Geometria algebrica 1

169 Pages·2014·3.23 MB·Italian

Josef Eschgfa¨ller
Geometria algebrica 1
Insiemialgebriciaffini
Ferrara ! 2012
JosefEschgfa¨ller
DipartimentodiMatematica
Universita` diFerrara
Copyright:@2012JosefEschgfa¨ller
epubliGmbH-VerlagsgruppeHoltzbrinck
www.epubli.de
ISBN978-3-8442-2802-1
Indice
I. INSIEMIALGEBRICIAFFINI
1. IlteoremadellabasediHilbert 1
2. Operazionielementaricongliideali 6
3. Idealiprimieradicale 9
4. Algebrecommutativefinitamentegenerate 18
5. LoschemadiRuffininell’anellodeipolinomi 21
6. L’anelloA 24
f
7. Estensionidicampi 31
8. Ilprincipiodiidentificazioneaposteriori 37
9. Laformaastrattadelteoremadeglizeri 39
10. Ilteoremadeglizeriper|K|>|N| 41
11. Ilteoremadeglizerinelcasogenerale 43
12. Ilteoremadelradicale 46
13. K-algebrepolinomialisonoanellidiJacobson 47
14. Insiemialgebriciaffini 49
15. Spazitopologiciirriducibili 57
16. Spazitopologicinoetheriani 64
17. Anellilocali 67
18. IllemmadiNakayama 72
19. Anellidifrazioni:Ilcasogenerale 76
20. Modulidifrazioni 85
21. Localizzazioneinunidealeprimo 89
22. Applicazionipolinomialitrainsiemiaffini 93
23. L’anelloO(X)∼=Γ(X)dellefunzionipolinomiali 97
24. LabiiezionetraO(X,Y)eHom (O(Y),O(X)) 101
K-algebre
25. Proprieta` intrinsechediapplicazionipolinomiali 109
26. K-algebrepolinomialiridotte 115
27. UnastimaperladimensionediA[x] 118
28. Primiesempi 125
29. Categorie 141
30. Funtorietrasformazioninaturali 146
31. Equivalenzadicategorie 155
32. UnadimostrazioneelementaredidimK[n]=n 159
i

I. INSIEMI ALGEBRICI AFFINI
1. Il teorema della base di Hilbert
Modulifinitamentegenerati.Anelliemodulinoetheriani.Inunsottomodulodi
unmodulonoetherianodaogniinsiemegeneratoresipuo`estrarreunsottoinsie-
megeneratorefinito.Coefficientedirettorediunpolinomio.Teoremadellabase
diHilbert:SeAe` noetheriano,ancheA[x]e` noetheriano.DimostrazionediHei-
drunSargesdelteoremadellabase. Ogniimmaginesuriettivadiunmoduloo
diunanellonoetherianoe`noetheriana.Ogniinsiemealgebricoe`intersezionedi
unnumerofinitodiipersuperfici.L’idealegeneralizzatoJ(X).Esempidianelli
nonnoetheriani.
Situazione1.1.SiaAunanellocommutativo(cfr.oss.1.20).
Quandononindicatodiversamente,denotiamoconx,x1,x2,...indetermi-
nate.
Definizione1.2.PerunA-moduloM edunsottoinsiemeE ⊂M denotiamo
conA E ilsottomodulodiM generatodaE:
!
A!E :={a1e1+...+akek |e1,...,ek ∈E eda1,...,ak ∈A}
conlaconvenzioneA ∅=0.QuandoAe` sottinteso,scriviamotalvoltaanche
!
semplicemente E.
!
Pere1,...,em ∈M scriviamospessoA!(e1,...,em)invecediA!{e1,...,em}.
EvidentementeA!(e1,...,em)=Ae1+...+Aem.
Definizione 1.3. Un A-modulo M si dice finitamente generato, se esiste un
sottoinsiemefinitoE ⊂M talecheM =A E.
!
Definizione 1.4. Un A-modulo M si dice noetheriano, se ogni sottomodulo
diM e` finitamentegenerato.
L’anelloAsidicenoetheriano,see` noetherianocomemodulosusestesso.
E` chiaro che cio` equivale alla condizione che ogni ideale di A e` finitamente
generato. Infatti l’unico sottomodulo di A che non sia un ideale e` A stesso.
MaA=A 1e` semprefinitamentegenerato.
!
Osservazione1.5.Ognicampoe` noetheriano,essendo0ilsuounicoideale.
Ognianelloadidealiprincipali e` noetheriano,equindianche Ze` unanello
noetheriano.
Proposizione1.6.PerunA-moduloM sonoequivalenti:
(1)M e` noetheriano.
(2)PerognicatenanonvuotaC disottomodulidiM siha ! N ∈C.
