Geometria analitica di base

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Geometria
analitica di base
(seconda parte)
SAPERE SAPER FARE
Al termine di questo capitolo, avrai appreso: Al termine di questo capitolo, sarai in grado di:
il concetto di luogo geometrico individuare il grafico di una funzione
la definizione di funzione quadratica quadratica
l’interpretazione geometrica di un particolare risolvere graficamente un particolare
sistema di equazioni di secondo grado sistema di equazioni di secondo grado
l’interpretazione geometrica di un’equazione risolvere graficamente un’equazione
di secondo grado in una sola incognita numerica intera di secondo grado in una
l’interpretazione geometrica di un particolare sola incognita
sistema di equazioni di quarto grado risolvere graficamente un particolare
la definizione di funzione di proporzionalità sistema di equazioni di quarto grado
inversa individuare il grafico di una funzione
di proporzionalità inversa
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PARTE
2
Equazioni, disequazioni, sistemi
di grado superiore al primo
nel piano cartesiano
Geometria
analitica
di base Equazione di un luogo geometrico
(seconda
parte) Non è possibile dare la definizione di linea curva.
La sua idea nasce facendo scorrere la punta di una matita su un foglio e immaginando che
si estenda all’infinito da entrambe le parti.
Una curva può essere intesa come un luogo geometrico ovvero come l’insieme di tutti e soli
i punti del piano che soddisfano una certa proprietà. Poiché un punto qualsiasi del piano
cartesiano è esprimibile mediante le coordinate generiche (x; y), tale proprietà può essere
rappresentata dall’equazione di una funzione della forma f(x, y) = 0 che esprime in simboli il
legame tra l’ascissa, rappresentata dalla lettera x, e l’ordinata, rappresentata dalla lettera y,
di un punto qualsiasi della curva stessa.
Funzione quadratica
È noto che, quando a ciascun numero appartenente a un sottoinsieme D dell’insieme R
viene associato uno e un solo numero reale y, si dice che è definita una funzione reale di
variabile reale f sull’insieme D.
La funzione avente per dominio Re così definita: f: x a ax2+ bx+ c, con a, b,c ∈R ∧a≠ 0,
che a x associa f(x) = ax2 + bx + c, prende il nome di funzione quadratica.
DEFINIZIONE
La funzione quadratica è la funzione avente dominio D = R e equazione:
y = ax2 + bx + c, con a ∈R e b, c ∈R
0
CASIPARTICOLARI
Se a= 0, b≠ 0 e c≠ 0, l’equazione f(x) = ax2+ bx+ c assume la forma f(x) = bx+ c
che rappresenta l’equazione della funzione affine.
Se a= 0, b≠ 0 e c= 0, l’equazione f(x) = ax2+ bx+ c assume la forma f(x) = bx
che rappresenta l’equazione della funzione lineare.
Se a≠ 0, b= 0 e c= 0, l’equazione f(x) = ax2+ bx+ c assume la forma f(x) = ax2
che rappresenta l’equazione della funzione della proporzionalità diretta al
quadrato.
esempio
• f(x) = 3x2 + 5x + 1 è una funzione quadratica.
La seguente tabella illustra i valori assunti da y = f(x) al variare di x nell’insieme
D = {1, 5, 8, 9}.
x 1 5 8 9
f(x) 3 ⋅ 12 + 5 ⋅ 1 + 1 = 9 101 233 289
64
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PARTE
2
• y = 3x2 è una funzione di proporzionalità diretta al quadrato.
La seguente tabella illustra i valori assunti da y = f(x) al variare di x nell’insieme
D = {1,2,3,4,6,8,12}.
Geometria
x 1 2 3 4 6 8 12
analitica
di base
f(x) 3 12 27 48 108 192 432
(seconda
parte)
Dalla tabella si evince facilmente che, se x raddoppia, y quadruplica, ovvero diventa
22= 4 volte più grande; se xtriplica, ydiventa 32= 9 volte più grande; se xquadrupli-
ca, y diventa 42 = 16 volte più grande, ….
Rappresentazione grafica di una funzione quadratica
È noto che le coordinate di un punto appartenente a una retta, sostituite alle variabili del-
l’equazione della retta stessa, trasformano l’equazione in un’uguaglianza numerica vera e,
in tal caso, si dice anche che le coordinate soddisfano l’equazione della retta.
