Fuzzy Mathematical Programming and Fuzzy Matrix Games

247 Pages·2005·2.318 MB·English

by  Dr. C. R. Bector, Dr. Suresh Chandra (auth.)

(cid:43)(cid:22)(cid:8)(cid:58)(cid:22)(cid:8)(cid:42)(cid:77)(cid:75)(cid:92)(cid:87)(cid:90)(cid:20)(cid:8)(cid:59)(cid:22)(cid:8)(cid:43)(cid:80)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:90)(cid:73)(cid:8)
(cid:46)(cid:93)(cid:98)(cid:98)(cid:97)(cid:8)(cid:53)(cid:73)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:85)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:75)(cid:73)(cid:84)(cid:8)(cid:56)(cid:90)(cid:87)(cid:79)(cid:90)(cid:73)(cid:85)(cid:85)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:8)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:46)(cid:93)(cid:98)(cid:98)(cid:97)(cid:8)(cid:53)(cid:73)(cid:92)(cid:90)(cid:81)(cid:96)(cid:8)(cid:47)(cid:73)(cid:85)(cid:77)(cid:91)
(cid:59)(cid:92)(cid:93)(cid:76)(cid:81)(cid:77)(cid:91)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:46)(cid:93)(cid:98)(cid:98)(cid:81)(cid:86)(cid:77)(cid:91)(cid:91)(cid:8)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:59)(cid:87)(cid:78)(cid:92)(cid:8)(cid:43)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:93)(cid:92)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:20)(cid:8)(cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:93)(cid:85)(cid:77)(cid:8)(cid:25)(cid:30)(cid:33)
(cid:45)(cid:76)(cid:81)(cid:92)(cid:87)(cid:90)(cid:21)(cid:81)(cid:86)(cid:21)(cid:75)(cid:80)(cid:81)(cid:77)(cid:78)
(cid:56)(cid:90)(cid:87)(cid:78)(cid:22)(cid:8)(cid:50)(cid:73)(cid:86)(cid:93)(cid:91)(cid:98)(cid:8)(cid:51)(cid:73)(cid:75)(cid:88)(cid:90)(cid:98)(cid:97)(cid:83)
(cid:59)(cid:97)(cid:91)(cid:92)(cid:77)(cid:85)(cid:91)(cid:8)(cid:58)(cid:77)(cid:91)(cid:77)(cid:73)(cid:90)(cid:75)(cid:80)(cid:8)(cid:49)(cid:86)(cid:91)(cid:92)(cid:81)(cid:92)(cid:93)(cid:92)(cid:77)
(cid:56)(cid:87)(cid:84)(cid:81)(cid:91)(cid:80)(cid:8)(cid:41)(cid:75)(cid:73)(cid:76)(cid:77)(cid:85)(cid:97)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:59)(cid:75)(cid:81)(cid:77)(cid:86)(cid:75)(cid:77)(cid:91)
(cid:93)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:54)(cid:77)(cid:95)(cid:77)(cid:84)(cid:91)(cid:83)(cid:73)(cid:8)(cid:30)
(cid:24)(cid:25)(cid:21)(cid:28)(cid:28)(cid:31)(cid:8)(cid:63)(cid:73)(cid:90)(cid:91)(cid:73)(cid:95)
(cid:56)(cid:87)(cid:84)(cid:73)(cid:86)(cid:76)
(cid:45)(cid:21)(cid:85)(cid:73)(cid:81)(cid:84)(cid:34)(cid:8)(cid:83)(cid:73)(cid:75)(cid:88)(cid:90)(cid:98)(cid:97)(cid:83)(cid:40)(cid:81)(cid:74)(cid:91)(cid:88)(cid:73)(cid:86)(cid:22)(cid:95)(cid:73)(cid:95)(cid:22)(cid:88)(cid:84)
(cid:46)(cid:93)(cid:90)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:94)(cid:87)(cid:84)(cid:93)(cid:85)(cid:77)(cid:91)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:81)(cid:91)(cid:8)(cid:91)(cid:77)(cid:90)(cid:81)(cid:77)(cid:91)(cid:8) (cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:25)(cid:30)(cid:25)(cid:22)(cid:8)(cid:54)(cid:22)(cid:8)(cid:54)(cid:77)(cid:76)(cid:82)(cid:73)(cid:80)(cid:20)(cid:8)(cid:52)(cid:22)(cid:8)(cid:76)(cid:77)(cid:8)(cid:53)(cid:73)(cid:75)(cid:77)(cid:76)(cid:87)(cid:8)(cid:53)(cid:87)(cid:93)(cid:90)(cid:77)(cid:84)(cid:84)(cid:77)(cid:8)
(cid:16)(cid:45)(cid:76)(cid:91)(cid:22)(cid:17)
(cid:75)(cid:73)(cid:86)(cid:8)(cid:74)(cid:77)(cid:8)(cid:78)(cid:87)(cid:93)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:87)(cid:93)(cid:90)(cid:8)(cid:80)(cid:87)(cid:85)(cid:77)(cid:88)(cid:73)(cid:79)(cid:77)(cid:34)
(cid:45)(cid:94)(cid:87)(cid:84)(cid:94)(cid:73)(cid:74)(cid:84)(cid:77)(cid:8)(cid:53)(cid:73)(cid:75)(cid:80)(cid:81)(cid:86)(cid:77)(cid:91)(cid:20)(cid:8)(cid:8)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:29)
(cid:91)(cid:88)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:77)(cid:90)(cid:87)(cid:86)(cid:84)(cid:81)(cid:86)(cid:77)(cid:22)(cid:75)(cid:87)(cid:85) (cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:26)(cid:33)(cid:24)(cid:29)(cid:21)(cid:25)
(cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:25)(cid:30)(cid:26)(cid:22)(cid:8)(cid:54)(cid:22)(cid:8)(cid:49)(cid:75)(cid:80)(cid:73)(cid:84)(cid:83)(cid:73)(cid:90)(cid:73)(cid:86)(cid:82)(cid:77)(cid:20)(cid:8)(cid:58)(cid:22)(cid:8)(cid:51)(cid:80)(cid:87)(cid:91)(cid:84)(cid:73)(cid:20)(cid:8)(cid:8)
(cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:25)(cid:29)(cid:27)(cid:22)(cid:8)(cid:50)(cid:22)(cid:8)(cid:46)(cid:93)(cid:84)(cid:75)(cid:80)(cid:77)(cid:90)(cid:20)(cid:8)(cid:52)(cid:22)(cid:43)(cid:22)(cid:8)(cid:50)(cid:73)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:16)(cid:45)(cid:76)(cid:91)(cid:22)(cid:17) (cid:52)(cid:22)(cid:43)(cid:22)(cid:8)(cid:50)(cid:73)(cid:81)(cid:86)
