Geometria Analítica e Álgebra Linear

664 Pages·2017·3.32 MB·Portuguese

by  Reginaldo J. Santos

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a
U C G A
M URSO DE EOMETRIA NALÍTICA E
t
Á L
LGEBRA INEAR i
g
ReginaldoJ.Santos
DepartamentodeMatemátiica-ICEx
UniversidadeFederaldeMinasGerais
D
http://www.mat.ufmg.br/˜regi
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ó
C
ImprensaUniversitáriadaUFMG-BeloHorizonte
Julho2014
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a
UmCursodeGeometriaAnalíticaeÁlgebraLinear
t
Copyright(cid:13)c 2017byReginaldoJ.Santos(2017.4.5)
i
Nenhumapartedestapublicaçãopoderáserreproduzidaporqualquermeiosemapréviaautorização,por
escrito,doautor. g
Editor,CoordenadordeRevisão,SupervisordeProdução,CapaeIlustrações:
ReginaldoJ.Santos
i
ISBN85-7470-0D06-1
FichaCatalográfica
Santos,ReginaldoJ.
a
S237u UmCursodeGeometriaAnalíticaeÁlgebraLinear/ReginaldoJ.Santos
-BeloHorizonte: ImprensaUniversitáriadaUFMG,2017.
i
1. ÁlgepbraLinear 2. GeometriaAnalítica I.Título
CDD: 512.5
ó
516.3
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S
UMÁRIO
g
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D
APRESENTAÇÃO vii
1 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 OperaçõescomMatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
a
1.1.2 PropriedadesdaÁlgebraMatricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Aplicação:CadeiasdeMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
i
ApêndiceI:NotaçãodeSomatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2 SistemasdeEquaçõesLineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
p
1.2.1 MétododeGauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.2 MatrizesEquivalentesporLinhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.2.3 SistemasLinearesHomogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.2.4 Aplicaçóão:CadeiasdeMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2.5 MatrizesElementares(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
C
2 INVERSÃO DE MATRIZES E DETERMINANTES 69
2.1 MatrizInversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.1.1 PropriedadesdaInversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1.2 MatrizesElementareseInversão(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
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iv a Sumário
2.1.3 MétodoparaInversãodeMatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
t
2.1.4 Aplicação:InterpolaçãoPolinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.1.5 Aplicação:Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i. . . . . . . . . . . . . . . . 91
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .g. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.2.1 PropriedadesdoDeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.2.2 MatrizesElementareseoDeterminante(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
ApêndiceII:DemonstraçãodoTeorema2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
D
3 VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO 130
3.1 SomadeVetoreseMultiplicaçãoporEscalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.2 ProdutoEscalareProjeçãoOrtogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.2.1 NormaeProdutoEscalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.2.2 ProjeçãoOrtogonal . . . . . . .a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.3 ProdutosVetorialeMisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.3.1 ProdutoVetorial . . . i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.3.2 ProdutoMisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
p
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
ApêndiceIII:Demonstraçãodoitem(e)doTeorema3.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4 RETAS E PLANOSó 206
4.1 EquaçõesdoPlano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.1.1 EquaçãoGeral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.1.2 EquaçõesParamétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
C
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.2 EquaçõesdaReta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.2.1 EquaçõesParamétricaseEquaçãoVetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.2.2 EquaçõesnaFormaSimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
UmCursodeGeometriaAnalíticaeÁlgebraLinear GoBack GoForward Julho2014
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Sumário a v
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
t
4.3 ÂnguloseDistâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.3.1 Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i. . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.3.2 Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .g. . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5 ESPAÇOS Rn 278
5.1 IndependênciaLinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
i
5.1.1 OsEspaçosRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5.1.2 CombinaçãoLinear . . . . . . . . . . . . . . . . .D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
