Table Of Content

Ion Pătrașcu Florentin Smarandache GEOMETRIA TRIUNGHIURILOR ORTOLOGICE Referenți: Bencze Mihály, prof. dr., Departamentul de Matematică, “Áprily Lajos” Highschool, Brașov, România Temistocle Bîrsan, prof. univ. dr., Universitatea Tehnică “Gh. Asachi” Iași, România Claudiu-Ionuț Popîrlan, lector univ. dr., Departamentul de Informatică, Facultatea de Științe, Universitatea din Craiova, România ISBN 978-1-59973-652-5 DTP: Mihai Șintereag Oștirii, 4 550388 – Sibiu, România Ion Pătrașcu Florentin Smarandache GEOMETRIA TRIUNGHIURILOR ORTOLOGICE Editura Agora Sibiu, 2020 Nepoților mei LUCAS și EVA-MARIE, cu toată dragostea ‒ ION PĂTRAȘCU CUPRINS CUPRINS PREFAȚĂ .................................................................................... 21 NOTA AUTORILOR ................................................................. 23 1INTRODUCERE ............................................................................ 25 1.1 Triunghiuri ortologice. Definiție ..................................................... 25 Definiția 1 ......................................................................................... 26 Observația 1 ...................................................................................... 26 Exercițiul 1 ....................................................................................... 26 1.2. Caracterizarea relației de ortologie ................................................ 26 Teorema 1 (L. Carnot, 1803) ............................................................ 26 Demonstrație ..................................................................................... 27 Observația 2 ...................................................................................... 28 Lema 1 .............................................................................................. 28 Exercițiul 2 ....................................................................................... 28 Teorema 2 ......................................................................................... 29 Demonstrație ..................................................................................... 29 Teorema 3 ......................................................................................... 30 Demonstrație ..................................................................................... 30 Observația 3 ...................................................................................... 31 1.3. Teorema triunghiurilor ortologice .................................................. 31 Teorema 4 (J. Steiner, 1828 – Teorema triunghiurilor ortologice) ... 31 Demonstrația 1 .................................................................................. 31 Demonstrația 2 .................................................................................. 31 Demonstrația 3 .................................................................................. 32 Demonstrația 4 .................................................................................. 32 Demonstrația 5 .................................................................................. 34 Remarca 1 ......................................................................................... 35 Remarca 2 ......................................................................................... 35 Demonstrația 6 (analitică) ................................................................. 35 Definiția 2 ......................................................................................... 37 Problema 1 ........................................................................................ 37 Problema 2 ........................................................................................ 37 Ion Pătrașcu, Florentin Smarandache 5 Geometria triunghiurilor ortologice CUPRINS 2TRIUNGHIURI ORTOLOGICE REMARCABILE .................. 39 2.1 Un triunghi și triunghiul său complementar .................................... 39 Definiția 3 ......................................................................................... 39 Propoziția 1 ....................................................................................... 39 Demonstrație ..................................................................................... 39 Observația 4 ...................................................................................... 40 Problema 3 ........................................................................................ 40 2.2 Un triunghi și triunghiul său anticomplementar .............................. 41 Definiția 4 ......................................................................................... 41 Propoziția 2 ....................................................................................... 41 Demonstrație ..................................................................................... 41 Observația 5 ...................................................................................... 42 2.3 Un triunghi și triunghiul său ortic ................................................... 42 Definiția 5 ......................................................................................... 42 Observația 6 ...................................................................................... 42 Definiția 6 ......................................................................................... 43 Observația 7 ...................................................................................... 43 Propoziția 3 ....................................................................................... 43 Demonstrație ..................................................................................... 43 Remarca 3 ......................................................................................... 44 Propoziția 4 ....................................................................................... 44 Demonstrație ..................................................................................... 44 Propoziția 5 ....................................................................................... 45 Demonstrație ..................................................................................... 45 Remarca 4 ......................................................................................... 46 Propoziția 6 ....................................................................................... 46 Demonstrație ..................................................................................... 46 Remarca 5 ......................................................................................... 47 Observația 8 ...................................................................................... 47 2.4 Triunghiul median și triunghiul ortic .............................................. 47 Teorema 5 ......................................................................................... 47 Demonstrație ..................................................................................... 47 Observația 9 ...................................................................................... 48 Propoziția 7 ....................................................................................... 48 Propoziția 8 ....................................................................................... 49 Propoziția 9 ....................................................................................... 49 Demonstrație ..................................................................................... 49 6 Ion Pătrașcu, Florentin Smarandache Geometria triunghiurilor ortologice CUPRINS Observația 10 .................................................................................... 49 Problema 4 ........................................................................................ 49 Problema 5 ........................................................................................ 49 2.5 Un triunghi și triunghiul său de contact .......................................... 50 Definiția 7 ......................................................................................... 50 Observația 11 .................................................................................... 50 Propoziția 10 ..................................................................................... 50 Demonstrație ..................................................................................... 50 Observația 12 .................................................................................... 51 Propoziția 11 ..................................................................................... 51 Demonstrație ..................................................................................... 51 2.6 Un triunghi și triunghiul său tangențial ........................................... 52 Definiția 8 ......................................................................................... 52 Observația 13 .................................................................................... 52 Propoziția 12 ..................................................................................... 53 Observația 14 .................................................................................... 53 Propoziția 13 ..................................................................................... 53 Demonstrație ..................................................................................... 53 Nota 1 ............................................................................................... 53 Propoziția 14 ..................................................................................... 