(cid:41)(cid:88)(cid:88)(cid:84)(cid:81)(cid:77)(cid:76)(cid:8)(cid:49)(cid:86)(cid:92)(cid:77)(cid:84)(cid:84)(cid:81)(cid:79)(cid:77)(cid:86)(cid:92)(cid:8)(cid:59)(cid:97)(cid:91)(cid:92)(cid:77)(cid:85)(cid:91)(cid:20)(cid:8)(cid:8)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:28) (cid:44)(cid:77)(cid:91)(cid:81)(cid:79)(cid:86)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:49)(cid:86)(cid:92)(cid:77)(cid:84)(cid:84)(cid:81)(cid:79)(cid:77)(cid:86)(cid:92)(cid:8)(cid:53)(cid:93)(cid:84)(cid:92)(cid:81)(cid:21)(cid:41)(cid:79)(cid:77)(cid:86)(cid:92)(cid:8)(cid:59)(cid:97)(cid:91)(cid:92)(cid:77)(cid:85)(cid:91)(cid:20)(cid:8)(cid:8)
(cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:25)(cid:25)(cid:29)(cid:27)(cid:21)(cid:29) (cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:29)
(cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:26)(cid:33)(cid:25)(cid:27)(cid:21)(cid:26)
(cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:25)(cid:29)(cid:28)(cid:22)(cid:8)(cid:42)(cid:22)(cid:8)(cid:52)(cid:81)(cid:93)
(cid:61)(cid:86)(cid:75)(cid:77)(cid:90)(cid:92)(cid:73)(cid:81)(cid:86)(cid:92)(cid:97)(cid:8)(cid:60)(cid:80)(cid:77)(cid:87)(cid:90)(cid:97)(cid:20)(cid:8)(cid:8)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:28) (cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:25)(cid:30)(cid:27)(cid:22)(cid:8)(cid:41)(cid:22)(cid:8)(cid:47)(cid:80)(cid:87)(cid:91)(cid:80)(cid:20)(cid:8)(cid:52)(cid:22)(cid:43)(cid:22)(cid:8)(cid:50)(cid:73)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:16)(cid:45)(cid:76)(cid:91)(cid:22)(cid:17)
(cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:27)(cid:27)(cid:21)(cid:27) (cid:45)(cid:94)(cid:87)(cid:84)(cid:93)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:73)(cid:90)(cid:97)(cid:8)(cid:43)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:93)(cid:92)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:44)(cid:73)(cid:92)(cid:73)(cid:8)(cid:53)(cid:81)(cid:86)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:20)(cid:8)(cid:8)
(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:29)
(cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:25)(cid:29)(cid:29)(cid:22)(cid:8)(cid:47)(cid:22)(cid:8)(cid:58)(cid:77)(cid:91)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:81)(cid:20)(cid:8)(cid:50)(cid:22)(cid:52)(cid:22)(cid:8)(cid:50)(cid:73)(cid:81)(cid:86) (cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:24)(cid:21)(cid:27)
(cid:49)(cid:86)(cid:92)(cid:77)(cid:84)(cid:84)(cid:81)(cid:79)(cid:77)(cid:86)(cid:92)(cid:8)(cid:41)(cid:79)(cid:77)(cid:86)(cid:92)(cid:91)(cid:20)(cid:8)(cid:8)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:28)
(cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:27)(cid:21)(cid:32) (cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:25)(cid:30)(cid:28)(cid:22)(cid:8)(cid:53)(cid:22)(cid:8)(cid:54)(cid:81)(cid:83)(cid:90)(cid:73)(cid:94)(cid:77)(cid:91)(cid:80)(cid:20)(cid:8)(cid:52)(cid:22)(cid:41)(cid:22)(cid:8)(cid:66)(cid:73)(cid:76)(cid:77)(cid:80)(cid:20)(cid:8)
(cid:50)(cid:22)(cid:8)(cid:51)(cid:73)(cid:75)(cid:88)(cid:90)(cid:98)(cid:97)(cid:83)(cid:8)(cid:16)(cid:45)(cid:76)(cid:91)(cid:22)(cid:17)
(cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:25)(cid:29)(cid:30)(cid:22)(cid:8)(cid:58)(cid:22)(cid:8)(cid:60)(cid:73)(cid:76)(cid:77)(cid:93)(cid:91)(cid:81)(cid:77)(cid:95)(cid:81)(cid:75)(cid:98)(cid:20)(cid:8)(cid:53)(cid:22)(cid:58)(cid:22)(cid:8)(cid:55)(cid:79)(cid:81)(cid:77)(cid:84)(cid:73) (cid:59)(cid:87)(cid:78)(cid:92)(cid:8)(cid:43)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:93)(cid:92)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:8)(cid:78)(cid:87)(cid:90)(cid:8)(cid:49)(cid:86)(cid:78)(cid:87)(cid:90)(cid:85)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:56)(cid:90)(cid:87)(cid:76)(cid:77)(cid:91)(cid:91)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:8)
(cid:53)(cid:77)(cid:76)(cid:81)(cid:75)(cid:73)(cid:84)(cid:8)(cid:49)(cid:85)(cid:73)(cid:79)(cid:77)(cid:8)(cid:61)(cid:86)(cid:76)(cid:77)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:8)(cid:60)(cid:77)(cid:75)(cid:80)(cid:86)(cid:87)(cid:84)(cid:87)(cid:79)(cid:97)(cid:20)(cid:8)(cid:8) (cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:41)(cid:86)(cid:73)(cid:84)(cid:97)(cid:91)(cid:81)(cid:91)(cid:20)(cid:8)(cid:8)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:29)
(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:28) (cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:26)(cid:33)(cid:27)(cid:24)(cid:21)(cid:26)
(cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:25)(cid:33)(cid:32)(cid:29)(cid:21)(cid:28)
(cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:25)(cid:30)(cid:29)(cid:22)(cid:8)(cid:41)(cid:22)(cid:46)(cid:22)(cid:8)(cid:58)(cid:87)(cid:75)(cid:80)(cid:73)(cid:20)(cid:8)(cid:45)(cid:22)(cid:8)(cid:53)(cid:73)(cid:91)(cid:91)(cid:73)(cid:76)(cid:20)(cid:8)
(cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:25)(cid:29)(cid:31)(cid:22)(cid:8)(cid:58)(cid:22)(cid:41)(cid:22)(cid:8)(cid:41)(cid:84)(cid:81)(cid:77)(cid:94)(cid:20)(cid:8)(cid:46)(cid:22)(cid:8)(cid:46)(cid:73)(cid:98)(cid:84)(cid:87)(cid:84)(cid:84)(cid:73)(cid:80)(cid:81)(cid:20)(cid:8)(cid:58)(cid:22)(cid:58)(cid:22)(cid:8)(cid:41)(cid:84)(cid:81)(cid:77)(cid:94) (cid:41)(cid:22)(cid:8)(cid:56)(cid:77)(cid:90)(cid:77)(cid:81)(cid:90)(cid:73)(cid:8)(cid:50)(cid:90)(cid:22)
(cid:59)(cid:87)(cid:78)(cid:92)(cid:8)(cid:43)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:93)(cid:92)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:8)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:81)(cid:92)(cid:91)(cid:8)(cid:41)(cid:88)(cid:88)(cid:84)(cid:81)(cid:75)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:91)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:8) (cid:60)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:42)(cid:90)(cid:73)(cid:81)(cid:86)(cid:34)(cid:8)(cid:46)(cid:90)(cid:87)(cid:85)(cid:8)(cid:46)(cid:93)(cid:98)(cid:98)(cid:97)(cid:8)(cid:41)(cid:90)(cid:81)(cid:92)(cid:80)(cid:85)(cid:77)(cid:92)(cid:81)(cid:75)(cid:8)(cid:92)(cid:87)(cid:8)
(cid:42)(cid:93)(cid:91)(cid:81)(cid:86)(cid:77)(cid:91)(cid:91)(cid:8)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:45)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:81)(cid:75)(cid:91)(cid:20)(cid:8)(cid:8)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:28) (cid:57)(cid:93)(cid:73)(cid:86)(cid:92)(cid:93)(cid:85)(cid:8)(cid:43)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:93)(cid:92)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:20)(cid:8)(cid:8)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:29)
(cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:32)(cid:21)(cid:31) (cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:25)(cid:32)(cid:29)(cid:32)(cid:21)(cid:24)
(cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:25)(cid:29)(cid:32)(cid:22)(cid:8)(cid:51)(cid:22)(cid:51)(cid:22)(cid:8)(cid:44)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:77)(cid:90)(cid:77) (cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:25)(cid:30)(cid:30)(cid:22)(cid:8)(cid:63)(cid:22)(cid:45)(cid:22)(cid:8)(cid:48)(cid:73)(cid:90)(cid:92)(cid:20)(cid:8)(cid:54)(cid:22)(cid:8)(cid:51)(cid:90)(cid:73)(cid:91)(cid:86)(cid:87)(cid:79)(cid:87)(cid:90)(cid:20)(cid:8)
(cid:43)(cid:87)(cid:91)(cid:92)(cid:21)(cid:42)(cid:77)(cid:86)(cid:77)(cid:226)(cid:92)(cid:8)(cid:41)(cid:86)(cid:73)(cid:84)(cid:97)(cid:91)(cid:81)(cid:91)(cid:8)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:60)(cid:80)(cid:77)(cid:87)(cid:90)(cid:97)(cid:8) (cid:50)(cid:22)(cid:45)(cid:22)(cid:8)(cid:59)(cid:85)(cid:81)(cid:92)(cid:80)(cid:8)(cid:16)(cid:45)(cid:76)(cid:91)(cid:22)(cid:17)
(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:46)(cid:93)(cid:98)(cid:98)(cid:97)(cid:8)(cid:44)(cid:77)(cid:75)(cid:81)(cid:91)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:91)(cid:8)(cid:119)(cid:8)(cid:49)(cid:76)(cid:77)(cid:86)(cid:92)(cid:81)(cid:226)(cid:75)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8) (cid:58)(cid:77)(cid:75)(cid:77)(cid:86)(cid:92)(cid:8)(cid:41)(cid:76)(cid:94)(cid:73)(cid:86)(cid:75)(cid:77)(cid:91)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:53)(cid:77)(cid:85)(cid:77)(cid:92)(cid:81)(cid:75)(cid:8)(cid:41)(cid:84)(cid:79)(cid:87)(cid:90)(cid:81)(cid:92)(cid:80)(cid:85)(cid:91)(cid:20)(cid:8)(cid:8)
(cid:53)(cid:77)(cid:73)(cid:91)(cid:93)(cid:90)(cid:77)(cid:85)(cid:77)(cid:86)(cid:92)(cid:8)(cid:60)(cid:80)(cid:77)(cid:87)(cid:90)(cid:97)(cid:20)(cid:8)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:28) (cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:29)
(cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:26)(cid:25)(cid:29)(cid:28)(cid:21)(cid:33) (cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:26)(cid:33)(cid:24)(cid:28)(cid:21)(cid:27)
(cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:25)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:8)(cid:45)(cid:22)(cid:8)(cid:44)(cid:73)(cid:85)(cid:81)(cid:73)(cid:86)(cid:81)(cid:20)(cid:8)(cid:52)(cid:22)(cid:43)(cid:22)(cid:8)(cid:50)(cid:73)(cid:81)(cid:86)(cid:20)(cid:8)(cid:53)(cid:22)(cid:8)(cid:53)(cid:73)(cid:76)(cid:90)(cid:73)(cid:94)(cid:81)(cid:73) (cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:8)(cid:65)(cid:22)(cid:8)(cid:50)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:16)(cid:45)(cid:76)(cid:22)(cid:17)
