geometr´ia vectorial y anal´itica

250 Pages·2011·4.03 MB·Spanish

(cid:19) (cid:19)
GEOMETRIA VECTORIAL Y ANALITICA
Juan Guillermo Paniagua
John Alexander P(cid:19)erez S
17 de noviembre de 2011
2
(cid:19)
Indice general
1. Coordenadas Cartesianas 15
1.1. Coordenadas cartesianas en una dimensi(cid:19)on . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.2. Divisi(cid:19)on de un segmento en una raz(cid:19)on dada . . . . . . . . . . . 17
1.2. Coordenadas cartesianas en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2. Divisi(cid:19)on de un segmento en una raz(cid:19)on dada . . . . . . . . . . . 22
1.3. Coordenadas cartesianas en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.1. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.2. Divisi(cid:19)on de un segmento en una raz(cid:19)on dada . . . . . . . . . . . 31
2. Vectores 37
2.1. La Magnitud de un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2. Direcci(cid:19)on de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.1. Producto por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2. Suma de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.3. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.4. Proyeccio(cid:19)n Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.5. Producto Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3. L(cid:19)(cid:16)neas y Planos 73
3.1. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
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3.1.1. Angulo entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.1.2. Posicio(cid:19)n Relativa Entre Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.1. Posicio(cid:19)n relativa entre planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2.2. Posicio(cid:19)n relativa entre planos y rectas . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3. Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3
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4 INDICE GENERAL
3.3.1. Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.2. Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.3. Distancia entre dos rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3.4. Distancia entre una recta paralela a un plano y el plano . . . . . 104
4. Transformaci(cid:19)on de Coordenadas 113
4.1. Traslacio(cid:19)n de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1.1. Traslacio(cid:19)n de ejes en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1.2. Traslacio(cid:19)n de ejes en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2. Rotaci(cid:19)on de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.1. Rotaci(cid:19)on de ejes en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.2. Rotaci(cid:19)on de ejes en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5. Coordenadas Polares 133
5.1. Sistema de coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2. Transformaciones a coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3. Trazado de curvas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6. C(cid:19)onicas 151
6.1. De(cid:12)niciones y Ecuaciones Can(cid:19)onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.1.1. Par(cid:19)abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.1.2. Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.1.3. Hip(cid:19)erbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7. Super(cid:12)cies 187
7.1. Super(cid:12)cies cil(cid:19)(cid:16)ndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.1.1. Ecuaci(cid:19)on de una super(cid:12)cie cil(cid:19)(cid:16)ndrica . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.2. Super(cid:12)cies c(cid:19)onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2.1. Ecuaci(cid:19)on de una super(cid:12)cie c(cid:19)onica . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.3. Super(cid:12)cies de revoluci(cid:19)on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3.1. Ecuaci(cid:19)on de una super(cid:12)cie de revolucio(cid:19)n . . . . . . . . . . . . . 202
7.4. Super(cid:12)cie Esf(cid:19)erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.5. Super(cid:12)cies cu(cid:19)adricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.5.1. Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.5.2. Hiperboloide el(cid:19)(cid:16)ptico de una hoja . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.5.3. Hiperboloide el(cid:19)(cid:16)ptico de dos hojas . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.5.4. Cono el(cid:19)(cid:16)ptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.5.5. Paraboloide el(cid:19)(cid:16)ptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.5.6. Paraboloide hiperb(cid:19)olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
(cid:19)
INDICE GENERAL 5
8. Coordenadas Esf(cid:19)ericas y Cil(cid:19)(cid:16)ndricas 237
8.1. Coordenadas cil(cid:19)(cid:16)ndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.2. Coordenadas esf(cid:19)ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
(cid:19)
6 INDICE GENERAL
(cid:19)
Indice de tablas
7.1. Ecuaci(cid:19)on de una super(cid:12)cie de revoluci(cid:19)on segu(cid:19)n el eje de rotaci(cid:19)on . . . . 204
7
(cid:19)
8 INDICE DE TABLAS
(cid:19)
Indice de (cid:12)guras
