Geometri Analitik Bidang _Lingkaran_.pdf - Staff UNY

20 Pages·2011·0.09 MB·Indonesian

9
Geometri Analitik Bidang (Lingkaran)
Ali Mahmudi (Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY)

KOMPETENSI

Kompetensi yang diharapkan dikuasai mahasiswa setelah mempelajari Bab ini adalah

seba gai berikut.

 Menjelaskan pengertian lingkaran.

 Menentukan persamaan umum lingkaran.

 Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dengan titik singgung tertentu,

dengan gradien tertentu, dan dari suatu titik di luar lingkaran.

 Menentukan persamaan garis kutub pada lingkaran.

 Menentukan titik kutub jika diketahui suatu garis dan lingkaran.

 Menentukan kuasa suatu titik terhadap suatu lingkaran.

 Menentukan persamaan garis kuasa dua buah lingkaran.
 Menentukan titik kuasa pada lingkaran.
 Menentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik potong dua buah lingkaran

dengan menggunakan konsep berkas lingkaran.

 Menentukan syarat analitik dari relasi dua buah lingkaran yang berpotongan (tegak lurus
dan membagi dua sama besar).
10
A. Pengertian Lingkaran
Lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap
suatu titik tertentu. Dapat juga dikatakan, lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama itu disebut jari-jari
lingkaran dan titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran. Berdasarkan definisi itu, dapat
ditentukan persamaan lingkaran.
Koordinat titik P(x , y ) yang berjarak r terhadap titik P(a, b) akan memenuhi
1 1
persamaan berikut ini.
(x a)2 (y b)2 = r
1 1
atau
x a2 y b2  r2
1 1
Dengan demikian, tempat kedudukan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(a, b)
mempunyai persamaan sebagai berikut.

L: xa2 y b2  r2

Ini adalah persamaan lingkaran dengan titik pusat P(a, b) dan berjari-jari r. Lingkaran
dengan pusat P dan berjari-jari r sering ditulis dengan L(P, r).
Dapat mudah dipahami bahwa persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan
berjari-jari r adalah:

L: x2 + y2 = r2

Ini sering disebut persamaan pusat lingkaran.
11
B. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Dari persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r, yakni
L: xa2 y b2  r2
diperoleh
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
yang dapat ditulis:

L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Ini adalah bentuk umum persamaan lingkaran. Persamaan ini dapat juga ditulis sebagai
berikut.
2 2
 1   1  1 1
x A y B  A2  B2 C .
 2   2  4 4
 1 1 
Perhatikan bahwa ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat P( A,  B dan
 2 2 
1 1
berjari-jari r  A2  B2 C .
4 4
Dengan memperhatikan nilai r ini, maka akan terdapat beberapa kemungkinan jenis
lingkaran sebagai berikut.
1 1
Jika A2  B2 C 0, maka lingkarannya nyata
4 4
1 1
Jika A2  B2 C  0, maka lingkarannya imajiner
4 4
1 1
Jika A2  B2 C  0, maka lingkarannya adalah lingkaran titik yang berjari-jari nol.
4 4
12
C. Persamaan Parameter Suatu Lingkaran

Y

 T (x, y)
r


 
P(a, b)


O
X

Gambar IV.1

Pada gambar di atas, koordinat titik T(x, y) yang terletak pada lingkaran dengan pusat
P(a, b) dan berjari-jari r akan memenuhi persamaan berikut ini.

x = a + r cos 

y = b + r sin 

Dalam hal ini,  adalah suatu parameter. Dikatakan, persamaan di atas adalah
persamaan parameter suatu lingkaran. Secara lebih jelas, dengan mengeliminasi parameter 
akan diperoleh persamaan sebagai berikut.
xa2 y b2  r2
13
D. Garis Singgung
1. Garis Singgung Pada Lingkaran dengan Titik Singgung Tertentu
g
Y

 T(x ,y)
1 1


O X
x2  y2  r2

Gambar IV.2
Misal T(x ,y )adalah titik singgung pada lingkaran. Garis singgung g yang melalui
1 1
T(x ,y ) berbentuk y – y = m(x – x ). Karena garis singgung ini tegak lurus dengan jari-
1 1 1 1
x
jari OT , maka nilai gradien garis singgung ini adalah m   1 . Sehingga persamaan garis
y
1
singgung yang dimaksud adalah
x
y y   1 xx  atau xx  yy  x 2  y 2 ………………….(*)
1 y 1 1 1 1 1
1
Karena titikT(x ,y )terletak pada lingkaran, maka dipenuhix2  y2  r2. Dengan
1 1 1 1
demikian persamaan garis singgung pada lingkaran x2  y2  r2 dengan titik singgung
T(x ,y ) adalah:
1 1
x x  yy  r 2
1 1
Sebagai latihan, dengan cara serupa, tunjukkan bahwa persamaan garis singgung pada
lingkaran xa2 yb2  r2 dengan titik singgung Tx ,y  adalah:
1 1

x ax ayby b r2
1 1
14
2. Garis Singgung Pada lingkaran dengan Gradien yang telah ditentukan.
Persamaan garis lurus dengan gradien m dinyatakan dengan g: y = mx + n. Jika garis
ini dipotongkan dengan lingkaran L: x2  y2  r2, didapat
x2 + (mx + n)2 = r2
atau
(m2 + 1)x2 + 2mnx + n2 – r2 = 0…………….. (*)
Ini adalah persamaan kuadrat dalam x. Garis g akan menyinggung lingkaran
L: x2  y2  r2 bila diskriminan persamaan (*) adalah nol, yakni
D = 4m2n2 4(1m2)(n2 r2)
= 4(n2 r2 m2r2)= 0
atau
n = r m2 1
atau
n
r 
1m2
Dengan mensubtitusikan nilai r ini ke persamaan garis g, akan diperoleh persamaan
garis singgung pada lingkaran L: x2  y2  r2 dengan gradien m, yakni:

y  mx  r m 2  1

Sebagai latihan, dengan cara serupa, tunjukkan bahwa persamaan garis singgung pada
lingkaran xa2 yb2  r2 dengan gradien m adalah:

ya  m(xa)r m2 1
15
3. Garis Singgung dari Suatu Titik di luar lingkaran

S(x ,y )
 0 0

x2  y2  r2
T(x,y)
1 1

Gambar IV.3

Misal titikT(x,y) adalah titik di luar lingkaran danS(x ,y ) adalah titik singgung pada
1 1 0 0
lingkaran. Persamaan garis singgung yang elalui S(x ,y ) adalah:
0 0
xx  yy  r2……………………. (i)
0 0
Garis singgung ini melalui T(x,y), sehingga berlaku
1 1
x x  y y  r2 ………………….. (ii)
1 0 1 0
Karena S(x ,y ) terletak pada lingkaran x2  y2  r2, maka dipenuhi
0 0
x 2  y 2  r2 ……………………. (iii)
0 0
Dengan menyelesaikan persamaan (ii) dan (iii) akan didapat nilaix dany . Setelah
0 0
nilaix dany ini disubtitusikan ke persamaan (i), akan diperoleh persamaan garis singgung
0 0
pada lingkaran x2  y2  r2yang melalui titik T(x,y). Ada berapa garis singgung yang
1 1
diperoleh?
16
E. Garis Kutub
g
g
1
S (x ,y )
 1 0 0

O T(x,y)
1 1

x2  y2  r2

S (x ',y ')
2 0 0
g
2

Gambar IV. 4
Dari titik T(x,y) dibuat garis-garis singgung pada lingkaran L: x2 + y2 = r2. Misal
1 1
titik-titik singgung pada lingkaran itu adalah S (x , y ) dan S x ',y ' Persamaan garis
1 0 0 2 .
o 0
singgung pada lingkaran L dengan titik-titik singgung S dan S adalah
1 2
g :xx  yy  r2
1 0 0
dan
g :xx 'yy ' r2
2 0 0
Garis-garis singgungg dan g melaluiT(x,y), sehingga berlaku persamaan berikut.
1 2 1 1
x x  y y  r2 ……………………. (i)
1 0 1 0
x x '  y y ' r2 ………………….. (ii)
1 0 1 0
Pada persamaan (i) dan (ii), tampak bahwa koordinat titik-titik S dan S memenuhi
1 2
persamaan berikut.
g : x x y y  r2
1 1
17
Ini adalah persamaan garis yang melalui titik-titik singgung S dan S dan disebut tali
1 2
busur singgung. Perhatikan bahwa persamaan tali busur singgung g bentuknya sama
dengan persamaan garis singgung pada lingkaran L dengan titik singgung T. Oleh karena
itu, tanpa melihat letak titik T (di dalam, diluar, atau pada lingkaran), maka persamaan
persamaan garis kutub titik T(x,y) terhadap lingkaran L: x2 + y2 = r2 adalah:
1 1

g: x x y y  r2
1 1

Dari uraian di atas, didapat, jikaT(x,y) di luar lingkaran, maka garis kutub g
1 1
merupakan tali busur singgung. Coba selidiki bagaimana kedudukan garis kutub ini jika
T(x,y) terletak pada lingkaran atau di dalam lingkaran.
1 1
Sebagai latihan, dengan cara serupa, coba tunjukkan bahwa persamaan garis kutub
P(x ,y ) terhadap lingkaran xa2 yb2  r2 adalah
1 1
xax ayby b r2
1 1
Tunjukkan juga bahwa persamaan garis kutub dari titik T(x,y) terhadap lingkaran
1 1
L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 adalah

1 1
xx yy  A(xx) B(yy)C0
1 1 2 1 2 1

F. Menentukan Kutub dari Suatu Garis Lurus
Misal diketahui sebuah lingkaran L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dan sebuah garis
g: Px + Qy + R = 0. Misal kutub garis g adalah T(x,y), maka persamaan garis kutub
1 1
T(x,y) terhadap lingkaran L adalah
1 1
1 1
h:xx  yy  A(x x ) B(y y )C  0
1 1 2 1 2 1
18
Garis h ini berimpit dengan garis g, sehingga haruslah dipenuhi persamaan berikut.
1 1 1 1
x  A y  B Ax  By C
1 2 1 2 2 1 2 1
 
P Q R
Dari persamaan ini, nilai x dan y dapat ditentukan, sehingga kutub dari garis g
1 1
terhadap lingkaran L dapat ditentukan pula.
G. Kuasa Suatu Titik
Pada gambar berikut, titik T(x,y) terletak di luar lingkaran L.
1 1

A 
1
B  A
2 2

B3 P  A3 T(x 1,y1)
A
 4
B
4

Gambar IV.5

Melalui T(x,y) ditarik garis-garis yang memotong lingkaran. Misal titik-titik potong
1 1
ini adalah A dan B. Berdasarkan teorema pada geometri, berlaku
i i
TA 2 TA xTB TA xTB TA xTB , dan seterusnya.
1 2 2 3 3 4 4
Perhatikan bahwa
TA xTB  (TPr)(TP r)  TP2 r2
3 3
Nilai TP2 r2 didefinisikan sebagai kuasa titikT(x,y) terhadap lingkaran L(P, r).
1 1