Gauge theory for fiber bundles

106 Pages·1991·0.734 MB·English

by  Peter W. Michor

GAUGE
THEORY
FOR
FIBER
BUNDLES
Peter W(cid:1) Michor
Mailingaddress(cid:1) Peter W(cid:2) Michor(cid:3)
Institut fu(cid:4)r Mathematikder Universit(cid:4)at Wien(cid:3)
Strudlhofgasse (cid:5)(cid:3) A(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:8) Wien(cid:3) Austria(cid:2)
E(cid:6)mailmichor(cid:10)awirap(cid:2)bitnet
(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)Mathematicssubjectclassi(cid:1)cation(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:9)(cid:5)(cid:6)C(cid:4)(cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:6)C(cid:1)(cid:4)(cid:9)(cid:5)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:9)(cid:5)(cid:3)D(cid:4)(cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:3)A(cid:6)(cid:5)
Extendedversionofaseries oflectures heldattheInstitute ofPhysics
of the University of Napoli(cid:3)March (cid:11)(cid:12) (cid:13) April (cid:7)(cid:3) (cid:7)(cid:9)(cid:12)(cid:12)
(cid:1)
Table of contents
Introduction (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:11)
(cid:7)(cid:2) Notations and conventions (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:14)
(cid:11)(cid:2) Calculus of smoothmappings (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:15)
(cid:16)(cid:2) Calculus of holomorphicmappings (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7)(cid:8)
(cid:5)(cid:2) Calculus of real analytic mappings (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7)(cid:11)
(cid:14)(cid:2) In(cid:17)nite dimensionalmanifolds (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7)(cid:5)
(cid:15)(cid:2) Manifoldsof mappings (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7)(cid:18)
(cid:18)(cid:2) Di(cid:19)eomorphismgroups (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:11)(cid:11)
(cid:12)(cid:2) The Fr(cid:4)olicher(cid:6)Nijenhuis Bracket (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:11)(cid:18)
(cid:9)(cid:2) Fiber Bundles and Connections (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:16)(cid:15)
(cid:7)(cid:8)(cid:2) Principal Fiber Bundles and G(cid:6)Bundles (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:5)(cid:5)
(cid:7)(cid:7)(cid:2) Principal and Induced Connections (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:15)(cid:8)
(cid:7)(cid:11)(cid:2) Holonomy (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:18)(cid:15)
(cid:7)(cid:16)(cid:2) The nonlinear frame bundle of a (cid:17)ber bundle (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:12)(cid:7)
(cid:7)(cid:5)(cid:2) Gauge theory for (cid:17)ber bundles (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:12)(cid:16)
(cid:7)(cid:14)(cid:2) A classifying space for the di(cid:19)eomorphismgroup (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:12)(cid:15)
(cid:7)(cid:15)(cid:2) A characteristic class (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:9)(cid:8)
(cid:7)(cid:18)(cid:2) Self duality (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:9)(cid:12)
References (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7)(cid:8)(cid:7)
List of Symbols (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7)(cid:8)(cid:11)
Index (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7)(cid:8)(cid:16)
(cid:8)
Introduction
Gauge theory usually investigates the space of principal connections
