geometria analítica. problemes afins i mètrics

63 Pages·2008·1.66 MB·French

GEOMETRIA ANALÍTICA.
8
PROBLEMES AFINS
I MÈTRICS
Pàgina 187
REFLEXIONA I RESOL
Punt mitjà d’un segment
Pren els punts P(2, 5), Q(10, 3) i representa’ls en el pla:
P (2, 5)
Q (10, 3)
■ Localitza gràficament el punt mitjà, M, del segment PQ i dóna’n les coordena-
des. Trobes algunes relació entre les coordenades de M i les de P i Q?
M(6, 4)
Q'
P (2, 5) Q"
M
M" M'
Q (10, 3)
P"
P'
■ Fes el mateix amb els segments d’extrems:
a) P'(5, 1), Q'(9, 7)
b) P''(0, 1), Q''(10, 5)
a)M'(7, 4)
b)M''(5, 3)
Basant-te en els resultats anteriors, intenta donar un criteri per obtindre les co-
ordenades del punt mitjà d’un segment a partir de les dels seus extrems.
Observamos que las coordenadas del punto medio de cada segmento son la semisuma
de las coordenadas de sus extremos.
Unitat 8. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics
1
Equacions de la recta
■ Comprova que les quacions:
°x= 2 + 3t
¢
£y= 4 – t
corresponen també a una recta, trobant-hi divesos del seus punts. (Dóna a t
els valors –2, –1, 0, 1, 2, 3, i representa els punts corresponents; hi compro-
varàs que tots estan sobre la mateixa recta).
Elimina el paràmetre procedint de la manera següent:
— Aïlla t en la primera equació.
— Substituïx el seu valor en la segona.
— Reordena els termes de l’equació resultant.
I obtindràs, així, l’eqaució d’aquesta recta, en la forma habitual.
t –2 –1 0 1 2 3
(x, y) (–4, 6) (–1, 5) (2, 4) (5, 3) (8, 2) (11, 1)
Y
(–4, 6)
(–1, 5)
(2, 4)
(5, 3)
(8, 2)
(11, 1)
r
X
x – 2 °
t = — § x – 2 –x + 14
3 ¢ 8 = 4 – y 8 x – 2 = 12 – 3y 8 y = 8
§ 3 3
t = 4 – y £
–1 14
8 y = x +
3 3
Unitat 8. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics
2
UNITAT 8
Distàncies en el pla
s
Q (5, 7)
P (2, 3)
r
s
Q(5, 7)
P'
Q''
P(2, 3) r
P''
Q'
■ Troba la distància dels punts P i Q a les rectes r i s.
d(P, r) = 1; d(P, s) = 8; d(Q, r) = 5; d(Q, s) = 5
■ Troba la distància dels punts P i Q (ajuda’t del teorema de Pitàgores).
d(P, Q) = √32 + 42 = 5, pues P y Q son dos vértices de un triángulo rectángulo de
catetos 3 y 4.
■ Troba, també, la distància entre:
a) P'(0, 5), Q'(12, 0)
b) P''(3, 1), Q''(7, 4)
Basant-te en els resultats anteriors, intenta donar un criteri per trobar la distàn-
cia entre dos punts a partir de les seues coordenades.
a)d(P', Q') = √52 +122 = √169 = 13
b)d(P", Q") = √42 +32 = √25 = 5
d(A, B) = √(b – a )2 + (b – a )2, donde A(a , a ) y B(b , b ).
1 1 2 2 1 2 1 2
8
d(A, B) = |AB|
Unitat 8. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics
3
Pàgina 189
8 8
1. Troba les coordenades de MN i NM, sent M(7, –5) i N(–2, –11).
8
MN = (–2, –11) – (7, –5) = (–9, –6)
8
NM = (7, –5) – (–2, –11) = (9, 6)
2. Esbrina si estan alineats els punts P(7, 11), Q(4, –3) i R(10, 25).
8
PQ = (–3, –14) ° –3 –14
8 ¢ 8 = 8 P, Q y R están alineados.
QR = (6, 28) £ 6 28
3. Calcula el valor de k per tal que els punts de coordenades
A(1, 7) B(–3, 4) C(k, 5)
estiguen alineats.