5.1.3 IndependênciaLinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.1.4 PosiçõesRelativasdeRetasePlanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
5.2 Subespaços,BaseeDimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
ApêndiceIV:OutrosResultados . . . . .a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.3 ProdutoEscalaremRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.3.1 ProdutoInterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.3.2 BasesOrtogonaiseOrtoinormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
p
5.4 MudançadeCoordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
5.4.1 Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
5.4.2 Translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
5.4.3 Aplicaçóão:ComputaçãoGráfica-ProjeçãoOrtográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
6 DIAGONALIZAÇÃO 384
C
6.1 DiagonalizaçãodeMatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
6.1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
6.1.2 AutovaloreseAutovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
6.1.3 Diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Julho2014 GoBack GoForward ReginaldoJ.Santos
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vi a Sumário
6.1.4 Aplicação:CadeiasdeMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
t
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
6.2 DiagonalizaçãodeMatrizesSimétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
i
6.2.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
6.2.2 MatrizesOrtogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .g. . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
ApêndiceV:AutovaloresComplexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
6.3 Aplicação:IdentificaçãodeCônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
i
6.3.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
6.3.2 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
6.3.3 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 486
BIBLIOGRAFIA 643
a
ÍNDICE ALFABÉTICO 647
i
p
ó
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UmCursodeGeometriaAnalíticaeÁlgebraLinear GoBack GoForward Julho2014
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A
PRESENTAÇÃO
g
i
D
EstetextocobreomaterialparaumcursodeumsemestredeGeometriaAnalíticaeÁlgebraLinearministrado
nosprimeirossemestresparaestudantesdaáreadeCiênciasExatas. Otextopode,masnãoénecessário,ser
acompanhadodeumprogramacomooMATLAB(cid:114)∗ouoMaxima.
Oconteúdoédivididoemseiscapítulos. OCapítulo1tratadasmatrizesesistemaslineares. Aquitodasas
propriedadesdaálgebramatricialsãodemoanstradas. Aresoluçãodesistemaslineareséfeitausandosomente
o método de Gauss-Jordan (transformando a matriz até que ela esteja na forma escalonada reduzida). Este
métodorequermaistrabalhodoqueométododeGauss(transformandoamatriz,apenas,atéqueelaestejana
formaescalonada). Elefoioescolhiido,porquetambéméusadonoestudodainversãodematrizesnoCapí-
tulo2.NesteCapítuloétambémestudadoodeterminante,queédefinidousandocofatores.Asdemonstrações
p
dosresultadosdestecapítulopodemser,acritériodoleitor,feitassomenteparamatrizes3×3.
OCapítulo3tratadevetoresnoplanoenoespaço. Osvetoressãodefinidosdeformageométrica, assim
comoasomaeamultiplicaçãoporescalar. Sãoprovadasalgumaspropriedadesgeometricamente. Depoissão
introduzidossistemasódecoordenadasdeformanaturalsemanecessidadedadefiniçãodebase. Osprodutos
escalarevetorialsãodefinidostambémgeometricamente. OCapítulo4trataderetaseplanosnoespaço. São
estudadosângulosedistânciasentreretaseplanos.
O CapítulCo 5 cobre a teoria dos espaços Rn. O conceito de dependência e independência linear é intro-
duzido de forma algébrica, acompanhado da interpretação geométrica para os casos de R2 e R3. Aqui são
estudadasasposiçõesrelativasderetaseplanoscomoumaaplicaçãodoconceitodedependêncialinear. São
∗MATLAB(cid:114)émarcaregistradadeTheMathworks,Inc.
l
viii a Sumário
tambémtratadososconceitosdegeradoresedebasedesubespaços. Sãoabordadostambémoprodutoescalar
t
ebasesortonormais. OCapítuloéterminadocommudançadecoordenadas,preparandoparaoCapítulode
diagonalização.
i
OCapítulo6trazumestudodadiagonalizaçãodematrizesemgeralediagonalizaçãodematrizessimétri-
casatravésdeumamatrizortogonal. Éfeitaumaaplicaçãoaoestudodasgseçõescônicas.
Osexercíciosestãoagrupadosemtrêsclasses. Os“ExercíciosNuméricos”,quecontémexercíciosquesão
resolvidosfazendocálculos,quepodemserrealizadossemaajudadeumcomputadoroudeumamáquinade
calcular. Os“ExercíciosTeóricos”, quecontémexercíciosquereqiueremdemonstrações. Algunssãosimples,
outrossãomaiscomplexos.Osmaisdifíceiscomplementamateoriaegeralmentesãoacompanhadosdesuges-
tões. Os“Exercíciosusandoo MATLAB(cid:114)”,quecontémexerDcíciosparaseremresolvidosusandoo MATLAB(cid:114)
ououtrosoftware. Oscomandosnecessáriosaresoluçãodestesexercíciossãotambémfornecidosjuntamente
com uma explicação rápida do uso. Os exercícios numéricos são imprescindíveis, enquanto a resolução dos
outros,dependedoníveledosobjetivospretendidosparaocurso.