54 Demonstrație ..................................................................................... 54 2.7 Un triunghi și triunghiul său cotangentic ........................................ 56 Definiția 9 ......................................................................................... 56 Observația 15 .................................................................................... 56 Propoziția 15 ..................................................................................... 56 Demonstrație ..................................................................................... 57 Definiția 10 ....................................................................................... 57 Propoziția 16 ..................................................................................... 57 Demonstrație ..................................................................................... 57 Observația 16 .................................................................................... 57 Problema 6 ........................................................................................ 57 Definiția 11 ....................................................................................... 58 Demonstrație ..................................................................................... 58 Propoziția 17 ..................................................................................... 58 Demonstrație ..................................................................................... 59 2.8 Un triunghi și triunghiul său antisuplementar ................................. 59 Definiția 12 ....................................................................................... 59 Observația 17 .................................................................................... 59 Ion Pătrașcu, Florentin Smarandache 7 Geometria triunghiurilor ortologice CUPRINS Propoziția 18 ..................................................................................... 60 Observația 18 .................................................................................... 60 Propoziția 19 ..................................................................................... 60 Definiția 13 ....................................................................................... 60 Observația 19 .................................................................................... 60 Propoziția 20 ..................................................................................... 61 Demonstrație ..................................................................................... 61 Problema 7 ........................................................................................ 62 2.9 Un triunghi și triunghiul său I-circumpedal .................................... 62 Definiția 14 ....................................................................................... 62 Observația 20 .................................................................................... 62 Propoziția 21 ..................................................................................... 62 Demonstrație ..................................................................................... 62 Observația 21 .................................................................................... 64 Propoziția 22 ..................................................................................... 64 Demonstrație ..................................................................................... 64 Remarca 6 ......................................................................................... 65 2.10 Un triunghi și triunghiul său -circumpedal ................................. 65 Propoziția 23 ..................................................................................... 65 H Demonstrație ..................................................................................... 65 2.11 Un triunghi și triunghiul său -circumpedal ................................. 65 Definiția 15 ....................................................................................... 65 O Propoziția 24 ..................................................................................... 66 Demonstrație ..................................................................................... 66 2.12 Un triunghi și triunghiul său -circumpedal ................................ 67 Propoziția 25 ..................................................................................... 67 Ia Demonstrație ..................................................................................... 67 Observația 22 .................................................................................... 68 2.13 Un triunghi și triunghiul său extangențial ..................................... 68 Definiția 26 ....................................................................................... 68 Observația 23 .................................................................................... 68 Propoziția 26 ..................................................................................... 69 Demonstrația 1 .................................................................................. 70 Definiția 17 ....................................................................................... 70 Lema 3 .............................................................................................. 70 Demonstrație ..................................................................................... 70 Observația 24 .................................................................................... 71 Demonstrația 2 .................................................................................. 72 8 Ion Pătrașcu, Florentin Smarandache Geometria triunghiurilor ortologice CUPRINS Lema 4 .............................................................................................. 72 Demonstrația lemei ........................................................................... 72 Observația 25 .................................................................................... 72 2.14 Un triunghi și un triunghi podar al său ......................................... 72 Definiția 18 ....................................................................................... 72 Observația 26 .................................................................................... 73 Remarca 7 ......................................................................................... 73 Definiția 19 ....................................................................................... 73 Propoziția 28 ..................................................................................... 73 Definiția 2 ......................................................................................... 73 Remarca 8 ......................................................................................... 74 Teorema 6 ......................................................................................... 74 Demonstrație ..................................................................................... 74 Observația 28 .................................................................................... 75 Propoziția 29 ..................................................................................... 75 Propoziția 30 ..................................................................................... 75 Demonstrație ..................................................................................... 75 Observația 29 .................................................................................... 76 Definiția 20 ....................................................................................... 76 Observația 30 .................................................................................... 76 Propoziția 31 ..................................................................................... 76 Demonstrație ..................................................................................... 76 Observația 31 .................................................................................... 77 Teorema 7 (Cercul celor 6 puncte) ................................................... 77 Demonstrație ..................................................................................... 77 Observația 32 .................................................................................... 78 Teorema 8 (Reciproca teoremei 7) ................................................... 78 Demonstrație ..................................................................................... 78 Propoziția 32 ..................................................................................... 79 Demonstrație ..................................................................................... 79 2.15 Un triunghi și un triunghi antipodar al său.................................... 80 Definiția 21 ....................................................................................... 80 Observația 33 .................................................................................... 80 Propoziția 33 ..................................................................................... 80 Observația 34 .................................................................................... 81 Propoziția 34 ..................................................................................... 81 Demonstrație ..................................................................................... 81 Observația 35 .................................................................................... 81 Ion Pătrașcu, Florentin Smarandache 9 Geometria triunghiurilor ortologice