La stessa proprietà può essere generalizzata alle curve per cui, se le coordinate di un punto,
sostituite alle variabili dell’equazione di una curva, trasformano l’equazione in un’ugua-
glianza numerica vera, allora il punto appartiene alla curva. Viceversa, se un punto appar-
tiene a una curva, allora le sue coordinate, sostituite alle variabili dell’equazione della
curva, trasformano l’equazione in un’uguaglianza numerica vera.
La rappresentazione grafica di una funzione quadratica in un piano cartesiano è una curva
che prende il nome di parabola.
Essa è l’insieme di tutti i punti del piano aventi coordinate (x; ax2 + bx + c).
Per tracciare una parabola nel piano cartesiano, è necessario conoscere e congiungere un
congruo numero di suoi punti.
Cercare le coordinate di tali punti significa individuare un certo numero di coppie di
numeri x e y che si ottengono dall’equazione della funzione quadratica (associata alla
parabola) assegnando a x dei valori reali e ricavando, per ciascuno di essi, i corrispon-
denti valori di y.
Si esaminino i seguenti casi:
caso 1 : a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0;
caso 2 : a ≠ 0, b = 0 e c = 0.
Caso 1: a ≠≠ 0, b ≠≠ 0 e c ≠≠ 0
È utile tener presenti alcune proprietà che caratterizzano la parabola e che saranno studia-
te in modo approfondito nei prossimi anni scolastici.
• Una parabola di equazione y= ax2+ bx+ cè dotata di un asse di simmetria parallelo all’as-
b
se y, di equazione x=− .
2a
Preso un punto qualsiasi della parabola, il suo simmetrico rispetto all’asse di simmetria
è un punto della parabola.
• Se il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, a > 0, la parabola rivolge la
sua concavità verso la direzione positiva dell’asse y; se a < 0, la parabola rivolge la sua
concavità verso la direzione negativa dell’asse y.
65
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PARTE
• La parabola e il suo asse di simmetria hanno un punto V in comune, detto vertice della
2
parabola. Le sue coordinate,
⎛ b b2−4ac⎞
V⎜− ;− ⎟
⎝ 2a 4a ⎠
Geometria
analitica
di base si individuano risolvendo il sistema tra l’equazione della parabola e l’equazione dell’as-
(seconda
se di simmetria:
parte)
⎧y=ax2+bx+c
⎪
⎨
b
⎪x=−
⎩ 2a
Se la parabola rivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell’asse y, l’ordinata
del suo vertice corrisponde al valore minimo che la funzione quadratica può assumere;
se la parabola rivolge la sua concavità verso la direzione negativa dell’asse y, l’ordinata
del suo vertice corrisponde al valore massimo che la funzione quadratica può assumere.
• Le coordinate dell’eventuale punto di intersezione tra una parabola e l’asse ysono (0; c)
e si determinano risolvendo il sistema tra l’equazione della parabola e l’equazione del-
l’asse y:
⎧y=ax2+bx+c
⎨
⎩x=0
Asse di simmetria
y
y Vertice
V
4
4
3
c 2
3 Vertice
1
c 2
–2 –1 1 2 3 x
1
–1
–1 1V 2 3 x –2
a > 0 Vertice a < 0
Concavità verso la direzione positiva Concavità verso la direzione negativa
dell’asse y dell’asse y
Caso 2: a ≠ 0, b = 0 e c = 0
Se a≠ 0, b= 0 e c= 0,l’equazione f(x) = ax2+ bx+ c assume la forma f(x) = ax2,che rap-
presenta l’equazione della funzione della proporzionalità diretta al quadrato. Il suo gra-
fico è una parabola avente vertice nell’origine del piano cartesiano e l’asse y per asse di
simmetria.
Si demanda allo studente di esaminare i casi:
a = 0, b ≠ 0 e c ≠ 0;
a = 0, b ≠ 0 e c = 0.
