’ensembleBdetoutes
(cid:0)!
les bases de E. Prenons 2 bases B et B quelconques de B. Alors la matrice
1 2
9
1.3.Rotationsetorientations
des coordonn(cid:19)ees de B dans B est de d(cid:19)eterminant non nul. C’est simplement
1 2
la matrice de passage PB !B . On (cid:19)ecrit alors
2 1
B (cid:24)B
1 2
sietseulementsiled(cid:19)eterminantdecettematriceeststrictementpositif.V(cid:19)eri(cid:12)ons
que nous avons l(cid:18)a une relation d’(cid:19)equivalence :
{ la r(cid:19)e(cid:13)exivit(cid:19)e est clair car PB!B =Id,
{ la sym(cid:19)etrievient du fait que le d(cid:19)eterminant de PB !B est de m^eme signe
2 1
que celui de PB !B , qui est son inverse.
1 2
{ la transitivit(cid:19)e vient des formules de changements de base :
PB !B =PB !B PB !B
1 3 1 2 2 3
etdoncsilesd(cid:19)eterminantsdePB !B etPB !B sontpositifs,ilenestde
1 2 2 3
m^eme pour PB !B .
Fixons une base B =1(e 3;:::;e ). Alors B′ =(e ;e ;:::;e ) est une autre base
!(cid:0) 1 n 2 1 n
de E et le d(cid:19)eterminant de PB!B′ est n(cid:19)egatif. Elles sont donc dans deux classes
d’(cid:19)equivalences di(cid:11)(cid:19)erentes. Maintenant tout autre base B′′ appartient soit (cid:18)a la
classe de B (si le d(cid:19)eterminant de PB!B′′ est positif) soit (cid:18)a la classe de B′ (si
le d(cid:19)eterminant de PB!B′′ est n(cid:19)egatif car alors le d(cid:19)eterminant de PB′!B′′ est
positif). On a donc deux classes d’(cid:19)equivalence.
!(cid:0)
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.3.1 Onditquel’onchoisituneorientationde E lorsqu’onchoisit
une des deux classes d’(cid:19)equivalence. Les bases de cette classes sont alors dites
directes, les bases de l’autre classe sont dites indirectes
Exemple 1.3.2 DansR2muniduproduitscalaireclassique,onpeutconsid(cid:19)erer
labasecanonique(e ;e ),alorslabase(e ;e )estdansuneclassed’(cid:19)equivalence
1 2 2 1
di(cid:11)(cid:19)erentes. On a donc deux orientations possibles selon que l’on choisit la
premi(cid:18)ere base qui sera alors directe, ou la seconde.
Passons maintenant (cid:18)a la d(cid:19)e(cid:12)nition des rotations dans le plan vectoriel.
(cid:0)!
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.3.3 Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n. On dit
(cid:0)! !(cid:0)
qu’un automorphisme (cid:27) de E est une isom(cid:19)etrie vectorielle si :
!(cid:0) (cid:0)! (cid:0)! !(cid:0) !(cid:0) !(cid:0)
((cid:27)(u)j(cid:27)(v))=(ujv)
(cid:0)! !(cid:0) (cid:0)!
pour tout u et v dans E.
Comment reconna^(cid:16)tre matriciellement une isom(cid:19)etrie? donnons nous une base
(cid:0)!
orthonormale (e ;:::;e ) et (cid:19)ecrivons la matrice d’une isom(cid:19)etie vectorielle (cid:27).
1 n
Notons la A=(ai;j)1(cid:20)i;j(cid:20)n. On a alors pour tout (i;j)2f1;:::;ng2 :
a =((cid:27)(e )je )
i;j j i
La transpos(cid:19)ee de A est donn(cid:19)ee par At = (aj;i)1(cid:20)i;j(cid:20)n donc le coe(cid:14)cient de la
10