(cid:59)(cid:87)(cid:78)(cid:92)(cid:8)(cid:43)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:93)(cid:92)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:59)(cid:87)(cid:78)(cid:92)(cid:95)(cid:73)(cid:90)(cid:77)(cid:8)(cid:45)(cid:86)(cid:79)(cid:81)(cid:86)(cid:77)(cid:77)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:20)(cid:8)(cid:8) (cid:51)(cid:86)(cid:87)(cid:95)(cid:84)(cid:77)(cid:76)(cid:79)(cid:77)(cid:8)(cid:49)(cid:86)(cid:75)(cid:87)(cid:90)(cid:88)(cid:87)(cid:90)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:45)(cid:94)(cid:87)(cid:84)(cid:93)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:73)(cid:90)(cid:97)(cid:8)
(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:28) (cid:43)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:93)(cid:92)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:20)(cid:8)(cid:8)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:29)
(cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:26)(cid:24)(cid:27)(cid:24)(cid:21)(cid:29) (cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:26)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:21)(cid:31)
(cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:25)(cid:30)(cid:24)(cid:22)(cid:8)(cid:51)(cid:22)(cid:51)(cid:22)(cid:8)(cid:44)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:77)(cid:90)(cid:77) (cid:62)(cid:87)(cid:84)(cid:22)(cid:8)(cid:25)(cid:30)(cid:32)(cid:22)(cid:8)(cid:65)(cid:22)(cid:8)(cid:56)(cid:22)(cid:8)(cid:60)(cid:73)(cid:86)(cid:20)(cid:8)(cid:51)(cid:22)(cid:8)(cid:48)(cid:22)(cid:8)(cid:65)(cid:73)(cid:88)(cid:20)(cid:8)(cid:52)(cid:22)(cid:8)(cid:63)(cid:73)(cid:86)(cid:79)(cid:8)(cid:16)(cid:45)(cid:76)(cid:91)(cid:22)(cid:17)
(cid:43)(cid:87)(cid:91)(cid:92)(cid:21)(cid:42)(cid:77)(cid:86)(cid:77)(cid:226)(cid:92)(cid:8)(cid:41)(cid:86)(cid:73)(cid:84)(cid:97)(cid:91)(cid:81)(cid:91)(cid:8)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:60)(cid:80)(cid:77)(cid:87)(cid:90)(cid:97)(cid:8) (cid:49)(cid:86)(cid:92)(cid:77)(cid:84)(cid:84)(cid:81)(cid:79)(cid:77)(cid:86)(cid:92)(cid:8)(cid:53)(cid:93)(cid:84)(cid:92)(cid:81)(cid:85)(cid:77)(cid:76)(cid:81)(cid:73)(cid:8)(cid:56)(cid:90)(cid:87)(cid:75)(cid:77)(cid:91)(cid:91)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:8)(cid:95)(cid:81)(cid:92)(cid:80)(cid:8)(cid:59)(cid:87)(cid:78)(cid:92)(cid:8)
(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:46)(cid:93)(cid:98)(cid:98)(cid:97)(cid:8)(cid:44)(cid:77)(cid:75)(cid:81)(cid:91)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:91)(cid:8)(cid:119)(cid:8)(cid:46)(cid:93)(cid:98)(cid:98)(cid:97)(cid:8)(cid:62)(cid:73)(cid:84)(cid:93)(cid:77)(cid:8)(cid:60)(cid:80)(cid:77)(cid:87)(cid:90)(cid:97)(cid:20)(cid:8)(cid:8) (cid:43)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:93)(cid:92)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:20)(cid:8)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:28)
(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:28) (cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:29)(cid:27)(cid:21)(cid:64)
(cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:26)(cid:25)(cid:30)(cid:25)(cid:21)(cid:25)
(cid:43)(cid:22)(cid:8)(cid:58)(cid:22)(cid:8)(cid:42)(cid:77)(cid:75)(cid:92)(cid:87)(cid:90)
(cid:59)(cid:93)(cid:90)(cid:77)(cid:91)(cid:80)(cid:8)(cid:43)(cid:80)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:90)(cid:73)
(cid:46)(cid:93)(cid:98)(cid:98)(cid:97)(cid:8)(cid:53)(cid:73)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:85)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:75)(cid:73)(cid:84)(cid:8)
(cid:56)(cid:90)(cid:87)(cid:79)(cid:90)(cid:73)(cid:85)(cid:85)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:8)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:8)
(cid:46)(cid:93)(cid:98)(cid:98)(cid:97)(cid:8)(cid:53)(cid:73)(cid:92)(cid:90)(cid:81)(cid:96)(cid:8)(cid:47)(cid:73)(cid:85)(cid:77)(cid:91)
(cid:22) (cid:20)(cid:4)
(cid:44)(cid:90)(cid:22)(cid:8)(cid:43)(cid:22)(cid:8)(cid:58)(cid:22)(cid:8)(cid:42)(cid:77)(cid:75)(cid:92)(cid:87)(cid:90)
(cid:44)(cid:77)(cid:88)(cid:73)(cid:90)(cid:92)(cid:85)(cid:77)(cid:86)(cid:92)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:42)(cid:93)(cid:91)(cid:81)(cid:86)(cid:77)(cid:91)(cid:91)(cid:8)(cid:41)(cid:76)(cid:85)(cid:81)(cid:86)(cid:81)(cid:91)(cid:92)(cid:90)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)
(cid:46)(cid:73)(cid:75)(cid:93)(cid:84)(cid:92)(cid:97)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:53)(cid:73)(cid:86)(cid:73)(cid:79)(cid:77)(cid:85)(cid:77)(cid:86)(cid:92)
