Geometria analitica nello spazio

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Capitolo 11
Geometria Analitica nello Spazio
In questo capitolo viene trattata la rappresentazione di piani, rette, sfere e circonferenze
nellospaziomedianteequazionicartesianeeparametriche. Sonoquestelenozionidibase
di Geometria Analitica nello Spazio che saranno completate nel capitolo successivo. In
unabreveappendicenell’ultimoparagrafosipresentalanozionedibaricentrogeometrico
di n puntidellospazio,nozioneche,comecasiparticolari,vedra` lasuanaturaleapplica-
zione al calcolo del baricentro di un triangolo e di un tetraedro. Per i significati fisici del
concettodibaricentrosirimandaaitesticlassicidimeccanica.
11.1 Il riferimento cartesiano nello spazio
InmodoanalogoalcasodellaGeometriaAnaliticanelPiano(cfr. Par. 9.1)sidefinisceil
riferimento cartesiano nello spazio = (O,i,j,k) come l’insieme formato da un punto
R
detto origine del riferimento e indicato con la lettera O e una base ortonormale positiva
dello spazio vettoriale V3 (cfr. Def. 3.13) = (i,j,k). Le rette orientate individuate
B
dei vettori i, j e k prendono, rispettivamente, il nome di asse delle ascisse, asse delle
ordinate,assedellequote. Inquestomodosiindividuaunacorrispondenzabiunivocatra
ipunti P dellospazioelecomponentidelvettore −O→P = P O. Ponendo:
−
−O→P = xi+yj+zk,
alpunto P siassociainmodounivocolaternadinumerireali (x,y,z):
P = (x,y,z),
precisamente x e` l’ascissa del punto P, y e` la sua ordinata e z e` la sua quota. La
situazionegeometricae` illustratanellaFigura 11.1.
491
492 GeometriaAnaliticanelloSpazio
z
P
O y
x
Figura11.1: Ilriferimentocartesianonellospazio
Il riferimento cartesiano determina, in modo naturale, tre piani, detti piani coordinati e
precisamente:
1. ilpianoindividuatodalpunto O edaiversori i,j,anchedenominatopiano xy;
2. ilpianoindividuatodalpunto O edaiversori i,k,anchedenominatopiano xz;
3. ilpianoindividuatodalpunto O edaiversori j,k,anchedenominatopiano yz.
Ilriferimentocartesianosara` indicatoconilsimbolo = (O,x,y,z) oequivalentemente
R
con = (O,i,j,k).
R
11.1.1 Distanza tra due punti
Dati due punti A = (xA,yA,zA) e B = (xB,yB,zB) dello spazio la loro distanza e` data
da:
d(A,B) = (xB xA)2 +(yB yA)2 +(zB zA)2.
− − −
p
Analogamente al caso del piano (cfr. Par. 12.24) anche nello spazio la distanza d(A,B)
puo` essereinterpretatacomelanormadelvettore −A→B lecuicomponentisono:
−A→B = (xB xA)i+(yB yA)j+(zB zA)k.
− − −
Capitolo11 493
11.1.2 Punto medio di un segmento
Datiduepunti A = (xA,yA,zA) e B = (xB,yB,zB) dellospazio,lecoordinatedelpunto
medio M delsegmento AB sono:
xA +xB yA +yB zA +zB
M = , , .
(cid:18) 2 2 2 (cid:19)
Adesempioilpuntomediodelsegmentodiestremi A = (2,2,1) e B = (0, 6, 3) e` il
− −
punto M = (1, 2, 1).
− −
11.1.3 Baricentro di un triangolo e di un tetraedro
Dati tre punti A = (xA,yA,zA), B = (xB,yB,zB) e C = (xC,yC,zC) non allineati, il
baricentro G deltriangolodaessiindividuatohacoordinate:
xA +xB +xC yA +yB +yC zA +zB +zC
G = , , .
