Game of Life Cellular Automata

576 Pages·2010·24.79 MB·English

by  Carter Bays (auth.)

Game of Life Cellular Automata
Andrew Adamatzky
Editor
Game of
Life Cellular Automata
Editor
Prof.AndrewAdamatzky
UniversityoftheWestofEngland
BristolBS161QY
UnitedKingdom
[email protected]
ISBN978-1-84996-216-2 e-ISBN978-1-84996-217-9
DOI10.1007/978-1-84996-217-9
SpringerLondonDordrechtHeidelbergNewYork
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AcataloguerecordforthisbookisavailablefromtheBritishLibrary
LibraryofCongressControlNumber:2010928553
©Springer-VerlagLondonLimited2010
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Printedonacid-freepaper
SpringerispartofSpringerScience+BusinessMedia(www.springer.com)
Preface
In 1970 Martin Gardner spelled out the rules of a new solitaire game forged by
John Horton Conway.1 An unparalleled combination of functional simplicity with
behavioural complexity made Conway’s Game of Life the most popular cellular
automaton of all time. We commemorate the Game of Life’s 40th birthday with a
unique collection of works authored by renowned mathematicians, computer sci-
entists, physicists and engineers. The superstars of science, academy and industry
present their visions of the Game of Life cellular automaton, its extensions and
modifications,andspatially-extendedsystemsinspiredbytheGame.
The book covers hot topics in theory of computation, pattern formation, opti-
mization,evolution,non-linearsciencesandmathematics.Academics,researchers,
hobbyistsandstudentsinterestedintheGameofLifetheoryandapplicationswill
findthismonographavaluableguidetothefieldofcellularautomataandexcellent
supplementaryreading.
Bristol,UK AndrewAdamatzky
1“...eachcellofthecheckerboard(assumedtobeaninfiniteplane)haseightneighboringcells,
fouradjacentorthogonally,fouradjacentdiagonally.Therulesare:
1. Survivals.Everycounterwithtwoorthreeneighboringcounterssurvivesforthenextgenera-
tion.
2. Deaths.Eachcounterwithfourormoreneighborsdies(isremoved)fromoverpopulation.Every
counterwithoneneighborornonediesfromisolation.
3. Births.Eachemptycelladjacenttoexactlythreeneighbors—nomore,nofewer—isabirth
cell.Acounterisplacedonitatthenextmove.
...allbirthsanddeathsoccursimultaneously.”
MartinGardner,ThefantasticcombinationsofJohnConway’snewsolitairegame“life”.Scientific
American223(October1970):120–123.
v
Contents
1 IntroductiontoCellularAutomataandConway’sGameofLife . . . 1
CarterBays
1.1 ABriefBackground . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 TheOriginalGliderGun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 OtherGoLRulesintheSquareGrid . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 WhyTreatAllNeighborstheSame? . . . . . . . . . . . . . . . . 5
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
PartI Historical
2 Conway’sGameofLife:EarlyPersonalRecollections . . . . . . . . 11
RobertWainwright
3 Conway’sLife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
HaroldV.McIntosh
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 TheRulesoftheGame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 StillLifes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 PeriodTwo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Gliders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6 Oscillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.7 GliderGuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.8 PufferTrains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.9 LifeonaTorus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.10 CyclesofFinitePeriodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Life’sStillLifes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
HaroldV.McIntosh
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 CellularAutomata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 StillLife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
vii
viii Contents
4.4 DeBruijnDiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5 FirstStage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.6 SecondStage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.7 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 AZooofLifeForms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
HaroldV.McIntosh
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 (0,0,1)—StillLifes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.1 FirstLeveldeBruijnMatrix . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.2 PowersoftheStillLifedeBruijnMatrix . . . . . . . . . 53
5.2.3 SampleStillLifeStrips . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 (0,1,1)—LongitudinalCreepers . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3.1 FirstLeveldeBruijnMatrix . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3.2 PowersoftheLongitudinaldeBruijnMatrix . . . . . . . 59
5.3.3 SampleStripswithLongitudinalMovement . . . . . . . 61
5.4 (1,0,1)—TransversalCreepers. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4.1 FirstLeveldeBruijnMatrix . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4.2 PowersoftheTransversaldeBruijnMatrix . . . . . . . 62
5.4.3 SampleStripswithTransversalMovement . . . . . . . . 65
5.5 (1,1,1)—DiagonalCreepers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5.1 FirstLeveldeBruijnMatrix . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5.2 PowersoftheDiagonaldeBruijnMatrix . . . . . . . . . 66
5.5.3 SampleStripswithDiagonalMovement . . . . . . . . . 68
PartII ClassicalTopics
6 GrowthandDecayinLife-LikeCellularAutomata . . . . . . . . . . 71
DavidEppstein
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2 Life-LikeRules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3 NaturalEvolutionorIntelligentDesign?. . . . . . . . . . . . . . 73
6.4 Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.5 Decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.6 TheLife-LikeMenagerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.7 BeyondGrowthandDecay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7 TheB36/S125“2x2”Life-LikeCellularAutomaton . . . . . . . . . . 99
NathanielJohnston
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2 AshandCommonPatterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3 OscillatorsandSpaceships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.4 AsaBlockCellularAutomaton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.5 BlockOscillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Contents ix
Appendix:PatternCollection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8 ObjectSynthesisinConway’sGameofLifeandOtherCellular
Automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
MarkD.Niemiec
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.2 SimpleObjectSynthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.3 ArtImitatesLife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.4 LifeImitatesArt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.4.1 WishingfortheImpossible . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.4.2 AlteringtheLawsofPhysics . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.4.3 TheButterflyEffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.5 IncrementalSynthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.5.1 BetterLivingThroughChemistry . . . . . . . . . . . . . 120
