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GEOMETRíA DESCRIPTIVA ES PROPIEDAD Queda prohibida la reproducción to talo parcial de esta obra, sin previo consentimiento, por escrito, del autor. © Fernando !zquierdo Asensi GEOMETRIA DESCRIPTIVA ISBN: 84-922109-5-8 Depósito Legal: M-23.691-2000 Preimpresión: Montytexto, S.L. Santa Felicidad, 26 -28017 Madrid Imprime: CLM -Eduardo Marconi, 3. Políg. Ind. Codeín. Fuenlabrada (Madrid) Distribuye: Editorial Paraninfo Magallanes, 25 -28015 Madrid FERNANDO IZQUIERDO ASENSI Doctor Ingeniero de Construcción. Ex-Profesor Titular de la Escuela Técnica Superior de Arquitectura de Madrid GEOMETRíA DESCRIPTIVA VIGÉSIMA CUARTA EDICIÓN TOTALMENTE REVISADA Declarada de Utilidad Pública por el Ministerio de Educación y Ciencia, por Orden del 10 de Abril de 1978. Recomendada en diversos Centros y Escuelas Téc nicas y Superiores de Arquitectura e Ingeniería, de España e Hispanoamérica. PRÓLOGO Esta obra está dedicada a aquellos alumnos que, La eficacia de este método ha sido confirmada por sin tener grandes conocimientos de Geometría métri las numerosas ediciones publicadas y por haber sido ca, han de iniciar el estudio de la Geometría Descrip recomendada la obra en gran número de Escuelas y tiva. Centros Superiores y Técnicos de Enseñanza. Por ello hemos intentado exponer, de la manera Para corresponder a tan favorable acogida, a par más clara posible, la obtención de las diversas pro tir de la 5a edición, se hicieron sucesivas ampliaciones yecciones de un cuerpo en los cuatro sistemas de para abarcar las materias incluidas en los actuales representación, así como la de su perspectiva caballe programas de estudio. Se incluyeron nuevos capítulos ra y cónica, no habiéndose regateado esfuerzo alguno de sombras, proyección central, gnomónica y reloj de para que el estudiante pueda comprender las teorías y sol y otros, se ampliaron considerablemente como los razonamientos por complicados que puedan parecer. de intersección de superficies, proyección axonométri Las normas generales que resumen, a grandes ras ca ortogonal y perpectiva caballera y cónica. gos, el método de enseñanza adoptado son: También se adoptó una nueva notación más clara e a) Basar los razonamientos en los teoremas ele intuitiva que la anterior y se utilizó la numeración mentales de Geometría métrica, explicando éstos pre decimal en capítulos, párrafos y figuras, por conside viamente por si el alumno los desconociera rarla más práctica y sencilla. b) Razonar los ejercicios (resolviéndolos previa En la 2r edición se incluyeron: poliedros regulares mente en el espacio) y deducir el método a seguir que convexos, conjugados y semirregulares: prismas y luego ha de aplicarse en cualquier sistema de repre antiprismas regulares y perspectivas de circunferencia sentación. y esfera. c) Indicar una serie de reglas generales para resol Para simplificar el método de enseñanza, en las ver problemas de modo mecánico, evitando así razo veintitrés primeras ediciones no se utilizaron propie namientos innecesarios. dades de Geometría proyectiva pero la experiencia de d) Utilizar figuras que permitan ver las proyeccio tantos años de profesorado aconseja incluir, aunque nes de los elementos geométricos y sus posiciones en sea someramente, las relaciones homológicas y afines el espacio. entre formas planas, proyecciones y abatimientos con 7 GEOMETRíA DESCRIPTIVA las que tan fácil y elegantemente se resuelven muchas poslclón, tirada y encuadernación de esta edición. cuestiones. También quiero hacer constar que este trabajo no Esta es la innovación principal de la actual edi hubiera visto la luz, de no haber estado alentado y ción, caracterizada además por su distinto formato, apoyado por los que dentro y fuera de España, han mayor tamaño de página y aumento del número de adquirido o recomendado