Geometric Qp Functions (Frontiers in Mathematics)

245 Pages·2006·1.824 MB·English

by  Jie Xiao

Frontiers in Mathematics
Advisory Editorial Board
Luigi Ambrosio (Scuola Normale Superiore, Pisa)
Leonid Bunimovich (Georgia Institute of Technology, Atlanta)
Benoît Perthame (Ecole Normale Supérieure, Paris)
Gennady Samorodnitsky (Cornell University, Rhodes Hall)
Igor Shparlinski (Macquarie University, New South Wales)
Wolfgang Sprössig (TU Bergakademie Freiberg)
Jie Xiao
Geometric
Q
P
Functions
Birkhäuser Verlag
Basel . Boston . Berlin
Author:
Jie Xiao Narayanaswami Vanaja
Department of Mathematics and Statistics Department of Mathematics
Memorial University of Newfoundland University of Mumbai
St. John’s, NL A1C 5S7 Vidyanagari Marg
Canada Mumbay 400098
e-mail: [email protected] India
e-mail: [email protected]
Christian Lomp Robert Wisbauer
Departamento de Matemática Pura Institute of Mathematics
Faculdade de Ciências (cid:43)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:85)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:3)(cid:43)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:3)(cid:56)(cid:81)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:76)(cid:87)(cid:92)(cid:3)(cid:39)(cid:129)(cid:86)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:71)(cid:82)(cid:85)(cid:73)
Universidade do Porto Universitätsstr. 1
Rua Campo Alegre 687 40225 Düsseldorf
4169-007 Porto Germany
Portugal e-mail: [email protected]
e-mail: [email protected]
(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:19)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:54)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:19)(cid:38)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:19)(cid:41)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:20)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:21)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:23)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:25)(cid:37)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:25)(cid:40)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:15)(cid:3)
(cid:23)(cid:26)(cid:42)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:28)(cid:52)(cid:15)(cid:3)(cid:24)(cid:22)(cid:36)(cid:15)(cid:3)(cid:24)(cid:22)(cid:39)(cid:15)(cid:3)(cid:24)(cid:27)(cid:39)
A CIP catalogue record for this book is available from the
Library of Congress, Washington D.C., USA
Bibliographic information published by Die Deutsche Bibliothek
(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)(cid:3)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:191)(cid:72)(cid:30)(cid:3)
detailed bibliographic data is available in the Internet at <http://dnb.ddb.de>.
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:26)(cid:25)(cid:21)(cid:16)(cid:22)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:177)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:177)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:76)(cid:81)
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part
(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:86)(cid:83)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:92)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)
(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:69)(cid:85)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:70)(cid:68)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:76)(cid:70)(cid:85)(cid:82)(cid:191)(cid:79)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:90)(cid:68)(cid:92)(cid:86)(cid:15)(cid:3)
and storage in data banks. For any kind of use permission of the copyright owner
must be obtained.
