GENERALIZACOES DOS ALGORITMOS AFIM ESCALA PRIMAL E DUAL E UM ALGORITMO PR

104 Pages·2012·6.07 MB·Portuguese

GENERALIZACOES DOS ALGORITMOS AFIM ESCALA PRIMAL E DUAL E
UM ALGORITMO PR.OXIMAL PARA PROC:RAMACÃO QUASE-CONVEXA
Francisco Gêvane Muniz Cunha
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO R.10 DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCÃO DO GRAU DE DOUTOR
Eh4 CIÊNCIAS EM ENGENHARIA DE SISTEMAS E COMPUTACÃO.
Aprovada por:
I L, Prof. Nair Maria Maia de Abreu, D .Se.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
JANEIRO DE 200'7
CUNHA, FRANCISCO GÊVANE MUNIZ
Geiieraliza.ções dos Algoritinos Afim Es-
cala Prima1 e Dual e um Algoritmo Proxi-
mal para Programação Quase-Convexa [Rio
de Janeiro] 2007
XIII, 91 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ,
D.Sc., Engenharia de Sistemas e Computação,
2007)
Tese Universidade Federal c10 Rio de
-
Janeiro, COPPE
1 - Programação Convexa
2 - Programação Quase-Convexa
3 - Métodos de Pontos Interiores
4 - Algoritmos Afim Escala
5 - Algoritmos de Ponto Proxiinal
I. COPPE/UFRJ 11. Título (série)
"Não desampares a sabedoria, e ela te guardará;
ama-a, e ela te conservarâ."
(Provérbios 45)
- A minha esposa Aldenoru e filho Gobrzel.
Aos meus pais Ez)ilásio e Ormexinda.
-
- Aos meus irmãos e dernccis fc~milic~?-es.
A Deus, razão da minha vida, por sua infinita sabedoria e por me proteger e
ilimiilar a cada dia.
A
minha querida esposa Alclenora e ao meu dileto filho Gabriel, em especial, por
sua coinpreensão e incentivo. Aos meus amados pais Evilásio e Ormezincla, irmãos
e demais fa-mi1ia.res grandes responsáveis pelo meu empenho na. rea.lização desta.
coiiyuista. O amor a todos vocês sempre me serviu de consolo e estímulo.
Aos meus ilustres orie~itacloresP a0uloR oberto Oliveira e João Xavier da Cruz
Neto, pela amizade, excelente orientação e apoio durante todo o curso.
Aos ineinbros da banca exaininadora, por sua colaboração e contribuições para
o aperfeiçoamento do trabalho.
Aos colegas e amigos Alexandre Salles, Erik Quiroz, Felipe Garcia, Flávia Mor-
gma, Jura.~idirL opes, Kely Dia,~ia.L, uis Ca.rlos, Ni1oma.r Vieira., Pa-L~SOér gio,
Roberto Cristovão, Roberto Prata, Ronaldo Gregório, Sérgio Assunção, Sissy Souza,
Valtemir Martins e aos dema.is das ba.nccadas do Cea.rá, Pia.ilí e Arna-zonas com
quem dividi momentos de concentração e também de clescontração, pela ainizade e
agradável convívio.
Aos amigos Tibérius Bonates e Disney Douglas e ao SNTE/Piauí que me aco-
llneram em algumas viagens.
Aos amigos Ivoneide Pinheiro e Luiz Barreto, pelo compa.11heirisrno e a todos os
demais amigos, de longa ou de recente data, por tornarem a minha vida mais alegre.
Aos professores do PESC/UFRJ; pelos coiiheciine~it,otsr a,nsmitidos.
Aos funcionários da secretaria, das bibliotecas e do suporte, pela atenção e ajuda
em todas as ocasiões.
Ao CEFET-CE, por me conceder a oportunidade de realizar este curso.
Ao CNPy, pelo suporte financeiro.
A todos que de a.lgum modo coritribuíram para a, realização deste tra.ba.lho. Muito
obrigado.
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau cle Doutor em Ciências (D.Sc.)