N∈C
(3)OgniinsiemenonvuotodisottomodulidiM possiedeunelementomas-
simale.
(4)Perognisuccessioneinfinitaascendente
M0 ⊂M1 ⊂M2 ⊂...
disottomodulidiM esisteunk ∈NtalecheMi =Mk perognii≥k.
1
(5)Perognisuccessioneinfinitaascendente
M0 ⊂M1 ⊂M2 ⊂...
di sottomoduli finitamente generati di M esiste un k ∈ N tale che Mi = Mk
perognii≥k.
Dimostrazione. (1) =⇒ (2): Consideriamo una catena C =& ∅ di sottomo-
duli di M. Allora P := ! N e` un sottomodulo di M. Per ipotesi P e` fini-
N∈C
tamentegenerato. Percio` esistonoe1,...,ek ∈ P talicheP = A!(e1,...,ek).
Siccome C e` una catena, possiamo trovare un N ∈ C tale che e1,...,ek ∈ N.
Cio` implicaP ⊂N.SiccomeovviamenteN ⊂P,abbiamoP =N ∈C.
(2) =⇒ (3):Cio` seguedallemmadiZorn.
(3) =⇒ (4):Chiaro.
(4) =⇒ (5):Chiaro.
(5) =⇒ (1):SiaN unsottomodulodiM.Assumiamo,perassurdo,cheN
non sia finitamente generato. Scegliamo e1 ∈ N. Per ipotesi A!(e1) &= N,
per cui esiste e2 ∈ N \A!(e1). Ovviamente A!(e1) ! A!(e1,e2). Per ipotesi
A!(e1,e2)&=N,percuiesistee3 ∈N\(A!(e1,e2)).OvviamenteA!(e1,e2)!
A!(e1,e2,e3).
Continuando in questo modo otteniamo una successione infinita ascen-
dente
A!(e1)!A!(e1,e2)!A!(e1,e2,e3)!...
disottomodulifinitamentegeneratidiN,incontrastoconl’ipotesi.
Questecaratterizzazionidellanoetherianita` siusanocontinuamente!
Proposizione1.7.SiaM unA-modulonoetheriano.Alloraperognisottoin-
siemeE ⊂M conE &=∅esistonoe1,...,em ∈EtalicheA!E =A!(e1,...,em).
Dimostrazione.Sia,perassurdo,E unsottoinsiemenonvuotodiM peril
qualel’enunciatononsiavero.SiaN :=A E.
!
Scegliamo e1 ∈ E in modo arbitrario e poniamoE1 := {e1}, N1 := A!(e1).
PeripotesiN &=N1,quindiE &⊂E1,cosicche´ possiamoscegliereunelemento
e2 ∈E\E1;poniamopoiE2 :={e1,e2}=E1∪{e2}eN2 :=A!(e1,e2).Dinuovo
troviamoe3 ∈E\E2 epossiamoporreE3 :=E2∪{e3}eN3 :=A!(e1,e2,e3).
Continuandoinquestomodotroviamounasuccessioneascendenteinfini-
ta N1 ! N2 ! N3 ! ... di sottomoduli di M, in contrasto con il punto (4)
dellaprop.1.6.
Lemma 1.8. Siano M un A-modulo noetheriano ed e1,e2,e3,... una succes-
sioneinfinitadielementidiM.Alloraesistonoα∈Nec1,...,cα ∈Ataliche
eα+1 =c1e1+...+cαeα.
Dimostrazione.E` sufficienteconsiderarelasuccessionedisottomoduli
A!(e1)⊂A!(e1,e2)⊂A!(e1,e2,e3)⊂...
Definizione 1.9. Per un polinomio f = a0xn+a1xn−1+...+an ∈ A[x] con
a0 &=0poniamogradof :=nef(:=a0.
2
Perilpolinomio0poniamogrado0:=−1(talvolta−∞)e0(:=0.
Perognif ∈A[x]l’elementof(∈Asichiamailcoefficientedirettoredif.
Pern∈NdenotiamoinoltreconA[x]n l’insiemedeipolinomidigradonin
A[x]insiemealpolinomio0.Quindi0∈A[x]n perognin∈N.
Teorema1.10(teoremadellabasediHilbert).Asianoetheriano.Allora
ancheA[x]e` noetheriano.
Dimostrazione.Ladimostrazioneseguentee` del1976edovutaaHeidrun
Sarges.
Sia I un ideale non finitamente generato di A[x]. Allora I &= 0 e quindi
possiamotrovareunelementof1 ∈I \0chescegliamodigradominimo.
PeripotesiA[x]!(f1)&=I,percio` possiamotrovareunelemento
f2 ∈I \(A[x]!(f1))chescegliamoancoradigradominimo.