on a principal (cid:17)ber bundle (cid:20)P(cid:1)p(cid:1)M(cid:1)G(cid:21) and its orbit space under the
action of the gauge group (cid:20)called the modulispace(cid:21)(cid:3) which is the group
of all principal bundle automorphisms of P which cover the identity
on the base space M(cid:2) It is the arena for the Yang(cid:6)Mills(cid:6)Higgs equa(cid:6)
tions which allows (cid:20)with structure group U(cid:20)(cid:7)(cid:21) SU(cid:20)(cid:11)(cid:21)(cid:21) a satisfactory
(cid:1)
uni(cid:17)ed description of electromagnetic and weak interactions(cid:3) which was
developed by Glashow(cid:3) Salam(cid:3) and Weinberg(cid:2) This electro(cid:6)weak the(cid:6)
orypredicted the existence ofmassivevector particles (cid:20)the intermediate
(cid:1) (cid:1)
bosons W (cid:3) W (cid:3) and Z(cid:21)(cid:3) whose experimental veri(cid:17)cation renewed the
interest of physicists in gauge theories(cid:2)
On the mathematical side the investigation of self dual and anti self
SU(cid:20)(cid:11)(cid:21)(cid:6)connections on (cid:5)(cid:6)manifoldsand of their imagein the orbit space
led to stunning topological results in the topology of (cid:5)(cid:6)manifolds by
Donaldson(cid:2) The modulispace of anti self dual connections can be com(cid:6)
pleted and reworked into a (cid:14) dimensional manifoldwhich is a bordism
between the base manifold of the bundle and a simple manifold which
depends only on the Poincar(cid:22)e duality form in the second dimensional
homology space(cid:2) Combined with results of Freedman this led to the
(cid:2)
discovery of exotic di(cid:19)erential structures on and on (cid:20)supposedly all
(cid:2)
but S (cid:21) compact algebraic surfaces(cid:2)
In his codi(cid:17)cation of a principal connection (cid:23)Ehresmann(cid:3) (cid:7)(cid:9)(cid:14)(cid:7)(cid:24) be(cid:6)
gan with a more general notion of connection on a general (cid:17)ber bundle
(cid:20)E(cid:1)p(cid:1)M(cid:1)S(cid:21) with standard (cid:17)ber S(cid:2) This was called an Ehresmann con(cid:6)
nection by some authors(cid:3) we will call it just a connection(cid:2) It consists
ofthe speci(cid:17)cation of acomplementto the vertical bundle in adi(cid:19)eren(cid:6)
tiable way(cid:3) called the horizontal distribution(cid:2)
One can conveniently describe such a connection as a one form on
the total space E with values in the vertical bundle(cid:3) whose kernel is
the horizontaldistribution(cid:2) When combinedwithanother venerable no(cid:6)
tion(cid:3) the Fr(cid:4)olicher(cid:6)Nijenhuis bracket for vector valued di(cid:19)erential forms
(cid:20)see (cid:23)Fr(cid:1)olicher(cid:2)Nijenhuis(cid:3)(cid:7)(cid:9)(cid:14)(cid:15)(cid:24)(cid:21)oneobtainsaveryconvenientwayto
describe curvature and Bianchi identity for such connections(cid:2) Parallel
transport along curves in the base space is de(cid:17)ned only locally(cid:3)but one
may show that each bundle admits complete connections(cid:3) whose paral(cid:6)
lel transport is globally de(cid:17)ned (cid:20)theorem (cid:9)(cid:2)(cid:7)(cid:8)(cid:21)(cid:2) For such connections
one can de(cid:17)ne holonomy groups and holonomy Lie algebras and one
mayprove afar(cid:6)reachinggeneralizationofthe AmbroseSinger theorem(cid:1)
A complete connection tells us whether it is induced from a principal
connection on a principal (cid:17)ber bundle (cid:20)theorem (cid:7)(cid:11)(cid:2)(cid:5)(cid:21)(cid:2)
Introduction (cid:6)
A bundle (cid:20)E(cid:1)p(cid:1)M(cid:1)S(cid:21) without structure group can also be viewed as
