Geometria Diferencial das Curvas e a Reparametrizaç˜ao pelo Comprimento de Arco

41 Pages·2013·0.39 MB·Portuguese

Universidade Federal do Para(cid:19)
Faculdade de Matema(cid:19)tica
Curso de Matema(cid:19)tica
Marcelo da Silva Alves
Geometria Diferencial das Curvas e a
Reparametriza(cid:24)c~ao pelo Comprimento de Arco
Maraba(cid:19)
2013
Marcelo da Silva Alves
Geometria Diferencial das Curvas e a
Reparametriza(cid:24)c~ao pelo Comprimento de Arco
Monogra(cid:12)a apresentada ao Curso de Matem(cid:19)atica
da UFPA, como requisito parcial para a obten(cid:24)ca~o
do grau de Licenciado em Matem(cid:19)atica.
Orientador: Carlos Henrique de Jesus
Mestre em Matem(cid:19)atica - UFPB
Maraba(cid:19)
2013
Alves, Marcelo
Geometria Diferencial das Curvas e a Reparametriza(cid:24)ca~o pelo Com-
primento de Arco / Marcelo Alves - 2013
41.p
1.Geometria Diferencial. 2.Curvas. 3.Reparametriza(cid:24)c~ao.. I.T(cid:19)(cid:16)tulo.
CDU - 22 ed.: 516.36
Marcelo da Silva Alves
Geometria Diferencial das Curvas e a
Reparametriza(cid:24)c~ao pelo Comprimento de Arco
Monogra(cid:12)a apresentada ao Curso de Matem(cid:19)atica
da UFPA, como requisito para a obtenc(cid:24)~ao parcial
do grau de Licenciado em Matem(cid:19)atica.
Aprovado em 19 de Agosto de 2013
BANCA EXAMINADORA
Carlos Henrique de Jesus
Mestre em Matem(cid:19)atica - UFPB
Pablo Salermo Monteiro do Nascimento
Mestre em Matem(cid:19)atica
Rigler da Costa Araga~o
Mestre em Geof(cid:19)(cid:16)sica
Dedico este trabalho as pessoas que sempre me
apoiaram e me (cid:12)zeram crer na realiza(cid:24)c~ao dos
meus objetivos e que de alguma forma con-
tribu(cid:19)(cid:16)ramparaarealiza(cid:24)c~aodeles, (cid:18)aminham~ae,
meu pai, e toda minha fam(cid:19)(cid:16)lia.
Resumo
Os objetos de estudo da Geometria Diferencial s~ao as curvas e as superf(cid:19)(cid:16)cies. O nome
se deve ao fato de que muitos dos conceitos e de(cid:12)ni(cid:24)c~oes t^em como pr(cid:19)e-requisito t(cid:19)ecnicas
(cid:19)
do C(cid:19)alculo Diferencial e Integral e Geometria Anal(cid:19)(cid:16)tica. E uma disciplina de grande
importa^ncia para o desenvolvimento cient(cid:19)(cid:16)(cid:12)co e tecnolo(cid:19)gico, tendo aplica(cid:24)co~es em geologia,
estat(cid:19)(cid:16)stica, economia, processamento de imagens, teoria da informa(cid:24)c~ao, dentre muitas
outras. Este trabalho consiste numa revis~ao de literatura, abordando apenas o estudo de
curvas e reparametriza(cid:24)ca~o pelo comprimento de arco, que se faz necess(cid:19)ario para o estudo
local das curvas.
Palavras-chave:Geometria Diferencial, curvas, reparametriza(cid:24)ca~o.
Abstract
The objects of study in Di(cid:11)erential Geometry are curves and surfaces. The name is due
to the fact that many of the concepts and de(cid:12)nitions have as pre-requisite techniques
from Di(cid:11)erential and Integral Calculus and Analytic Geometry. This is a discipline of
great importance for the scienti(cid:12)c and technological development, having applications in
Geology, Statistics, Economy, Image Processing, Information Theory and many others.
The present work consists in a literature review, approaching the study of curves and
reparametrization by the arc length, which is needed for the local study of curves.
Keywords:Di(cid:11)erential Geometry, curves, reparametrization.
Agradecimentos
Agrade(cid:24)co aos meus pais, Jo~ao e Maria Helena, que sempre me auxiliaram em toda minha
vida, (cid:18)a eles agrade(cid:24)co por tudo que sou e tudo que tenho.
Aos meus av(cid:19)os: Maria F(cid:19)elix e Jos(cid:19)e.
A minha irma~ Marcia.
Aos meus tios: Cidila^ndia, Jaciara, Lourdes, Paulo, Raquel e Sandra pelo
incentivo que sempre me deram.
As minhas primas: Dianna e Fiama, pela preocupa(cid:24)ca~o e apoio.
Ao meu professor Carlos Henrique pelo aux(cid:19)(cid:16)lio na elabora(cid:24)ca~o deste trabalho.
A todos os meus colegas de turma e especialmente aos meus colgas Carlos e
Luzinaldo pelo tempo em que estudamos em casa, meu colega de turma Jonathan por
dedicar parte seu tempo para me auxiliar no uso do Latex.
Aos meus professores: Elizabeth, Carlos, Mangabeira, Pablo, Ka(cid:19)tia, Marcelo
e Daltro, pois todos contribu(cid:19)(cid:16)ram para minha forma(cid:24)c~ao.
Ao meu amigo e colega de turma Thiago, por me incentivar a fazer este curso.
Sum(cid:19)ario
1 Introdu(cid:24)c~ao 7
2 Fun(cid:24)c~oes 8
2.1 Fun(cid:24)co~es, Aplicac(cid:24)~oes, Transforma(cid:24)c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Classi(cid:12)ca(cid:24)c~oes das fun(cid:24)co~es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Fun(cid:24)co~es cont(cid:19)(cid:16)nuas em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Fun(cid:24)co~es cont(cid:19)(cid:16)nuas e diferencia(cid:24)ca~o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Curvas planas 12
3.1 Curva Parametrizada Diferencia(cid:19)vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Vetor Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Curva Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Mudan(cid:24)ca de Para^metro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6 Teoria local das Curvas Planas, Fo(cid:19)rmulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . 19
3.7 Teorema Fundamental das Curvas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Curvas no Espa(cid:24)co 24
4.1 Curva Parametrizada Diferencia(cid:19)vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Vetor Tangente; Curva Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Mudan(cid:24)ca de Para^metro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Curva parametrizada pelo comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Teoria local das Curvas; F(cid:19)ormulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.6 Teomema Fundamental das Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Reparametriza(cid:24)c~oes pelo Comrimento de Arco 30
5.1 Reparametrizac(cid:24)~ao pelo comprimento de arco de uma curva no plano . . . . 30
5.2 Reparametrizac(cid:24)~ao pelo comprimento de arco de uma curva no espa(cid:24)co . . . 33
6 Considera(cid:24)c~oes Finais 36
Refer^encias Bibliogr(cid:19)a(cid:12)cas 37