(cid:114) (cid:114)
O MATLAB é um software destinado a fazer cálculos com matrizes (MATLAB = MATrix LABoratory).
(cid:114)
Oscomandosdo MATLAB sãomuitopróximosdaformacomoescrevemosexpressõesalgébricas,tornando
a
maissimplesoseuuso. Podemserincorporadosàsfunçõespré-definidas,pacotesdefunçõesparatarefases-
pecíficas. UmpacotechamadogaalcomfunçõesquesãodirecionadasparaoestudodeGeometriaAnalítica
e Álgebra Linear pode ser obtido na web na página do autor, assim como um texto com uma introdução ao
(cid:114) i (cid:114)
MATLAB einstruçõesdecomoinstalaropacotegaal.OMATLAB nãoéumsoftwaregratuito,emboraantes
aversãoestudantevinhagrátisaosecompraroguiadousuário.OMaximaéumprogramadecomputaçãoal-
p
gébricagratuito.AmbospodemserusadoscomoferramentaauxiliarnaaprendizagemdeGeometriaAnalítica
eÁlgebraLinear.Napáginadoautornawebpodemserencontradospacotesdefunçõesparaestesprogramas
alémdelinksparaaspáginasdoMaximaeváriaspáginasinterativasquepodemauxiliarnaaprendizagem.
Nofimdecadacapóítulotemosum“TestedoCapítulo”paraqueoalunopossaavaliarosseusconhecimen-
(cid:114)
tos. OsExercíciosNuméricoseosExercíciosusandooMATLAB estãoresolvidosapósoúltimocapítulo.
Gostariadeagradeceraosprofessoresquecolaboraramapresentandocorreções,críticasesugestões,entre
elesJoanaDaCrcA.S.daCruz,FranciscoDutenhefner,JorgeSabatucci,SemeGebara,AlexandreWashington,
VivaldoR.Filho, HamiltonP.Bueno, PauloA.F.Machado, HelderC.Rodrigues, NikolaiA.Goussevskii, Is-
raelVainsencher,LeopoldoG.Fernandes,RodneyJ.Biezuner,WilsonD.Barbosa,FlavianaA.Ribeiro,Cristina
Marques, Rogério S. Mol, Denise Burgarelli, Paulo C. de Lima, José Barbosa Gomes, Francisco Satuf, Viktor
UmCursodeGeometriaAnalíticaeÁlgebraLinear GoBack GoForward Julho2014
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Apresentação a ix
Beckkert, Moacir G. dos Anjos, Daniel C. de Morais Filho, Michel Spira, Dan Avritzer, Maria Laura M. Go-
t
mes,ArmandoNeves,MariaCristinaC.Ferreira,KennedyPedroso,MarcelodeO.TerraCunhaeMarceloD.
Marchesin.
i
g
Histórico
Julho2014 Algumas correções. As seções ’Produtos de Vetoresi’ e ’Retas e Planos’ foram divididas. Foram
acrescentadosexercíciosemalgumasseções. UmdeleséademonstraçãodaLeidosCossenos. Assolu-
çõesdosExercíciosNuméricos,comexceçãodasseçõeDs4.3,6.2e6.3,foramreescritaseagoranãousam
(cid:114)
oMATLAB .
Março2012 Algumascorreções. Váriasfigurasforamrefeitas. Foramacrescentadosoexercício6.3.16sobrea
propriedaderefletoradaelipseeoexercício6.3.17sobreapropriedaderefletoradahipérbole.
Julho2007,2009e2010 Algumascorreções. Asrespostasdealgunsexercíciosforamreescritas. Mudançana
a
formataçãodotexto. Váriasfigurasforamrefeitas.