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PARTE
esempio 2
Individuare le coordinate del vertice, l’equazione dell’asse di simmetria e la concavità
delle parabole che corrispondono alle seguenti equazioni:
• y = 3x2 − 5x + 2. All’equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una para-
Geometria
bola che rivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell’asse y, che ha verti-
analitica
ce nel punto: di base
(seconda
V⎜⎛5;− 1 ⎞⎟ e asse di simmetria di equazione: x= 5 parte)
⎝6 12⎠ 6
• y= −3x2+ 5x+ 2. All’equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una para-
bola che rivolge la sua concavità verso la direzione negativa dell’asse y, che ha verti-
ce nel punto:
⎛5 49⎞ 5
V⎜ ; ⎟ e asse di simmetria di equazione: x=
⎝6 12⎠ 6
• y = 3x2. All’equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una parabola che
rivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell’asse y, che ha vertice nell’ori-
gine e per asse di simmetria l’asse y.
y
3
2
1
–1 1 2 x
• y = −3x2. All’equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una parabola che
rivolge la sua concavità verso la direzione negativa dell’asse y, che ha vertice nell’ori-
gine e per asse di simmetria l’asse y.
y
–1 1 x
–1
–2
–3
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PARTE
2
• Tracciare il grafico della funzione di equazione: f(x) = |x2 − 9|.
Tenendo conto di quanto già studiato riguardo alla funzione modulo, la funzione di
equazione: f(x) = |x2 − 9| è così definita:
Geaonmaleittirciaa f(x)=⎧⎨⎪x2−9 se x2−9≥0 ⇒ f(x))=⎧⎨⎪x2−9 se x≤−3∨x≥3
di base ⎩⎪−x2+9 se x2−9<0 ⎩⎪−x2+9 se −3< x<3
(seconda
parte)
Il grafico della funzione di equazione f(x) = |x2 – 9| è quindi dato:
• dal tratto del grafico della parabola di equazione y= x2– 9 (che rivolge la sua conca-
vità verso la direzione positiva dell’asse y) appartenente al semipiano positivo dell’as-
se y e corrispondente alle x appartenenti all’insieme (–∞, –3] ∪ [3, +∞);
• dal tratto della parabola di equazione y= 9 – x2(che rivolge la sua concavità verso la
direzione negativa dell’asse y) corrispondente alle x appartenenti all’insieme (–3, 3)
“riportato” al di sopra dell’asse delle x.
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x
–1
–2
Risoluzione grafica di un particolare sistema di equazioni
di secondo grado
Risolvere graficamente in un piano cartesiano un sistema di secondo grado costituito da
un’equazione numerica intera di secondo grado in due incognite, della forma y= ax2+ bx+ c
(equazione di unafunzione quadratica), e da un’equazione numerica intera di primo grado
nelle stesse due incognite (equazione di unafunzione affine), della forma y= mx+ q, signi-
fica individuare le posizioni reciproche della parabola corrispondente all’equazione di
secondo grado e della retta corrispondente all’equazione di primo grado.
Tre sono i casi possibili e, ovviamente, per ciascuno di essi, vale anche il viceversa.
• Se retta e parabola sono secanti e si intersecano in due punti diversi, allora il sistema è
determinato in R (il discriminante dell’equazione risolvente del sistema è maggiore di
zero: Δ> 0) e le coordinate dei due punti di intersezione rappresentano le due coppie di
numeri reali soluzioni del sistema (le eventuali soluzioni reali dell’equazione risolvente
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PARTE
sono le ascisse dei punti di intersezione; le ordinate si individuano sostituendo le solu-
2
zioni in una delle due equazioni del sistema).
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
• Se retta e parabola sono tangenti (si intersecano in un solo punto), allora il sistema è
determinato in R(il discriminante dell’equazione risolvente del sistema è uguale a zero:
Δ = 0) e le coordinate del punto di intersezione rappresentano la coppia di numeri reali
soluzione del sistema.

• Se retta e parabola sono l’una esterna all’altra (non si intersecano in alcun punto), allo-
ra il sistema è impossibile in R (il discriminante dell’equazione risolvente del sistema è
minore di zero: Δ < 0).
CASIPARTICOLARI
Ai tre casi precedenti si deve aggiungere il caso particolare relativo all’interse-
zione della parabola con una retta parallela al suo asse di simmetria o coinciden-
te con uno degli assi cartesiani. Se retta e parabola sono secanti e si intersecano
in un solo punto, allora il sistema è determinato in Re le coordinate del punto di
intersezione rappresentano la coppia di numeri reali soluzione del sistema.