mi obra. figuras. También se ha revisado totalmente la obra; se Al hacer patente tan valiosas ayudas, solo pretendo han reducido o simplificado materias y razonamientos reconocer la gran deuda de gratitud con ellos contraí y se han incluido algunas ampliaciones sobre propie da y expresar a todos, profesores, alumnos y colabo dades de líneas y superficies; axonometría ortogonal radores, mi más expresivas gracias. y oblicua; perspectiva oblicua y frontal (caballera y militar); método perspectivo de Reile y de planta y vista separadas; perspectiva de terrenos, etc. F. IZQUIERDO Sería una ingratitud por mi parte no citar a los que con tanto interés y pericia han colaborado en la com- 8 NOTACIONES Y ABREVIATURAS Para evitar toda indeterminación o confusión entre Punto de corte de la recta r y el plano a: [r, a]. elementos geométricos y proyecciones, hemos utilizado, Recta de intersección de los planos a y /3: [a, /3]. lo mismo que en ni G. D. S. y A, la notación siguiente: Plano determinado por el punto A y la recta r: [A, r]. Plano definido por dos rectas a y m que se cortan: [a, m]. 1. Elementos geométricos del espacio Los puntos se representan con mayúsculas: A, B, M, 2. Planos de proyección P, ... Las rectas y líneas, con minúsculas: a, b, n, r, t, ... Para distinguirlos de otros planos, se les designa por Los planos, con minúsculas griegas: a, ~, y, ... su inicial en mayúscula. El horizontal, por H; el vertical Los cuerpos y superficies, con mayúsculas griegas: (primer vertical), por V, y el segundo vertical, por W. ~, L, n, ... (o latinas, si no hubiera posibilidad de con Si el plano de proyección es arbitrario, se represen fusión). ta por la letra n, lo mismo que en cónica. El elemento definido por otros, se representa como sigue: 9 GEOMETRíA DESCRIPTIVA h Fig. a. 3. Proyecciones de punto y recta (Fig. a) Análogamente, las trazas h(J.-v(J. de un plano a, por la letra del plano de proyección en minúscula, y la griega a) En proyección diédrica, con las mismas letras del del plano, como subíndice. elemento del espacio, afectada del subíndice 1, 2 ó 3, según se trate de la proyección sobre el horizontal, 5. Líneas de referencia vertical o segundo vertical, respectivamente. Las pro yecciones de un punto A son, por tanto, Al y A2, Y las Línea de tierra, en diédrica: LT. de una recta r, rl Y rz. Proyecciones de los ejes X, y, Z, en axonométrica: Para indicar que A o r están dados por sus proyec X', Y',Z'. ciones, se emplea también la notación == y se escribe Proyecciones de los ejes X, y, Z, en caballera: X, Y', Z. así: A == AI-A2, r == rl-r2• Por tanto, es lo mismo decir: Línea de tierra y horizonte en perspectiva lineal: t y h. punto A que punto AI-A2; recta r o recta rl-rz, etc. b) En proyección axonométrica, el punto A se pro 6. Coincidencia de elementos yecta sobre los planos coordenados en Al' A Y A Y 2 3, En geometría proyectiva o con elementos del espa las proyecciones respectivas de estos cuatro puntos cio, la coincidencia de puntos, rectas o planos se son: A', A '" A; Y A;, procediéndose análogamente en representa por la notación == y en proyecciones, con cónica. dicha notación o con guión. Ejemplos: Puntos o rectas coincidentes: A == B == e, r == s == t. Puntos y proyeccio 4. Trazas de recta y plano, con un plano de nes coincidentes: Hr-A¡-B¡ Ó H¡ ==A¡ ==B¡. proyección Por ser puntual la traza de una recta, se la designa 7. Abreviaturas utilizadas con la letra del plano de proyección de que se trate, y = n/G.D. nuestra Geometría Descriptiva. la letra de la recta, como subíndice. Así, H" es la traza = olE. deG.D. nuestros Ejercicios de Geometría horizontal de la recta r, y sus proyecciones quedan Descripiva. también definidas, puesto que la horizontal coincide = n/D.T. nuestro Dibujo Técnico (Editorial con Hr, Y la vertical está en LT (línea de tierra). Anaya). 10