(cid:41)(cid:91)(cid:88)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:59)(cid:75)(cid:80)(cid:87)(cid:87)(cid:84)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:42)(cid:93)(cid:91)(cid:81)(cid:86)(cid:77)(cid:91)(cid:91)
(cid:61)(cid:86)(cid:81)(cid:94)(cid:77)(cid:90)(cid:91)(cid:81)(cid:92)(cid:97)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:53)(cid:73)(cid:86)(cid:81)(cid:92)(cid:87)(cid:74)(cid:73)
(cid:63)(cid:81)(cid:86)(cid:86)(cid:81)(cid:88)(cid:77)(cid:79)(cid:20)(cid:8)(cid:53)(cid:73)(cid:86)(cid:81)(cid:92)(cid:87)(cid:74)(cid:73)
(cid:43)(cid:73)(cid:86)(cid:73)(cid:76)(cid:73)(cid:20)(cid:8)(cid:58)(cid:27)(cid:60)(cid:8)(cid:29)(cid:62)(cid:28)
(cid:44)(cid:90)(cid:22)(cid:8)(cid:59)(cid:93)(cid:90)(cid:77)(cid:91)(cid:80)(cid:8)(cid:43)(cid:80)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:90)(cid:73)
(cid:44)(cid:77)(cid:88)(cid:73)(cid:90)(cid:92)(cid:85)(cid:77)(cid:86)(cid:92)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:53)(cid:73)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:85)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:75)(cid:91)
(cid:49)(cid:86)(cid:76)(cid:81)(cid:73)(cid:86)(cid:8)(cid:49)(cid:86)(cid:91)(cid:92)(cid:81)(cid:92)(cid:93)(cid:92)(cid:77)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:60)(cid:77)(cid:75)(cid:80)(cid:86)(cid:87)(cid:84)(cid:87)(cid:79)(cid:97)(cid:8)(cid:16)(cid:49)(cid:22)(cid:49)(cid:22)(cid:60)(cid:22)(cid:17)
(cid:48)(cid:73)(cid:93)(cid:98)(cid:8)(cid:51)(cid:80)(cid:73)(cid:91)
(cid:54)(cid:77)(cid:95)(cid:8)(cid:44)(cid:77)(cid:84)(cid:80)(cid:81)(cid:8)(cid:25)(cid:25)(cid:24)(cid:24)(cid:25)(cid:30)
(cid:49)(cid:86)(cid:76)(cid:81)(cid:73)
(cid:49)(cid:59)(cid:59)(cid:54)(cid:8)(cid:25)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:21)(cid:33)(cid:33)(cid:26)(cid:26)
(cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:26)(cid:33)(cid:21)(cid:25)(cid:8)(cid:8)(cid:59)(cid:88)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:42)(cid:77)(cid:90)(cid:84)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:48)(cid:77)(cid:81)(cid:76)(cid:77)(cid:84)(cid:74)(cid:77)(cid:90)(cid:79)(cid:8)(cid:54)(cid:77)(cid:95)(cid:8)(cid:65)(cid:87)(cid:90)(cid:83)
(cid:52)(cid:81)(cid:74)(cid:90)(cid:73)(cid:90)(cid:97)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:43)(cid:87)(cid:86)(cid:79)(cid:90)(cid:77)(cid:91)(cid:91)(cid:8)(cid:43)(cid:87)(cid:86)(cid:92)(cid:90)(cid:87)(cid:84)(cid:8)(cid:54)(cid:93)(cid:85)(cid:74)(cid:77)(cid:90)(cid:34)(cid:8)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:28)(cid:25)(cid:25)(cid:30)(cid:32)(cid:24)(cid:26)
(cid:60)(cid:80)(cid:81)(cid:91)(cid:8)(cid:95)(cid:87)(cid:90)(cid:83)(cid:8)(cid:81)(cid:91)(cid:8)(cid:91)(cid:93)(cid:74)(cid:82)(cid:77)(cid:75)(cid:92)(cid:8)(cid:92)(cid:87)(cid:8)(cid:75)(cid:87)(cid:88)(cid:97)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:80)(cid:92)(cid:22)(cid:8)(cid:41)(cid:84)(cid:84)(cid:8)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:80)(cid:92)(cid:91)(cid:8)(cid:73)(cid:90)(cid:77)(cid:8)(cid:90)(cid:77)(cid:91)(cid:77)(cid:90)(cid:94)(cid:77)(cid:76)(cid:20)(cid:8)(cid:95)(cid:80)(cid:77)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:95)(cid:80)(cid:87)(cid:84)(cid:77)(cid:8)(cid:87)(cid:90)(cid:8)(cid:88)(cid:73)(cid:90)(cid:92)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)
(cid:85)(cid:73)(cid:92)(cid:77)(cid:90)(cid:81)(cid:73)(cid:84)(cid:8)(cid:81)(cid:91)(cid:8)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:75)(cid:77)(cid:90)(cid:86)(cid:77)(cid:76)(cid:20)(cid:8)(cid:91)(cid:88)(cid:77)(cid:75)(cid:81)(cid:226)(cid:75)(cid:73)(cid:84)(cid:84)(cid:97)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:80)(cid:92)(cid:91)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:92)(cid:90)(cid:73)(cid:86)(cid:91)(cid:84)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:20)(cid:8)(cid:90)(cid:77)(cid:88)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:92)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:20)(cid:8)(cid:90)(cid:77)(cid:93)(cid:91)(cid:77)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:81)(cid:84)(cid:84)(cid:93)(cid:91)(cid:92)(cid:90)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:91)(cid:20)(cid:8)
