Genel Matematik-2 Problemleri Çozumlu [Prof. Dr. Mustafa BALCI]

240 Pages·2012·52.79 MB·Turkish

byns
www.ieeeturkiye.wordpress.com adına yüklenmiş olup toplumları geliştiren
bilginin herhangi bir şekilde ulaşılaşılamaz olmasını kabullenemeyen kişi veya
kişiler tarafından upload edilmiştir.saygılarımzla..
ONSOZ
Ru kitap, GENEL MATEMATiK-2 adh kitabtrmzdaki problernlerin
cozurn 1 erini icermektedir.
Kitap, Uzayda Vektorler, Dogru ve Diizlem Denklemleri, Vektor Degcrli
Fonksiyonlar, Cok Degiskenli Fonksiyonlar, Cok Katlt Integraller. Egrisel inte-
gra] ve Yuzey Integralleri konulannm problem cozumlerini kapsadigmdan bu
. .,
konulan iccrcn Gcncl Matematik, Analiz, Ytiksek Matematik , Ileri Matematik
ve Calculus dersleri icin de bir yardirnci kaynaktir.
Cozumler cok kisa bir sure icinde tarafimdan yapildigmdan, bazi islem hata-
laruun olabilecegini pesincn kabul eder, bu konuda uyanlarda bulunacak
mes lektas ve ogrencilere ~imdiden tesekkuru bir bore bilirim.
Kitabm tum ogrenen ve ogretenlere yararh olrnasi dilegiyle,
------------------- Prof. Dr. MustafaB aler
!!!DİKKAT!!!
Fotokopi çekip çalışmak isteyenler soru numaraları
kırmızı olduğundan gözükmemektedir.Bu yüzden
daha koyu bir şekilde çıkartırsanız:"Hangi sorunun cevabı
la bu."
Şeklinde bir soruyla karşılaşmazsınız.
Gözlerimizi kapayıp, yalnız yaşadığımızı
varsayamayız. Ülkemizi bir çember içine alıp dünya
ile ilgilenmeksizin yaşayamayız. Tersine
gelişmiş,uygarlaşmış bir ulus olarak uygarlık alanının
üzerinde yaşayacağız: bu yaşam ancak bilim ve fenle
olur. bilim ve fen nerede ise oradan alacağız ve
ulusun her bireyinin kafasına koyacağız. Bilim ve fen
için bağ ve koşul yoktur. (1922; S.D. I )
K.ATATÜRK
www.ieeeturkiye.wordpress.com adına yüklenmiş olup toplumları geliştiren
byns
i<;iNDEKiLER bilginin herhangi bir şekilde ulaşılaşılamaz olmasını kabullenemeyen kişi veya
kişiler tarafından upload edilmiştir.saygılarımzla..
r
__ 1_ _
VEKT0RLER, DOGRU VE D0ZLEM DENKLEMLERI
Di.izlemde Vektorler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I
Uzayda Vektorler 8
Uzayda Dogru Denklernleri 18
Duzlem Denklern leri 23
VEKTOR DEGERLi FONKSIYONLAR
Vektor Degerli Fonksiyonlar .
Vektor Degerli Fonksiyonlann Limit ve Surekliligi .35
Vektor Degerli Fonksiyonlann Turevi 40
Vektor Degerli Fonksiyonlarm intcgrali .40
13 COK DEGi$KENLi FONKSIYONLAR
.,
Tamm Kumesi, Limit ve Sureklilik 52
Kismi Tiirevler 59
Zincir Kuralt 72
Kapah Olarak Tarumlanan Fonksiyonlartn Turevi 7 3
Yonln Turevler 88
Kisrni Tiirevlerin Geometrik Anlanu 88
1ki Degiskenli Fonksiyonlann Taylor Acilum 88
Maksimum ve Minimumlar 98
14 (:OK KATLI INTEGRALLER
iki Kath lntegraller 126
lki Kath lntegrallerin Uygulamalan 138
0 ~ Kati I t ntegraller .155
-0~ Kath Integrallerin Uygularnalan 165
EGRISEL iNTEGRALLER
Egrisel Integrallcr l 86
Egrisel Integrallerin Uygulamalan 199
16 VUZEY INTEGRALLERI
Reel Degerli Fonksiyonlann Ytlzey Integralleri 2 IO
Ikinci yc~it Yuzey Integralleri 2 'IO
Yuzey Integrallerinin Temel Teorernleri 217
Yuzcy Intcgrallcrinin Uygulamalan 224
byns
www.ieeeturkiye.wordpress.com adına yüklenmiş olup toplumları geliştiren
bilginin herhangi bir şekilde ulaşılaşılamaz olmasını kabullenemeyen kişi veya
kişiler tarafından upload edilmiştir.saygılarımzla..
