Geometría Vectorial y Analítica. Una Introducción al Algebra Lineal.

30 Pages·2006·0.4 MB·Spanish

by  Margarita Toro

Geometría Vectorial y Analítica. Una Introducción al
Algebra Lineal.
Abraham Asmar Charris
Patricia Restrepo de Pelaez
Rosa Franco Arbelaez
Fernando Vargas Hernandez
Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia
2
Contenido
I 1
1 Vectores geométricos en el plano 3
1.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Producto de un escalar por un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Descomposición de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Proyección de un vector sobre otro vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7 Vectores geométricos en el plano cartesiano. Descomposición canónica . . . 32
1.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Vectores coordenados o algebraicos 53
2.1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2 Suma y producto por escalar en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Magnitud, dirección y otros conceptos en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 La línea recta en el plano 75
3.1 Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 Ángulo de inclinación y pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3 Ecuaciones escalares no paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4 Ecuación en forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5 Rectas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.6 Ángulo entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.7 Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.8 Ecuaciones lineales, combinaciones lineales, dependencia e independencia
lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4 Transformaciones lineales del plano y matrices 2 2 101
×
4.1 Transformaciones del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3 Propiedades básicas de las transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 110
4.4 Imagen de un conjunto bajo una transformación . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5 Operaciones con transformaciones lineales y con matrices . . . . . . . . . . 117
4.6 Inversas para transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . 128
4.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3
4 CONTENIDO
5 Sistemas de ecuaciones lineales 2 2 143
×
5.1 Conceptos y resultados básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6 Determinantes de orden 2 161
6.1 Definición. Par orientado de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.2 Transformaciones que preservan la orientación . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.3 Determinantes y áreas de paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4 Fórmulas de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.5 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7 Valores propios y vectores propios 175
7.1 Definiciones. Cálculo de valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . 175
7.2 Factorización A=PDP 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
−
7.3 Valores propios y vectores propios de matrices simétricas . . . . . . . . . . . 181
7.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8 Secciones Cónicas 195
8.1 La circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.2 Traslación de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.3 La parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.4 La elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.5 La hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.6 La ecuación Ax2+Cy2+Dx+Ey+F =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.7 Rotación de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.8 Ecuación general de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
II 269
9 Vectores en el espacio 271
9.1 Vectores geométricos. Conceptos básicos y operaciones . . . . . . . . . . . . 271
9.2 Sistema de coordenadas cartesianas para el espacio . . . . . . . . . . . . . . 274
9.3 Descomposición canónica para vectores geométricos . . . . . . . . . . . . . . 277
9.4 Producto cruz o producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
9.5 Vectores coordenados o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
9.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
10 Rectas y planos 319
10.1 La línea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.2 Ángulo y posiciones relativas entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
10.3 Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
10.4 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
10.5 Posiciones relativas entre dos planos y entre una recta y un plano . . . . . . 334
10.6 Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
10.7 Ecuaciones paramétricas para un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
CONTENIDO 5
10.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
11 Transformaciones lineales del espacio y matrices 3 3 353
×
11.1 Transformaciones del espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
11.2 Transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
11.3 Operaciones con transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . 368
11.4 Inversa para transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . . 374
11.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
12 Sistemas de ecuaciones lineales 3 3 391
×
12.1 Definiciones y algunos resultado básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
12.2 Método de eliminación de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
12.3 Otros resultados básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
12.4 Método de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
12.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
13 Determinantes de orden 3 419
13.1 Definición y algunos resultados básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
13.2 Propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
13.3 Aplicaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
13.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
14 Valores propios y vectores propios 441
14.1 Definiciones. Cálculo de los valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . 441