(cid:90)(cid:77)(cid:75)(cid:81)(cid:92)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:91)(cid:20)(cid:8)(cid:74)(cid:90)(cid:87)(cid:73)(cid:76)(cid:75)(cid:73)(cid:91)(cid:92)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:20)(cid:8)(cid:90)(cid:77)(cid:88)(cid:90)(cid:87)(cid:76)(cid:93)(cid:75)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:85)(cid:81)(cid:75)(cid:90)(cid:87)(cid:226)(cid:84)(cid:85)(cid:8)(cid:87)(cid:90)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:73)(cid:86)(cid:97)(cid:8)(cid:87)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:95)(cid:73)(cid:97)(cid:20)(cid:8)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:91)(cid:92)(cid:87)(cid:90)(cid:73)(cid:79)(cid:77)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:76)(cid:73)(cid:92)(cid:73)(cid:8)
(cid:74)(cid:73)(cid:86)(cid:83)(cid:91)(cid:22)(cid:8)(cid:44)(cid:93)(cid:88)(cid:84)(cid:81)(cid:75)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:81)(cid:91)(cid:8)(cid:88)(cid:93)(cid:74)(cid:84)(cid:81)(cid:75)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:87)(cid:90)(cid:8)(cid:88)(cid:73)(cid:90)(cid:92)(cid:91)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:90)(cid:77)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:81)(cid:91)(cid:8)(cid:88)(cid:77)(cid:90)(cid:85)(cid:81)(cid:92)(cid:92)(cid:77)(cid:76)(cid:8)(cid:87)(cid:86)(cid:84)(cid:97)(cid:8)(cid:93)(cid:86)(cid:76)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:88)(cid:90)(cid:87)(cid:94)(cid:81)(cid:91)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:91)(cid:8)
(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:47)(cid:77)(cid:90)(cid:85)(cid:73)(cid:86)(cid:8)(cid:75)(cid:87)(cid:88)(cid:97)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:80)(cid:92)(cid:8)(cid:52)(cid:73)(cid:95)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:59)(cid:77)(cid:88)(cid:92)(cid:77)(cid:85)(cid:74)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:33)(cid:20)(cid:8)(cid:25)(cid:33)(cid:30)(cid:29)(cid:20)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:81)(cid:92)(cid:91)(cid:8)(cid:75)(cid:93)(cid:90)(cid:90)(cid:77)(cid:86)(cid:92)(cid:8)(cid:94)(cid:77)(cid:90)(cid:91)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:20)(cid:8)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:88)(cid:77)(cid:90)(cid:85)(cid:81)(cid:91)(cid:91)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:78)(cid:87)(cid:90)(cid:8)
(cid:93)(cid:91)(cid:77)(cid:8)(cid:85)(cid:93)(cid:91)(cid:92)(cid:8)(cid:73)(cid:84)(cid:95)(cid:73)(cid:97)(cid:91)(cid:8)(cid:74)(cid:77)(cid:8)(cid:87)(cid:74)(cid:92)(cid:73)(cid:81)(cid:86)(cid:77)(cid:76)(cid:8)(cid:78)(cid:90)(cid:87)(cid:85)(cid:8)(cid:59)(cid:88)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:77)(cid:90)(cid:22)(cid:8)(cid:62)(cid:81)(cid:87)(cid:84)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:91)(cid:8)(cid:73)(cid:90)(cid:77)(cid:8)(cid:84)(cid:81)(cid:73)(cid:74)(cid:84)(cid:77)(cid:8)(cid:92)(cid:87)(cid:8)(cid:88)(cid:90)(cid:87)(cid:91)(cid:77)(cid:75)(cid:93)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:93)(cid:86)(cid:76)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)
(cid:47)(cid:77)(cid:90)(cid:85)(cid:73)(cid:86)(cid:8)(cid:43)(cid:87)(cid:88)(cid:97)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:80)(cid:92)(cid:8)(cid:52)(cid:73)(cid:95)(cid:22)
(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)
(cid:59)(cid:88)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:81)(cid:91)(cid:8)(cid:73)(cid:8)(cid:88)(cid:73)(cid:90)(cid:92)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:59)(cid:88)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:59)(cid:75)(cid:81)(cid:77)(cid:86)(cid:75)(cid:77)(cid:19)(cid:42)(cid:93)(cid:91)(cid:81)(cid:86)(cid:77)(cid:91)(cid:91)(cid:8)(cid:53)(cid:77)(cid:76)(cid:81)(cid:73)
(cid:91)(cid:88)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:77)(cid:90)(cid:87)(cid:86)(cid:84)(cid:81)(cid:86)(cid:77)(cid:22)(cid:75)(cid:87)(cid:85)
(cid:136)(cid:8)(cid:59)(cid:88)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:77)(cid:90)(cid:21)(cid:62)(cid:77)(cid:90)(cid:84)(cid:73)(cid:79)(cid:8)(cid:42)(cid:77)(cid:90)(cid:84)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:48)(cid:77)(cid:81)(cid:76)(cid:77)(cid:84)(cid:74)(cid:77)(cid:90)(cid:79)(cid:8)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:29)
(cid:56)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:92)(cid:77)(cid:76)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:47)(cid:77)(cid:90)(cid:85)(cid:73)(cid:86)(cid:97)
(cid:60)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:93)(cid:91)(cid:77)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:79)(cid:77)(cid:86)(cid:77)(cid:90)(cid:73)(cid:84)(cid:8)(cid:76)(cid:77)(cid:91)(cid:75)(cid:90)(cid:81)(cid:88)(cid:92)(cid:81)(cid:94)(cid:77)(cid:8)(cid:86)(cid:73)(cid:85)(cid:77)(cid:91)(cid:20)(cid:8)(cid:90)(cid:77)(cid:79)(cid:81)(cid:91)(cid:92)(cid:77)(cid:90)(cid:77)(cid:76)(cid:8)(cid:86)(cid:73)(cid:85)(cid:77)(cid:91)(cid:8)(cid:92)(cid:90)(cid:73)(cid:76)(cid:77)(cid:85)(cid:73)(cid:90)(cid:83)(cid:91)(cid:20)(cid:8)(cid:77)(cid:92)(cid:75)(cid:22)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:81)(cid:91)(cid:8)(cid:88)(cid:93)(cid:74)(cid:84)(cid:81)(cid:75)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:8)