11 VEKT0RLER, DOGRU_VE D0ZLEM
DENKLEMLERi
D0ZLEMDEVEKT6RLER
VEKTORLER VE VEKTORLERiN ~~iTLiGi
=
Kartezyen, dtlzlemde u (a, b) biciminde verilen her bir sirah iki-
lisine bir vektor denir. a ve h sayilanna da u vekttiriiniin bile-
JI
senleri adi verilir, b P (a,b)
v = (c, d) olsun,
u = v -¢:::> a = c ve b = d .
0 a x
EKTORLERiN TOPLANMASI
A
=
u = (a, b) ve v tc, d) iki vektor olsun. Build vektorun toplarm
c
t~ + ., = (o + f, b + d)
vek torudur.
a
B
y
-u ';;;;. (-a, -b) vektortrne ti= (a, h) vektorttnun ter i denir. -u ile
u aym buytlkltikte fakat zit yonlu iki vektordur ..
u ile r vektorunun farki
u - v := u + ( -v )
biciminde tammlarur, Buna gore,
u - v = (a, b) + (-c, -d) = (a - c, b - d)
vektoru olacaktu. tors vcktor
byns
\ ·:KTORLERi. BiR SAYI iU~ ('ARPIIVII
=
u (ll, b) vektorunun l reel sayisr 'ile carpnru
AU=(Aa, 'Ah)
vcktorudur.
uovr
BiR VEKTOHUN
y
b ----------------------7: (a .b)
fl= (a, b) vektorurrun boyu /.'.'~ / :
/(x;/
i
I! ,, 11 = 'IJ, a2 + b2 \;/11 l:
i/
sayisidrr.
a x
niRtM VEKTORLER
Boyu 1 birim olan vektore bir nrim vekt "i denir.
Bu taruma gore su onerme dogrudur :
u bir birim vektordur ~ II u II = l dir.
reel sayisidir, Bu islerne lit i\: carpm 1 veya n •kla c;,trp1 , da denir.
PARALEL VE DiK VEKT()llL.ER
u I/ 1· C? -Il l ;:.: : -" ::
•'1 , ~
u ile v, sifrrdan Iarkh iki vektor olsun.
u .L v (.::;} u v 0.
::=
2
www.ieeeturkiye.wordpress.com adına yüklenmiş olup toplumları geliştiren
bilginin herhangi bir şekilde ulaşılaşılamaz olmasını kabullenemeyen kişi veya
kişiler tarafından upload edilmiştir.saygılarımzla..
byns
• DUzlemde UektHrler
PROBLEmLER
• UektHrlerin Skaler tarp1m1
• Dik ue Paralel Uektorler
1. Sekilde u, l!, w vektorleri ABC A 5. /) c
li\geninin kenarlan tarafindan belir-
tilmistir,
(a) w vckrorunu. u ile r.
(b) ! vektorunu u ile w
cinsinden yazunz,
2. ~ckil<le ABCD paralelkenardir.
y
p
AP= A1 AB. AQ = 1i.2 AC, AR="-:,. AD
oldugunda,
Q
0 x
olacagnu gostcriniz.
Yukndaki ~ekilde M noktasi lPQ] dogru parcasmm
011a noktasidir.
6. u = (2, -1 ), v = (-1, l) vektorleri icin
J
c= 2 (a+ b) u + v. 1t - 11, 3u - 2v, -4u . 511
oldugunu gosteriniz. vektorlerini bulunuz.
3.
A
7. Bitirn noktasi B(3, -11) olan AB= (2 , 5) vektoriintin
A baslangic noktasiru bulunuz.
8. Asagrdak] vcktorlcrin boyunu (hliyi.iklti~i.inli)h esaplayi-
ruz,
a= (4, 12) c = (--6, -8) m=(l,-1)
Sckildc G, kcnarortaylann kcsim noktasidir,
GA+GB +GC=O b = { 5, 12) d =a (3, 0)
oldugunu gosteriniz.
4.
'). (9, 12) =a 3 (x, y) + 2 (3. 0) esitligini saglayan x vc y
K
sayilanm bulunuz,
10. u + Y = i ve tt - v = j esitliklerini saglayan u ve v vek-
torlcrini bulunuz.
i:l 11. u = (8, -9) vcktoriinun a= (1. -3) vc b = (-2. I) vek-
ABC ucgeninin agirhk merkezi G ve ii~gen duzlemin-
torlerinin lineer blrlesimi olarak yazmiz. u vektornnttn
de ahnan herhangi bir nokta K olsun,
bu vektorlere gore bilesenlerini bulunuz.
KA + KB + KC = 3 KG
olacagmi gosteriniz.
