Geometría analítica del plano

25 Pages·2005·0.68 MB·Spanish

CURSO PAU 25: MATEMÁTICAS

Tema 5

UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano

1. ÍNDICE
1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales
2. Distancia entre dos puntos del plano
3. Coordenadas del punto medio de un segmento
4. La recta en el plano
5. Pendiente de la recta
6. Distintas formas de la ecuación de la recta
7. Ecuación de la recta conocidos un punto y la pendiente
8. Ecuación de la recta conocidos dos puntos
9. Posiciones relativas de dos rectas en el plano
10. Distancia de un punto a una recta
11. Distancia entre dos rectas paralelas

2. INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES PARA EL
ESTUDIO
En esta unidad didáctica vamos a introducir la representación gráfica de puntos y
rectas en el plano, utilizando como sistema de referencia los ejes cartesianos.
Conoceremos las distintas formas de expresar algebraicamente una recta, el concepto
de pendiente de una recta, así como, calcular la ecuación de la recta conocido un
punto y la pendiente ó conocidos dos puntos. Dadas dos rectas, aprenderemos a
conocer sus posiciones relativas, es decir, si son parelelas, coincidentes, si se cortan y
en este caso saber si son ó no perpendiculares. Finalmente, también introducimos las
fórmulas para calcular la distancia entre dos puntos, un punto y una recta y dos rectas
paralelas.

3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Saber representar puntos en el plano
• Saber representar rectas en el plano
• Entender el concepto de pendiente de una recta
• Conocer las distintas formas de representar una recta

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• Saber calcular la ecuación algebraica de la recta a partir de la representación
gráfica, dados dos puntos ó un punto y la pendiente
• Saber calcular la distancia entre dos puntos, entre un punto y una recta y, entre
dos rectas paralelas.

4. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales
Los ejes coordenados son dos rectas perpendiculares donde se representan
conjuntos numéricos (en general representaremos números reales).
El eje horizontal se denomina eje de abscisas (eje de las x) y es una recta que
tiene un origen en el punto O, el cual determina dos semirrectas, de las que una es
positiva (a la derecha de O) y otra negativa (a la izquierda de O).
A cada punto de la recta le corresponde un número

El eje vertical se denomina eje de ordenadas (eje de las y) y es una recta que
tiene un origen en el punto O, el cual determina dos semirrectas; una positiva (del
origen hacia arriba) y otra negativa (del origen hacia abajo).
A cada punto de la recta le corresponde un número.

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Cuando se consideran los dos ejes conjuntamente estamos ante un sistema de
coordenadas cartesianas. Dicho sistema permite representar puntos en el plano.
Cada punto del plano viene determinado por un par de valores ordenados (el
primero de abscisas y el segundo de ordenadas).
Para representar un punto en el plano tomamos el valor de la abscisas y
levantamos un segmento perpendicular con la medida de la ordenada.

El plano cartesiano es el conjunto formado por todos los pares ordenados de
números reales. Dicho plano se representa por el símbolo RxR, o por su
equivalente R2.

{ }
R2 = (x,y) x,y˛ R

Un sistema de ejes cartesianos determina cuatro cuadrantes (ángulos en el plano).

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Como se puede observar en la figura, según en qué cuadrante esté situado el
punto, los signos de los valores de abscisas y ordenadas serán distintos.
Un sistema de ejes cartesianos permite, por tanto:

a) Dada una serie de pares de valores ordenados, representar los puntos
correspondientes en el plano.
b) Dada una serie de puntos representados en el plano determinar una serie de
pares de valores correspondientes.

Ejemplos:
1. Representar los puntos: (2,2), (-1,4), (-4,0), (0,5), (4,-3), (-2,-6)

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2. Dada la siguiente tabla de valores, representar los puntos.

x 1 2 3 -2 -4
y 3 4 6 4 -5

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3. Dada la siguiente gráfica, escribir los pares de valores correspondientes y
formar una tabla con ellos.

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2. Distancia entre dos puntos del plano
Sean (x, y ), (x , y ) dos puntos del plano cartesiano. Su distancia viene
1 1 2 2
determnada por la expresión:

[ ] ( ) ( )
dist (x ,y ),(x ,y ) = x - x 2 + y - y 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Ejemplo:
Hallar la distancia entre los puntos (2,3) y (6,7).
[ ]
dist (2,3),(6,7) = (2- 6)2 +(3- 7)2 = 42 +42 = 32
3. Coordenadas del punto medio de un segmento
Las coordenadas del punto medio de un segmento (x , y ) cuyos extremos vienen
m m
dados por los puntos (x, y ), (x, y ) son:
1 1 2 2
x + x y + y
x = 1 2 y = 1 2
m 2 m 2
Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son:
(2,1) y (4,3)

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2+4 1+3
x = =3 y = =2
m 2 m 2
es decir, el punto medio tiene de coordenadas (3,2).

4. La recta en el plano
Una recta en el plano puede ser vertical, horizontal u oblicua. Las rectas verticales
tienen una ecuación de la forma x=cte.

Las rectas horizontales tienen una ecuación de la forma y=cte.

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Las rectas oblicuas tienen como ecuación: y=ax+b (a „ 0).

5. Pendiente de la recta
a) y=x-4

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Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la
ordenada también aumenta 1 unidad.

Si la abscisa aumenta 2 unidades, la
ordenada aumenta 2 unidades.

Observemos que los cocientes entre la
variación de la ordenada y la variación
de la abscisa son constantes e iguales al
valor de la pendiente.

b) y = - 3 x +2

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