Capitolo 11 Geometria Analitica nello Spazio In questo capitolo viene trattata la rappresentazione di piani, rette, sfere e circonferenze nellospaziomedianteequazionicartesianeeparametriche. Sonoquestelenozionidibase di Geometria Analitica nello Spazio che saranno completate nel capitolo successivo. In unabreveappendicenell’ultimoparagrafosipresentalanozionedibaricentrogeometrico di n puntidellospazio,nozioneche,comecasiparticolari,vedra` lasuanaturaleapplica- zione al calcolo del baricentro di un triangolo e di un tetraedro. Per i significati fisici del concettodibaricentrosirimandaaitesticlassicidimeccanica. 11.1 Il riferimento cartesiano nello spazio InmodoanalogoalcasodellaGeometriaAnaliticanelPiano(cfr. Par. 9.1)sidefinisceil riferimento cartesiano nello spazio = (O,i,j,k) come l’insieme formato da un punto R detto origine del riferimento e indicato con la lettera O e una base ortonormale positiva dello spazio vettoriale V3 (cfr. Def. 3.13) = (i,j,k). Le rette orientate individuate B dei vettori i, j e k prendono, rispettivamente, il nome di asse delle ascisse, asse delle ordinate,assedellequote. Inquestomodosiindividuaunacorrispondenzabiunivocatra ipunti P dellospazioelecomponentidelvettore −O→P = P O. Ponendo: − −O→P = xi+yj+zk, alpunto P siassociainmodounivocolaternadinumerireali (x,y,z): P = (x,y,z), precisamente x e` l’ascissa del punto P, y e` la sua ordinata e z e` la sua quota. La situazionegeometricae` illustratanellaFigura 11.1. 491 492 GeometriaAnaliticanelloSpazio z P O y x Figura11.1: Ilriferimentocartesianonellospazio Il riferimento cartesiano determina, in modo naturale, tre piani, detti piani coordinati e precisamente: 1. ilpianoindividuatodalpunto O edaiversori i,j,anchedenominatopiano xy; 2. ilpianoindividuatodalpunto O edaiversori i,k,anchedenominatopiano xz; 3. ilpianoindividuatodalpunto O edaiversori j,k,anchedenominatopiano yz. Ilriferimentocartesianosara` indicatoconilsimbolo = (O,x,y,z) oequivalentemente R con = (O,i,j,k). R 11.1.1 Distanza tra due punti Dati due punti A = (xA,yA,zA) e B = (xB,yB,zB) dello spazio la loro distanza e` data da: d(A,B) = (xB xA)2 +(yB yA)2 +(zB zA)2. − − − p Analogamente al caso del piano (cfr. Par. 12.24) anche nello spazio la distanza d(A,B) puo` essereinterpretatacomelanormadelvettore −A→B lecuicomponentisono: −A→B = (xB xA)i+(yB yA)j+(zB zA)k. − − − Capitolo11 493 11.1.2 Punto medio di un segmento Datiduepunti A = (xA,yA,zA) e B = (xB,yB,zB) dellospazio,lecoordinatedelpunto medio M delsegmento AB sono: xA +xB yA +yB zA +zB M = , , . (cid:18) 2 2 2 (cid:19) Adesempioilpuntomediodelsegmentodiestremi A = (2,2,1) e B = (0, 6, 3) e` il − − punto M = (1, 2, 1). − − 11.1.3 Baricentro di un triangolo e di un tetraedro Dati tre punti A = (xA,yA,zA), B = (xB,yB,zB) e C = (xC,yC,zC) non allineati, il baricentro G deltriangolodaessiindividuatohacoordinate: xA +xB +xC yA +yB +yC zA +zB +zC G = , , . (cid:18) 3 3 3 (cid:19) PerladimostrazionesivedailParagrafo11.12.1. Dati quattro punti A = (xA,yA,zA), B = (xB,yB,zB), C = (xC,yC,zC) e D = (xD,yD,zD) nonallineatienontutticomplanari,allorailbaricentrodeltetraedrodaloro individuatohacoordinate: xA +xB +xC +xD yA +yB +yC +yD zA +zB +zC +zD G = , , . (cid:18) 4 4 4 (cid:19) PerladimostrazionesivedailParagrafo11.12.1. 11.1.4 Area di un triangolo e volume di un tetraedro Dati tre punti nello spazio A = (xA,yA,zA), B = (xB,yB,zB) e C = (xC,yC,zC) non allineati,l’areadeldeltriangolodaessiindividuatoe` datada: 1 ABC = −A→B −A→C . A 2|| ∧ || PerladimostrazionesivedailTeorema3.15. Dati quattro punti nello spazio A = (xA,yA,zA), B = (xB,yB,zB), C = (xC,yC,zC) e D = (xD,yD,zD) non allineati e non tutti complanari, il volume del tetraedro da loro individuatoe` datoda: 1 ABCD = −A→B −A→C −A−→D . V 6| ∧ · | PerladimostrazionesivedailTeorema??. 