3
www.ieeeturkiye.wordpress.com adına yüklenmiş olup toplumları geliştiren
bilginin herhangi bir şekilde ulaşılaşılamaz olmasını kabullenemeyen kişi veya
kişiler tarafından upload edilmiştir.saygılarımzla..
byns
12. Uznnlugu, (16, -12) vekturunun uzunlugunun yansi, yo- 20. Her a ve b vektorleri icin
nii bu vektoriin yonilni.l.n tersi olan bir vektor bulunuz,
u= II 011 a+II 011 s, r= II 011 b-]J bll a
13. A~a.g1daki vektorlcrle ayni yonlti hirer birim vektor vcktorlcrinin dik olacaklanru gostcriniz. .
bulunuz.
(a; (-8, ----0) (b) (5. 0) (C) 3i - 4j = II =
21. 11 n II 11. v II= 23 ve 11 u- rll 30 olduguna gore
14. A~agidaki vektorlerlc zit yonlu bircr birim vcktor bulunuz.
II
1111 + ,, nedir?
(a) {4, 3) (b) (0, 6) (C) Si+ lq
22. a + b + c = 0 bagmnsuu saglayan a, b, c birirn vcktorlcri
15. u=(2,3), v=(-1,5), w=(7.-9) vcktorlcri veriliyor,
icln
w;;;;: au+ bv
ll.h+h.c+c.a
esitligini saglayan a ve b sayilanru bulunuz.
toplarmrn hesaplaymrz,
, 16. Asagrdaki vektor ciftlerinin skalar carpunlanni hesaplayi-
ruz.
23. II a II = 3, II /J II = 5 olduguna gdre t nin hangi tleger1eri
(:.1) (2, 4); (1, -3) (h) (-4, -6); (-2, 5) icin ct+ th ile a th vektorleri birbirlerine dik olur?
17. Asagida boylan ve aralarmdaki acnun olcusu verilen vek- 24. a. b =a. c ve a -:;t. 0 ise b = c midir?
liirlerin skalar Qarp1m nu bu]unuz.
(al IHI =4. II rll = 6• e == 60° 25. Uzunlugu 2 birirn ve y011ii u = -i + 2j ile 7.1t yonlu ohm
bir vektor bulunuz.
(b) 11 ull = 2• II rll ~ 3, e:;; 1so0
(c) ll ull =5, II vii= 4, A= 180° /
(d)
45°
'-'...18. u = (4, 3). t' = (6, 8) vcktorlcri icin
(u + v) (u - v}
~arp1mm1 hesaplayiruz.
19. u ilc v , 120 dcrccelik aci yapan iki vektor olsun,
II « !I = 4, II r II = 3 olduguna gore asagrdakl ifadeleri
hesapla yuuz.
Bi.iyi.ikJi.igli IIFII == 30 Newton olan bir kuvvet, yatayla 45
(a) u , l' (e) v2 = r. v derecelik a~1 yapacak ~ekilde bir market arabasina etki et-
rnektedir, Bu kuvvetin yatay ve dusey bilesenlerini
bulunuz.
(b) [u r v] (f) 11311+2~1
(C.) llu-vll lg) (2u - ,,)2
{d) u2 = U. U (11) (Ju+ 2v) . (3u - 2v)
4
byns
Vcktiirlcr. Dogru re Diizlem Deuklemleri
J Rl.mmJlll.Unnl.1JC..U..llJ..O:.U.l.1.tl.:~J.1JJ .isu: H _ - -~··· , ·-···--····-·--·····-· ···-- .,
I. (a) u + v = w, / "
•;/
(b) v = w - u
I
/
= -1
2. 2c = a + b ::::::, c (a+b)
2
h
3. IOEI = IGDI olacak bicirndc, GD uzerinde hir E noktas: alalrm.
GA=-GE dir,
GB + GC = GE :::::} GB + GC = - GA :::::} GA+ GB + GC = 0.
4. KG+GA=KA
KG +GB=KB
+ KG+GC=KC
=
3 KG + G.__A__+_G__B,_+__G...C KA+KB+KC
0
3 KG =KA+KB + KC
5. R noktasmdan AB kenanna RT, Q dan KQ paralelini eizelim. D
i~ lj~f
1
l;cl l:BI A,IABI
= =,> = =,> b =
IAQI
A2IACI
JoCe l= IACI:::::} IACB I = lAq A2IABI
=} c=
B
c1 aI + 1
olur, a= 11.11ABI oldugu verilmisti. APTR yamugunda e:::: b oldugundan
I l l l l 1
A IABI = A IABI + A IABI ::;, X- =--::;:- = X- bulunur.