having the whole di(cid:19)eomorphism group Di(cid:19)(cid:20)S(cid:21) of the standard (cid:17)ber
S as structure group(cid:3) as least when S is compact(cid:2) We de(cid:17)ne the non
linear framebundle for E which is a principle (cid:17)ber bundle over M with
structure group Di(cid:19)(cid:20)S(cid:21) and we show that the theory of connections on
E corresponds exactlytothe theoryofprincipalconnectionsonthisnon
linear frame bundle (cid:20)see section (cid:7)(cid:16)(cid:21)(cid:2) The gauge group of the non lin(cid:6)
ear frame bundle turns out to be just the group of all (cid:17)ber respecting
di(cid:19)eomorphismsofE which cover the identityon M(cid:3) and one maycon(cid:6)
sider the modulispace Conn(cid:20)E(cid:21)(cid:2)Gau(cid:20)E(cid:21)(cid:2) There is hope that it can be
strati(cid:17)ed into smooth manifolds corresponding to conjugacy classes of
holonomygroups in Di(cid:19)(cid:20)S(cid:21)(cid:3) but this willbe treated in another paper(cid:2)
The di(cid:19)eomorphism group Di(cid:19)(cid:20)S(cid:21) for a compact manifoldS admits
a smoothclassifyingspace and a classifyingconnection(cid:1) the space ofall
(cid:3)
embeddingsofS intoaHilbertspace(cid:3) (cid:3)say(cid:3)isthetotalspaceofaprinci(cid:6)
palbundlewithstructure groupDi(cid:19)(cid:20)S(cid:21)(cid:3) whosebase manifoldisthenon
(cid:3)
linear Grassmanian of all submanifolds of (cid:3) of type (cid:20)di(cid:19)eomorphic to(cid:21)
S(cid:2) The action of Di(cid:19)(cid:20)S(cid:21) on S leads to the (cid:20)universal or classifying(cid:21) as(cid:6)
sociated bundle(cid:3) which admitsaclassifyingconnection(cid:1) Every S(cid:6)bundle
over M can be realized as the pull back of the classifying bundle by a
classifying smooth mapping from M into the non linear Grassmanian(cid:3)
which can be arranged in such a way that it pulls back the classifying
connection to a given one on E (cid:13) this is the Narasimhan(cid:6)Ramadas
procedure for Di(cid:19)(cid:20)S(cid:21)(cid:2)
Characteristic classes owe their existence to invariantpolynomialson
the Lie algebra of the structure group like characteristic coe(cid:25)cients of
matrices(cid:2) The Lie algebra of Di(cid:19)(cid:20)S(cid:21) for compact S is the Lie algebra
X(cid:20)S(cid:21) of vector (cid:17)elds on S(cid:2) Unfortunately it does not admitany invari(cid:6)
ants(cid:2) But there are equivariants like X X(cid:4) for some closed form (cid:4)
(cid:2)(cid:3)L
onS whichcanbeusedtogiveasortofChern(cid:6)Weilconstructionofchar(cid:6)
acteristic classes inthecohomologyofthe baseM withlocalcoe(cid:25)cients
(cid:20)see sections (cid:7)(cid:15) and (cid:7)(cid:18)(cid:21)(cid:2)
Finally we discuss some self duality and anti self duality conditions
which depend on some(cid:17)berwise structure on the bundle likea (cid:17)berwise
symplectic structure(cid:2)
This booklet starts with a short description of analysis in in(cid:17)nite
dimensions along the lines of Fr(cid:4)olicher and Kriegl which makes in(cid:17)nite
dimensionaldi(cid:19)erential geometry much simpler than it used to be(cid:2) We
treatsmoothness(cid:3)realanalyticityandholomorphy(cid:2) Thispartisbasedon
(cid:23)Kriegl(cid:2)Michor(cid:3) (cid:7)(cid:9)(cid:9)(cid:8)b(cid:24) and the forthcoming book (cid:23)Kriegl(cid:2)Michor(cid:24)(cid:2)
Then we give a more detailed exposition of the theory of manifolds of
mappings and the di(cid:19)eomorphism group(cid:2) This part is adapted from