494 GeometriaAnaliticanelloSpazio 11.2 Rappresentazione di un piano nello spazio In questo paragrafo sono descritti modi diversi per rappresentare un piano nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano = (O,i,j,k) = (O,x,y,z) prefissato. Infatti un R piano π nellospaziosipuo` individuareassegnando: 1. unpunto P0 delpiano π edunvettore n nonnulloortogonalea π; 2. unpunto P0 delpiano π eduevettori u e v parallelia π elinearmenteindipendenti tradiloro; 3. trepunti A, B e C nonallineatiappartenentialpiano π. Sidimostrera` cheogniequazionediprimogradoin x, y e z deltipo: ax+by+cz +d = 0, con a,b,c,d R e a,b,c non contemporaneamente tutti uguali a zero, (a,b,c) = ∈ 6 (0,0,0)rappresentaunpiano. Viceversa,ognipianodellospazioe`rappresentabiletramite un’equazionelinearein x,y,z deltiposuddetto. n P 0 P Figura11.2: Pianopassanteperilpunto P0 eortogonalealvettore n 11.2.1 Piano per un punto ortogonale ad un vettore Sia π il piano passante per un punto P0 ortogonale ad un vettore n = o. Allora π e` il 6 luogodeipunti P dellospaziotalicheilvettore −P−0→P e` ortogonalealvettore n,ovvero: π = P S3 −P−0→P n = 0 . (11.1) { ∈ | · } Capitolo11 495 Lasituazionegeometricae` rappresentatanellaFigura 11.2. Siano P0 = (x0,y0,z0) e P = (x,y,z) le coordinate dei punti P0 e di P, n = (a,b,c) lecomponentidelvettore n rispettoallabaseortonormalepositiva = (i,j,k). L’equa- B zionevettoriale −P−0→P n = 0, incomponenti,equivalea: · a(x x0)+b(y y0)+c(z z0) = 0 − − − equindiadun’equazionedeltipo: ax+by+cz +d = 0, (11.2) con d = ax0 by0 cz0, dettaequazionecartesianadelpiano π incui (a,b,c) sonole − − − componenti(noncontemporaneamentetutteugualiazero),diunvettoreortogonalea π. Esempio11.1 Il piano passante per il punto P0 = (1,0, 1) e ortogonale al vettore − n = j+2k haequazionecartesiana y+2z +2 = 0. Il teorema che segue dimostra che tutte e solo le equazioni lineari in x,y,z determinano un piano nello spazio. Questo risultato e` analogo a quello ottenuto nel Teorema ?? nel casodellerettenelpianoesipuo` agevolmenteestendereadimensionisuperiori. Teorema11.1 Ogniequazionelinearein x, y e z deltipo(11.2)rappresenta,amenodi unfattoremoltiplicativononnullo,l’equazionecartesianadiunpianonellospazio S3. Dimostrazione Se (a,b,c) = (0,0,0) esiste almeno un punto P0 = (x0,y0,z0) del 6 piano le cui coordinate soddisfano l’equazione (11.2). Quindi d = ax0 by0 cz0 e − − − si puo` riscrivere l’equazione (11.2) nella forma a(x x0)+b(y y0)+c(z z0) = 0, − − − cherappresentailpianopassanteperilpunto P0 ortogonalealvettore n = ai+bj+ck. Inoltre,perogninumeroreale ρ,con ρ = 0, ledueequazioni(11.2)e: 6 ρ(ax+by+cz +d) = 0 rappresentanolostessopiano. Esempio11.2 L’equazione 3y + 6z + 6 = 0 rappresenta lo stesso piano considerato nell’Esempio11.1. Osservazione11.1 1. L’origine O = (0,0,0) appartienealpianodiequazione(11.2) seesolose d = 0. 496 GeometriaAnaliticanelloSpazio 2. Il piano coordinato xy ha equazione cartesiana z = 0, in quanto e` ortogonale al versore k e passa per l’origine O. Analogamente i piani cartesiani xz e yz hanno rispettivamenteequazionicartesiane y = 0 e x = 0. 3. Intuitivamente si capisce che l’equazione z = k con k R rappresenta un pia- ∈ no parallelo al piano xy, analogamente l’equazione x = k rappresenta un piano parallelo al piano yz e l’equazione y = k rappresenta un piano parallelo al piano xz. Per la definizione precisa di parallelismo tra due piani si rimanda al Paragrafo 11.3.3. 