14.2 Matrices simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
14.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
15 Superficies cuádricas 467
15.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
15.2 Elipsoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
15.3 Hiperboloide de una hoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
15.4 Hiperboloide de dos hojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
15.5 Cono elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
15.6 Cilindro recto elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
15.7 Cilindro recto hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
15.8 Cilindro recto parabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
15.9 Paraboloide elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
15.10Paraboloide hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
15.11Cambio de sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
15.12Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
6 CONTENIDO
Prefacio
A comienzos del año 2001, un grupo de profesores de la Escuela de Matemáticas propone
una reforma a los distintos programas de las asignaturas de servicio para la Facultad de
Minas, incluyendo por supuesto el curso de Geometría. Este curso es quizás el que más
requería de una modificación pues su programa había sido conformado con temas que no
estaban articulados entre sí.
ElnuevoprogramaparaelcursodeGeometríafueelaboradoporelprofesorDiegoMejía
Duque y aprobado por el Consejo de la Facultad de Ciencias según acta No. 2038 de 2 de
Agosto de 2001. Se basaba dicho programa en el texto Linear Algebra Through Geometry
deThomasBanchoffyJohnWerner,editadoporSpringer-Verlag,elcual seproponíacomo
texto guía para el curso. Por diversas razones, el cambio en el programa de Geometría no
se implementó y se continuó con el programa anterior. Es apenas para el semestre 02
de 2002 cuando se conforma un grupo de profesores para analizar el nuevo programa y
estudiar el texto guía propuesto; conformaron dicho grupo las profesores Abraham Asmar
Charris, Diego Mejía Duque, Patricia Restrepo de Pelaez, Margarita María Toro Villegas
y Fernando Vargas Hernandez. Este grupo conceptuó que el texto en consideración no era
apropiadocomotextoguía,perorecomendóescribirunmaterialparaelcurso,manteniendo
la orientación y caracteristicas del mencionado texto, incluyendo ciertos temas ausentes en
élyaumentandotantoelnúmerodeejemploscomolascoleccionesdeejerciciospropuestos.
Eltrabajodeescrituradetalmaterialloemprendieron,apartirdelsemestre01de2003,
los profesores Abraham Asmar, Patricia Restrepo, Rosa Franco y Fernando Vargas. Se
trabajó con la siguiente metodología: Abraham se encargaba de escribir la primera versión
delateoríaconejemplos, paracadaunodelostemas; copiadeellosepasabaalaprofesora
Patricia, quien revisaba y hacía observaciones y sugerencias. Con base en esta revisión se
definía la versión final, la cual era escrita por Abraham. Esa versión final se pasaba a Rosa
y Fernando, quienes se encargaban de elaborar la correspondiente colección de ejercicios,
consusrespuestas.Elmaterialsecompletó,enmanuscrito,alfinaldelsemestre02de2004.
La transcripción en computador se hizo empleando el procesador de texto Scientific
WorkPlace; este trabajo se realizó bajo la coordinación general de la profesora Margarita
Toro y se culminó al final del semestre 01 de 2005. La transcripción estuvo a cargo de los
estudiantes Juan Pablo Hernandez, Yamir Carvajal, Edison Mauricio Rivera y Santiago
Barrera. El material ya transcrito al computador fue revisado en su totalidad por Abra-
ham Asmar y Patricia Restrepo a lo largo del semestre 01 de 2005; todos los cambios y
correccionesenelcomputadorquesurgierondeestarevisiónfueronhechosporlaprofesora
Margarita Toro.
Esasícomollegamosalmaterialqueaquísepresenta.Setratadeuncursodegeometría
vectorial y analítica en el cual se aprovechan las ideas geométricas para introducir con-
ceptos y temas básicos del álgebra lineal. Está dividido en dos partes: en la primera sólo se
tratalorelativoalplanoyenlasegundalorelativoalespacio.Ademásdelostemasusuales
i
ii Prefacio
en geometría vectorial y analítica, se estudian en un nivel elemental las transformaciones
lineales, se muestra cómo las matrices 2 2 y 3 3 surgen de manera natural como repre-
× ×
sentacionesdetransformacioneslinealesdelplanoydelespaciorespectivamente,ycómolas
operaciones con matrices corresponden a las operaciones con transformaciones lineales. Se
analizanlossistemasdeecuacioneslineales2 2y3 3desdeel puntodevistageométrico.
× ×
Se introducen los conceptos de valor propio y vector propio y se emplean para eliminar los
términos mixtos en una ecuación de segundo grado, tanto en dos variables como en tres, a
fin de transformar la ecuación en una que permita identificar el lugar geométrico que ella
representa.
Al separar lo relativo al plano de lo relativo al espacio se espera mayor comprensión
por parte de los estudiantes de los diversos temas ya que, por una parte, casi siempre es
más sencillo trabajar en el plano que en el espacio y por otra, cuando se llega al espacio
se cuenta con el conocimiento adquirido en el plano y al replicar lo que ya se ha hecho se
reafirman conceptos, resultados y procedimientos.
Consideramos que el material aún no está terminado y que requiere ajustes. Invitamos
y solicitamos a los profesores de la asignatura y en general a los lectores a enviarnos todos
sus comentarios, observaciones y sugerencias que contribuyan a mejorarlo.
Agradecimientos especiales para los profesores Ivan Asmar Charris y Carlos Mejía
Salazar, quienes, como directores de la Escuela de Matemáticas, dieron su respaldo al
proyecto; el profesor Ivan en el inicio y el profesor Carlos en la etapa final en la cual su
decidido apoyo fue fundamental para llevar el proyecto a su estado actual.
También agradecemos de manera especial a la profesora Margarita Toro Villegas, por
su acompañamiento durante todo el trabajo y por haber dedicado generosamente muchas
horas de su valioso tiempo para hacer cambios y correcciones en el computador al material
inicialmente transcrito.
Los autores
Medellín, Agosto de 2005
Parte I
1