Geometria Analıtica e Vetorial

203 Pages·2013·6.13 MB·Portuguese

Geometria Anal´ıtica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinueˆ Lodovici
Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinueˆ Lodovici
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Geometria Anal´ıtica e Vetorial
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Geometria Anal´ıtica e Vetorial
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a UFABC - Universidade Federaldo ABC
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Santo Andre´
s http://gradmat.ufabc.edu.br/cursos/ga/
Versa˜o .50
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Versa˜o compilada em: 26 de janeiro de 2013
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Escrito em LATEX.
Geometria Anal´ıtica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinueˆ Lodovici
LISTA DE TAREFAS PENDENTES
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o revisar bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
a
o inserir respostasdos exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
o Colocar Aplicac¸o˜es a` F´ısica: Esta´tica,etc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
n
o Projec¸a˜o como ponto mais pro´ximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
o Colocar Aplicac¸o˜es a` F´ısica: Esta´tica,etc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
i
o Quadros Resumos de Posic¸a˜o Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
m
o resolver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
o Simplificar B=A+v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
o Exemplos de sistemas que dependamde parametros . . . . . . . . . . . . . . . . 170
o Exemplos de sistemas que dependamde paraˆmetros . .i. . . . . . . . . . . . . . 174
o Arrumar posicionamento texto/imagem . . . . . . . .l. . . . . . . . . . . . . . . . 182
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SUMARIO
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S´ımbolos e notac¸o˜es gerais vii
a
Agradecimentos ix
n
1 EstruturaVetorial do Plano e do Espac¸o 1
1.1 Definic¸o˜es Elementares 1
i
1.1.1 Operac¸o˜es com Vetores 5
m
1.2 Dependeˆnciae IndependeˆnciaLinear de Vetores 18
1.2.1 Caracterizac¸a˜o Geome´trica de LD e LI 26
1.3 Bases 34
i
1.4 Soma de Ponto com Vetor 38
l
1.5 Exerc´ıcios Complementares 43
e
2 Vetoresem Coordenadas 47
2.1 Sistemas de Coordenadas 48 r
2.1.1 Operac¸o˜es Vetoriais em Coordenadas 52
P
2.2 Bases Ortonormais e CoordenadasCartesianas 58
2.3 ProdutoEscalar: Aˆngulo entredois Vetores 62
2.3.1 Projec¸a˜o Ortogonal 66
o
2.4 ProdutoVetorial: Vetor Perpendicular a dois VetoresDados 70
2.5 Escolha do Sistema de Coordenadas 75
a
2.6 O Problema do˜Lugar Geome´trico 78
3 Retas e Planoss83
3.1 Equac¸o˜es da Reta 83
r
3.1.1 Equac¸o˜es da reta no plano 88
3.2 eEquac¸o˜es do Plano 95
3.2.1 Equac¸o˜es Parame´tricas e Vetoriais do Plano 95
V
3.2.2 Equac¸a˜o Geral de um Plano 96
3.3 Posic¸o˜es Relativas 100
3.3.1 Posic¸a˜o Relativas entre Retas 100
3.3.2 Posic¸a˜o relativas entre retas e planos 106
3.3.3 Posic¸a˜o relativas entre planos 109
3.4 Aˆngulos 112
iii
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3.4.1 Aˆngulo entre duas Retas 113
3.4.2 Aˆngulo entre uma Reta e um Plano 118
3.4.3 Aˆngulo entre dois Planos 119
3.5 Distaˆncias 121
3.5.1 Distaˆncia de um ponto a uma reta 121
r
3.5.2 Distaˆncia de um ponto a um plano 124
3.5.3 Distaˆncia entreDuas Retas 125 a
3.6 Retas em Coordenadas Polares 128
n
4 C´ırculos e Esferas 133
4.1 Equac¸o˜es Canoˆnicas de C´ırculos e Esferas 133
i
4.1.1 C´ırculo por treˆs pontos 136
m
4.2 Retas Tangentese Planos Tangentes 139
4.3 Circunfereˆncia em coordenadas polares 145
i
Apˆendice 149
l
e
a Notac¸a˜o de Somato´rio 151
r
b Func¸o˜es Trigonome´tricas 153
b.1 IdentidadesTrigonome´tricPas 154
b.2 Gra´ficos das Func¸o˜es Trigonome´tricas 155
b.2.1 Gra´fico das Func¸o˜es Seno e Cosseno 155
b.2.2 Gra´fico das func¸o˜es tangente e secante 156
o
b.2.3 Gra´fico das func¸o˜es func¸o˜es cotangente e cossecante 157
b.3 Func¸o˜es trigonome´tricas inversas 158
a
b.3.1 ˜Func¸a˜o arco seno 158
b.3.2 Func¸a˜o arco cosseno 158
s
b.3.3 Func¸a˜o arco tangente 159
rb.3.4 Func¸a˜o arco cotangente 159
b.3.5 Func¸a˜o arco secante 160
e
b.3.6 Func¸a˜o arco cossecante 160
V
c Matrizes e Sistemas Lineares. 163
c.1 Matrizes 163
c.1.1 Operac¸o˜es com Matrizes 163
c.2 Determinantes 164
c.2.1 Matriz Inversa 167
iv
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c.3 Teoremade Cramer 168
c.4 Me´todode Eliminac¸a˜o de Gauss 170
d Wolfram Alpha e Mathematica 179
d.1 Plotagem 179
d.1.1 No Plano 179 r
d.1.2 No Espac¸o 182
a
d.2 Ca´lculo e A´lgebra Linear 182
n
Respostas de Alguns Exerc´ıcios 187
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m
Referˆencias Bibliogr´aficas 193
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SIMBOLOS E NOTAC¸ OES GERAIS
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: existe
∃ a
: qualquer que seja ou para todo(s)
∀
: implica
⇒ n
: se, e somente se
⇔
∴ : portanto
i
:= : definic¸a˜o (o termo a` esquerdade := e´ definido pelo termo
m
ou expressa˜oa` direita)
i.e. : id est (em portugueˆs,isto e´)
(cid:3) : indica ofinal de umademonstrac¸a˜o
←A→B : reta passando pelos pontos A e B i
AB : segmento de reta ligando os pontos A e B l
AB : segmento orientado de reta ligando os pontoseA e B
−A→B : vetor determinado pelos pontos A e B
r
v : vetor v
AB : comprimento do segmento AB P
k k
v : comprimento do vetor v
k k
−A→B : comprimento do vetor −A→B
k k
A : determinante da matriz A
| | o
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AGRADECIMENTOS
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Gostar´ıamos de agradecer a` profa. Mariana Rodrigues da Silveira pelas inu´meras su-
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gesto˜ese correc¸o˜es.
Tambe´m gostar´ıamos de agradecer aos alunos
n
Andre´ Peric Tavares
•
i
Rafael Romano
• m
pelas valiosas correc¸o˜es.
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