4. L’equazione ax+by +d = 0, con tutti i coefficienti non nulli, rappresenta, nello spazio,unpiano π ortogonalealvettore n = ai+bj, pertanto π e`unpianoparallelo all’asse z. Se d = 0, allora π contiene l’asse z. Si presti molta attenzione a non confondere l’equazione del piano π con l’equazione di una retta scritta nel piano S2. Per la discussione precisa del parallelismo tra una retta e un piano si rimanda al Paragrafo 11.4. Si lascia al Lettore, per esercizio, la descrizione della posizione deipianidiequazione ax+cz +d = 0 e by+cz +d = 0 alvariaredi a,b,c,d in camporeale. 11.2.2 Piano per un punto parallelo a due vettori u P P 0 v Figura11.3: Pianopassanteperilpunto P0 eparalleloaivettori u e v Sia π il piano passante per il punto P0 e parallelo a due vettori linearmente indipendenti u e v. Allora π e` il luogo dei punti P dello spazio tali che i vettori −P−0→P,u,v sono linearmentedipendenti,valeadire: π = P S3 −P−0→P = tu+sv, t,s R , { ∈ | ∈ } Capitolo11 497 ossia: π : P = P0 +tu+sv, t,s R. (11.3) ∈ Quindi un punto P = (x,y,z) appartiene al piano π se e solo se il vettore −P−0→P e` com- planare ad u e a v. La (11.3) e` detta equazione vettoriale parametrica di π mentre t,s R sonoiparametrialvariaredeiqualiilpunto P descriveilpiano π. Lasituazione ∈ geometricae` rappresentatanellaFigura 11.3. Siano P0 = (x0,y0,z0) e P = (x,y,z) le coordinate dei punti P0 e P, nel riferimento cartesiano = (O,i,j,k) e u = (l,m,n) e v = (l′,m′,n′) le componenti dei vettori R u e v rispetto alla base ortonormale positiva = (i,j,k). Si verifica che l’equazione B (11.3)equivalea: ′ x = x0 +lt+ls y = y0 +mt+m′s, (11.4) z = z0 +nt+n′s, t,s R, ∈ chesonoleequazioniparametrichedelpiano π. Siosservicheilpiano π ammetteinfinite equazioniparametrichediverse,e`sufficientescegliere,perlalorodeterminazione,unaltro puntoeun’altracoppiadivettoriappartenentialpiano. Da Teorema 3.22 risulta che tre vettori dello spazio vettoriale V3 sono complanari se e soloseilloroprodottomistoe` ugualeazero,pertantoe` condizioneequivalentealla(11.3) l’equazione: −P−0→P u v = 0, (11.5) ∧ · che,adifferenzadi(11.3),nondipendedaalcunparametroe,incomponenti,equivalea: x x0 y y0 z z0 − − − (cid:12) l m n (cid:12) = 0, (11.6) (cid:12) (cid:12) ′ ′ ′ (cid:12) l m n (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) cherappresental’equazione(cid:12)cartesianadelpianopassan(cid:12)teperilpunto P0 = (x0,y0,z0) e parallelo ai vettori u = (l,m,n) e v = (l′,m′,n′). Sviluppando il determinante appena ottenutosecondolaprimarigasiha: m n l n l m ′ ′ (x x0) ′ ′ (y y0)+ ′ ′ (z z0) = 0. (11.7) (cid:12) m n (cid:12) − −(cid:12) l n (cid:12) − (cid:12) l m (cid:12) − (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Si noti (cid:12)che l’equa(cid:12)zione (11.7)(cid:12)coincide(cid:12) con l’equaz(cid:12)ione (11(cid:12).2) in cui le componenti del vettore n ortogonalealpianosonoproporzionaliallecomponentidelvettore u v. ∧ 498 GeometriaAnaliticanelloSpazio Esempio11.3 Ilpiano π passanteperilpunto P0 = ( 1,3,1) eparalleloaivettori: − u = 2i j+k, v = i+j − haequazioniparametriche: x = 1+2t+s − y = 3 t+s, (11.8) z = 1+−t, t,s R. ∈ Si verifica facilmente che il punto A = (0,1,2) appartiene a π, infatti le sue coordinate si ottengono ponendo t = 1 e s = 1 in (11.8). Invece l’origine O = (0,0,0) non − appartienea π perche´ ilsistemalineare: 0 = 1+2t+s − 0 = 3 t+s, 0 = 1−+t e` incompatibile. Siverifichicheivettori u′ = (1,1,0) e v′ = ( 1,2 1) appartengono − − alpiano π,diconseguenzaanche: x = λ µ − y = 1+λ+2µ z = 2 µ, λ,µ R − ∈ sonoequazioniparametrichedi π. Perottenerel’equazionecartesianadi π sipuo` procedereinmodidiversi: 1. si possono eliminare i