Similmente,sfruttandosemprel’ipotesicheI nonsiafinitamentegenera-
to,perognik ∈N+1possiamotrovareunpolinomiofk ∈I\(A[x]!(f1,...,fk−1)),
ognivoltadigradominimo.
Perognik ∈N+1sianonk :=gradofk edak :=fk(.
SiccomeAe` noetheriano,perillemma1.8esisteunα∈Ntaleche
aα+1 =c1a1+...+cαaα
con c1,...,cα ∈ A. Osservando che nk+1 ≥ nk per ogni k (perche´ ogni volta
abbiamosceltopolinomidigradominimo),possiamoformareilpolinomio
α
f :=fα+1− " ckfkxnα+1−nk
k=1
Allora f ∈ I \(A[x]!(f1,...,fα)) e gradof < gradofα+1, in contrasto con la
minimalita` delgradodifα+1.
Corollario1.11.SiaAnoetheriano.AlloraA[x1,...,xn]e` noetheriano.
Corollario1.12.SiaK uncampo.AlloraK[x1,...,xn]e` noetheriano.
Corollario1.13.Z[x1,...,xn]e` noetheriano.
Osservazione1.14.ϕ:M−→N siaunomomorfismosuriettivodiA-moduli
edM sianoetheriano.AlloraancheN e` noetheriano.
Dimostrazione. Sia Q un sottomodulo di N. Allora ϕ−1(Q) e` un sottomo-
dulo di M e dalla suriettivita` di ϕ segue che Q = ϕϕ−1(Q). Per ipotesi esi-
stono e1,...,ek ∈ M tali che ϕ−1(Q) = A!(e1,...,ek). E` chiaro che allora
Q=A!(ϕ(e1),...,ϕ(ek)).
Osservazione1.15.ϕ:A−→Bsiaunomomorfismosuriettivodianellicom-
mutativiedAsianoetheriano.AlloraancheB e` unanellonoetheriano.
Dimostrazione. Cio` non segue direttamente dall’oss. 1.14, perche´ ϕ non
e` un omomorfismo di moduli, ma di anelli. Possiamo pero` usare essenzial-
mentelastessadimostrazione.
3
SiaJ unidealediB.Alloraϕ−1(J)e` unidealediA(cfr.lemma3.18).Per
ipotesi esistono e1,...,ek ∈ A tali che ϕ−1(J) = A!(e1,...,ek). Allora J e`
generatodaϕ(e1),...,ϕ(ek).
Sia infatti b ∈ J. Allora esiste a ∈ A con b = ϕ(a). Percio` a ∈ ϕ−1(J),
cosicche´ a=c1e1+...+ckek conc1,...,ck ∈A.
Cio` implicab=ϕ(a)=ϕ(c1)ϕ(e1)+...ϕ(ck)ϕ(ek).
Osservazione 1.16. Sia I un ideale di A. Se A e` noetheriano, allora A/I e`
unanellonoetherianoeanchenoetherianocomeA-modulo.
Osservazione 1.17. L’anello A[x] sia noetheriano. Allora anche A stesso e`
noetheriano.
Dimostrazione.SiccomeA∼=A[x]/x,cio` seguedall’oss.1.16.
Nota 1.18. Siano K un campo ed F ⊂ K[x1,...,xn] un insieme qualsiasi di
polinomi.SiaI :=K[x1,...,xn]!F l’idealegeneralizzatogeneratodaF.Per
gliinsiemideglizerivalealloraZeri(I)=Zeri(F).
PerilteoremadellabasediHilbertK[x1,...,xn]e` noetheriano,percio` per
il lemma 1.8 esistono f1,...,fm ∈ F tali che I = K[x1,...,xn]!(f1,...,fm)
ede` chiarochealloraZeri(F)=Zeri(f1,...,fm)e` intersezionediunnumero
finitodiipersuperfici.
Definizione1.19.SianoK uncampoedF ⊂K[x1,...,xn]uninsiemequal-
siasidipolinomi.Comenellanota1.18usiamolanotazione
Zeri(F):={α∈Kn |f(α)=0perognif ∈F}
Soloraramente(comenelcap.7)dovremospecificaren,adesempioquando
ipolinomidiF sonoconsideratianchecomeelementidiK[x1,...,xn+1].
IntalcasoscriviamoZeri(F,inKn)risp.Zeri(F,inKn+1).
PerX ⊂Kn sia
J(X):={f ∈K[x1,...,xn]|f(α)=0perogniα∈X}
E` chiarocheJ(X)e` unidealegeneralizzatodiK[x1,...,xn].
Anchequisoloraramentedovremospecificarepiu` precisamente
J(X,inK[x1,...,xn])risp.J(X,inK[x1,...,xn+1]).