8
AB = (–4, –3) ° –4 –3 –5
8 ¢ 8 = 8 –4 = –3k – 9 8 3k = –5 8 k =
BC = (k +3, 1)£ k + 3 1 3
Pàgina 190
4. Donats els punts P(3, 9) i Q(8, –1):
a) Troba el punt mitjà de PQ.
b) Troba el simètric de P respecte de Q.
c) Troba el simètric de Q respecte de P.
8 8
d) Obtín un punt A de PQ tal que PA/AQ= 2/3.
8 8
e) Obtín un punt B de PQ tal que PB/PQ= 1/5.
(3 + 8 9 + ( –1) ) (11 )
a)M , = , 4
2 2 2
b) 3 + x ° P (3, 9)
—––––– = 8 8 x = 13 §
2 §
¢ 8 P'(13, –11) Q (8, 1)
9 + y
—––––– = –1 8 y = –11 §
2 § P' (x, y)
£
c) Llamamos Q'(x', y') al simétrico de Q respecto de P.
Así: x' + 8 ° Q'
—––––– = 3 8 x' = –2 §
2 §
¢ Q'(–2, 19) P
y' + (–1)
—–––––––– = 9 8 y' = 19 §
2 § Q
£
Unitat 8. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics
4
UNITAT 8
d)Llamamos A(x, y) al punto que buscamos. Debe cumplirse que:
8 2 8 2
PA = AQ 8 (x – 3, y – 9) = (8 – x, –1 – y)
3 3
2 °
x – 3 = —(8 – x) 8 x = 5 §
3 §
¢ A(5, 5)
2
y – 9 =—(–1 – y) 8 y = 5 §
3 §
£
e)Llamamos B(x, y) al punto que buscamos.
8 1 8 1
PB = PQ 8 (x – 3, y – 9) = (5, –10) = (1, –2)
5 5
x – 3 = 1 8 x = 4 °
¢ B(4, 7)
y – 9 = –2 8 y = 7 £
Pàgina 193
1. Troba les equacions paramètriques, contínua, implícita i explícita de la recta
que passa per A i B, sent:
a)A(–1, –1), B(3, 3) b)A(0, 4), B(6, 0)
c)A(3, 5), B(–1, 5) d)A(3, 5), B(3, 2)
8
a)A(–1, –1); B(3, 3) 8 AB = (4, 4)
°x = 3 +4l x – 3 y – 3
Paramétricas: ¢ Continua: =
£y = 3 + 4l 4 4
Implícita: x – y = 0 Explícita: y = x
8
b)A(0, 4); B(6, 0) 8 AB = (6, –4)
°x = 6l x y – 4
Paramétricas: ¢ Continua: =
£y = 4 – 4l 6 –4
–4
Implícita: –4x – 6y + 24 = 0 Explícita: y = x + 4
6
8
c) A(3, 5); B(–1, 5) 8 AB = (–4, 0)
°x = 3 –4l x – 3 y – 5
Paramétricas: ¢ Continua: =
£y = 5 –4 0
Implícita: y – 5 = 0 Explícita: y = 5
8
d)A(3, 5); B(3, 2) 8 AB = (0, –3)
°x = 3 x – 3 y – 5
Paramétricas: ¢ Continua: =
£y = 5 – 3l 0 –3
Implícita: x – 3 = 0 Explícita: No existe, pues se trata de una
recta vertical de ecuación x = 3.
Unitat 8. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics
5
2. Obtín les equacions implícita, paramètriques i contínua de la recta y= 2x+ 3.
y = 2x +3
•Buscamos dos puntos de la recta y su vector dirección:
Si x = 0 8 y = 2 · 0 + 3 = 3 8 A(0, 3)° 8
¢ 8 AB = (1, 2)
Si x = 1 8 y = 2 · 1 + 3 = 5 8 B(1, 5)£
•Implícita: 2x – y + 3 = 0
°x = l
•Paramétricas: ¢
£y = 3 +2l
x – 0 y – 3
•Continua: =
1 2
3. a) Troba dos punts, P i Q, pertanyents a la recta r: 2x– 3y+ 6 = 0.
