Geometria i Algebra Liniowa

113 Pages·2011·0.563 MB·Polish

by  Leszek Plaskota

Geometria i Algebra Liniowa
(dla I-go roku informatyki WMIM UW)
Leszek Plaskota
Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki
Uniwersytet Warszawski
styczen´ 2009
ii
Spis tre´sci
1 Grupy i cial(cid:32)a, liczby zespolone 3
1.1 Podstawowe struktury algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Cia(cid:32)lo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Cia(cid:32)lo liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Posta´c trygonometryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Wz´or de Moivre’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Pierwiastki z jedynki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.5 Sprzez˙enie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
(cid:44)
1.3 Wielomiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Algorytm Hornera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Zasadnicze twierdzenie algebry . . . . . . . . . . . . . 10
2 Macierze liczbowe 13
2.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Macierze szczego´lnych formato´w . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Podzia(cid:32)l blokowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Dzia(cid:32)lania na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Podstawowe dzia(cid:32)lania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Mnoz˙enie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Mnoz˙enie macierzy w postaci blokowej . . . . . . . . . 17
2.3 Dalsze oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Macierze tro´jkatne i jednostkowe . . . . . . . . . . . . 18
(cid:44)
2.3.2 Uk(cid:32)lad ro´wnan´ jako ro´wnanie macierzowe . . . . . . . . 19
2.4 Macierze nieosobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 Grupa macierzy nieosobliwych . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.2 Warunek nieosobliwo´sci macierzy . . . . . . . . . . . . 21
iii
´
iv SPIS TRESCI
2.4.3 Permutacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Normy wektoro´w i macierzy 25
3.1 Ogo´lna definicja normy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Normy wektoro´w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Normy p-te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Poz˙yteczne (nie)r´owno´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Normy macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.1 Normy p-te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.2 Poz˙yteczne (nie)r´owno´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.3 Norma Frobeniusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Przestrzenie liniowe 35
4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 Definicja i podstawowe w(cid:32)lasno´sci . . . . . . . . . . . . 35
4.1.2 Podprzestrzenie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Baza i wymiar przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 Liniowa (nie)zalez˙no´s´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.2 Baza i wymiar, twierdzenie Steinitza . . . . . . . . . . 39
4.2.3 Przyk(cid:32)lady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Sumy i sumy proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.1 Suma (prosta) dwo´ch podprzestrzeni . . . . . . . . . . 41
4.3.2 Suma (prosta) w og´olnym przypadku . . . . . . . . . . 43
4.4 Izomorfizm przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5 Warstwy modulo Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5.1 Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5.2 Przestrzen´ warstw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Obraz, rzad i jadro macierzy 49
(cid:44) (cid:44)
5.1 Obraz i rzad macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
(cid:44)
5.1.1 Rzad kolumnowy i rzad wierszowy . . . . . . . . . . . . 49
(cid:44) (cid:44)
5.1.2 Rzad macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
(cid:44)
5.2 Przestrzen´ zerowa (jadro) macierzy . . . . . . . . . . . . . . . 51
(cid:44)
5.3 Rozk(cid:32)lad wzgledem obrazu i jadra . . . . . . . . . . . . . . . . 52
(cid:44) (cid:44)
6 Funkcjona(cid:32)ly liniowe 55
6.1 Funkcjona(cid:32)ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1.1 Definicja i przyk(cid:32)lady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
´
SPIS TRESCI v
6.1.2 Przestrzen´ sprzez˙ona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
(cid:44)
6.2 Refleksywno´s´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.1 Ro´wno´s´c X i X∗∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.2 Przyk(cid:32)lady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3 Rozszerzenie rachunku macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3.1 Macierze wektor´ow i funkcjona(cid:32)l´ow . . . . . . . . . . . . 59
6.3.2 Posta´c macierzowa izomorfizmo´w . . . . . . . . . . . . 60
7 Uk(cid:32)lady ro´wnan´ liniowych 63
7.1 Zbio´r rozwiazan´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
(cid:44)
7.1.1 Twierdzenie Kroneckera-Capelliego . . . . . . . . . . . 63
7.1.2 Zbi´or rozwiazan´ jako warstwa . . . . . . . . . . . . . . 64
(cid:44)