(cid:18) 3 3 3 (cid:19)
PerladimostrazionesivedailParagrafo11.12.1.
Dati quattro punti A = (xA,yA,zA), B = (xB,yB,zB), C = (xC,yC,zC) e D =
(xD,yD,zD) nonallineatienontutticomplanari,allorailbaricentrodeltetraedrodaloro
individuatohacoordinate:
xA +xB +xC +xD yA +yB +yC +yD zA +zB +zC +zD
G = , , .
(cid:18) 4 4 4 (cid:19)
PerladimostrazionesivedailParagrafo11.12.1.
11.1.4 Area di un triangolo e volume di un tetraedro
Dati tre punti nello spazio A = (xA,yA,zA), B = (xB,yB,zB) e C = (xC,yC,zC) non
allineati,l’areadeldeltriangolodaessiindividuatoe` datada:
1
ABC = −A→B −A→C .
A 2|| ∧ ||
PerladimostrazionesivedailTeorema3.15.
Dati quattro punti nello spazio A = (xA,yA,zA), B = (xB,yB,zB), C = (xC,yC,zC)
e D = (xD,yD,zD) non allineati e non tutti complanari, il volume del tetraedro da loro
individuatoe` datoda:
1
ABCD = −A→B −A→C −A−→D .
V 6| ∧ · |
PerladimostrazionesivedailTeorema??.
494 GeometriaAnaliticanelloSpazio
11.2 Rappresentazione di un piano nello spazio
In questo paragrafo sono descritti modi diversi per rappresentare un piano nello spazio
rispetto ad un riferimento cartesiano = (O,i,j,k) = (O,x,y,z) prefissato. Infatti un
R
piano π nellospaziosipuo` individuareassegnando:
1. unpunto P0 delpiano π edunvettore n nonnulloortogonalea π;
2. unpunto P0 delpiano π eduevettori u e v parallelia π elinearmenteindipendenti
tradiloro;
3. trepunti A, B e C nonallineatiappartenentialpiano π.
Sidimostrera` cheogniequazionediprimogradoin x, y e z deltipo:
ax+by+cz +d = 0,
con a,b,c,d R e a,b,c non contemporaneamente tutti uguali a zero, (a,b,c) =
∈ 6
(0,0,0)rappresentaunpiano. Viceversa,ognipianodellospazioe`rappresentabiletramite
un’equazionelinearein x,y,z deltiposuddetto.
n
P
0
P
Figura11.2: Pianopassanteperilpunto P0 eortogonalealvettore n
11.2.1 Piano per un punto ortogonale ad un vettore
Sia π il piano passante per un punto P0 ortogonale ad un vettore n = o. Allora π e` il
6
luogodeipunti P dellospaziotalicheilvettore −P−0→P e` ortogonalealvettore n,ovvero:
π = P S3 −P−0→P n = 0 . (11.1)
{ ∈ | · }
Capitolo11 495
Lasituazionegeometricae` rappresentatanellaFigura 11.2.
Siano P0 = (x0,y0,z0) e P = (x,y,z) le coordinate dei punti P0 e di P, n = (a,b,c)
lecomponentidelvettore n rispettoallabaseortonormalepositiva = (i,j,k). L’equa-
B
zionevettoriale −P−0→P n = 0, incomponenti,equivalea:
·
a(x x0)+b(y y0)+c(z z0) = 0
− − −
equindiadun’equazionedeltipo:
ax+by+cz +d = 0, (11.2)
con d = ax0 by0 cz0, dettaequazionecartesianadelpiano π incui (a,b,c) sonole
− − −
componenti(noncontemporaneamentetutteugualiazero),diunvettoreortogonalea π.
Esempio11.1 Il piano passante per il punto P0 = (1,0, 1) e ortogonale al vettore
−
n = j+2k haequazionecartesiana y+2z +2 = 0.
