Table Of Content

A. C. MORGADO E. WAGNER M. JORGE Edição original Honilton Medeiros FC Z & LIVR~S Os Autores AUGUSTO (ESAR MORGADO é mestre em Matemática pelo IMPA e professor aposentado pela Escola Naval. Leciona no Colégio lacearia (RJ) e na Fundação Getúlio Vargas. Foi membro da comissão de olimpíadas da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) e tem diversos livros publicados no Brasil e no exterior. Uma de suas atividades é a de preparação de alunos para vestibulares do IME e do ITA. EDUARDO WAGNER é mestre em Matemática pelo IMPA. Foi professor da Escola Naval e leciona em escolas do ensino médio, na Fundação Getúlio Varg_as e em· cursos de atualização de professores no IMPA. GEOMETRIA li A. C. MORGADO E. WAGNER M. JORGE Edição original FC & Z Livros Rio de Janeiro 2002 Copyright © 2002 by A. C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge Proibido o reprodução parcial ou integral sem a permissão expresso do Editor. Todos os direitos desta edição reservados à FC & Z Livros (Francisco Carlos Araú jo da Silva). Capa MARCOS ROQUE Impresso no Brasil Printed in Brozil Catalogação no Fonte do Departamento Nocional do Livro M847 Morgado, A. C. Geometria li: métrica plana / A. C. Morgado, E. Wagner, M. Jorge. - Rio de Janeiro: F. C. Araújo da Silvo, 2002. 296 p. ISBN: 85-903057-1-6. 1. Geometria. 1. Wagner, E. li. Jorge, M. Ili. Título. CDD 372.7 2002 FC & Z Livros Rua Carneiro Ribeiro, 22 / lj. A 21050-570 - Rio de Janeiro - RJ Telefax: {21) 2581-2873 SUMÁRIO CAPÍTULO I Pá • Divisão de um segmento em umo ro:üo . . ............... . ... . .. .. . . .. .. . 1 Divisão harmônico 3 h~~~·.· 1.10 - Distancio. ~~~r·e· ·d·i~~~;~s· ic. ·,: .. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 1. 12 - Problemas resolvidos. . . . . . . . . . . .. .. ... . .. .. .... .. .. .. .. .. . 8 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . ......... . ..... . .. .. .. .. ... . ..... . . 13 CAPÍTULO li Feixe de paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6 Teorema das bissetrizes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.7 Divisão harmônica pelos pés das biuetrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.8 Divisão da bis,etriz interno, harmonicamente polo incentro ~ oxlnconlro 24 2. 9 Círculo de Apolonius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 S 2.10 Raio da círculo de Apolonius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.11 Problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 CAPÍTULO Ili 3.1 Triângulos semelhantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.6 Casos c16ssicos de semelhança do tri6ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 3.7 Feixe de retas concorrentes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.8 Polígonos semelhantes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.9 Feixe harmônico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.10 Retas antiparalelos .... .. . . .... . .. . .. ... . .. . . .. .. .. .. . . .. .. . · . · · 49 3. 11 Problemas resolvidos .... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .... .. ... . . , . , . , . · · 52 Problemas propostos .. .. . . ... . ... .. .. .. . . .. ... .... .. . .. .. .. .. ... . .. . , , · , 60 CAPÍTULO IV 73 Triângulos retângulos ... .... .. .. .... .... .. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 73 4. 1 Relações métricas .. . .... ... .. .. .. . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 75 4.2 Triângulos retângulos com lados em progressão aritmética ... · · · · · · · · · 76 4.3 Trapézio is6sceles circunscritível. .. .. .. .. ... . . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 77 4.4 Tangento comum a círculos tangentes .. ... . . .. . , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · P6g. 4.5 - Problemas resolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Problemas propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 CAPÍTULO V Triângulos quaisquer ..... .. .... .. . ........... ... . . . . . .. .. .. .. .. ..· .. . . . . . 100 5. 1 Lei dos co-sehos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 00 5.2 Síntese de Clairaut... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3 Lei dos senos (Lamy) ....... : .............. . .....· . . . . . . . . . . . . . . . . 1 O 1 5.4 Relação de Stewart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.5 Teorema de Menelaus... ..... .. . .. . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.6 Teorema de Ceva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.7 · Cálculo das principais cevianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 05 5.8 Problemas resolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Problemas propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 9 CAPÍTULO VI Áreas (introdução). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6. 1 O - Área do retângulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.11 Área do paralelogramo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6. 12 Área do triângulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6. 13 Área do losango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 37 6.14 Área do trapézio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6. 15 Área do polígono regular.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.16 Área do círculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6. 17 Área de um setor circular.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.18 Área do segmento circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6. 19 Área da coroa circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.20 Área do triângulo em função dos lados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.21 Teorema ... ... .. ..... . .. . . ................. ...... . . .. ·.. . . . . . . . 141 6.22 Razão entre áreas de triângulos semelhantes...... . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.23 Razão entre áreas de triângulos que possuem um élingulo comum. . . . . . 143 6.24 Problemas resolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 44 Problemas propostos.'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 54 CAPÍTULO VII O triângulo e seus cí'rculos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.1 - O círculo inscrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.2 Os círculos exinscritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.3 Relações principais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.4 Cevianas isagonais..... .... .. .. . ... . ... . .. . ... . ...... ... . .. ..... 175 7 .5 O círculo circunscrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.6 Problemas resolvidos .... ... . .. ..... . . .... .. .. .. : . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Problemas propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 81 CAPÍTULO VIII Os quadriláteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 87 8. 1 Quadrilátero inscritível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 87 8.2 - Quadrilátero circunscritível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Póg. 8.3 Relação de Euler (quadrilótero qualquer). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.4 Aplicação nos trapézios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.5 Aplicação no paralelogramo . ... ... ... . . .... .... .. .. ... . ........ : 190 8.6 Relações em quadril6teros inscritíveis.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 8.7 Área do quadrilátero convexo... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.8 Área do quadrilátero circunscritível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.9 Área do quadrilátero inscritível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8. 10 Área do quadrilátero inscritível e circunscritível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8. 11 Problemas resolvidos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Problemas propostos ......... . ... . ...... .. .... . . .. . .... .... ..... . .. ... . : 198 CAPÍTULO IX Relações métricas no círculo..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 9.1 Teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 9.2 Teorema. .. . . . ... .. .. .... .. .. ... .. .. . .. . . .... ..... .. . .. ..... .. 202 9.3 Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 9.4 Teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9.5 Eixo radical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 9.6 c·entro radical. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 9.7 Problemas resolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Problemas propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 CAPÍTULO X Polígonos regulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.1 Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.2 Construção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.3 Lado e apótema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 10.4 Duplicação do gênero de um polígono convexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 10.5 Cálculo dos lados dos polígonos regulares inscritos num polígono de raio R... .... .. .. ... .. . .. . ...... .. .. .. . . ...... .... . . . . . . . . . . . 229 10.6 Comprimento do círculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 10.7 Comprimento de um arco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 10.8 Cálculo de 1r . . . . • . • . • . . . • . • . . • . • . . . • . • . . . • . • . • . . . • . . . • . • . . . . . 237 1 O. 9 Problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 39 Problemas propostos... . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 APiNDICE Homotetia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 A reta de Simpson-Wallace.. .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 A reta de Euler - O círculo dos nove pontos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Triângulos pedais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 As simedianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 As fórmulas de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Inversão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 RESPOSTAS DOS TES.TES.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284