2 L 3 2 I 3
6. u + v = (2-l. -1+1) = ( 1,0), u- v = (2 + l,-1-1) = (3,-2). 3u - 2,, = (6, -3)- (-2, 2) = (6 + 2, -3~2) = (8,-5)
--4u = f4.2. 4 (-1)] = (8, -4), 5" == ~5(-1), 5.1) = (-5, 5)
7. A(x,y),AB=(53-x, -Jl-y)=(2.5) => 3-x=2vc-11-y=5=}x::::l,y=-16 A(],-16)
5
byns
I 'e ktiirler. nvgru l'C l>li:.fem Dcnklcmleti
a. 11 a 11 = ~/16 + 144 = ,,..160 = -1./16.10 = 4-,/io, 11 h 11 = -hs + 144 = -/1@ = 13
11 c 11 = ,/36 +64 = \···100 = 10, II d II = -,/9+0 == a/9 = 3
llm 11= -/~ = -\/2, II n II = -v'2+14 = -,,:16 = 4
9. (9,12)=(3x+3y)+(6,0)=(3x+6,3y):::;,, 3x+6=9 ve 3y=12:::::}x=l, y=4
u+v=i}
l I
IO . :::;,, 2u= i+j vc 2v = i-j :::;,, u=1(i+j), v= -2(i-j)
u- ,., = J -
11. u = xa + yb ==> (x , -3x) + (-2y, y) = (x-2y, -3x+y) = (8. -9)
x-2y=8}
==> x = -2, y = -3 olur. u nun a vc b vektorerine gore bilesinleri (2, -3) tur,
-3x+y= -9
J
1 ( 16 12
1-, u =--a= --_ - _ =(-8 6)
-· 2 2 '2 '
IH=10,
13. (a) a+B,-6), u = a= 1
11~1 ~(-8,-6)=(-t-{
M 11:1(-k (
( b) b = ( 5, 0), = 5, v = 5, 0) = { 1, OJ
t-~
:r
H
J
(c ) c = 3i-4j, = s, w = =-k(3.-4) = (
11
14.
15. w = au+bv =} (7, -9) = a(2, 3) + b(-1,5):::::} (7, -9) = (2a-b. 3a+5b) ==> 2a- h =_ _7 } ==> a= 2, h = -3
3a+5b - 9
16. (a) (2,4),(1, -3) ""2 - 12 = -10 (b) (-4. -6).(-2. 5) = 8-,--- 30 = -22
17. (a) u.v=llnll lH cos60=4.6.' 2;;1;;;: 12 (b) n.v = 2.3-(- ~ )=-3/l
u.v
(c) u.v=5.4.(-l)=-2U (d) = 4.6.1 = 24
6
byns
18 ( u + v) .( u - v ) = u. u - v , v "" lluf - lfvll2 ;;;;; 25 - I 00 = - 7 S
u.v=llull llvll
19 (a) cos8=4.3.(-~)=-6
llu +\'11 v) u.u lfuf + 11"11 2llnll llvllcos
(b) 2 :::, (u + v).(u + = H .v + 2u.,, = 2 + 120°
lluhll
= 16 + 9+ 2.4.3.(-±) = 13 ==> = v·'13
llu-vl[ lluf +llvll llu-vJI
(c) 2 = 2 -2u.v = 16 +9 +12 = 37::::} = \/37
= llnll2 =
(d) n2 16,
llvll2
(e) v2 = v .v = = 9
(/) ll2u + 3vll' = 4u2 +9v2 + 12u.v = 4.16 +9. 9 + 12.4.3{-~ J = 64+ 81- 72 = 73 => ll2u + 3vll = ,:73
(llblla+ llaJlb ).(llnllb + llblio) llall llblla.b-llbf ll ll -llnll llblla.b
20 u.v = = o.o+ 02b .h
-llhf llaf IJ tl IM
= + 02 2 ""0 ==> u.Lv
21. llu- vf = 900::::;, llull2 + llvll2 - 2u.v = 900 => 112 + 232 - 2u.,, = 900 ==) Zu.v = -250
r
II u + v == u2 + v 2 + 2u. "' = 121 + 529 - 250 = 400 => llu + vii = 20
22. a.{a+b+c)=a.O => a2 + a.b +a.c = 0 ~ a.b + a.c =-1
b.(a+b+c)=b.O ==> b2 + a.b +b.c = 0 ~ a.b + b.c =-1
c.(a+h+c)=c.O ==> c2 + a.c -b,c = 0 ==> a.c + b.c =- I
Bu esitlikler taraf tarafa toplarnrsa
2 (a.b + b.c + c.a) = -3 ==) a.b + b.c + c.a = -23 bulunur.
24. a=(l.1), b=(2 ,2). c:::::(3.3) icin a.b=a.c=O oldugu halde b s c dir.
2 . i) 2 . 4 .
\' =-=-(-1+· 2 J ;-----.==-1+-=-J
,/5 ,JS ,/5
j
\/2 - .)1 .--
2(), F~=30.cos45°(-i)=-302i=-15·,./2i, FY=30.cos45°(-j)~-30
2-j=-15,/2.i
F
F y
7