Galerkin-Spektralverfahren für die Fokker-Planck-Gleichung PDF
Preview Galerkin-Spektralverfahren für die Fokker-Planck-Gleichung
Christoph Lohmann Galerkin-Spektralverfahren für die Fokker-Planck- Gleichung BestMasters Mit „BestMasters“ zeichnet Springer die besten Masterarbeiten aus, die an renom mierten Hochschulen in Deutschland, Österreich und der Schweiz entstanden sind. Die mit Höchstnote ausgezeichneten Arbeiten wurden durch Gutachter zur Verö ffentlichung empfohlen und behandeln aktuelle Themen aus unter schiedlichen Fachgebieten der Naturwissenschaften, Psychologie, Technik und Wirtschaftswis senschaften. Die Reihe wendet sich an Praktiker und Wissenschaftler gleichermaßen und soll insbesondere auch Nachwuchswissenschaftlern Orientierung geben. Christoph Lohmann Galerkin-Spektralverfahren für die Fokker-Planck- Gleichung Christoph Lohmann Dortmund, Deutschland BestMasters ISBN 9783658133108 ISBN 9783658133115 (eBook) DOI 10.1007/9783658133115 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen National bibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.dnb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer Fachmedien Wiesbaden 2016 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen und MarkenschutzGesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informa tionen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH Vorwort Der Lehrstuhl für Angewandte Mathematik und Numerik (LS III) der Fakultät Mathematikan derTechnischenUniversitätDortmund beschäftigtsich unterder Leitung von Herrn Prof. Dr. Stefan Turek und Herrn Prof. Dr. Dmitri Kuzmin im Bereich des Wissenschaftlichen Rechnens mit der Numerik für Partielle Dif- ferentialgleichungen. Hierbei stehen unter anderem die Aspekte von effizienten LöserverfahrenimBezugaufhardwareorientiertenImplementierungensowiedie Sicherstellung physikalischer Eigenschaften im Fokus der Forschung. Letzterer ForschungsschwerpunktdiskutiertbeispielsweisepositivitätserhaltendeFinite-Ele- mente-ApproximationenoderdieVermeidungkünstlicherOszillationen. IndiesemZusammenhangentstanddasThemengebietderFeinstrukturmodellie- rungvonFasersuspensionenunddieimWintersemester2014/15verfassteundin diesemWerkveröffentlichteMasterarbeitmitdemTitel„Physikkonforme Galerkin- Verfahren zur Simulation der Orientierungszustände in Fasersuspensionen“. Da das Fließverhalten von Fasersuspensionen auf der lokalen Zusammensetzung der Mixtur sowie den Orientierungen der mikroskopischen Fibern aufbaut, wird in bewährten Modellen eine makroskopische Verteilungsfunktion eingeführt und Kopplungen der verschiedenen Phasen mittels sogenannter Orientierungstensoren beschrieben.DiesemüssenausphysikalischenGründendieEigenschaftenderpositi- venSemidefinitheitunddernormiertenSpurbewahren.Indieserwissenschaftlichen ArbeitwerdenausdiesemGrunddieTensorenunterbesondererBerücksichtigung derDefinitheituntersucht,entsprechendeBedingungenhergeleitetundnumerische Korrekturverfahrenaufgestellt.DiedabeientstandenenMethodenlassensichohne BeschränkungenauchaufandereModellemittensoriellenGrößenübertragen. DieArbeitwurdebetreutdurchHerrnProf.Dr.DmitriKuzmin,dermirjederzeit mit Rat und Tat zur Seite stand und die Publizierung initiiert hat. Aus diesem GrundgiltihmeinbesondererDank. Bedanken möchte ich mich außerdem beim gesamten Lehrstuhl fürdie besondere Arbeitsatmosphäre. Dieser hatmicheine lange Zeit währendmeinesStudiums be- gleitetunddamitdieEntstehungdiesesWerkeserstermöglichtundmitbeeinflusst. ChristophLohmann Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis VII Abbildungsverzeichnis IX Tabellenverzeichnis XI 1 Einleitung 1 2 Grundlage 5 2.1 HerleitungdesModells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 FormelsammlungaufderSphäreS1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 FehlerabschätzungenfürdieabgeschnitteneFourierreihe . . . . . . . 12 3 Eigenschaften der Orientierungsverteilungsfunktion 15 3.1 OrientierungstensorzweiterOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 OrientierungstensorvierterOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 WeitereverallgemeinerteOrientierungstensoren. . . . . . . . . . . . . 26 4 Galerkin-Verfahren zur Diskretisierung der Fokker-Planck-Gleichung 31 4.1 TrennungderVariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 BehandlungderortsunabhängigenFokker-Planck-Gleichung . . . . . 34 4.2.1 KorrekturmittelsMinimierungsproblem. . . . . . . . . . . . . 37 4.2.2 KorrekturmittelskünstlicherDiffusion . . . . . . . . . . . . . 40 4.2.3 KorrekturmittelsProjektionauflineareFinite-Elemente . . 43 4.3 BehandlungderKonvektionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5 Numerische Beispiele bzw. Anwendung 49 5.1 OrtsunabhängigeFokker-Planck-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.1.1 EbeneDehnströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.1.2 Scherströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2 OrtsabhängigeFokker-Planck-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6 Zusammenfassung und Ausblick 89 Literaturverzeichnis 93 Abbildungsverzeichnis 1.1 Produktionslinie„PerlenPM7“ derFirma„VoithPaperGmbH“ . . 