Geometric Theory of Ordinary Differential Equations and Bifurcation Problem

441 Pages·2000·35.503 MB·Chinese

by  Zhang Jin Yan, Feng Bei Ye

常微分方程几何理论
与分支问题
北京大学教材
常微分方程儿何理论与
分支问题
（第二次修订本）
北京大学出版社
•北 京·
图书在版编目(CIP)数据
常微分 方程几何理论与分支问题／张锦炎、冯贝叶 .3版 ．—北
京：北京大学出版社，2000.3
ISBN7 -301-04168-3
I 常•… I.(1)张 … ＠冯… I.常 微分方程研究
N.01751.
中国版本图书馆C IP数据核字( 1999)第17244号
书 名1常微分方程几何理论与分支问题
著作责任者 1张锦炎 冯贝叶
责 任编辑 1邱淑清
标准书号： ISB7N- 301-04•14 6484- 3/0
出 版 者：北京大学出版社
地 址1北京市海淀区中关村北京大学校内 100871
网 址,http/:c/bp sk.ue .d ue.n
电 话：出版部62752发0行1部562754编1辑4部062752021
电子信箱, [email protected] ue.n
排 版 者；北京高新特公司激光照排中心
印 刷 者：北京大学印刷厂
发 行 者：北京大学出版社
经 销 者：新华书店
850毫米X1168毫米32开本 13.875印3张50千字
1981年7月一第版 1987年12月修订再版
2000年3月第二次修订第三版2000年3月第三次印刷
定 价：19.50元
第二次修订本前言
在本次修订本中．我们对原有内容作了少量的修改，较大的变
化是增加了一 些章节与相应的习题．自本书出版以来，分支理论有
了很大的发展，它已成为许多应用学科研究工作中讨论的重要方
面为了较全面地反映巳有的数学内容，我们增加了奇点分支与分
界线环分支两章（第七与第十章），还对原有的Hopf分支的高维
情况，补充了一 些有用的公式（第十一章§4)另.外，柱面、环面上
的微分方程也是儿何理论的 一 个重要部分，原书未曾涉及，现在增
加一章令放在最后，并以偶合振子系作为一个具体的例子，来说明
如何灵活运用本书的理论与方法，从而导出新颖的结果．
在写作的过程中，我们除引用几个在动力系统中已成为常识
的概念和定理外，仍力图使本书是自封的．
最后，谨向自1918年第一版发行以来对本书提出过宝贵意见
的读者们表示衷心感谢．
张锦炎 冯贝叶
1997月年于6北京
•1•
修订本前言
自本书第一版发行以来，收到了许多读者的来信，有的提出了
宝贵意见，有的指出了印刷错误．更多的则是表达了对作者的鼓励
和希望借此再版机会，谨向这些同志们表示衷心的感谢．
在本次修订本中，除了改正若干已经发现的错误外，我们按照
读者的要求，编入了习题部分．本书前三章的主题是平面自治系统
的定性理论，第五章为熟知的应用．但这种方法的应用范围远不止
于此，为了说明也可以用它来解决某些非自治问题和三维问题，在
新版中加写了最后一章，在其中我们详细讨论了这两种类型的若
干实例．读者不妨先试图了解这些问题的提法，然后自己设法给出
解决的途径，而将书中的论述作为参考．
作 者
1987年9月9日千北京大学
•2 •
言
序
编写本书的目的是希望提供 一 本包括平面自治系统与稳定性
理论初步，以及分支问题的教材．
在平面自治系统与稳定 性部分．本书力图做到深入浅出，使凡
掌握数学分析、线性代数与常微分方程的读者都能顺利阅读．第四
章中介绍了抽象动力系统的 一 些基本概念（如导算子、流等），既是
后面部分章节所需要的，又是进 一 步研究一 般动力系统的基础．因
此，希望读者能熟练掌握．第五章中除了传统的非线性振动方面的
应用之外还编入了在生态学方面的应用．常微分方程在生物学中
的应用是极其广泛的，生态学中的应用只不过是其中的 一 个方面．
我们介绍它是希望通过它引起读者对这类问题的兴趣．
常微分方程分支理 论是不少学科所需要的，但至今国内尚未
有一本书较系统地阐述过这方 面的内容．本书整理了H ofp分支
问题现有文献中的两种主要方 法，即Friedrich方法和后继函数
法；另外作者采用Liaupnov第二方法建立了分支问题与失稳现象
的联系在分支问题部分把这三种方法同时介绍给读者，希望在掌
握了这些之后就能够阅读有关问题的近代文献并从事研究工 作．
当然这些都只是作者的愿望．由于水平有限，缺点错误一 定不
少欢迎读者批评指正 ．
此书稿曾作为选修课的讲义，于1979年度在北京大学数学系
进修政和研究生中讲授过，并且还在部分教师讨论班中报告过．因
此，书稿的编写过程中，讨论班的同志们与选修课的同学们曾提出
多方面的宝贵意见，特此表示感谢．
张 锦 炎
198年08月于北京大学
• 3 •
目 录
第一章 基本定理 …… ..….… ......….... ....…........... ....….( 1)
§1 微分方程解的存在性与唯一性 …… ……… .......…..…( 5)
§2 解的开拓................................(...9.)..................
§3 解对初值的连续依赖性与可微性………… …………… (12)
§4 解对参数 的连续性与可微性………… …………… ……(16)
第二章 二维系统 的平衡点 …...........…...............….. .(.2 0)
§1 常系数 线性系统 ……… ....….….….….…....…....(..2 0)
§2 非线性 系统 的平衡点．平衡点的稳定性………………… (30)
§3 性线近似方程为中心的情况………… ……………… …(37)
§4 非线性系统的高阶平衡点 ………… ………… ………(6 2)
第三章 二维系统 的极限环 …… ………… ………… ……… (73)
§1 极限环．极限环稳定性的定义 ..….… ………… ……… (73)