8.5.2 TheJoyofCooking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.5.3 Fireworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.5.4 OpenHeartSurgery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.6 SynthesisofMovingObjects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.6.1 SpaceshipsandFlotillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.6.2 PufferTrains. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.6.3 GliderGuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.6.4 BreedersandOtherLargePatterns . . . . . . . . . . . . 129
8.7 OtherRules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.7.1 B34/S34Life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.7.2 B2/S2Life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.8 RemainingIssues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.8.1 GeneralProblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.8.2 ProblemswithStill-Lifes . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.8.3 ProblemswithPseudo-objects . . . . . . . . . . . . . . 133
8.8.4 ProblemswithOscillators . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.8.5 ProblemswithSpaceshipsandPufferTrains . . . . . . . 134
8.8.6 ProblemswithGliderGuns . . . . . . . . . . . . . . . . 134
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9 GlidersandGliderGunsDiscoveryinCellularAutomata . . . . . . 135
EmmanuelSapin
9.1 FormalisationsofCellularAutomata . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.1.1 SetofCellularAutomata . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.1.2 EvolutionofCellularAutomata . . . . . . . . . . . . . . 136
9.1.3 Isotropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.1.4 NumberofAutomata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.1.5 GameofLife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.1.6 QuiescentState . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.2 DefinitionsofPatterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
x Contents
9.2.2 PeriodicPattern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.2.3 Glider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.2.4 GliderGun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.2.5 SymmetricPattern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.3 AutomataandPatterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.3.1 AutomataAcceptingPatterns . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.3.2 AutomataofE AcceptingPatterns . . . . . . . . . . . . 146
9.3.3 AutomataofI AcceptingPatterns . . . . . . . . . . . . 146
9.4 SearchingforGliders. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.4.1 Rational . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.4.2 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.4.3 Gliders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.5 SearchingforGliderGuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.5.1 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.5.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.6 GunsofaSpecificGlider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.6.1 DifferentGuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.6.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.7 SynthesisandPerspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10 ConstraintProgrammingtoSolveMaximalDensityStillLife . . . . 167
GeoffreyChu,KarenElizabethPetrie,andNeilYorke-Smith
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.2 MaximumDensityStillLife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.3 ConstraintProgramming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.4 ConstraintProgrammingModelsforStillLife . . . . . . . . . . 170
10.5 SolvingStillLife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.5.1 DensityasBoardSizeIncreases . . . . . . . . . . . . . 172
10.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
PartIII Asynchronous,ContinuousandMemory-EnrichedAutomata
11 LargerthanLife’sExtremes:RigorousResultsforSimplifiedRules
andSpeculationonthePhaseBoundaries . . . . . . . . . . . . . . . 179
KellieMicheleEvans
11.1 IntroductionandHistory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.2 LargerthanLife:DefinitionandNotation . . . . . . . . . . . . . 181
11.3 InitialStates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.4 LtLDefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
11.4.1 LocalConfigurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.4.2 ErgodicClassificationsfortheInfiniteSystem . . . . . . 187
11.5 LtLRuleswithSimplifyingFeatures . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.5.1 SymmetricLtLRules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.5.2 MonotoneLtLRules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Contents xi
11.5.3 BirthorDeathOnlyLtLRules . . . . . . . . . . . . . . 203
11.6 SnapshotsfromtheBoundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.6.1 Bootstrapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.6.2 Self-organizedBatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
11.6.3 GlobalTilingsandWaterbedDynamics . . . . . . . . . 207
11.6.4 SlowConvergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.6.5 SlowGrowth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.6.6 Ladders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
11.6.7 BugswithTrails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
11.6.8 BugLogic,Bosco,andOpenQuestions . . . . . . . . . 215
11.6.9 LtL’sBugs:Threshold-RangeScaling . . . . . . . . . . 217
11.7 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
11.8 ConclusionandLong-TermGoals . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
12 RealLife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
MarcusPivato
12.1 WhatHappensinRealLife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
12.1.1 RealLifevs.LargerthanLife . . . . . . . . . . . . . . . 227
12.1.2 StillLifes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
12.1.3 RobustnessofStillLifesintheHausdorffMetric . . . . 230
12.2 TheAnatomyofBugs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
12.3 OpenQuestions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13 VariationsontheGameofLife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
FerdinandPeper,SusumuAdachi,andJiaLee
13.1 AsynchronouslyTimedGameofLife . . . . . . . . . . . . . . . 236
13.2 GameofLifewithContinuousStates . . . . . . . . . . . . . . . 241
13.3 GameofLifewithanEnlargedNeighborhood . . . . . . . . . . 247
13.4 ConclusionsandDiscussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
14 DoesLifeResistAsynchrony? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
NazimFatès
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
14.2 ABriefHistoryoftheProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
14.3 AsynchronousLife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
14.4 AssessingLife’sRobustnesstoAsynchrony . . . . . . . . . . . 260
14.4.1 FirstExperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
14.4.2 AQuantificationoftheChanges . . . . . . . . . . . . . 261
14.4.3 ASecond-OrderPhaseTransition. . . . . . . . . . . . . 262
14.5 InitialConditionsandAsymptoticBehaviour . . . . . . . . . . . 264
14.5.1 ExperimentalApproach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
14.5.2 Mean-FieldAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
14.5.3 AClose-uponSmallInitialDensities . . . . . . . . . . 266