2 2.1 KoordinatensystemderOrientierungp∈Sn−1⊂Rn. . . . . . . . . . . 7 3.1 VeranschaulichungdesGibbs’schenPhänomens. . . . . . . . . . . . . 18 5.1 AnalytischeLösungderebenenDehnströmung . . . . . . . . . . . . . 54 5.2 VergleichderVorkonditioniererP−1=I undP−1=A−1 . . . . . . . 58 5.3 FehlerverlauffürCrank-Nicolson-VerfahrenzurOrdnungNp=5000 59 5.4 VerteilungsfunktionnumerischerVerfahrenzurSimulationderebe- nenDehnströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.5 Orientierungstensoren numerischer Verfahren zur Simulation der ebenenDehnströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.6 FinaleVerteilungsfunktionundL2-FehlerderebenenDehnströmung 69 5.7 MinimalerEigenwertundFehlernormvonA2amBeispielderebenen Dehnströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.8 MinimalerEigenwertundFehlernormvonA4amBeispielderebenen Dehnströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.9 AnalytischeLösungderScherströmung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.10 FinaleApproximationderScherströmung . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.11 NumerischeVerfahrenzurSimulationderScherströmung . . . . . . . 81 5.12 SimulationderortsabhängigenFokker-Planck-Gleichung . . . . . . . 86 Tabellenverzeichnis 3.1 AnzahlunabhängigerKomponentenderOrientierungstensoren . . . 19 5.1 ExakteFourierkoeffizientenderebenenDehnströmung . . . . . . . . 56 5.2 KonvergenzderabgeschnittenenFourierreihederebenenDehnströ- mung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.3 NumerischeVerfahrenzurSimulationderebenenDehnströmung . . 65 5.4 KonvergenznumerischerVerfahrenzurSimulationderebenenDehn- strömungzurZeitt=50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.5 KonvergenznumerischerVerfahrenzurSimulationderebenenDehn- strömungzurZeitt=200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.6 KonvergenzderabgeschnittenenFourierreihederScherströmung . . 83 5.7 Konvergenzdes numerischen Verfahrenszur Simulationder Scher- strömungzuunterschiedlichenZeitpunkten . . . . . . . . . . . . . . . 85 1 Einleitung In vielen Bereichen des täglichen Lebens treten Strömungen unterschiedlichster Flüssigkeiten auf. Hierbei kann es sich um die auf den ersten Blick belanglose Strömung eines Flusses als auch um die diffizile Befüllung eines Negatives in der Fertigungsindustrie handeln. Während ersteres nur selten von Bedeutung ist, werden gewerbliche Vorgänge sehr genau untersucht und hängen regelmäßig mitdemErfolgundGewinneinesProjektszusammen.Infolgedessenwerdenbei komplexenundkostspieligenProzessenSimulationeneingesetzt,diezeitraubende Experimentierphasen abwenden sollen. Hierfür werden entsprechende Modelle mit mathematisch abgestimmten Methoden greifbar gemacht und Resultate für unterschiedlicheKonfigurationenberechnet.EinphasigeStrömungen,wiesiebei fließendemWasserineinemFlussbettauftauchen,könnenbeispielsweisedurchdie Navier-Stokes-Gleichungen nachgeahmt werden. Wirdder Bewegung eine weitere Phasehinzugefügt,sohandeltessichaufgrundderInteraktionumeingekoppeltes System. BeiFasersuspensionenwerdendemFluidFibernbeigemischt,diesichgegenseitig in ihrer Bewegung einschränken und damit die Viskosität der Flüssigkeit stark verändernkönnen.Solangedie Konzentrationsdichtegeringist, kanndieMixtur gutdurcheinereineFlüssigkeitapproximiertwerden.DurchHinzufügenweiterer FasernnähertsichdasVerhaltendesGemischesderBewegungeinesFestkörpers an.SituationendieserArtfindensichvermehrtbeiderPapierherstellungwieder. Hierbeiwird demGemengeausWasserundCellulosefasern durchunterschiedliche Produktionsabläufedie Feuchtigkeit entzogen, sodass final einePapierschichtmit einemmöglichstoptimalenFlächenmasseprofilentsteht. Im Gegensatz zur Vergangenheit, in der ein qualitativ hochwertiges Produkt im Fokusstand,verlagertsichdasInteressederpapiererzeugendenIndustriezueinem erhöhtenProduktionsausstoßbei(energie-)effizienterenundressourcenschonenderen Verfahren[23].DetaillierteSimulationenkönnenbeispielsweisebeidemDesignvon Turbulenzerzeugern und Düsengeometrien eingesetzt werden, um eine optimale VerteilungderFasernimGemischbeieinemminimalenEinsatzvonRessourcenzu gewährleisten. Das Fundament einer solchen Prognose liefert ein mathematisches Modell zur Simulation der Fasersuspension. Beachtliche Fortschritte in den Bereichen der „ComputationalFluidDynamics“ (CFD)unddes„HighPerformanceComputing“ (HPC)erlaubenheutzutageSimulationenvonzweiphasigenStrömungeninkomple- xenGeometrien.UnterVerwendungderLagrangeschenBetrachtungsweisekönnen © Springer Fachmedien Wiesbaden 2016 C. Lohmann, Galerkin-Spektralverfahren für die Fokker-Planck-Gleichung, BestMasters, DOI 10.1007/978-3-658-13311-5_1
The list of books you might like
