Geometría Analítica e Álgebra Linear PDF
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Geometria Analítica e Álgebra Linear Lima, Elon Lages Geometria analítica e álgebra linear / Elon Lages Lima. 1.ed. Rio de Janeiro : IMPA, 2014 324 p. : il. ; 23 cm. (Coleção matemática universitária) Inclui bibliografia. e-ISBN 978-85-244-0383-5 1. Geometria Analítica. 2. Álgebra Linear. I. Título. II. Série. CDD-516.3 COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA Geometria Analítica e Álgebra Linear Elon Lages Lima INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA Copyright 2014 by Elon Lages Lima Impresso no Brasil / Printed in Brazil Capa: Rodolfo Capeto, Noni Geiger e Sérgio R. Vaz Ilustrações: Paulo Visgueiro Coleção Matemática Universitária Comissão Editorial: Elon Lages Lima S. Collier Coutinho Paulo Sad Títulos Publicados: • Análise Real, vol. 1: Funções de uma Variável – Elon Lages Lima • EDP. Um Curso de Graduação – Valéria Iório • Curso de Álgebra, Volume 1 – Abramo Hefez • Álgebra Linear – Elon Lages Lima • Introdução às Curvas Algébricas Planas – Israel Vainsencher • Equações Diferenciais Aplicadas – Djairo G. de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves • Geometria Diferencial – Paulo Ventura Araújo • Introdução à Teoria dos Números – José Plínio de Oliveira Santos • Cálculo em uma Variável Complexa – Marcio G. Soares • Geometria Analítica e Álgebra Linear – Elon Lages Lima • Números Primos: Mistérios e Recordes – Paulo Ribenboim • Análise no Espaço Rn – Elon Lages Lima • Análise Real, vol. 2: Funções de n Variáveis – Elon Lages Lima • Álgebra Exterior – Elon Lages Lima • Equações Diferenciais Ordinárias – Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes • Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial – Elon Lages Lima • Álgebra Linear. Exercícios e Soluções – Ralph Costa Teixeira • Números Primos. Velhos Mistérios e Novos Recordes – Paulo Ribenboim Distribuição: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ e-mail: [email protected] http://www.impa.br Pref´acio Embora seja geralmente a primeira coisa que se lˆe num livro, o prefa´cio ´e sempre a u´ltima a ser escrita. Tendo acabado de fazer a revis˜ao final das provas, antes de mandar o texto para impress˜ao, cumpre-me contar ao presum´ıvel leitor o que o livro cont´em e com que intenc¸a˜o o escrevi. Comecemos com o t´ıtulo. No estilo de antigamente, ele seria algo como “Compˆendio de Geometria Anal´ıtica e C´alculo Vetorial, servindo de introduc¸˜ao `a A´lgebra Linear.” Simplificando, restou “Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear”. Dito assim, fica a impress˜ao de que esses dois assuntos sa˜o tratados com a mesma extens˜ao. Naverdade, trata-seessencialmentedeumlivrodeGeometriaAnal´ı- tica, planaeespacial. Istosignifica, porumlado, oestudodaGeometria por meio da introduc¸˜ao de coordenadas e, por outro lado, o m´etodo de olhar para problemas de A´lgebra (e de Ana´lise) sob o ponto de vista da Geometria. Os vetores ocorrem inicialmente como instrumento para desenvolver a Geometria Anal´ıtica: muito u´teis no caso do plano e indispens´aveis no espac¸o. Em seguida percebe-se que a noc¸˜ao de dependˆencia (e inde- pendˆencia) linear de vetores ´e a chave para analisar o comportamento dos sistemas de equac¸˜oes lineares e a linguagem adequada para exprimir seus resultados. Neste ponto, estamos fazendo um pouco de A`lgebra Linear. A fim de identificar as cˆonicas e as superf´ıcies qu´adricas, precisamos estudar as formas quadr´aticas a duas e trˆes vari´aveis. Somos ent˜ao levados naturalmente a considerar matrizes sim´etricas 2 2 ou 3 3, × × seus autovalores e autovetores. Isto ´e A´lgebra Linear. Matrizes e determinantes ocorrem ainda na f´ormula de Gram para a ´area de um paralelogramo ou o volume de um paralelep´ıpedo. E, finalmente, transformac¸˜oes lineares sa˜o brevemente estudadas, no planoenoespac¸otridimensional,dando-sev´ariosexemplosemostrando- se como um sistema de substituic¸˜oes lineares transforma uma circun- ferˆencia numa elipse e uma esfera num elips´oide. Assim se mostra neste livro como o estudo da Geometria Anal´ıtica a duas e trˆes dimenso˜es conduz a noc¸˜oes b´asicas como dependˆencia linear, matrizes, formas quadr´aticas, autovalores, transformac¸˜oes li- neares, etc. Estes conceitos ser˜ao mais tarde sistematizados na A´lgebra Linear, a qual tera´ sua aprendizagem suavizada e tornada natural para os estudantes que j´a possuam uma experiˆencia pr´evia correspondente ao conteu´do do presente livro. Independente disso, ´e claro, a Geometria Anal´ıtica faz parte da cultura m´ınima necess´aria para estudos posteri- ores (ou simultaˆneos) de C´alculo, Ana´lise, Equac¸˜oes Diferenciais, etc. Os leitores