8
b)Comprova que PQ és perpendicular a (2, –3).
c)Escriu les equacions paramètriques de r.
d)Escriu l’equació explícita i comprova que el vector (1, m) és paral·lel a
8
PQ (m és el pendent de r).
a)r: 2x – 3y + 6 = 0
— Si x = 0 8 2 · 0 – 3y + 6 = 0 8 y = 2 8 P(0, 2)
— Si x = –3 8 2 · (–3) – 3y + 6 = 0 8 y = 0 8 Q(–3, 0)
8
b) PQ = (–3, –2)
8 8
PQ 2(2, –3) ï PQ · (2, –3) = 0
(–3, –2) · (2, –3) = (–3)· 2 +(–2)· (–3) = –6 +6 = 0
°x = –3l
c) r: ¢
£y = 2 – 2l
d)Despejamos y en la ecuación de r:
2
2x – 3y + 6 = 0 8 2x + 6 = 3y 8 x + 2 = y
3
2
Explícita: y = x + 2
3
2 ( 2)
m = 8 (1, m) = 1,
3 3
( 2) 8
El vector 1, es paralelo a PQ si sus coordenadas son proporcionales:
3
( 2)
(–3, –2) = l 1, 8 l = –3
3
Los vectores son proporcionales y, por tanto, paralelos.
Unitat 8. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics
6
UNITAT 8
Pàgina 194
1. Troba la recta del feix de centre P(–3, 5) que passa per (8, 4).
Hemos de hallar la recta que pasa por P(–3, 5) y Q(8, 4).
8
PQ = (11, –1)
x +3 y – 5
r: =
11 –1
2. Els feixos de rectes els centres de les quals són P(4, 0) i Q(–6, 4) tenen una
recta en comú. Quina és?
Es la recta que pasa por P(4, 0) y Q(–6, 4).
8
PQ = (–10, 4)
x – 4 y – 0
r: =
–10 4
3. Les rectes r: 3x – 5y – 7 = 0 y s: x + y + 4 = 0 ormen part d’un mateix feix.
Quina de les rectes d’aquest feix té pendent 4?
•El centro del haz es el punto de corte de r y s. Lo hallamos:
3x – 5y – 7 = 0 °
¢
x + y + 4 = 0 £ 8 x = –y – 4
19
3(–y – 4) – 5y – 7 = 0 8 –8y – 19 = 0 8 y = –
8
19 13
x = –y – 4 = – 4 = –
8 8
( 13 19)
El centro del haz es el punto P – , – .
8 8
•Ecuación de la recta que pasa por P y tiene pendiente igual a 4:
19 ( 13)
y = +4 x + 8 32x – 8y +7 = 0
8 8
Pàgina 197
1. Escriu les equacions paramètriques de dues rectes que passen per P(4, –3) i
siguen paral·lela i perpendicular, respectivament, a r.
°x= 2 – 5t
r: ¢
£y= 4 + 2t
°x = 2 – 5t
r: ¢ 8 Vector dirección de r: 8v = (–5, 2)
£y = 4 + 2t r
Unitat 8. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics
7
•Recta paralela a r que pasa por P.
8 8
P(4, –3) v = v = (–5, 2)
s r
°x = 4 – 5t
s: ¢
£y = –3 + 2t
•Recta perpendicular a r que pasa por P.
8
P(4, –3) v = (2, 5)
l
°x = 4 + 2t
l: ¢
£y = –3 +5t
2. El pendent de r és 3/5. Troba:
a)Les coordenades d’un vector paral·lel a la recta r.
b)El pendent d’una recta perpendicular a la recta r.
c)Les coordenades d’un vector perpendicular a la recta r.
3
a)m = 8 8v= (5, 3) es paralelo a r.
r 5
1 5
b)– = m 8 m = –
m r 3
5
c) m = – 8 w8 = (–3, 5) es perpendicular a r.
3
°x= 5 – t
3. s: ¢ . Troba:
£y= 3t
a)Equació contínua d’una recta, r , perpendicular a s que passe per
1
P (5, –3).
1
b)Equació implícita de r paral·lela a s que passe per P (0, 4).
2 2
c)Equació explícita de r perpendicular a s que passe per P (–3, 0).