(cid:76)(cid:87)(cid:77)(cid:91)(cid:8)(cid:86)(cid:87)(cid:92)(cid:8)(cid:81)(cid:85)(cid:88)(cid:84)(cid:97)(cid:20)(cid:8)(cid:77)(cid:94)(cid:77)(cid:86)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:73)(cid:74)(cid:91)(cid:77)(cid:86)(cid:75)(cid:77)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:73)(cid:8)(cid:91)(cid:88)(cid:77)(cid:75)(cid:81)(cid:226)(cid:75)(cid:8)(cid:91)(cid:92)(cid:73)(cid:92)(cid:77)(cid:85)(cid:77)(cid:86)(cid:92)(cid:20)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:73)(cid:92)(cid:8)(cid:91)(cid:93)(cid:75)(cid:80)(cid:8)(cid:86)(cid:73)(cid:85)(cid:77)(cid:91)(cid:8)(cid:73)(cid:90)(cid:77)(cid:8)(cid:77)(cid:96)(cid:77)(cid:85)(cid:88)(cid:92)(cid:8)(cid:78)(cid:90)(cid:87)(cid:85)(cid:8)
(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:90)(cid:77)(cid:84)(cid:77)(cid:94)(cid:73)(cid:86)(cid:92)(cid:8)(cid:88)(cid:90)(cid:87)(cid:92)(cid:77)(cid:75)(cid:92)(cid:81)(cid:94)(cid:77)(cid:8)(cid:84)(cid:73)(cid:95)(cid:91)(cid:8)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:90)(cid:77)(cid:79)(cid:93)(cid:84)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:91)(cid:8)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:90)(cid:77)(cid:78)(cid:87)(cid:90)(cid:77)(cid:8)(cid:78)(cid:90)(cid:77)(cid:77)(cid:8)(cid:78)(cid:87)(cid:90)(cid:8)(cid:79)(cid:77)(cid:86)(cid:77)(cid:90)(cid:73)(cid:84)(cid:8)(cid:93)(cid:91)(cid:77)(cid:22)
(cid:60)(cid:97)(cid:88)(cid:77)(cid:91)(cid:77)(cid:92)(cid:92)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:34)(cid:8)(cid:76)(cid:73)(cid:92)(cid:73)(cid:8)(cid:76)(cid:77)(cid:84)(cid:81)(cid:94)(cid:77)(cid:90)(cid:77)(cid:76)(cid:8)(cid:74)(cid:97)(cid:8)(cid:77)(cid:76)(cid:81)(cid:92)(cid:87)(cid:90)
(cid:43)(cid:87)(cid:94)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:76)(cid:77)(cid:91)(cid:81)(cid:79)(cid:86)(cid:34)(cid:8)(cid:45)(cid:22)(cid:8)(cid:51)(cid:81)(cid:90)(cid:75)(cid:80)(cid:86)(cid:77)(cid:90)(cid:20)(cid:8)(cid:59)(cid:88)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:77)(cid:90)(cid:20)(cid:8)(cid:48)(cid:77)(cid:81)(cid:76)(cid:77)(cid:84)(cid:74)(cid:77)(cid:90)(cid:79)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)
(cid:56)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:92)(cid:77)(cid:76)(cid:8)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:73)(cid:75)(cid:81)(cid:76)(cid:8)(cid:78)(cid:90)(cid:77)(cid:77)(cid:8)(cid:88)(cid:73)(cid:88)(cid:77)(cid:90)(cid:8) (cid:8) (cid:30)(cid:26)(cid:23)(cid:27)(cid:24)(cid:26)(cid:24)(cid:23)(cid:53)(cid:8)(cid:21)(cid:8)(cid:29)(cid:8)(cid:28)(cid:8)(cid:27)(cid:8)(cid:26)(cid:8)(cid:25)(cid:8)(cid:24)
DEDICATED
TO
Professor Dr. H. -J. Zimmermann
(Late) Professor Dr. J. N. Kapur
and
Our Families
Preface
Game theory has already proved its tremendous potential for conflict
resolution problems in the fields of Decision Theory and Economics.
In the recent past, there have been attempts to extend the results
of crisp game theory to those conflict resolution problems which are
fuzzy in nature e.g. Nishizaki and Sakawa [61] and references cited
there in. These developments have lead to the emergence of a new
area in the literature called fuzzy games. Another area in the fuzzy
decision theory, which has been growing very fast is the area of fuzzy
mathematical programming and its applications to various branches of
sciences, Engineering and Management.
In the crisp scenario, there exists a beautiful relationship between
two person zero sum matrix game theory and duality in linear pro-
gramming. It is therefore natural to ask if something similar holds in
the fuzzy scenario as well. This discussion essentially constitutes the
core of our presentation.
The objective of this book is to present a systematic and focussed
studyoftheapplicationof fuzzysetstotwoverybasicareasofdecision
theory, namely Mathematical Programming and Matrix Game Theory.
Apart from presenting most of the basic results available in the litera-
ture on these topics, the emphasis here is to understand their natural
relationship in a fuzzy environment. The study of duality theory for
fuzzy mathematical programming problem plays a key role in under-
standing this relationship. For this, a theoretical framework of duality
in fuzzy mathematical programming and conceptualization of the solu-
tion of the fuzzy game is made on the lines of their crisp counterparts.