GENERALIZAÇ~ESD OS ALGORITMOS AFIM ESCALA PR.IMAL E DUAL E
UM ALGORITMO PROXIMAL PARA PROGRAMA~ÃOQ UASE-CONVEXA
Francisco Gêvane Muiliz Cunha
Orientadores: Paulo Roberto Oliveira
João Xaxlier da Cruz Neto
Programa: Engeiiliaria de Sistemas e Computação
Ern Pint,o et al. [73] é proposta uma classe de a,lgoritinos primais de pontos
interiores para programação convexa com restrições lineares, de um certo tipo afim
escala generalizado. Esta classe, depeiideiite de um parâmetro r, genera.1iza.a dguiis
algoritmos confiecidos. De um modo similar, traballiaildo no espaço dual, propomos
uma classe de algoritmos afim escala duais para programa@o linear que geiieializa
o algoritmo afim escala clual de Acller et al. [I]. Esta classe é construída através da
transformação dada pela potência S-",r 2 1, onde S é a matriz diagonal do vetor
de iteraclas. Provamos a convergência global da classe afim escala clual generalizada
para prol~lemasd e programação liiiear cujo dual seja não-degenerado. Em um outro
enfocpe, a.1mlisarnos o método de ponto proxima.1 com 9-divergêricia para progra.
mação quase-convexa sobre 22:. Provainos, sem hipótese de limitação de nível para
a furição objetivo, que s seqiiêiicia gerada coiiverge para um ponto estacioiiário.
Em adição, provamos também que quando os parâinetros de regularização vão para
zero, a seqiiencia converge para uma solução ótima. Observamos o desempenho
coinputacional das classes de algoritinos afim escala priinal e clual, realizando testes
com problemas de programação linear da biblioteca NETLIB. Para a classe prima1
experimeiitamos também a.1guns problemas de pr~gra~maçãqou adrá-tica descritos no
repositório Maros e Mészáros. Verificamos a eficiência do algoritmo proximal em
problemas quase-convexos sobre 22: por meio de experimentos rea.1iza.dos com pro-
blemas testes geraclos aleatoriamente.
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partia1 f~ilfillinento f tl-ie
requirernents for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
GENERALIZATIONS OF THE PRIMAL AND DUAL AFFINE SCALING
ALGORITHMS AND A PROXIMAL ALGORITHbI FOR QUASICONVEX
PR.OGRAMMING
Aclvisors: Paulo Roberto Oliveira
João Savier da Cruz Neto
Depa,rtment: Cornputirig a.nd Systems Engineeri~ig
In Pinto et al. [73], it is proposed a clãss of primal ii-iterior poii-it algorithms
for corivex progra.~nmingw ith li~iea~cro iistra.ints, belongi~igt o a cert ai11 generali-
zed affine scaling type. That class, depending o11 a r-parameter, generalizes some
known algorithins. 111 a similar way, working in the dual space, we propose a class
of clual affine scaling algorithrns to linear progra~nmingt hat generalize the clual
aEne scaliilg algorithm of Adler et al. [I]. Tl-iis class is constructed through the
trai-isformation given by the power S-", r 2 1, where S is the diagonal iterate vec-
tor matrix. We sl-iow the global conveigetlce of the generalized dual affine scaling
class for linear progra.~nsw liose dual is noriclegerierate. 111 another focus, we a.Iia-
lyze the proximal point inethod witl-i cp-divergeme to quãsicol-ivex progra~ninitlg0 x1
R:. We prove, without assurnptio~io f boundedness leve1 to the obj ective function,
that tlle generated secpence converges to a stationary point. In addition, we also
prove tl-iat wlieil the regularization paraineters go to zero, the secpence converges
to an optimal solution. We observe the cornputational perforrnance of the classes of
primal and dual affine scaling algorithms, accoinplisl-iing tests with linear programs
frorn the NETLIB library. For the prima1 class we also experiment some quaclratic
progratnming probleins described in tlne Maros ai-id Mészáros repository. We ve-
rify the effectiveriess of the proximal algorithm i11 cjuasico~ivexp roblems o11 R: via,
numerical experiinents accomplisl~eclw ith tests problems ranclomly gerieratecl.