7.1.3 Uk(cid:32)lady nieosobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 Efektywna metoda rozwiazania . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
(cid:44)
7.2.1 Og´olny schemat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2.2 Eliminacja Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2.3 Konstrukcja rozwiazania og´olnego . . . . . . . . . . . . 68
(cid:44)
7.3 Interpretacja macierzowa eliminacji . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.3.1 Analiza operacji elementarnych . . . . . . . . . . . . . 69
7.3.2 Rozk(cid:32)lad tro´jkatno-tro´jkatny macierzy . . . . . . . . . . 71
(cid:44) (cid:44)
7.4 Eliminacja bez przestawien´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8 Przekszta(cid:32)lcenia liniowe 75
8.1 Podstawowe pojecia i w(cid:32)lasno´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
(cid:44)
8.1.1 Obraz, jadro i rzad przekszta(cid:32)lcenia . . . . . . . . . . . 75
(cid:44) (cid:44)
8.1.2 Przyk(cid:32)lady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.1.3 Ro´z˙nowarto´sciowo´s´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.1.4 Przestrzen´ przekszta(cid:32)lcen´ liniowych . . . . . . . . . . . 78
8.2 Macierz przekszta(cid:32)lcenia liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.2.1 Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.2.2 Izomorfizm Lin(X,Y) i Km,n . . . . . . . . . . . . . . 79
8.3 Dalsze w(cid:32)lasno´sci macierzy przekszta(cid:32)lcen´ . . . . . . . . . . . . 80
8.3.1 Obraz i jadro przekszta(cid:32)lcenia/macierzy . . . . . . . . . 80
(cid:44)
8.3.2 Zmiana bazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.3.3 Z(cid:32)loz˙enie przekszta(cid:32)lcen´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
´
vi SPIS TRESCI
9 Wyznacznik macierzy 83
9.1 Definicja i pierwsze w(cid:32)lasno´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.2 Wyznacznik a operacje elementarne . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.2.1 Permutacja kolumn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.2.2 Kombinacja liniowa kolumn . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3 Dalsze w(cid:32)lasno´sci wyznaczniko´w . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.3.1 Wyznacznik iloczynu macierzy . . . . . . . . . . . . . . 87
9.3.2 Wyznacznik macierzy nieosobliwej i transponowanej . . 88
9.4 Definicja kombinatoryczna wyznacznika . . . . . . . . . . . . . 89
9.5 Wzory Cramera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 93
10.1 Formy dwuliniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10.1.1 Definicja i przyk(cid:32)lady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10.1.2 Macierz formy dwuliniowej . . . . . . . . . . . . . . . . 94
10.2 Twierdzenie Sylwester’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.3 Formy kwadratowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.3.1 Okre´slono´s´c formy kwadratowej . . . . . . . . . . . . . 97
10.3.2 Kryterium Sylwester’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11 Przestrzenie Euklidesowe 101
11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma . . . . . . . . . . . . . . . 101
11.2 Rzut prostopad(cid:32)ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11.2.1 Zadanie aproksymacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11.2.2 Twierdzenie o rzucie prostopad(cid:32)lym . . . . . . . . . . . 103
11.3 Uk(cid:32)lady ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.3.1 Macierz Grama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.3.2 Ortogonalizacja Grama-Schmidta . . . . . . . . . . . . 105
11.3.3 Rozk(cid:32)lad ortogonalno-tro´jkatny macierzy . . . . . . . . 107
(cid:44)
Nota autora
Niniejszy skrypt zosta(cid:32)l napisany z my´sla o studentach pierwszego roku in-
(cid:44)
formatyki na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu
Warszawskiego, uczeszczajacych na semestralny wyk(cid:32)lad pt. “Geometria z
(cid:44) (cid:44)
algebra liniowa”. Skrypt powstawa(cid:32)l ro´wnolegle z prowadzonym wyk(cid:32)ladem, a
(cid:44) (cid:44)
stad zawiera tre´sci przekazywane na wyk(cid:32)ladzie i praktycznie tylko te tre´sci.
(cid:44)
Powinien wiec, i takie by(cid:32)lo moje zamierzenie, stanowi´c dla studento´w pod-
(cid:44)
stawowy przewodnik po w/w wyk(cid:32)ladzie.
Skrypt ma swoja historie. W swoim czasie prof. Andrzej Kie(cid:32)lbasin´-
(cid:44) (cid:44)
ski prowadzi(cid:32)l na tym samym wydziale i takz˙e dla studento´w informatyki
wyk(cid:32)lad pt. “Algebra liniowa i jej metody obliczeniowe”. Pozosta(cid:32)lo´scia po
(cid:44)
tym wyk(cid:32)ladzie sa, m.in., obszerne odreczne notatki prowadzacego. Notatki
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
te wyda(cid:32)ly mi sie (i nie tylko mi) na tyle cenne, z˙e sta(cid:32)ly sie podstawa do przy-
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
gotowania biez˙acego wyk(cid:32)ladu. Poniewaz˙, w wyniku reformy studio´w, wyk(cid:32)lad
(cid:44)
zosta(cid:32)l ograniczony do jednego semestru, materia(cid:32)l musia(cid:32)l by´c z konieczno´sci
mocno skro´cony. Jednak duch wyk(cid:32)ladu i w szczego´lno´sci oryginalna notacja
wprowadzona przez prof. Kie(cid:32)lbasin´skiego pozosta(cid:32)ly, mam nadzieje, niezmie-
(cid:44)
nione.