(cid:10) Introduction
(cid:23)Michor(cid:3) (cid:7)(cid:9)(cid:12)(cid:8)(cid:24) to the use of the Fr(cid:4)olicher(cid:6)Kriegl calculus(cid:2) Then we
present acarefulintroductiontotheFr(cid:4)olicher(cid:6)Nijenhuisbracket(cid:3)to(cid:17)ber
bundles and connections(cid:3) G(cid:6)structures and principal connection which
emphasizes the construction and recognition of induced connections(cid:2)
Thematerialintherestofthebook(cid:3)fromsection(cid:7)(cid:11)onwards(cid:3)hasbeen
published in (cid:23)Michor(cid:3) (cid:7)(cid:9)(cid:12)(cid:12)(cid:24)(cid:2) The version here is much more detailed
and contains moreresults(cid:2)
The material in this booklet is a much extended version of a series
of lectures held at the Institute of Physics of the University of Napoli(cid:3)
March (cid:11)(cid:12)(cid:26)April(cid:7)(cid:3)(cid:7)(cid:9)(cid:12)(cid:12)(cid:2) IwanttothankG(cid:2)Marmoforhishospitality(cid:3)
hisinterestinthissubject(cid:3)andforthesuggestiontopublishthisbooklet(cid:2)
Wien(cid:3) August (cid:15)(cid:3) (cid:7)(cid:9)(cid:9)(cid:8) P(cid:2) Michor
(cid:5)
(cid:1)(cid:2) Notations and conventions
(cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:4) De(cid:5)nition(cid:4) A Lie group G is a smooth manifold and a group
such that the multiplication(cid:5) (cid:1) G G G is smooth(cid:2) Then also the
(cid:1) (cid:3)
inversion (cid:6) (cid:1)G G turns out to be smooth(cid:2)
(cid:3)
We shall use the followingnotation(cid:1)
(cid:5)(cid:1)G G G(cid:3) multiplication(cid:3)(cid:5)(cid:20)x(cid:1)y(cid:21)(cid:27)x(cid:7)y(cid:2)
(cid:1) (cid:3)
(cid:8)a (cid:1)G G(cid:3) left translation(cid:3)(cid:8)a(cid:20)x(cid:21)(cid:27)a(cid:7)x(cid:2)
(cid:3)
(cid:9)a (cid:1)G G(cid:3) right translation(cid:3) (cid:9)a(cid:20)x(cid:21)(cid:27)x(cid:7)a(cid:2)
(cid:3) (cid:1)(cid:4)
(cid:6) (cid:1)G G(cid:3) inversion(cid:3) (cid:6)(cid:20)x(cid:21)(cid:27)x (cid:2)
(cid:3)
e G(cid:3) the unit element(cid:2)
(cid:4)
If g(cid:27)TeG is the Lie algebra of G(cid:3) we use the followingnotation(cid:1)
AdG (cid:1)G AutLie(cid:20)g(cid:21) and so on(cid:2)
(cid:3)
(cid:3)(cid:4)(cid:6)(cid:4) Let (cid:3) (cid:1) G M M be a left action(cid:3) so (cid:3)(cid:28)(cid:1) G Di(cid:19)(cid:20)M(cid:21) is a
(cid:1) (cid:3) (cid:3)
group homomorphism(cid:2) Then we have partial mappings (cid:3)a (cid:1) M M
x x (cid:3)
and (cid:3) (cid:1)G M(cid:3) given by (cid:3)a(cid:20)x(cid:21)(cid:27)(cid:3) (cid:20)a(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:20)a(cid:1)x(cid:21)(cid:27)a(cid:7)x(cid:2)
(cid:3) M
For any X g we de(cid:17)ne the fundamental vector (cid:1)eld (cid:10)X (cid:27) (cid:10)X
(cid:4) x (cid:4)
X(cid:20)M(cid:21) by (cid:10)X(cid:20)x(cid:21)(cid:27)Te(cid:20)(cid:3) (cid:21)(cid:7)X (cid:27)T(cid:5)e(cid:1)x(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:20)X(cid:1)(cid:8)x(cid:21)(cid:2)
Lemma(cid:4) In this situation the followingassertions hold(cid:1)
(cid:20)(cid:7)(cid:21) (cid:10) (cid:1)g X(cid:20)M(cid:21) is a linear mapping(cid:2)
(cid:3)
(cid:20)(cid:11)(cid:21) Tx(cid:20)(cid:3)a(cid:21)(cid:7)(cid:10)X(cid:20)x(cid:21)(cid:27)(cid:10)Ad(cid:5)a(cid:6)X(cid:20)a(cid:7)x(cid:21)(cid:2)
(cid:20)(cid:16)(cid:21) RX (cid:8)M X(cid:20)G M(cid:21) is (cid:3)(cid:3)related to (cid:10)X X(cid:20)M(cid:21)(cid:2)
(cid:1) (cid:4) (cid:1) (cid:4)
(cid:20)(cid:5)(cid:21) (cid:23)(cid:10)X(cid:1)(cid:10)Y(cid:24)(cid:27) (cid:10)(cid:7)X(cid:1)Y(cid:8)(cid:2)