aos quais este livro se destina sa˜o os alunos do primeiro ano da Universidade. Va´rios dos temas nele tratados constam, de uma forma mais superficial, do programa do Ensino M´edio mas este fato n˜ao ´e levado em conta aqui, ou seja, n˜ao admitimos que o leitor possua conhecimento anterior sobre o assunto. Os livros citados na bibliografia contˆem apresentac¸˜oes em certos pontos bem semelhantes a este, al´em de conterem uma ampla colec¸˜ao de exerc´ıcios que podera˜o complementar aqueles aqui propostos. E´ com grande satisfac¸˜ao que deixo consignados aqui meus agradeci- mentosaosProfessoresEduardoWagnerePauloCezarP.Carvalho, que colaboraram comigo nos livros que precederam este. Um agradecimen- to especial ´e devido ao Professor Jonas de Miranda Gomes pelo apoio, incentivo e valioso tempo investido na preparac¸˜ao deste livro. A todos, um abrac¸o amigo do autor. Rio de Janeiro, 25 de marc¸o de 2001. Elon Lages Lima Pref´acio da segunda edi¸c˜ao Nestaedic¸˜ao,foifeitaumarevis˜aoexaustivadotextoedosexerc´ıcios. Para tal, contei com a valiosa colaborac¸˜ao do Professor Florˆencio Gui- mar˜aes. Foram tamb´em refeitas diversas figuras, com a generosa par- ticipac¸˜ao do meu colega Moacyr Alvim. Al´em disso, acrescentei e mo- difiquei v´arios exerc´ıcios e reformulei a apresentac¸˜ao de alguns t´opicos, notadamente nas sec¸˜oes referentes a formas quadr´aticas. O volume in- teiro foi redigitado por Rog´erio Trindade. A todas esta pessoas, externo meu agradecimento. Rio de Janeiro, 25 de marc¸o de 2005. Elon Lages Lima Contents Introduc¸˜ao 1 Coordenadas na Reta 3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Coordenadas no Plano 8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Segmentos de Reta no Plano 15 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 A Distˆancia entre Dois Pontos 23 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Escolhendo o Sistema de Coordenadas 31 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Outros Tipos de Coordenadas 37 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 As Equac¸o˜es da Reta 40 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Aˆngulo entre Duas Retas 56 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Distˆancia de um Ponto a uma Reta 58 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3 A´rea de um Triˆangulo 62 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Desigualdades Lineares 66 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Equac¸˜ao da Circunferˆencia 75 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Reconhecimento da Equac¸˜ao da Circunferˆencia 80 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Vetores no Plano 85 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Operac¸o˜es com Vetores 92 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Equac¸˜ao da Elipse 103 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Equac¸˜ao da Hip´erbole 109 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Equac¸˜ao da Par´abola 115 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Mudanc¸a de Coordenadas 120 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Formas Quadr´aticas 129 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 A Equac¸˜ao Geral do Segundo Grau 139 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 O Sinal de uma Forma Quadr´atica 146 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Transformac¸o˜es Lineares 150 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Coordenadas no Espac¸o 164 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 As Equac¸o˜es Param´etricas de uma Reta 169 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Distˆancia entre Dois Pontos no Espac¸o 172 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Segmentos de Reta no Espac¸o 176 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Vetores no Espac¸o 181 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Equac¸˜ao do Plano 188 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares com Duas Inco´gnitas 194 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares com Trˆes Inco´gnitas 198 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Trˆes Equac¸o˜es Lineares com Trˆes Inco´gnitas 205 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Escalonamento (eliminac¸˜ao gaussiana) 220 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Operac¸o˜es com Matrizes 231 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Determinantes 240 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 A Regra de Cramer 248 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 O Determinante do Produto de Duas Matrizes 252 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
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