Mostofthetheoreticalresultsandassociatedalgorithmsareillustrated
through small numerical examples.
Preface VII
Afterpresentingsomebasicfactsonfuzzysetsandfuzzyarithmetic,
the main topics namely fuzzy linear and quadratic programming, fuzzy
matrix games, fuzzy bi-matrix games and modality constrained pro-
gramming are discussed in Chapters 4 to 10. Our presentation is cer-
tainly not exhaustive and some topics e.g. fuzzy multi-objective pro-
gramming and fuzzy multi-objective games have been left deliberately
to remain focussed and to keep the book to a reasonable size. Never-
theless these topics are important and therefore appropriate references
are provided whenever desirable.
This book is primarily addressed to senior undergraduate students,
graduate students and researchers in the area of fuzzy optimization
and related topics in the department of Mathematics, Statistics, Oper-
ational Research, Industrial Engineering, Electrical Engineering, Com-
puterScienceand ManagementSciences.Although everycarehasbeen
taken to make the presentation error free, some errors may still remain
and we hold ourselves responsible for that and request that the er-
ror if any, be intimated by e-mailing at [email protected]
(e-mail address of S.Chandra).
In the long process of writing this book we have been encouraged
and helped by many individuals. We would first and foremost like to
thank Professor Janusz Kacprzyk for accepting our proposal and en-
couraging us to write this book. We are highly grateful to Professors I.
Nishizaki, M. Inuiguchi, J. Ramik, D. Li, T. Maeda and H-C. Wu for
sending their reprints / preprints and answering to our queries at the
earliest.Theirresearchhascertainlybeenasourceofinspirationforus.
We would also like to thank the editors and publishers of the journals
“Fuzzy Sets and Systems”, “Fuzzy Optimization and Decision Mak-
ing” and “Omega” for publishing our papers in the area of fuzzy linear
programming and fuzzy matrix games which constitute the core of this
book. We also appreciate our students Ms. Vidyottama Vijay and Ms.
Reshma Khemchandani for their tremendous help during the prepara-
tionofthemanuscriptinLATEXandalsoreadingthemanuscriptfrom
a student point of view. We also acknowledge the book grant provided
by IIT Delhi and thank Prof. P.C. Sinha for all help in this regard.
Our special thanks are due to Dr. J.L.Gray, Dean, Faculty of Manage-
ment,UniversityofManitobaforhisencouragementandinterestinthis
work. Last but not the least, we are obliged to Dr. Thomas Ditzinger
and Ms Heather King of International Engineering Department, and
Mr. Nils Schleusner of Production Department, Springer-Verlag for all
VIII Preface
their help, cooperation and understanding in the publication of this
book.
(Winnipeg), C.R.Bector
(New Delhi), S.Chandra
Contents
1 Crisp matrix and bi-matrix games: some basic results 1
1.1 Introduction....................................... 1
1.2 Duality in linear programming ....................... 1
1.3 Two person zero-sum matrix games................... 3
1.4 Linear programming and matrix game equivalence...... 6
1.5 Two person non-zero sum (bi-matrix) games .......... 11
1.6 Quadratic programming and bi-matrix game........... 13
1.7 Constrained matrix games........................... 17
1.8 Conclusions ....................................... 20
2 Fuzzy sets.............................................. 21
2.1 Introduction....................................... 21
2.2 Basic definitions and set theoretic operations .......... 21
2.3 α-Cuts and their properties.......................... 24
2.4 Convex fuzzy sets .................................. 26
2.5 Zadeh’s extension principle .......................... 29
2.6 Fuzzy relations..................................... 30
2.7 Triangular norms (t-norms) and triangular conorms
(t-conorms)........................................ 33
2.8 Conclusions ....................................... 38
3 Fuzzy numbers and fuzzy arithmetic.................. 39
3.1 Introduction....................................... 39
3.2 Interval arithmetic ................................. 39
3.3 Fuzzy numbers and their representation............... 42
3.4 Arithmetic of fuzzy numbers......................... 44
3.5 Special types of fuzzy numbers and their arithmetic .... 46
X Contents
3.6 Ranking of fuzzy numbers ........................... 53
3.7 Conclusions ....................................... 56
4 Linear and quadratic programming under fuzzy
environment ........................................... 57
4.1 Introduction....................................... 57
4.2 Decision making under fuzzy environment and fuzzy
linear programming ................................ 58
4.3 LPPs with fuzzy inequalities and crisp objective function 61
4.4 LPPs with crisp inequalities and fuzzy objective functions 64
4.5 LPPs with fuzzy inequalities and objective function .... 67
4.6 Quadratic programming under fuzzy environment ...... 72
4.7 A two phase approach for solving fuzzy linear
programming problems ............................. 78
4.8 Linear goal programming under fuzzy environment ..... 83
4.9 Conclusions ....................................... 94
5 Duality in linear and quadratic programming under
fuzzy environment ..................................... 95
5.1 Introduction....................................... 95
5.2 Duality in LP under fuzzy environment: Ro¨dder-
Zimmermann’s model............................... 95
5.3 A modified linear programming duality under fuzzy
environment ....................................... 101
5.4 Verdegay’s dual for fuzzy linear programming.......... 108
5.5 Duality for quadratic programming under fuzzy
environment ....................................... 112
5.6 Conclusions ....................................... 116
6 Matrix games with fuzzy goals ........................ 117
6.1 Introduction....................................... 117
6.2 Matrix game with fuzzy goals: a generalized model ..... 118
6.3 Matrix game with fuzzy goals: Nishizaki and Sakawa
model ............................................ 122
6.4 Special cases....................................... 126
6.5 Conclusions ....................................... 131
7 Matrix games with fuzzy pay-offs ..................... 133
7.1 Introduction....................................... 133
7.2 Definitions and preliminaries......................... 134