Il teorema che segue dimostra che tutte e solo le equazioni lineari in x,y,z determinano
un piano nello spazio. Questo risultato e` analogo a quello ottenuto nel Teorema ?? nel
casodellerettenelpianoesipuo` agevolmenteestendereadimensionisuperiori.
Teorema11.1 Ogniequazionelinearein x, y e z deltipo(11.2)rappresenta,amenodi
unfattoremoltiplicativononnullo,l’equazionecartesianadiunpianonellospazio S3.
Dimostrazione Se (a,b,c) = (0,0,0) esiste almeno un punto P0 = (x0,y0,z0) del
6
piano le cui coordinate soddisfano l’equazione (11.2). Quindi d = ax0 by0 cz0 e
− − −
si puo` riscrivere l’equazione (11.2) nella forma a(x x0)+b(y y0)+c(z z0) = 0,
− − −
cherappresentailpianopassanteperilpunto P0 ortogonalealvettore n = ai+bj+ck.
Inoltre,perogninumeroreale ρ,con ρ = 0, ledueequazioni(11.2)e:
6
ρ(ax+by+cz +d) = 0
rappresentanolostessopiano.
Esempio11.2 L’equazione 3y + 6z + 6 = 0 rappresenta lo stesso piano considerato
nell’Esempio11.1.
Osservazione11.1 1. L’origine O = (0,0,0) appartienealpianodiequazione(11.2)
seesolose d = 0.
496 GeometriaAnaliticanelloSpazio
2. Il piano coordinato xy ha equazione cartesiana z = 0, in quanto e` ortogonale al
versore k e passa per l’origine O. Analogamente i piani cartesiani xz e yz hanno
rispettivamenteequazionicartesiane y = 0 e x = 0.
3. Intuitivamente si capisce che l’equazione z = k con k R rappresenta un pia-
∈
no parallelo al piano xy, analogamente l’equazione x = k rappresenta un piano
parallelo al piano yz e l’equazione y = k rappresenta un piano parallelo al piano
xz. Per la definizione precisa di parallelismo tra due piani si rimanda al Paragrafo
11.3.3.
4. L’equazione ax+by +d = 0, con tutti i coefficienti non nulli, rappresenta, nello
spazio,unpiano π ortogonalealvettore n = ai+bj, pertanto π e`unpianoparallelo
all’asse z. Se d = 0, allora π contiene l’asse z. Si presti molta attenzione a non
confondere l’equazione del piano π con l’equazione di una retta scritta nel piano
S2. Per la discussione precisa del parallelismo tra una retta e un piano si rimanda
al Paragrafo 11.4. Si lascia al Lettore, per esercizio, la descrizione della posizione
deipianidiequazione ax+cz +d = 0 e by+cz +d = 0 alvariaredi a,b,c,d in
camporeale.
11.2.2 Piano per un punto parallelo a due vettori
u
P P
0
v
Figura11.3: Pianopassanteperilpunto P0 eparalleloaivettori u e v
Sia π il piano passante per il punto P0 e parallelo a due vettori linearmente indipendenti
u e v. Allora π e` il luogo dei punti P dello spazio tali che i vettori −P−0→P,u,v sono
linearmentedipendenti,valeadire:
π = P S3 −P−0→P = tu+sv, t,s R ,
{ ∈ | ∈ }
Capitolo11 497
ossia:
π : P = P0 +tu+sv, t,s R. (11.3)
∈
Quindi un punto P = (x,y,z) appartiene al piano π se e solo se il vettore −P−0→P e` com-
planare ad u e a v. La (11.3) e` detta equazione vettoriale parametrica di π mentre
t,s R sonoiparametrialvariaredeiqualiilpunto P descriveilpiano π. Lasituazione
∈
geometricae` rappresentatanellaFigura 11.3.