Skrypt ma dynamiczny charakter i jest na biez˙aco poprawiany i modyfi-
(cid:44)
kowany.
Leszek Plaskota
Warszawa, styczen´ 2009
1
´
2 SPIS TRESCI
Rozdzia(cid:32)l 1
Grupy i cial(cid:32)a, liczby zespolone
Dla ustalenia uwagi, bedziemy uz˙ywa´c nastepujacych oznaczen´:
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
N = {1,2,3,...} - liczby naturalne,
Z = {0,±1,±2,...} - liczby ca(cid:32)lkowite,
(cid:8) (cid:9)
W = m : m ∈ Z,n ∈ N - liczby wymierne,
n
R = W - liczby rzeczywiste,
C = {(a,b) : a,b ∈ R} - liczby zespolone.
Dwuargumentowym dzia(cid:32)laniem wewnetrznym ‘◦’ w zbiorze X nazywamy
(cid:44)
dowolna funkcje z iloczynu kartezjan´skiego X × X w X. Wynik takiego
(cid:44) (cid:44)
dzia(cid:32)lania na parze (x,y) bedziemy oznacza´c przez x◦y.
(cid:44)
1.1 Podstawowe struktury algebraiczne
Zaczniemy od przedstawienia abstrakcyjnych definicji grupy i cia(cid:32)la.
1.1.1 Grupa
Definicja 1.1 Zbi´or (niepusty) G wraz z wewnetrznym dzia(cid:32)laniem dwuargu-
(cid:44)
mentowym ‘◦(cid:48) jest grupa je´sli spe(cid:32)lnione sa nastepujace warunki (aksjomaty
(cid:44) (cid:44) (cid:44) (cid:44)
grupy):
3
4 ROZDZIAL(cid:32) 1. GRUPY I CIAL(cid:32) A, LICZBY ZESPOLONE
(i) ∀a,b,c ∈ G (a◦b)◦c = a◦(b◦c)
((cid:32)laczno´s´c dzia(cid:32)lania)
(cid:44)
(ii) ∃e ∈ G ∀a ∈ G a◦e = a = e◦a
(istnienie elementu neutralnego)
(iii) ∀a ∈ G ∃a(cid:48) ∈ G a◦a(cid:48) = e = a(cid:48) ◦a
(istnienie element´ow przeciwnych/odwrotnych)
Je´sli ponadto
(iv) ∀a,b ∈ G a◦b = b◦a
to grupe nazywamy przemienna (lub abelowa).
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
Grupe bedziemy oznacza´c przez {G,◦}.
(cid:44) (cid:44)
Zauwaz˙my, z˙e juz˙ z aksjomat´ow grupy wynika, iz˙ element neutralny jest
wyznaczony jednoznacznie. Rzeczywi´scie, za(cid:32)lo´z˙my, z˙e istnieja dwa elementy
(cid:44)
neutralne, e i e . Wtedy, z warunku (ii) wynika, z˙e e = e ◦ e = e .
1 2 1 1 2 2
Podobnie, istnieje tylko jeden element odwrotny dla kaz˙dego a ∈ G. Je´sli
bowiem istnia(cid:32)lyby dwa odwrotne, a(cid:48) i a(cid:48), to mieliby´smy
1 2
a(cid:48) = e◦a(cid:48) = (a(cid:48) ◦a)◦a(cid:48) = a(cid:48) ◦(a◦a(cid:48)) = a(cid:48) ◦e = a(cid:48),
1 1 2 1 2 1 2 2
przy czym skorzystali´smy kolejno z w(cid:32)lasno´sci (ii), (iii), (i) i ponownie (iii) i
(ii).
L(cid:32) atwo tez˙ pokaza´c, z˙e w grupie {G,◦} ro´wnania
a◦x = b oraz y ◦c = d
dla a,b,c,d ∈ G maja jednoznaczne rozwiazania. W uzasadnieniu, ograni-
(cid:44) (cid:44)
czymy sie tylko do pierwszego r´ownania. L(cid:32) atwo sprawdzi´c, z˙e x = a(cid:48) ◦b jest
(cid:44)
rozwiazaniem. Z drugiej strony, je´slix jest rozwiazaniem to a(cid:48)◦(a◦x) = a(cid:48)◦b,
(cid:44) (cid:44)
czyli x = a(cid:48) ◦b.
Przyk(cid:32)ladami grup sa:
(cid:44)
• {Z,+}, gdzie elementem neutralnym jest e = 0, a elementem przeciw-
nym do a(cid:48) do a jest −a.
• {W\{0},∗}, gdzie e = 1 a a(cid:48) = a−1 jest odwrotno´scia a.
(cid:44)