(cid:139)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:25)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:51)(cid:17)(cid:50)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:91)(cid:3)(cid:20)(cid:22)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:38)(cid:43)(cid:16)(cid:23)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:15)(cid:3)(cid:54)(cid:90)(cid:76)(cid:87)(cid:93)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:71)
Part of Springer Science+Business Media
(cid:38)(cid:82)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:86)(cid:76)(cid:74)(cid:81)(cid:29)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:3)(cid:37)(cid:79)(cid:82)(cid:75)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:61)(cid:129)(cid:85)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:15)(cid:3)(cid:54)(cid:90)(cid:76)(cid:87)(cid:93)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:71)
Printed on acid-free paper produced from chlorine-free pulp. TCF (cid:102)
Printed in Germany
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:20)(cid:19)(cid:29)(cid:3)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:26)(cid:25)(cid:21)(cid:16)(cid:22)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:72)(cid:16)(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:29)(cid:3)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:26)(cid:25)(cid:22)(cid:16)(cid:20)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:20)(cid:22)(cid:29)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:26)(cid:25)(cid:21)(cid:16)(cid:24)
(cid:28)(cid:3)(cid:27)(cid:3)(cid:26)(cid:3)(cid:25)(cid:3)(cid:24)(cid:3)(cid:23)(cid:3)(cid:22)(cid:3)(cid:21)(cid:3)(cid:20)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:69)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:68)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:17)(cid:70)(cid:75)
To Xianli and Sa
Contents
Preface ix
1 Preliminaries 1
1.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Logarithmic Conformal Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Conformal Domains and Superpositions . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Descriptions via Harmonic Majorants . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Regularity for the Euler–LagrangeEquation . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Poisson versus Berezin with Generalizations 25
2.1 Boundary Value and Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Derivative-free Module via Poisson Extension . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Derivative-free Module via Berezin Transformation . . . . . . . . . 32
2.4 Mixture of Derivative and Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Dirichlet Double Integral without Derivative . . . . . . . . . . . . . 40
2.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Isomorphism, Decomposition and Discreteness 47
3.1 Carleson Measures under an Integral Operator . . . . . . . . . . . 47
3.2 Isomorphism to a Holomorphic Morrey Space . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Decomposition via Bergman Style Kernels . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Discreteness by Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5 Characterizationin Terms of a Conjugate Pair . . . . . . . . . . . 67
3.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Invariant Preduality through Hausdorff Capacity 73
4.1 Nonlinear Integrals and Maximal Operators . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Adams Type Dualities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Quadratic Tent Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 Preduals under Invariant Pairing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5 Invariant Duals of Vanishing Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
viii Contents
4.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5 Cauchy Pairing with Expressions and Extremities 107
5.1 Backgroundon Cauchy Pairing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 Cauchy Duality by Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3 Atom-like Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4 Extreme Points of Unit Balls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6 As Symbols of Hankel and Volterra Operators 135
6.1 Hankel and Volterra from Small to Large Spaces . . . . . . . . . . 135
6.2 Carleson Embeddings for Dirichlet Spaces . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3 More on Carleson Embeddings for Dirichlet Spaces . . . . . . . . . 144
6.4 Hankel and Volterra on Dirichlet Spaces . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7 Estimates for Growth and Decay 163
7.1 Convexity Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2 Exponential Integrabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.3 Hadamard Convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.4 Characteristic Bounds of Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8 Holomorphic Q-Classes on Hyperbolic Riemann Surfaces 191
8.1 Basics about Riemann Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.2 Area and Seminorm Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.3 Intermediate Setting – BMOA Class . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.4 Sharpness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.5 Limiting Case – Bloch Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Bibliography 227
Index 239
Preface
Theaimofthe bookGeometric Q Functionsistodocumentthe richstructureof
p
theholomorphicQfunctionswhicharegeometricinthesensethattheytransform
naturally under conformal mappings, with particular emphasis on the last few
years’developmentbasedoninteractionbetweengeometricalfunctionandmeasure
theory and other branches of mathematical analysis,including complex variables,
harmonic analysis, potential theory, functional analysis, and operator theory.
The book compriseseightchaptersin whichsome resultsappear forthe first
time.The firstchapter beginswith a motiveanda verybriefreview ofthe mostly
standard characterizations of holomorphic Q functions presented in the author’s
monograph— Springer’sLNM 1767:Holomorphic Q Classes — followedby some
further preliminaries on logarithmic conformal maps, conformal domains and su-
perpositionsandharmonicmajorantswithanapplicationtoEuler–Lagrangeequa-
tions. The second chapter gives function-theoretic characterizations by means of
PoissonextensionandBerezintransformwithtwo moregeneralizedvariants.The
thirdchaptertakesacarefullookatisomorphism,decomposition,anddiscreteness
of spaces via equivalent forms of the generalized Carleson measures. The fourth
chapter discusses invariantpreduality throughHausdorff capacity,which is a use-
ful tool to classify negligible sets for various fine properties of functions. The fifth
chapter develops some essential properties of the Cauchy dualities via both weak
factorizationsandextreme points ofthe targetfunction spaces.The sixth chapter
shows particularly that each holomorphic Q function can be treated as a symbol
of the holomorphic Hankel and Volterra operators acting between two Dirichlet
spaces. The seventh chapter deals with various size estimates involving functions
and their exponentials and derivatives. Finally, the eighth chapter handles how
much of the basic theory of holomorphic Q functions can be carried over the hy-
perbolic Riemann surfaces by sharpening the area and isoperimetric inequalities
and settling the limit spaces.
