Ganzzahlige a(cid:30)ne Hecke Algebren Diplomarbeit Betreuer: Prof. Dr. Peter Schneider Mathematisches Institut Fachbereich 10 - Mathematik und Informatik Westf(cid:228)lische Wilhelms-Universit(cid:228)t M(cid:252)nster vorgelegt von Marten Bornmann Ich widme diese Arbeit meinem Ne(cid:27)en Moritz, der heute das Licht der Welt erblickt hat. Danksagungen An dieser Stelle m(cid:246)chte ich allen danken, die mich bei der Erstellung dieser Diplom- arbeit unterst(cid:252)tzt haben. Zuerst bedanke ich mich bei Herrn Prof. Dr. Peter Schneider f(cid:252)r ein interessantes Thema und die sowohl hilfreiche als auch engagierte Betreuung. Auch Dr. Tobias Schmidt, der zwischenzeitlich die Betreuung (cid:252)bernommen hat, m(cid:246)chte ich hiermit meinen Dank aussprechen. Des Weiteren bin ich vielen Kommilitonen sehr dankbar, ob f(cid:252)r fachliche Gespr(cid:228)- che, moralischen Beistand oder praktische Hilfe. Da eine solche Au(cid:29)istung nicht vollst(cid:228)ndig sein kann, werde ich diese kurz halten. Namentlich hervorheben m(cid:246)chte ich Thomas Albers, Raphael Meiners, Lisa Ott, Franziska Schneider und Torsten Schoeneberg, wobei ich Torsten noch einmal explizit f(cid:252)r das Korrekturlesen danke. Schlie(cid:255)lich gilt ein herzlicher Dank meiner Familie, insbesondere meinen Eltern. Sie haben mich in jeder Situation unterst(cid:252)tzt und mir durch ihre Liebe und ihr Vertrauen stets Motivation und R(cid:252)ckhalt gegeben. Einleitung Etwas pr(cid:228)ziser k(cid:246)nnte der Titel dieser Arbeit etwa (cid:18)Endlichkeitsaussagen f(cid:252)r ganz- zahlige a(cid:30)ne generische Hecke Algebren einer Weylgruppe(cid:17) lauten. Diese Algebren und ihre Moduln (cid:28)nden ihre Anwendung in der Darstellungstheorie der reduktiven p-adischen Gruppen (cid:252)ber p-adischen K(cid:246)rpern und solchen in Charakteristik p. Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Darstellung eines Resultates von Vigneras ([11]) aus dem Jahre 2004. Wir beginnen zun(cid:228)chst mit dem Studium von Wurzeldaten in Kapitel 1 dieser Ar- beit. Abgesehen von einigen algebraischen Grundkenntnissen wird dabei kein spezi- elles Vorwissen (cid:21) insbesondere nicht die Theorie der Wurzelsysteme (cid:21) vorausgesetzt. ˇ ˇ ˇ Wir(cid:28)xierenzun(cid:228)chsteinWurzeldatumR = (X,X,R,R).DabeisindX undX freie Z-Moduln von endlichem Rang und R bzw. Rˇ die Teilmengen der Wurzeln bzw. Ko- wurzeln. Zun(cid:228)chst geht es vor allem darum, den Anschluss an die Theorie der Wurzelsysteme zu suchen, die in der Literatur besser abgedeckt ist als die der Wurzeldaten. Wir werden (cid:21) ausgehend von einer mit R gegebenen Bilinearform (·,·) (cid:21) ein Skalarpro- dukt (cid:104)·,·(cid:105) konstruieren und k(cid:246)nnen R als Wurzelsystem im euklidischen Vektorraum V = X ⊗R au(cid:27)assen. Dies erlaubt es uns, Argumente aus der Theorie der Wurzel- systeme, wie etwa in [2] oder [4], zu (cid:252)bernehmen. Eines der Hauptresultate besagt, dass jedes Wurzeldatum eine Basis B besitzt, das hei(cid:255)t eine linear unabh(cid:228)ngige Teilmenge von R, so dass jede Wurzel ganzzahlige Linearkombination mit nur nicht negativen oder nur nicht positiven Koe(cid:30)zienten von Elementen von B ist. Wir (cid:28)- xieren dann eine solche Basis B und verstehen unter einen Wurzeldatum ein solches ˇ ˇ mit ausgezeichneter Basis, das hei(cid:255)t ein Tupel R = (X,X,R,R,B). In Abschnitt 1.3 betrachten wir dann schlie(cid:255)lich irreduzible Wurzeldaten und eine Zerlegung von gewissen (cid:18)wesentlichen(cid:17) Wurzeldaten in solche. Dies ist vor allem eine Vorbereitung auf Kapitel 2, in dem wir Weylgruppen studieren. Gewisse Weylgrup- pen (cid:21) namentlich die endliche und die a(cid:30)ne Weylgruppe (cid:21) h(cid:228)ngen n(cid:228)mlich gar nicht davon ab, ob ein Wurzeldatum durch seinen wesentlichen Anteil ersetzt wird oder nicht, so dass wir uns auf den wesentlichen und dann sogar den irreduziblen Fall beschr(cid:228)nken k(cid:246)nnen. In Kapitel 2 sind dann Weylgruppen die zu studierenden Objekte. Zu jeder Wurzel α ∈ R haben wir eine zugeh(cid:246)rige Spiegelung s ∈ GL(X). Die endliche Weylgruppe α W ist dann die von allen s erzeugte Untergruppe von GL(X). Wir werden zeigen, 0 α dass diese eine von S = {s : α ∈ B} erzeugte Coxeter-Gruppe ist. 0 α i ii Abschnitt 2.2 besch(cid:228)ftigt sich mit der a(cid:30)nen Weylgruppe W . Diese ist das semi- aff direkte Produkt von W und Q, wobei Q der von R erzeugte Untermodul von X ist. 0 ˇ Wirde(cid:28)niereneineOrdnungsrelation(cid:22)aufRundordnendenminimalenElementen bez(cid:252)glich dieser Ordnungsrelation a(cid:30)ne Spiegelungen zu. Ist S dann die Vereini- gung von S und obigen Spiegelungen, so k(cid:246)nnen wir mit (cid:228)hnlichen Methoden wie 0 in Abschnitt 2.1 zeigen, dass (W ,S) ein Coxeter-System ist. Au(cid:255)erdem werden aff wir der L(cid:228)ngenfunktion dieses Coxeter-Systems eine geometrische Interpretation anhand von trennenden Hyperebenen geben. Wir erhalten so auch eine Fortsetzung der L(cid:228)ngenfunktion auf die Weylgruppe W, die wir als das semidirekte Produkt von W und X de(cid:28)nieren. 0 Dabei sehen wir, dass es eine endlich erzeugte abelsche Untergruppe Ω ⊂ W gibt, so dass W = ΩW gilt. Diese erlaubt es uns, f(cid:252)r das Studium von W, das letzt- aff endlich unser Ziel ist, (cid:228)hnliche Argumente zu verwenden wie bei Coxeter-Gruppen. Wir k(cid:246)nnen Ω als Menge aller Elemente von W mit L(cid:228)nge 0 beschreiben. Nach der Untersuchung der L(cid:228)ngenfunktion auf W, f(cid:252)r die wir eine explizite Formel ange- ben k(cid:246)nnen, de(cid:28)nieren wir eine Ordnungsrelation (cid:21) die Bruhat-Ordnung (cid:21) auf der Coxeter-Gruppe W und setzen diese mit Hilfe von Ω auf W fort. Schlie(cid:255)lich be- aff sch(cid:228)ftigen wir