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PARTE
2 esempio
Risolvere graficamente il seguente sistema:
⎧y=3x2−4x+1
Geometria ⎨
analitica ⎩y= x−1
di base
(seconda
parte) La parabola di equazioney= 3x2− 4x+ 1 e la retta di equazione y= x− 1 devono esse-
re rappresentate graficamente in un piano cartesiano, al fine di individuare le loro even-
tuali intersezioni.
y
2
1
P
x
1 2
Q
–1
La rappresentazione grafica informa che parabola e retta si intersecano in due punti.
La risoluzione algebrica conferma ciò che si deduce dal grafico:
⎧y=3x2−4x+1 ⎧x−1=3x2−4x+1
⎨ ⇒⎨
⎩y= x−1 ⎩y= x−1
L’equazione risolvente è:
3x2 − 5x + 2 = 0, con Δ > 0
Se si risolve il sistema, si ottengono le coordinate dei punti di intersezione.
La parabola e la retta sono secanti e si intersecano nei due punti
⎛2 1⎞
P(1;0) e Q⎜ ;− ⎟
⎝3 3⎠
70
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PARTE
2
Individuare le intersezioni della parabola di equazioney= 3x2− 4x+ 1 con le rette aven-
ti le seguenti equazioni:
• y = 2x − 2.
Dalla rappresentazione grafica si deduce che la parabola di equazioney = 3x2 − 4x + 1
Geometria
e la retta di equazione y = 2x − 2 sono tangenti nel punto (1; 0): analitica
di base
(seconda
y
parte)
1
x
–1
–2
La risoluzione algebrica conferma ciò che si deduce dal grafico:
⎧y=3x2−4x+1 ⎧2x−2=3x2−4x+1
⎨ ⇒⎨
⎩y=2x−2 ⎩y=2x−2
L’equazione risolvente è: 3x2− 6x+ 3 = 0, con Δ= 0. Se si risolve il sistema, si otten-
gono le coordinate del punto di intersezione: (1; 0).
• y = x − 2
Dalla rappresentazione grafica si deduce che la parabola di equazioney= 3x2− 4x+ 1
e la retta di equazione y= x− 2 sono l’una esterna all’altra (la parabola e la retta non
si intersecano in alcun punto).
y
2
1
1 2 x
–1
–2
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PARTE
2
La risoluzione algebrica conferma ciò che si deduce dal grafico:
⎧y=3x2−4x+1 ⎧x−2=3x2−4x+1
⎨ ⇒⎨
⎩y= x−2 ⎩y= x−2
Geometria
analitica L’equazione risolvente è: 3x2 − 5x + 3 = 0, con Δ < 0.
di base
(seconda
parte) • Individuare le intersezioni della parabola di equazioney= 3x2− 4x+ 1 con la retta di
equazione: x = 2.
Dalla rappresentazione grafica si deduce che la parabola e la retta hanno un solo punto
in comune, P(2;5), ma non sono tangenti (infatti la retta di equazione: x= 2 è paralle-
2
la all’asse di simmetria della parabola, che ha equazione x= ).
3
y
7
6
5
4
3
2
1
–2 –1 1 2 3 x
–1
La risoluzione algebrica conferma ciò che si deduce dal grafico:
⎧y=3x2−4x+1 ⎧y=12−8+1 ⎧y=5
⎨ ⇒⎨ ⇒⎨
⎩x=2 ⎩x=2 ⎩x=2
La parabola e la retta si intersecano nel punto di coordinate (2; 5).
Risoluzione grafica di un’equazione numerica intera
di secondo grado in una sola incognita
In virtù di quanto già appreso, un’equazione numerica intera di secondo grado in una sola
incognita, della forma ax2 + bx + c = 0, con a, b, c ∈R e a ≠ 0, può essere considerata
l’equazione risolvente del seguente sistema di secondo grado:
⎧y=ax2+bx+c→equazione di una parabola
⎨
⎩y=0 →equazione dell'asse x
Risolvere graficamentel’equazione significa quindi cercare le ascisse dei punti di interse-
zione della parabola con l’asse x.
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