(cid:5)
(cid:3)(cid:4)(cid:7)(cid:4) Let r (cid:1) M G M be a right action(cid:3) so r(cid:28) (cid:1) G Diff(cid:20)M(cid:21)
(cid:1) (cid:3) (cid:3)
is a group anti homomorphism(cid:2) We will use the following notation(cid:1)
a a
r (cid:1)M M and rx (cid:1)G M(cid:3) given by rx(cid:20)a(cid:21)(cid:27)r (cid:20)x(cid:21)(cid:27)r(cid:20)x(cid:1)a(cid:21)(cid:27)x(cid:7)a(cid:2)
(cid:3) (cid:3) M
For any X g we de(cid:17)ne the fundamental vector (cid:1)eld (cid:10)X (cid:27) (cid:10)X
(cid:4) (cid:4)
X(cid:20)M(cid:21) by (cid:10)X(cid:20)x(cid:21)(cid:27)Te(cid:20)rx(cid:21)(cid:7)X (cid:27)T(cid:5)x(cid:1)e(cid:6)r(cid:7)(cid:20)(cid:8)x(cid:1)X(cid:21)(cid:2)
Lemma(cid:4) In this situation the followingassertions hold(cid:1)
(cid:20)(cid:7)(cid:21) (cid:10) (cid:1)g X(cid:20)M(cid:21) is a linear mapping(cid:2)
(cid:20)(cid:11)(cid:21) Tx(cid:20)ra(cid:3)(cid:21)(cid:7)(cid:10)X(cid:20)x(cid:21)(cid:27)(cid:10)Ad(cid:5)a(cid:1)(cid:1)(cid:6)X(cid:20)x(cid:7)a(cid:21)(cid:2)
(cid:20)(cid:16)(cid:21) (cid:8)M LX X(cid:20)M G(cid:21) is r(cid:3)related to (cid:10)X X(cid:20)M(cid:21)(cid:2)
(cid:1) (cid:4) (cid:1) (cid:4)
(cid:20)(cid:5)(cid:21) (cid:23)(cid:10)X(cid:1)(cid:10)Y(cid:24)(cid:27)(cid:10)(cid:7)X(cid:1)Y(cid:8)(cid:2)
(cid:11)
(cid:3)(cid:2) Calculus of smooth mappings
(cid:6)(cid:4)(cid:3)(cid:4) The traditional di(cid:19)erential calculus works well for (cid:17)nite dimen(cid:6)
sional vector spaces and for Banach spaces(cid:2) For more general locally
convex spaces a whole(cid:29)ock of di(cid:19)erent theories were developed(cid:3) each of
themrathercomplicatedandnonereallyconvincing(cid:2) Themaindi(cid:25)culty
isthatthecompositionoflinearmappingsstopstobejointlycontinuous
at the level of Banach spaces(cid:3) for any compatible topology(cid:2) This was
the originalmotivationfor the development of a whole new (cid:17)eld within
general topology(cid:3)convergence spaces(cid:2)
Thenin(cid:7)(cid:9)(cid:12)(cid:11)(cid:3)AlfredFr(cid:4)olicherandAndreas Krieglpresented indepen(cid:6)
dently the solution to the question for the right di(cid:19)erential calculus in
in(cid:17)nite dimensions(cid:2) They joined forces in the further development of
the theory and the (cid:20)up to now(cid:21) (cid:17)nal outcome is the book (cid:23)Fr(cid:1)olicher(cid:2)
Kriegl(cid:3) (cid:7)(cid:9)(cid:12)(cid:12)(cid:24)(cid:3) which is the general reference for this section(cid:2) See also
the forthcomingbook (cid:23)Kriegl(cid:2)Michor(cid:24)(cid:2)
In this section I willsketch the basic de(cid:17)nitions and the most impor(cid:6)
tant results of the Fr(cid:4)olicher(cid:6)Kriegl calculus(cid:2)
(cid:2)
(cid:6)(cid:4)(cid:6)(cid:4) The c (cid:2)topology(cid:4) Let E be a locally convex vector space(cid:2) A
(cid:2)
curve c (cid:1) E is called smooth or C if all derivatives exist and
(cid:3) (cid:2)
are continuous (cid:6) this is a concept without problems(cid:2) Let C (cid:20) (cid:1)E(cid:21) be
(cid:2)
the space of smooth functions(cid:2) It can be shown that C (cid:20) (cid:1)E(cid:21) does
not depend on the locally convex topology of E(cid:3) only on its associated
bornology (cid:20)system of bounded sets(cid:21)(cid:2)
The (cid:17)nal topologies with respect to the following sets of mappings
into E coincide(cid:1)
(cid:2)
(cid:20)(cid:7)(cid:21) C (cid:20) (cid:1)E(cid:21)(cid:2)
c(cid:5)t(cid:6)(cid:1)c(cid:5)s(cid:6)