Although this book may be more or less regarded as a worthy sequel to the
previously-mentionedmonograph,it is essentially self-contained. And so, without
reading that monograph, readers can understand the contents of this successor,
oncetheyarefamiliarwithsomebasicfactsongeometricfunction-measuretheory
and complex harmonic-functional analysis. For further background, each chapter
endswithbriefnotesonthehistoryandcurrentstateofthesubject.Readersmay
x Preface
consult those notes and go further to study the references cited by this book for
more information.
As is oftenthe case,the completionof a book is stronglyinfluenced by some
organizations and individuals. This book has been no exception. Therefore, the
authorwouldliketodeliverawordofthanksto:NaturalSciencesandEngineering
Research Council of Canada as well as Faculty of Science, Memorial University
of Newfoundland, Canada, that have made this book project possible; next, a
number of people including (in alphabetical order): D. R. Adams (University of
Kentucky),A.Aleman(LundUniversity),R.Aulaskari(UniversityofJoensuu),H.
Chen(NanjingNormalUniversity),K.M.Dyakonov(UniversityofBarcelona),P.
Fenton (University of Otago), T. Hempfling (Birkh¨auser Verlag AG), M. Milman
(Florida Atlantic University), M. Pavlovic (University of Belgrade), J. Shapiro
(MichiganStateUniversity),A.Siskakis(UniversityofThessaloniki),K.J.Wirths
(Technical University of Braunschweig), Z. Wu (University of Alabama), G. Y.
Zhang (Polytechnic University of New York), R. Zhao (State University of New
York at Brockport) and K. Zhu (State University of New York at Albany), who
have directly or indirectly assisted in the preparation of this book. Last but not
least, the author’s family, who the author owes a great debt of gratitude for their
understanding and moral support during the course of writing.
St. John’s J. Xiao
Fall 2005 – Summer 2006 [email protected]
Chapter 1
Preliminaries
Our major goal in this chapter is to deal with some of the necessary preliminary
results motivating a further study of the holomorphic Q classes via the following
five sections:
• Background;
• Logarithmic Conformal Mappings;
• Conformal Domains and Superpositions;
• Descriptions via Harmonic Majorants;
• Regularity for the Euler–LagrangeEquation.
1.1 Background
Inordertomakethisbookself-containedandaccessible,westartwithsomenota-
tion and terminology, provide with the readers a motive from geometric function
theory, and look over several principal properties presented in the monograph:
Holomorphic Q Classes, LNM 1767, Springer-Verlag,2001.
Firstofall,letushavealookatthe conceptofconformalradiuswhichplays
animportantroleingeometricfunctiontheory.Foreverysimplyconnecteddomain
Ωonthe finitecomplexplaneCwhoseboundary∂Ωcontainsatleasttwopoints,
denote by F(Ω) the class of all univalent functions (conformalmappings) defined
on Ω whose images are subsets of the open unit disk D= {z ∈C :|z|< 1} with
boundary T = {z ∈ C : |z| = 1} such that f(z ) = 0 for a fixed point z ∈ Ω.
0 0
Then there is an f ∈F(Ω) such that
0
sup |f(cid:2)(z )|=|f(cid:2)(z )|.
0 0 0
f∈F(Ω)
This extremal function f is called a Riemann mapping. Since it is unique up to
0
a rotation, we can define
rΩ(z0)=|f0(cid:2)(z0)|−1