1.1. Sistema coordenado unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2. Coordenada unidimensional de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3. Distancia entre puntos A y B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Divisi(cid:19)on de un segmento en una raz(cid:19)on dada . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Coordenadas del punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6. Sistema coordenado bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7. Ubicaci(cid:19)on de puntos en el sistema coordenado rectangular bidimensional 20
1.8. Distancia entre puntos en el sistema coordenado rectangular . . . . . . 21
1.9. Distancia entre puntos A y B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.10.Divisi(cid:19)on de un segmento en una raz(cid:19)on dada . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11.Coordenadas del punto Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.12.Ubicaci(cid:19)on de los puntos A, B y C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.13.Ubicaci(cid:19)on del baricentro en el tri(cid:19)angulo ABC . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.14.Sistema coordenado tridimensional rectangular . . . . . . . . . . . . . . 28
1.15.Sistema coordenado derecho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.16.Ubicaci(cid:19)on de puntos en el sistema coordenado rectangular tridimensional 29
1.17.Distancia entre puntos en el sistema coordenado rectangular tridimensional 29
1.18.Distancia entre puntos R y S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.19.Coordenadas del punto medio S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1. Representacio(cid:19)n de un vector. a) vector del plano b) vector del espacio 38
2.2. Representacio(cid:19)n del vector dirigido en el plano y el espacio . . . . . . . . 39
2.3. Representacio(cid:19)n del vector A con punto inicial en P . . . . . . . . . . . 40
2.4. Direcci(cid:19)on de un vector: a) Direcci(cid:19)on en el plano b) Direcci(cid:19)on en el espacio 43
(cid:19)
2.5. Angulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6. Coordenadas de un vector en t(cid:19)erminos de la magnitud y la direcci(cid:19)on . . 45
2.7. Efectos del producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8. Suma de vectores: Metodos del paralelogramo y del tri(cid:19)angulo . . . . . . 50
2.9. base can(cid:19)onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9
(cid:19)
10 INDICE DE FIGURAS
2.10.Teorema de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.11.Divisi(cid:19)on de un segmento en una raz(cid:19)on dada . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.12.Proporci(cid:19)on de 3:1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.13.Proyecci(cid:19)on Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.14.Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.15.Producto Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
(cid:19)
2.16.Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.17.Representacio(cid:19)n geom(cid:19)etrica triple producto escalar . . . . . . . . . . . . 64
2.18.Vectores y puntos coplanares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.19.a) ∥U∥ = 4,∥V∥ = 6 y ∥W∥ = 8 , b) ∥U∥ = 5,∥V∥ = 5,5 y ∥W∥ = 5 . 69
3.1. Vectores y puntos coplanares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2. Gr(cid:19)a(cid:12)ca de la recta que pasa por P = (3,4,2) y tiene vector director
0
v = ⟨−1,2,−3⟩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2x−4 6−3y 4−z
3.3. Gr(cid:19)a(cid:12)ca de la recta = = . . . . . . . . . . . . . . . 76
−4 3 −3
(cid:19)
3.4. Angulo entre las rectas ℓ y ℓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1 2
3.5. a) Rectas paralelas en el espacio b) Rectas perpendiculares en el espacio
c) Rectas secantes en el espacio d) Rectas oblicuas . . . . . . . . . . . . 78
3.6. Rectas paralelas ℓ y ℓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1 2
3.7. Rectas perpendiculares ℓ y ℓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1 2
3.8. a) tres puntos b) paralelas c) secantes d) punto recta . . . . . . . . 86
3.9. a) Plano determinado por dos vectores v y v b) Plano determinado por
1 2
un vector normal N y un punto P sobre el plano . . . . . . . . . . . . 86
0
3.10.Plano que pasa por los puntos P (1,−2,3), P (−1,1,3) y P (0,−1,1) . 89
0 1 2
3.11.Plano que contiene el punto P (−1,2,1) y la recta ℓ : x−1 = 2−y = z−3 . 90
0 3 −4 2
3.12.Plano que contiene las rectas paralelas ℓ : x−2 = 1−y = z+1 y ℓ : 2x−4 =
1 2 −2 3 2 2
2−2y = 2z+6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
−2 3
3.13.Plano que contiene las rectas que se cortan ℓ : x−1 = y = z−1 y ℓ : x =
1 2 1 4 2 1
y+2 = z+2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2 3
3.14.a) Planos paralelos, b) Planos perpendiculares, c) Planos secantes, d)
Planos Coincidentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.15.a)Rectaparalelaaunplano.b)Rectaperpendicularaunplano.c)Recta
contenida en un plano. d) Recta que intersecta a un plano. . . . . . . . 96
3.16.Recta ℓ : x−3 = 2−y = z−4 que corta al plano π : −x+2y −4z = 2 . . . 98
2 3 −1
3.17.a) Punto exterior a una recta b) d representa la distancia de un punto
a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.18.Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102