(cid:20)(cid:11)(cid:21) Lipschitz curves (cid:20)so that t(cid:1)s (cid:1)t(cid:27)s is bounded in E(cid:21)(cid:2)
f (cid:6) g
(cid:20)(cid:16)(cid:21) EB E (cid:1) B bounded absolutely convex in E (cid:3) where EB is
f (cid:3) g
the linear span of B equipped with the Minkowski functional
pB(cid:20)x(cid:21)(cid:1)(cid:27)inf (cid:8)(cid:11)(cid:8)(cid:1)x (cid:8)B (cid:2)
f (cid:4) g
(cid:20)(cid:5)(cid:21) Mackey(cid:6)convergent sequences xn x (cid:20)there exists a sequence
(cid:3)
(cid:8)(cid:12)(cid:8)n with (cid:8)n(cid:20)xn x(cid:21) bounded(cid:21)(cid:2)
(cid:7)(cid:8) (cid:5)
(cid:2) (cid:2)
This topologyiscalled the c (cid:6)topologyon E andwe write c E forthe
resulting topologicalspace(cid:2) In general (cid:20)on the space of test functions
D
for example(cid:21) it is (cid:17)ner than the given locally convex topology(cid:3) it is not
a vector space topology(cid:3) since scalar multiplication is no longer jointly
continuous(cid:2) The (cid:17)nest among all locally convex topologies on E which
(cid:2)
arecoarser thanc E isthe bornologi(cid:17)cationofthegivenlocallyconvex
(cid:2)
topology(cid:2) If E is a Fr(cid:22)echet space(cid:3) then c E (cid:27)E(cid:2)
(cid:8)(cid:12) Calculusofsmoothmappings (cid:13)
(cid:6)(cid:4)(cid:7)(cid:4) Convenient vector spaces(cid:4) Let E be a locally convex vector
space(cid:2) E is said to be a convenient vector space if one of the following
equivalent (cid:20)completeness(cid:21) conditions is satis(cid:17)ed(cid:1)
(cid:20)(cid:7)(cid:21) AnyMackey(cid:6)Cauchy(cid:6)sequence (cid:20)sothat (cid:20)xn xm(cid:21) isMackey con(cid:6)
(cid:5)(cid:2)
vergent to (cid:8)(cid:21) converges(cid:2) This is also called c (cid:6)complete(cid:2)
(cid:20)(cid:11)(cid:21) If B is bounded closed absolutely convex(cid:3) then EB is a Banach
space(cid:2)
(cid:20)(cid:16)(cid:21) Any Lipschitz curve in E is locally Riemannintegrable(cid:2)
(cid:2) (cid:2) (cid:3)
(cid:20)(cid:5)(cid:21) For any c(cid:4) C (cid:20) (cid:1)E(cid:21) there is c(cid:3) C (cid:20) (cid:1)E(cid:21) with c(cid:4) (cid:27) c(cid:3)
(cid:4) (cid:4)
(cid:20)existence of antiderivative(cid:21)(cid:2)
(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:4) Lemma(cid:4) Let E be a locally convex space(cid:2) Then the following
properties are equivalent(cid:1)
(cid:2)
(cid:20)(cid:7)(cid:21) E is c (cid:3)complete(cid:2)
k k k
(cid:20)(cid:11)(cid:21) If f (cid:1) E is scalarwise Lip (cid:4) then f is Lip (cid:4) for k (cid:11)(cid:7)(cid:2)
(cid:3) (cid:2)
(cid:20)(cid:16)(cid:21) If f (cid:1) E is scalarwise C then f is di(cid:5)erentiable at (cid:6)(cid:2)
(cid:3) (cid:2) (cid:2)
(cid:20)(cid:5)(cid:21) If f (cid:1) E is scalarwise C then f is C (cid:2)
(cid:3)
k k
Here a mapping f (cid:1) E is called Lip if all partial derivatives
(cid:3) n (cid:2)
up to order k exist and are Lipschitz(cid:3) locally on (cid:2) f scalarwise C
(cid:2)
means that (cid:8) f is C for all continuous linear functionals on E(cid:2)
(cid:9)
This lemma says that a convenient vector space one can recognize
smoothcurvesbyinvestigatingcompositionswithcontinuouslinearfunc(cid:6)
tionals(cid:2)
(cid:6)(cid:4)(cid:9)(cid:4) Smoothmappings(cid:4) LetEandF belocallyconvexvectorspaces(cid:2)
(cid:2) (cid:2)
A mappingf (cid:1) E F is called smooth or C (cid:3) if f c C (cid:20) (cid:1)F(cid:21) for
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:9) (cid:4)