Osservazione 1.20. Un anello commutativo A contiene, per definizione,
sempre un elemento neutro per la moltiplicazione, denotato con 1A oppure
semplicemente con 1. E` ammesso il caso 1 = 0; in tal caso tutto l’anello e`
uguale a 0. Un ideale di A e` sempre &= A (cfr. def. 2.2), quindi l’anello 0 non
contieneideali.Inunanellointegrochiediamo1&=0.
UnomomorfismodianelliA−→B manda1A in1B.
Nellesituazioniall’iniziodeicapitolispessospecificheremocheA&=0.
Per l’applicazione x -−→ ϕ(x) usiamo la notazione .ϕ(x), introdotta in
x
Eschgfa¨ller [7331], come variante grafica del λx.ϕ(x) del λ-calcolo. La si
ottieneinLatexcon\newcommand {\Fun} {\mathop{\bigcirc}\limits}.
4
Nota1.21.Diamoinfinealcuniesempidianellinonnoetheriani.
(1) Sia A un anello commutativo &= 0. Allora l’anello B := A[x1,x2,...]
in un numero infinito di indeterminate non e` noetheriano, perche´ esiste la
catenainfinitastrettamentecrescentediideali(x1),(x1,x2),...
Se A e` integro, pero` anche B e` integro e quindi contenuto in un campo,
quindiinunanellonoetheriano.Cio` mostracheunsottoanellodiunanello
noetherianonone` necessarionoetheriano.
(2)SiaAunanellocommutativonoetheriano&=0.AlloraA[x,y]e` noethe-
riano,manonloe` ilsottoanelloB :=A[x,xy,xy2,xy3,...].Anchequi,seAe`
integro,loe` ancheB equindicontenutoinuncampo.
Cfr.Kemper[21951],p.24.
(3)L’anelloC(R,R)none` noetheriano.Bastaconsiderare,perognin∈N,
l’idealeIn :={f ∈C(R,R)|f(x)=0perx≥n}.
(4)SianoAunanellocommutativo&= 0edX uninsiemeinfinito.Sceglia-
mo una successione infinita x1,x2,... di elementi distinti di X e definiamo
Xn :=X\{x1,...,xn}.ConsiderandopoigliidealiIn :={f ∈AX |f|Xn =0},
vediamocheAX none` noetheriano.
5
2. Operazioni elementari con gli ideali
Un ideale e` un ideale generalizzato che non coincide con A. Un ideale genera-
lizzatoe` unidealeseesolosenoncontieneelementiinvertibili.SommaI+J e
prodottoIJ diideali.Leggemodulare.Leggedistributiva(I+J)K =IK+JK.
I+J =AimplicaIα+Jβ =A.
Situazione2.1.SiaAunanellocommutativo.
Definizione2.2.UnidealegeneralizzatodiAe` unA-sottomodulodiA.
UnidealediAe` unidealegeneralizzatodiAchenoncoincideconA.
Osservazione 2.3. Sia I un ideale generalizzato di A. Allora sono equiva-
lenti:
(1)1∈I.
(2)I contieneunelementoinvertibilediA.
(3)I =A.
Dimostrazione.(1) =⇒ (2):Chiaro.
(2) =⇒ (1):Siab∈I invertibile.Alloraesistea∈Aconab=1.
Cio` implica1∈I.
(1) =⇒ (3):Siaa∈A.Alloraa=a1∈I.
(3) =⇒ (1):Chiaro.
Definizione2.4.SianoI eJ idealigeneralizzatidiA.Alloral’insieme
I +J :={a+b|a∈I,b∈J}
e` un ideale generalizzato di A e si chiama la somma degli ideali generaliz-
zatiI eJ.E` immediatoche
I +J =A (I ∪J).
!
Analogamente,peruninsiemequalsiasiI diidealigeneralizzatidiAlaloro
somma " I :=A ! I e` definitacomel’idealegeneralizzatogeneratodalla
!
I∈I I∈I
lorounione.
Osservazione2.5.L’intersezionediuninsiemediidealigeneralizzatidiAe`
ancoraunidealegeneralizzatodiA.Essoe` unidealetrannenelcasobanale
chetuttigliidealigeneralizzatiutilizzatinell’intersezionesonougualiadA.
Definizione2.6.SianoI eJ idealigeneralizzatidiA.Alloral’insieme
IJ :=A {ab|a∈I,b∈J}sichiamailprodottodiI eJ.
!
Siccome per a ∈ I e b ∈ J si ha ab ∈ I ∩J, e` chiaro che IJ ⊂ I ∩J. Cio`
implicacheIJ e` unidealesealmenounodeiduefattorie` unideale.
Inparticolareperognin∈N+1e` definitalapotenzaIn esihaIn+1 ⊂In.
Osservazione 2.7. Nella teoria algebrica dei numeri l’operazione piu` im-
portante per gli ideali e` il prodotto IJ; infatti il concetto risale al tentativo
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