§2 后继函数与极限环 ..….……… ……………… ……… (75)
§3 极限环的指数 ．稳定性的判别法……………… ……… (77)
§4 衡平点的指数 ..….………………… ………………… (83)
§5 极限环位置的估计 ………… ………………… ……… (87)
§6 无穷远点 …......….... .....…......… .….….… …… (93)
§7 几个全局结构的例子………… …....….….….….….(101)
第四章 动力系统 ……… ……………… ......…........….. (.1.05)
1 流 ...........................................(..1..0..5.). ......
§
§2 动力系统..............…...........(..1..0..9..).. .... .........
•4•
§3 导算子........................................(..1..1..0.).......
§4 线轨的极限状态极限集的性质 …… ……………… … 015)
§5 截割与流匣 … …… ……… ……… ……… ………… (120)
§6 平面极限集的性质.Poincare-Ben……d…i…xs(o1n2定4)理
§7 Poincar仓Bendix…s…o……n…定……理…的…应用 028)
第五章 振动方程与生态方程 …………… ……………… …(132)
§1 振动方 程…................................(...1..3.2...).. .....
§2 生态方 程...................................(..14.2..).. .........
第六章 n维系统的平衡点 ……………… ……………… … (155)
§1 线 性系统的汇和源 …… …… …… ………………… (157)
§2 非线性的汇和源 …… ..…….… … .....….……...(1.6.0).
§3 平衡点的稳定性 ……… ……………… …… … …… (164)
§4 Liapun数ov.函.......................….........(...16..9.) . ..
§5 梯度系统… ....….........................….… …… … (174)
§6 稳定性问题的深入讨论 … …… ……… …… …… …… (177)
第七章 多重奇点的分支 ………………… ……… ……… … (182)
§1 从多重奇点分支出的结构稳定 奇点的 个数 …………… (182)
§2 余维1分支 ..….····································8(·9·1)····
§3 鞍 结点分支………………………… ………………(1 93)
§4 有两个零特征根的余维1分支 .........….…..… ……(196)
第八章 Hopf分支… ………………… ……… … ……… … (206)
§1 分支问题的Laipuonv第二方 法… …………… ………(207)
�2 分支问题的Freidr方ic法…h… …… …………… …… (211)
§3 分支问题的后继函数法 ………… ………… …………(223)
•5•
第九章 从闭轨分支出极限 环....喻....... ………………...(.23.7).
�1 Liapunov第.二.方.法................................(..2..3 7)
�2 Ponciar法e方...................................(...2.4 .)3.....
�3 继后函数法 ······.·..·..·.......................(..2.5.0..). ....
第十章 同宿分支及异宿分支…...….….….…………… …(259)
§l鞍 点的不变流形 ……......…..….… …....…....(..25. 9).
§2 同宿环．异宿环与后继函数 ..….… ……….........(..2.6 6)
§3 同（异）宿环稳的定性........…..….….……..........(..72 2)
§4 同（异）轨宿线经扰动破裂后鞍点的稳定流形与不稳定
流形的相互位置….......…..…. ….….…......…..( .294)
§5 同（异）宿环的分支.......….….….….….… ……..(.30 7)
第十一章 高维问题……….......…..…..….…….......(.31.9)...
§1 离散动力系 统…………...….….….……......( .31.9)....
§2 闭轨的稳定性．渐近稳性定．周期吸引子……………… (322)
§3三 维Hop分f支定理..…......….… ………......….(.3.29 )
§4 高维Hopf分…支…………………………....….(.33.9). .
第十二章 综合应用………………………… …………...(.34.9).
§1旋 涡运动的限制三体问题.....….…………......…..( .349)
§2 三维梯度共辄系统的全周期性 ……………....….(.36.2.).
第十三章 柱面和环面上的动力系统及其应用 …......…..(.379)
§1 柱面及环面上的动力系 统...….….….……......…..(. 379)
§2 圆周映射和旋转数 ..….… ……………...........(.3.83.).
§3 偶合振子系…………… ...….….….……… ...….(.39.2 )
习题·········································1·(0··4)·························
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