all c C (cid:20) (cid:1)E(cid:21)(cid:30) so f(cid:4) (cid:1) C (cid:20) (cid:1)E(cid:21) C (cid:20) (cid:1)F(cid:21) makes sense(cid:2) Let
(cid:2) (cid:4) (cid:3)
C (cid:20)E(cid:1)F(cid:21) denote the space of all smooth mappingfromE to F(cid:2)
For E and F (cid:17)nite dimensionalthis gives the usual notion of smooth
mappings(cid:1) thishas been (cid:17)rst provedin (cid:23)Boman(cid:3)(cid:7)(cid:9)(cid:15)(cid:18)(cid:24)(cid:2) Constant map(cid:6)
pings are smooth(cid:2) Multilinear mappings are smooth if and only if they
are bounded(cid:2) Therefore we denote by L(cid:20)E(cid:1)F(cid:21) the space of allbounded
linear mappingsfrom E to F(cid:2)
(cid:2) (cid:2)
(cid:6)(cid:4)(cid:10)(cid:4) Structureon C (cid:20)E(cid:1)F(cid:21)(cid:4) Weequipthe space C (cid:20) (cid:1)E(cid:21)withthe
bornologi(cid:17)cation of the topology of uniform convergence on compact
(cid:2)
sets(cid:3) in all derivatives separately(cid:2) Then we equip the space C (cid:20)E(cid:1)F(cid:21)
withthebornologi(cid:17)cationoftheinitialtopologywithrespect toallmap(cid:6)
(cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:4) (cid:2)
pings c (cid:1)C (cid:20)E(cid:1)F(cid:21) C (cid:20) (cid:1)F(cid:21)(cid:3)c (cid:20)f(cid:21) (cid:1)(cid:27)f c(cid:3) for allc C (cid:20) (cid:1)E(cid:21)(cid:2)
(cid:3) (cid:9) (cid:4)
(cid:6)(cid:4)(cid:11)(cid:4) Lemma(cid:4) For locally convex spaces E and F we have(cid:1)
(cid:2)
(cid:20)(cid:7)(cid:21) If F is convenient(cid:4) then also C (cid:20)E(cid:1)F(cid:21) is convenient(cid:4) for any E(cid:2)
(cid:2)
The space L(cid:20)E(cid:1)F(cid:21)is a closed linear subspace ofC (cid:20)E(cid:1)F(cid:21)(cid:4)so it
(cid:3) (cid:8)(cid:12) Calculusofsmoothmappings
also convenient(cid:2)
(cid:20)(cid:11)(cid:21) IfE isconvenient(cid:4) then a curve c(cid:1) L(cid:20)E(cid:1)F(cid:21)is smoothifand
(cid:3)
only if t c(cid:20)t(cid:21)(cid:20)x(cid:21) is a smoothcurve in F for all x E(cid:2)
(cid:2)(cid:3) (cid:4)
(cid:6)(cid:4)(cid:12)(cid:4) Theorem(cid:4) Cartesian closedness(cid:4) The category of convenient
vector spaces and smooth mappings is cartesian closed(cid:2) So we have a
natural bijection
(cid:2) (cid:2) (cid:2)
C (cid:20)E F(cid:1)G(cid:21)(cid:27)C (cid:20)E(cid:1)C (cid:20)F(cid:1)G(cid:21)(cid:21)(cid:1)
(cid:1) (cid:10)
which is even a di(cid:5)eomorphism(cid:2)
(cid:2)
Ofcoarsethisstatementisalsotrueforc (cid:6)opensubsets ofconvenient
vector spaces(cid:2)
(cid:6)(cid:4)(cid:13)(cid:4) Corollary(cid:4) Let all spaces be convenient vector spaces(cid:2) Then the
followingcanonical mappingsare smooth(cid:2)
(cid:2)
ev (cid:1)C (cid:20)E(cid:1)F(cid:21) E F(cid:1) ev(cid:20)f(cid:1)x(cid:21)(cid:27)f(cid:20)x(cid:21)
(cid:2) (cid:1) (cid:3)
ins(cid:1)E C (cid:20)F(cid:1)E F(cid:21)(cid:1) ins(cid:20)x(cid:21)(cid:20)y(cid:21) (cid:27)(cid:20)x(cid:1)y(cid:21)
(cid:5) (cid:3)(cid:2) (cid:2) (cid:1) (cid:2)
(cid:20) (cid:21) (cid:1)C (cid:20)E(cid:1)C (cid:20)F(cid:1)G(cid:21)(cid:21) C (cid:20)E F(cid:1)G(cid:21)
(cid:6) (cid:2) (cid:3)(cid:2) (cid:2)(cid:1)
(cid:20) (cid:21) (cid:1)C (cid:20)E F(cid:1)G(cid:21) C (cid:20)E(cid:1)C (cid:20)F(cid:1)G(cid:21)(cid:21)
(cid:2) (cid:1) (cid:2)(cid:3) (cid:2)
comp(cid:1)C (cid:20)F(cid:1)G(cid:21) C (cid:20)E(cid:1)F(cid:21) C (cid:20)E(cid:1)G(cid:21)
(cid:2) (cid:2) (cid:1) (cid:3) (cid:2) (cid:3)(cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:3) (cid:3)
C (cid:20) (cid:1) (cid:21)(cid:1)C (cid:20)F(cid:1)F (cid:21) C (cid:20)E (cid:1)E(cid:21) C (cid:20)C (cid:20)E(cid:1)F(cid:21)(cid:1)C (cid:20)E (cid:1)F (cid:21)(cid:21)