Siano P0 = (x0,y0,z0) e P = (x,y,z) le coordinate dei punti P0 e P, nel riferimento
cartesiano = (O,i,j,k) e u = (l,m,n) e v = (l′,m′,n′) le componenti dei vettori
R
u e v rispetto alla base ortonormale positiva = (i,j,k). Si verifica che l’equazione
B
(11.3)equivalea:
′
x = x0 +lt+ls
 y = y0 +mt+m′s, (11.4)
 z = z0 +nt+n′s, t,s R,
∈

chesonoleequazioniparametrichedelpiano π. Siosservicheilpiano π ammetteinfinite
equazioniparametrichediverse,e`sufficientescegliere,perlalorodeterminazione,unaltro
puntoeun’altracoppiadivettoriappartenentialpiano.
Da Teorema 3.22 risulta che tre vettori dello spazio vettoriale V3 sono complanari se e
soloseilloroprodottomistoe` ugualeazero,pertantoe` condizioneequivalentealla(11.3)
l’equazione:
−P−0→P u v = 0, (11.5)
∧ ·
che,adifferenzadi(11.3),nondipendedaalcunparametroe,incomponenti,equivalea:
x x0 y y0 z z0
− − −
(cid:12) l m n (cid:12) = 0, (11.6)
(cid:12) (cid:12)
′ ′ ′
(cid:12) l m n (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
cherappresental’equazione(cid:12)cartesianadelpianopassan(cid:12)teperilpunto P0 = (x0,y0,z0) e
parallelo ai vettori u = (l,m,n) e v = (l′,m′,n′). Sviluppando il determinante appena
ottenutosecondolaprimarigasiha:
m n l n l m
′ ′ (x x0) ′ ′ (y y0)+ ′ ′ (z z0) = 0. (11.7)
(cid:12) m n (cid:12) − −(cid:12) l n (cid:12) − (cid:12) l m (cid:12) −
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Si noti (cid:12)che l’equa(cid:12)zione (11.7)(cid:12)coincide(cid:12) con l’equaz(cid:12)ione (11(cid:12).2) in cui le componenti del
vettore n ortogonalealpianosonoproporzionaliallecomponentidelvettore u v.
∧
498 GeometriaAnaliticanelloSpazio
Esempio11.3 Ilpiano π passanteperilpunto P0 = ( 1,3,1) eparalleloaivettori:
−
u = 2i j+k, v = i+j
−
haequazioniparametriche:
x = 1+2t+s
−
 y = 3 t+s, (11.8)
 z = 1+−t, t,s R.
∈

Si verifica facilmente che il punto A = (0,1,2) appartiene a π, infatti le sue coordinate
si ottengono ponendo t = 1 e s = 1 in (11.8). Invece l’origine O = (0,0,0) non
−
appartienea π perche´ ilsistemalineare:
0 = 1+2t+s
−
 0 = 3 t+s,
 0 = 1−+t
e` incompatibile. Siverifichicheivettori u′ = (1,1,0) e v′ = ( 1,2 1) appartengono
− −
alpiano π,diconseguenzaanche:
x = λ µ
−
 y = 1+λ+2µ
 z = 2 µ, λ,µ R
− ∈
sonoequazioniparametrichedi π.
Perottenerel’equazionecartesianadi π sipuo` procedereinmodidiversi:
1. si possono eliminare i due parametri t e s nelle equazioni parametriche (11.8).
Per esempio si puo` prima ricavare dalla terza equazione parametrica t = z 1,
−
dalla seconda si ha s = y + z 4 e quindi sostituendo nella prima si perviene
−
all’equazionecartesianadi π:
x 2(z 1) (y+z 4)+1 = 0.
− − − −
2. Usando il calcolo vettoriale si ha che il prodotto vettoriale u v e` un vettore
∧
ortogonalealpiano π. Poiche´:
i j k
u v = (cid:12) 2 1 1 (cid:12) = i+j+3k
∧ (cid:12) − (cid:12) −
(cid:12) 1 1 0 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
siottienequindicomeequazio(cid:12)necartesianad(cid:12)i π:
(x+1)+(y 3)+3(z 1) = 0.