uns in Kapitel 2 noch mit Braidgruppen, die wir dann f(cid:252)r technische Zwecke in Hecke Algebren verwenden k(cid:246)nnen. In Kapitel 3 wenden wir uns dann letztendlich dem Studium von Hecke Algebren zu. Wir betrachten vor allem eine Hecke Algebra H, die wir als freien Modul (cid:252)ber einem Polynomring Z[q ] in endlich vielen Variablen mit der Basis (T ) de- ∗ w w∈W (cid:28)nieren, so dass die Multiplikation gewisse Relationen erf(cid:252)llt. Im Gegensatz zur h(cid:228)u(cid:28)g verwendeten Variante einer Hecke Algebra sind die so genannten generischen Gewichte q in H nicht invertierbar. Wir k(cid:246)nnen H jedoch als Unteralgebra einer s −1 Hecke Algebra H[q 2] au(cid:27)assen, in der die generischen Gewichte invertierbar sind. ∗ −1 F(cid:252)r (eine etwas weniger allgemeine Variante von) H[q 2] gibt es ein bekanntes Re- ∗ sultat von Bernstein und Lusztig ([6]): Diesem zu Folge gibt es eine kommutative −1 −1 Teilalgebra A von H[q 2], (cid:252)ber der H[q 2] ein freier Modul vom endlichen Rang ∗ ∗ #W ist.DieZerlegungvonW ineinsemidirektesProduktvonW undX (cid:252)bertr(cid:228)gt 0 0 −1 sich also in gewisser Weise auf H[q 2]. Wir haben eine nat(cid:252)rliche W -Wirkung auf ∗ 0 H[q−12], so dass wir das Zentrum von H[q−12] als Menge AW0 aller invarianten Ele- ∗ ∗ mente beschreiben k(cid:246)nnen. Dieses ist ein freier Modul (cid:252)ber einem Ring Z[q±12] von ∗ Laurent-Polynomen, dessen Basis (cid:252)ber die Bahnen der nat(cid:252)rlichen W -Wirkung auf 0 X indiziert ist. Die dort hinf(cid:252)hrenden Argumentationen beruhen jedoch zu gro(cid:255)en −1 Teilen darauf, dass die Gewichte q in H[q 2] invertierbar sind. Jedoch ist es beim s ∗ StudiumderModuln(cid:252)berHeckeAlgebren,dieinderDarstellungstheorievonreduk- tiven p-adischen Gruppen (cid:252)ber p-adischen K(cid:246)rpern oder K(cid:246)rpern in Charakteristik p auftreten, unerl(cid:228)sslich, die Gewichte nicht zu invertieren. Mit dieser Situation, das hei(cid:255)t mit der der Hecke Algebra H, besch(cid:228)ftigt sich oben erw(cid:228)hnter Artikel [11] von Vigneras. Dort wird eine alternative Basis (E ) de(cid:28)niert, die es erlaubt, w w∈W (cid:228)hnliche Aussagen wie obige auf H zu (cid:252)bertragen. Wir werden zun(cid:228)chst zeigen, dass A∩H ein freier Z[q ]-Modul mit der Basis (E ) ist. Daraufhin werden wir ∗ x x∈X iii feststellen, dass H ein endlich erzeugter H ∩A-Modul ist. Die Aussagen (cid:252)ber das Zentrum (cid:252)bertragen sich ebenfalls in (cid:228)hnlicher Weise: Wir werden zeigen, dass sich dieW -OperationaufAzueinersolchenaufA∩H einschr(cid:228)nktundsichdasZentrum 0 analog durch (A∩H)W0 beschreiben l(cid:228)sst. Dieses ist ein freier Z[q ]-Modul, dessen ∗ Basis wieder (cid:252)ber die Bahnen der W -Wirkung auf X indiziert ist. Au(cid:255)erdem ist 0 A∩H (cid:252)ber dem Zentrum von H endlich erzeugt und dieses ist eine endlich erzeugte Z[q ]-Algebra. ∗