Março2007 Váriasfigurasforamrefeitaseoutrasacrescentadas. ForamreescritosoExemplo3.12eoCorolá-
i
rio3.10. Naseção5.2umexemplofoireescritoeacrescentadomaisum. OsExemplos5.25e5.26foram
reescritos,saíramdoapênpdiceevoltaramaotextonormal.Aseção5.4’MudançadeCoordenadas’foire-
escritaeacrescentadaumaaplicaçãoàcomputaçãográfica.Foramacrescentadosdoisexercíciosnaseção
’Matrizes’, umem’InversãodeMatrizes’, umemseção’Determinantes’, doisem’ProdutodeVetores’,
um em ’Subespaços’, um em ’Produto Escalar em Rn’, três em ’Mudança de Coordenadas’, quatro em
ó
’DiagonalizaçãodeMatrizes’eumem’DiagonalizaçãodeMatrizesSimétricas’.Foramcorrigidosalguns
erros.
Julho2006 FCoi acrescentado o Exemplo 2.16 na página 113. A seção ’Produtos de Vetores’ foi reescrita. Foi
acrescentadoumexercícionaseção4.2. OCapítulo5foireescrito. Foramcorrigidosalgunserros.
Março2006 A Seção 1.1 de Matrizes e a Seção 2.2 de Determinantes foram reescritas. Na seção 1.2 o Teo-
rema1.4voltouaserquetodamatrizéequivalenteporlinhasaumaúnicamatriznaformaescalonada
Julho2014 GoBack GoForward ReginaldoJ.Santos
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x aApresentação
reduzida. ForamacrescentadosváriosexercíciosaosCapítulos3e4. OCapítulo5foireescrito. Foram
t
acrescentadosexercíciosteóricosàseção’AplicaçãoàCônicas’.
i
Julho2004 Foram acrescentadas aplicações à criptografia (Exemplo na página 91) e a cadeias de Markov
(Exemplos 1.9 na página 16, 1.16 na página 49 e 6.8 na página 404). Foi acrescentado um exercício na
g
seção 1.1. O Teorema 1.4 agora contém as propriedades da relação “ser equivalente por linhas” com a
demonstração. OqueanteseraExemplo1.14passouparaolugardoExemplo1.10. OExemplo2.5foi
modificado. No Capítulo 3 foram acrescentados 2 exercícios na seção 3.1, 1 exercício na seção 3.2. No
i
Capítulo 4 a seção 4.1 foi reescrita e foram acrescentados 2 exercícios. O Capítulo 5 foi reescrito. Foi
incluída no Apêndice III da seção 5.2. a demonstração de que a forma escalonada reduzida de uma
D
matrizéúnica. Aseção’DiagonalizaçãodeMatrizes’ganhoumaisumexercícioteórico.
Setembro2003 FoiacrescentadaaregradeCramernaseção’Determinantes’(Exemplo2.20). Aseção’Subes-
paços,BaseeDimensão’foireescrita.Foiacrescentadoumapêndiceaestaseçãocom’Outrosresultados’.
AProposição5.15daseção’ProdutoEscalaremRn foireescrita. Aseção’DiagonalizaçãodeMatrizes’
ganhoumaisdoisexercíciosteóricos. Aseção’DiagonalizaçãodeMatrizesSimétricas’ganhouumapên-
a
dicesobre’AutovaloresComplexos’.
Novembro2002 Várias correções incluindo respostas de exercícios. A seção ’Subespaços, Base e Dimensão’
ganhoumaisumexemploeumiexercício. Aseção’DiagonalizaçãodeMatrizesSimétricas’ganhoumais
umexemplo.
p
Julho2001 Revisãocompletanotexto. Novosexercíciosnasseções’Matrizes’e’SistemasLineares’. Asseções
’Subespaços’ e ’Base e Dimensão’ tornaram-se uma só. A seção ’Mudança de Coordenadas’ passou do
Capítulo6paraoCapítulo5.
ó
Julho2000 Criadoapartirdotexto’GeometriaAnalíticaeÁlgebraLinear’paraserusadonumadisciplinade
GeometriaAnalíticaeÁlgebraLinear.
C
UmCursodeGeometriaAnalíticaeÁlgebraLinear GoBack GoForward Julho2014