due parametri t e s nelle equazioni parametriche (11.8). Per esempio si puo` prima ricavare dalla terza equazione parametrica t = z 1, − dalla seconda si ha s = y + z 4 e quindi sostituendo nella prima si perviene − all’equazionecartesianadi π: x 2(z 1) (y+z 4)+1 = 0. − − − − 2. Usando il calcolo vettoriale si ha che il prodotto vettoriale u v e` un vettore ∧ ortogonalealpiano π. Poiche´: i j k u v = (cid:12) 2 1 1 (cid:12) = i+j+3k ∧ (cid:12) − (cid:12) − (cid:12) 1 1 0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) siottienequindicomeequazio(cid:12)necartesianad(cid:12)i π: (x+1)+(y 3)+3(z 1) = 0. − − − Capitolo11 499 3. Sostituendoidatidell’esercizioin(11.6)siha: x+1 y 3 z 1 − − (cid:12) 2 1 1 (cid:12) = 0. (cid:12) − (cid:12) (cid:12) 1 1 0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Si osservi che, qualunque sia il metodo seguito, si perviene ad una sola equazione carte- sianadi π,amenodiuncoefficientediproporzionalita` nonnullo. 11.2.3 Piano per tre punti non allineati Dati tre punti non allineati A = (xA,yA,zA), B = (xB,yB,zB) e C = (xC,yC,zC), il piano π passanteper A, B e C e` paralleloaivettori −A→B e −A→C equindiha,adesempio, equazioniparametriche: P = A+t−A→B +s−A→C, t,s R, ∈ inaccordocon(11.3). Unvettoreortogonalealpiano π passanteper A,B e C e` ilvettore −A→B −A→C, di conseguenza π puo` essere descritto come il luogo geometrico dei punti P ∧ taliche: −A→P −A→B −A→C = 0. ∧ · Eplicitandoquestoprodottomistoincomponentisitroval’equazionecartesianadi π: x xA y yA z zA − − − (cid:12) xB xA yB yA zB zA (cid:12) = 0. (cid:12) − − − (cid:12) (cid:12) xC xA yC yA zC zA (cid:12) (cid:12) − − − (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Esercizio11.1 Tre punti non allineati individuano un solo piano. Perche´ nell’equazione ax+by+cz +d = 0 cisonoquattroincognite a, b, c, d? Esempio11.4 Ilpianopassanteperitrepunti: A = ( 1,2,1), B = (2, 3,0), C = (1,0,0) − − haequazioniparametriche: x = 1+t+2s − y = 2 t 2s y = 1−t−s, t,s R, − − ∈ edequazionecartesiana: x+y 1 = 0. − 500 GeometriaAnaliticanelloSpazio Esercizio11.2 Determinare l’equazione del piano parallelo all’asse x e passante per i punti P0 = (1,0,2) e P1 = ( 2,1,1). − Soluzione Ilpianorichiestoe` formatodaipunti P dellospaziopercui: −P−0→P i −P−0P→1 = 0 ∧ · equindihaequazionecartesiana: x 1 y z 2 − − (cid:12) 1 0 0 (cid:12) = y+z 2 = 0. (cid:12) (cid:12) − (cid:12) 3 1 1 (cid:12) (cid:12) − − (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Esercizio11.3 Apartiredallagenericaequazionecartesianadiunpiano: π : ax+by+cz +d = 0, supponendoche a,b,c sianotuttidiversidazero,sipervieneall’equazione: x y z π : + + = 1. (11.9) p q r Siinterpretinogeometricamenteinumeri p,q,r cos`ıdeterminati. Soluzione I punti A = (p,0,0), B = (0,q,0), C = (0,0,r) appartengono al pia- no π individuato dall’equazione (11.9), pertanto p e` la distanza, con segno, del punto A dall’origine del riferimento, q e` la distanza, con segno, del punto B dall’origine, r e` la distanza, con segno, del punto C dall’origine. In altri termini, p.q,r sono le lunghezze, con segno, dei segmenti che il piano π intercetta, rispettivamente, sugli assi delle ascis- se, delle ordinate e delle quote. Per questo motivo (11.9) prende il nome di equazione segmentariadelpiano. 11.3 Rappresentazione della retta nello spazio Una retta r, nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano = (O,i,j,k), si puo` R individuareassegnando: 1. unpunto P0 dellaretta r edunvettore r nonnulloparalleloa r; 2. duepunti A e B distintidellaretta r; 3. duepiani π1 e π2 incidentilungo r.
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