Gabriel Alejandro Orozco Casillas

72 Pages·2012·0.45 MB·Spanish

UNIVERSIDAD DE SONORA
El saber de mis hijos Divisio´n de Ciencias Exactas y Naturales
hará mi grandeza”
Programa de Licenciado en Matem´aticas
Algebras de Lie 3-dimensionales y Grupos de Lie
exponenciales
T E S I S
Que para obtener el t´ıtulo de:
Licenciado en Matem´aticas
Presenta:
Gabriel Alejandro Orozco Casillas
Director de Tesis: Dr. Guillermo D´avila Rasco´n
Hermosillo, Sonora, M´exico, 15 de Diciembre, 2011.
ii
SINODALES
Dr. Rub´en Flores Espinoza
Universidad de Sonora.
Dr. Yury Vorobev
Universidad de Sonora.
Dr. Guillermo D´avila Rasco´n
Universidad de Sonora.
M. C. Misael Avendan˜o Camacho
Universidad de Sonora.
iv
Dedicatoria
Esta tesis la dedico a mis padres.
Su apoyo incondicional me ha permitido lograr una meta m´as en
mi vida.
Gracias.
vi
Agradecimientos
Agradezco a todos mis maestros del Departamento de Matem´aticas por sus
valiosas ensen˜anzas durante mi estancia en la licenciatura en Matem´aticas, sin duda
cada uno de sus ensen˜anzas me han ayudado a seguir adelante en mi formaci´on.
Agradezco a mi asesor el Dr. Guillermo D´avila Rasc´on por su gran apoyo y sus
ensen˜anzas como mi profesor en la licenciatura en matem´aticas y durante el per´ıodo
de elaboraci´on de este proyecto de tesis.
Amismaestrossinodales,Dr. Rub´enFloresEspinoza,Dr. YuriM.Vorobiev,Dr.
Guillermo D´avila Rasc´on y M. C. Misael Avendan˜o Camacho, por sus importantes
cr´ıticasyobservacioneslascualesmefuerondegranayudaparamejorarestetrabajo.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa por apoyarme para la realizaci´on
de esta tesis como becario del proyecto “Mecanismos de Promedios en Sistemas de
Evoluci´on Cl´asicos y Cu´anticos”.
A mi familia y amigos que siempre me han apoyado a lo largo de mi vida.
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Indice
Introducci´on 1
1 A´lgebras de Lie 5
1.1 Definici´on general de ´algebra de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Constantes de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 A´lgebras de Lie cl´asicas asociadas a formas bilineales . . . . . . . . . 10
1.4 Representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Grupos de Lie 19
2.1 Definici´on general de Grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Los grupos de Lie cl´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 El ´algebra de Lie de un grupos de Lie y la funci´on exponencial 29
3.1 El ´algebra de Lie de un grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 La funci´on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Exponencial de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 La representac´on Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Las ´algebras de Lie de dimensi´on 3 49
4.1 El esquema de clasificaci´on de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Representaciones de las ´algebras de Lie 3-dimensionales . . . . . . . 50
4.3 Los grupos exponenciales de las ´algebras de Lie 3-dimensionales . . . 56
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x ´INDICE