(cid:1) (cid:3)
(cid:20)f(cid:1)g(cid:21) (cid:20)h f h g(cid:21)
(cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:3) (cid:9) (cid:9)
(cid:2) (cid:2)
(cid:1) C (cid:20)Ei(cid:1)Fi(cid:21) C (cid:20) Ei(cid:1) Fi(cid:21)
(cid:3)
Y Y Y Y
(cid:6)(cid:4)(cid:3)(cid:14)(cid:4) Theorem(cid:4) Let E and F be convenient vector spaces(cid:2) Then the
di(cid:5)erential operator
(cid:2) (cid:2)
d(cid:1)C (cid:20)E(cid:1)F(cid:21) C (cid:20)E(cid:1)L(cid:20)E(cid:1)F(cid:21)(cid:21)(cid:1)
(cid:3)
f(cid:20)x(cid:31)tv(cid:21) f(cid:20)x(cid:21)
df(cid:20)x(cid:21)v (cid:1)(cid:27) lim (cid:5) (cid:1)
t(cid:7)(cid:9) t
exists and is linear and bounded (cid:7)smooth(cid:8)(cid:2) Also the chain rule holds(cid:1)
d(cid:20)f g(cid:21)(cid:20)x(cid:21)v (cid:27)df(cid:20)g(cid:20)x(cid:21)(cid:21)dg(cid:20)x(cid:21)v(cid:7)
(cid:9)
(cid:6)(cid:4)(cid:3)(cid:3)(cid:4) Remarks(cid:4) Notethattheconclusionoftheorem(cid:11)(cid:2)(cid:12)isthestarting
point of the classical calculus of variations(cid:3) where a smooth curve in a
space of functions was assumed to be just a smooth function in one
variable more(cid:2)
(cid:8)(cid:12) Calculusofsmoothmappings (cid:2)
If one wants theorem (cid:11)(cid:2)(cid:12) to be true and assumes some other obvious
properties(cid:3) then the calculus of smooth functions is already uniquely
determined(cid:2)
Thereare(cid:3)however(cid:3)smoothmappingswhicharenotcontinuous(cid:2) This
is unavoidableand not so horrible as it mightappear at (cid:17)rst sight(cid:2) For
(cid:3)
example the evaluation E E is jointly continuous if and only if
(cid:1) (cid:3)
E is normable(cid:3) but it is always smooth(cid:2) Clearly smooth mappings are
(cid:2)
continuous for the c (cid:6)topology(cid:2)
For Fr(cid:22)echet spaces smoothness in the sense described here coincides
(cid:2)
with the notion Cc of (cid:23)Keller(cid:3) (cid:7)(cid:9)(cid:18)(cid:5)(cid:24)(cid:2) This is the di(cid:19)erential calculus
used by (cid:23)Michor(cid:3)(cid:7)(cid:9)(cid:12)(cid:8)(cid:24)(cid:3)(cid:23)Milnor(cid:3)(cid:7)(cid:9)(cid:12)(cid:5)(cid:24)(cid:3)and (cid:23)Pressley(cid:2)Segal(cid:3)(cid:7)(cid:9)(cid:12)(cid:15)(cid:24)(cid:2)
Aprevalent opinionincontemporarymathematicsis(cid:3)that forin(cid:17)nite
dimensionalcalculus each serious application needs its own foundation(cid:2)
Byaseriousapplicationoneobviouslymeanssomeapplicationofahard
inversefunctiontheorem(cid:2) These theoremscanbeproved(cid:3)ifbyassuming
enoughaprioriestimatesone creates enough Banachspace situationfor
some modi(cid:17)ed iteration procedure to converge(cid:2) Many authors try to
build their platonic idea of an a priori estimate into their di(cid:19)erential
calculus(cid:2) Ithinkthatthis makesthe calculusinapplicableandhidesthe
origin of the a priori estimates(cid:2) I believe(cid:3) that the calculus itself should
be as easy to use as possible(cid:3) and that all further assumptions (cid:20)which
most often come from ellipticity of some nonlinear partial di(cid:19)erential
equation of geometric origin(cid:21) should be treated separately(cid:3) in a setting
depending on the speci(cid:17)c problem(cid:2) I am sure that in this sense the
Fr(cid:4)olicher(cid:6)Krieglcalculus as presented here andits holomorphicandreal
analytic o(cid:19)springs in sections (cid:11) and (cid:16) below are universally usable for
most applications(cid:2)