− − −
Capitolo11 499
3. Sostituendoidatidell’esercizioin(11.6)siha:
x+1 y 3 z 1
− −
(cid:12) 2 1 1 (cid:12) = 0.
(cid:12) − (cid:12)
(cid:12) 1 1 0 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Si osservi che, qualunque sia il metodo seguito, si perviene ad una sola equazione carte-
sianadi π,amenodiuncoefficientediproporzionalita` nonnullo.
11.2.3 Piano per tre punti non allineati
Dati tre punti non allineati A = (xA,yA,zA), B = (xB,yB,zB) e C = (xC,yC,zC), il
piano π passanteper A, B e C e` paralleloaivettori −A→B e −A→C equindiha,adesempio,
equazioniparametriche:
P = A+t−A→B +s−A→C, t,s R,
∈
inaccordocon(11.3). Unvettoreortogonalealpiano π passanteper A,B e C e` ilvettore
−A→B −A→C, di conseguenza π puo` essere descritto come il luogo geometrico dei punti P
∧
taliche:
−A→P −A→B −A→C = 0.
∧ ·
Eplicitandoquestoprodottomistoincomponentisitroval’equazionecartesianadi π:
x xA y yA z zA
− − −
(cid:12) xB xA yB yA zB zA (cid:12) = 0.
(cid:12) − − − (cid:12)
(cid:12) xC xA yC yA zC zA (cid:12)
(cid:12) − − − (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Esercizio11.1 Tre punti non allineati individuano un solo piano. Perche´ nell’equazione
ax+by+cz +d = 0 cisonoquattroincognite a, b, c, d?
Esempio11.4 Ilpianopassanteperitrepunti:
A = ( 1,2,1), B = (2, 3,0), C = (1,0,0)
− −
haequazioniparametriche:
x = 1+t+2s
−
 y = 2 t 2s
 y = 1−t−s, t,s R,
− − ∈

edequazionecartesiana:
x+y 1 = 0.
−
500 GeometriaAnaliticanelloSpazio
Esercizio11.2 Determinare l’equazione del piano parallelo all’asse x e passante per i
punti P0 = (1,0,2) e P1 = ( 2,1,1).
−
Soluzione Ilpianorichiestoe` formatodaipunti P dellospaziopercui:
−P−0→P i −P−0P→1 = 0
∧ ·
equindihaequazionecartesiana:
x 1 y z 2
− −
(cid:12) 1 0 0 (cid:12) = y+z 2 = 0.
(cid:12) (cid:12) −
(cid:12) 3 1 1 (cid:12)
(cid:12) − − (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Esercizio11.3 Apartiredallagenericaequazionecartesianadiunpiano:
π : ax+by+cz +d = 0,
supponendoche a,b,c sianotuttidiversidazero,sipervieneall’equazione:
x y z
π : + + = 1. (11.9)
p q r
Siinterpretinogeometricamenteinumeri p,q,r cos`ıdeterminati.
Soluzione I punti A = (p,0,0), B = (0,q,0), C = (0,0,r) appartengono al pia-
no π individuato dall’equazione (11.9), pertanto p e` la distanza, con segno, del punto A
dall’origine del riferimento, q e` la distanza, con segno, del punto B dall’origine, r e` la
distanza, con segno, del punto C dall’origine. In altri termini, p.q,r sono le lunghezze,
con segno, dei segmenti che il piano π intercetta, rispettivamente, sugli assi delle ascis-
se, delle ordinate e delle quote. Per questo motivo (11.9) prende il nome di equazione
segmentariadelpiano.
11.3 Rappresentazione della retta nello spazio
Una retta r, nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano = (O,i,j,k), si puo`
R
individuareassegnando:
1. unpunto P0 dellaretta r edunvettore r nonnulloparalleloa r;
2. duepunti A e B distintidellaretta r;
3. duepiani π1 e π2 incidentilungo r.