3 3
°x = 5 – t
s: ¢ 8 P(5, 0) és; 8v = (–1, 3)
£y = 3t s
a)El vector dirección de r es 8v = (3, 1). P (5, –3) é r .
1 r1 1 1
x – 5 y +3
r : =
1 3 1
8
b)El vector dirección de r es el mismo que el de s: v = (–1, 3).
2 r2
P (0, 4) é r .
2 2
x – 0 y – 4
r : = 8 3x = –y + 4 8 3x +y – 4 = 0
2 –1 3
Unitat 8. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics
8
UNITAT 8
8
c) El vector dirección de r es el mismo que el de r : v = (3, 1).
3 1 r3
P (–3, 0) ér .
3 3
x + 3 y – 0 1
r : = 8 y = x +1
3 3 1 3
4. Determina les equacions implícites de dues rectes que passen per P(–3, 4) i
siguen paral·lela i perpendicular, respectivament, a r.
r: 5x– 2y+ 3 = 0
5 3
r: 5x – 2y + 3 = 0 8 5x + 3 = 2y 8 y = x +
2 2
5
La pendiente de r es m = .
r 2
•Recta s paralela a r que pasa por P(–3, 4).
5
m = m =
s r 2
5
s: y – 4 = (x +3) 8 s: 5x – 2y + 23 = 0
2
•Recta l perpendicular a r que pasa por P(–3, 4).
l 2
m = – = –
l m 5
r
2
l: y – 4 = – (x + 3) 8 l: 2x + 5y – 14 = 0
5
Pàgina 199
1. Esbrina la posició relativa d’aquests parells de rectes:
a)r: 3x+ 5y– 8 = 0 b)r: 2x+ y– 6 = 0
s: 6x+ 10y+ 4 = 0 s: x– y= 0
°x= 7 + 5t °x= 2 + t
c) r: ¢ , s: ¢
£y= –2 – 3t £y= 1 – 2t
°x= 2 + 5t
d) r: 3x– 5y= 0, s: ¢
£y= 1 + 3t
a)r: 3x + 5y – 8 = 0 8 8n = (3, 5)
r
s: 6x +10y +4 = 0 8 8n = (6, 10)
s
3 5 –8
= ? 8 Las dos rectas son paralelas.
6 10 4
Unitat 8. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics
9
b)r: 2x +y – 6 = 0 8 8n = (2, 1)
r
s: x – y = 0 8 8n = (1, –1)
s
2 1
? 8 Las dos rectas se cortan.
1 –1
°x = 7 +5t
c) r: ¢ 8 8v = (5, –3)
£y = –2 – 3t r
°x = 2 + t
s: ¢ 8 8v = (1, –2)
£y = 1 – 2t s
5 –3
? 8 Las dos rectas se cortan.
1 –2
d)r: 3x – 5y = 0 8 8n = (3, –5) 8 8v = (5, 3)
r r
°x = 2 + 5t
s: ¢ 8 8v = (5, 3), P = (2, 1)
£y = 1 + 3t s s
Como 8v = 8v y P è r, las rectas son paralelas.
r s s
Pàgina 200
1. Troba l’angle que formen els següents parells de rectes:
°x= 3 – 2t °x= 1 – 4t
a) r : ¢ , r : ¢
1 £y= 7 + t 2 £y= 4 + 3t
°x= 3 – 2t
b) r : ¢ , r : 3x– 5y+ 4 = 0
1 £y= 7 + t 2
c) r : y= 5x– 1, r : y= 4x+ 3
1 2
8 8
a) v = (–2, 1); v = (–4, 3)
r1 r2
|(–2, 1)· (–4, 3)| 11
cos a = = — ≈ 0,9838699101 8 a = 10° 18' 17,45''
|(–2, 1)||(–4, 3)| (√5) · (5)
8 8
b)v = (–2, 1); v = (5, 3)
r1 r2
|(–2, 1)· (5, 3)| 7
cos a = = — — ≈ 0,5368754922 8 a = 57° 31' 43,71''
|(–2, 1)||(5, 3)| (√5) · (√34)
c) m = 5; m = 4
r1 r2
| 4 – 5 | 1
tg a = = ≈ 0,0476190 8 a = 2° 43' 34,72''
1 +5 · 4 21
Unitat 8. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics
10