Sumário
2 Conceitos e Resiiltados Básicos em Programação Convexa 6
2.1 Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Funções Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Otiniização Convexa com Restrições Lineares . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Otimização Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Métodos Afim Escala Generalizados 19
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9
3.2 Algoritmos Afim Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Algoritmo Afim Escala Prima1 Generalizado (GPAS) . . . . . . . . . 23
3.4 Algoritnio Afim Escala Dual Generalizaclo (GDAS) . . . . . . . . . . 26
3.5 Convergência do Algoritmo GDAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Experimentos N T I ~ ~ P ~coCmO OSS A lgoritmos GPAS e GDAS 38
4.1 Problemas Testados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Solução Inicial e Critério de Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Resultados pma GPAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4 Resultados para GDAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Conceitos e Resultados Básicos em Programação Quase-Convexa 46
5.1 F~mçõesQ uase-Convexm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Otiinização Qua~e-Convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6 Método de Ponto Proxiinal para Programação Quase-Convexa 54
6.1 I~itrodução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2 p-divergências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Algoritmo de Ponto Proximal com 9-divergência para Programação
Quase-Convexa (DPP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.4 Convergência do Algoritmo DPP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
'i' Experimentos Nrzm&icos com o Algoritino DPP 68
7.1 Problemas Testados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.2 Solução Inicial e Critério de Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.3 Resulta~closp ara DPP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8 Considerações Finais 74
Referências BibliogrAficas 8 3
viii
ist a as
A.1 niteTx r do algoritmo GPAS para adlittle. . . . . . . . . . . . . . . . 7 7
A.2 nite. x r do algoritino GPAS para afiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A.3 nite, x r do algoritmo GPAS para blend . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A.4 nite,,x r do a.l goritmo GPAS para kb2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.5 niteTx r do algoritino GPAS para sei05. . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A.6 nite, x I- do a.lgoritmu GPAS para sc5Oc~. . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A.7 niteTx I- do algoritino GPAS para sc50b . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A.8 niteTx r do algoritino GPAS para share2b . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A.9 n.it,, x r do algoritino GPAS para stocfori . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A.10 niteTx I- do algoritmo GPAS para genhs28 . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A.ll nit,, x .r- c10 algoritmo GPAS para hsii8. . . . . . . . . . . . . . . . . 39
A.12 niteTx I- do algoritino GPAS para hs2i. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.13 nite, x r cio a.lgorit.mo GPAS para hs35. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.14 niterx r do algoritino GPAS para hs7G. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.15 niteTx r cio algoritmo GPAS para lotscfed. . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.16 nitm x r c10 algoritino GPAS para qpcb1en.d. . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.17 niteTx I- do algoritmo GPAS para qptest. . . . . . . . . . . . . . . . . 80
A.18 n.i teT x r do algoritino GPAS para xeceuic2. . . . . . . . . . . . . . . . 80
A.19 nit,, x r do algoritmo GDAS para ndlittle. . . . . . . . . . . . . . . . 80
A.20 niteTx r do aSlgoritnioG DAS para (&firo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
A.21 nit,, x I- do algoritino GDAS para bandm. . . . . . . . . . . . . . . . 80
A.22 niteTx r c10 algoritmo GDAS para blend . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
A.23 nit,, x r do algoritino GDAS para israel. . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.24 niteTx r do algoritino GDAS para kb2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.25 n.it,, x r do algoritmo GDAS para sei 05. . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.26 nit, x I- do algoritmo GDAS para se205. . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.27 niteTx I- do algoritmo GDAS para sc50a. . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.23 niterx r do algoritmo GDAS para sc5Ub . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.29 niterx r do algoritino GDAS para sca.gr7. . . . . . . . . . . . . . . . . 82
A.30 izite. x r do algoritmo GDAS para shnrelb. . . . . . . . . . . . . . . . 82
A.31 n.iteT x r do algoritmo GDAS para shure2b . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A.32 nite, x r do algoritmo GDAS para stocforí . . . . . . . . . . . . . . . . 32