Funzioni e distribuzioni PDF
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Universit`a degli Studi di Bologna Facolt`a di Scienze matematiche, fisiche e naturali Corso di Laurea in Matematica Lo sviluppo storico del concetto di funzione e le origini della teoria delle distribuzioni Candidato: Lorenzo Pantieri Relatore: Prof. Ermanno Lanconelli Anno Accademico 1999–2000 LorenzoPantieri Losviluppostoricodelconcettodifunzione eleoriginidellateoriadelledistribuzioni Copyright(cid:13)c 2012 [email protected] La citazione è un utile sostituto dell’arguzia. — Oscar Wilde Dedicato alla cara memoria di Gabriella Pantieri. 1944 1998 - INDICE introduzione ix 1 funzioni 1 11 1 . Origini del concetto di funzione 12 2 . Nozione euleriana di funzione 13 5 . Problema della corda vibrante 14 11 . Mutamenti nel concetto di funzione 15 14 . Lagrange e il tentativo di rigorizzazione 16 17 . Fourier e la fisica-matematica 17 20 . Fondamenti dell’analisi in Cauchy 18 24 . Funzione di Dirichlet 19 28 . Aritmetizzazione dell’analisi 2 distribuzioni 37 21 37 . Dalle funzioni alle distribuzioni 22 40 . Heaviside e il calcolo operazionale 23 43 . Delta di Dirac 24 46 . Sobolev e la fondazione delle distribuzioni 25 52 . Teoria delle distribuzioni di Schwartz conclusioni 61 a analisi non standard 63 - bibliografia 69 v ELENCO DELLE FIGURE 1 6 Figura Il problema della corda vibrante 2 8 Figura Una «curva discontinua» nel senso euleriano 3 18 Figura Un esempio di «funzione» dato da Fourier 4 41 Figura La «funzione impulsiva unitaria» di Heaviside 5 42 Figura Le funzioni impulsive secondo Van der Pol 6 56 Figura La Delta di Dirac 7 67 Figura La retta iperreale vi L’architettura della matematica è come quella di una città, i cui sobborghi non cessano di crescere, talvolta in modo un po’ caotico, mentre il centro viene periodicamente ricostruito, ogni volta seguendo un piano più chiaro e un ordinamento più maestoso, distruggendo i vecchi quartieri con il loro dedalo di viuzze, per lanciare verso la periferia dei viali sempre più diretti, più larghi e più comodi. — Nicholas Bourbaki RINGRAZIAMENTI Ringrazio il mio Relatore di tesi di laurea in Matematica, Prof. Ermanno Lanconelli, dell’Università di Bologna. La sua alta professionalità ed espe- rienza, unite allasua gentilezza edisponibilità, sono stateindispensabili per la riuscita del mio lavoro di ricerca. E un grazie davvero speciale ai miei genitori, che mi hanno sempre soste- nuto con affetto e generosità. Bologna, 17 novembre 2000 L. P. vii INTRODUZIONE In questo lavoro di tesi mi sono proposto di valutare, attraverso la rico- struzione storica del percorso delle conoscenze matematiche che ne consen- tirono l’attuazione, le motivazioni che determinarono lo sviluppo storico del concetto di funzione e che diedero origine alla teoria delle distribuzioni. Obiettivo specifico del lavoro è mostrare come le ricerche dei matematici impegnati nel problema della fondazione del concetto di funzione e del- la nozione di distribuzione non siano avvenute sulla spinta di una sempre maggioregeneralizzazionedeirisultatioacausadi«astratte»questionidiri- gore: di fatto, alla generalità e alla formulazione di nuovi standard di rigore si perviene quando «i vecchi criteri non permettono una risposta adeguata alle domande che vengono dalla pratica matematica o addirittura da pro- blemi in certo senso esterni alla matematica che, trattati matematicamente, 1981 13 impongono mutamenti del quadro teorico [Bottazzini, , p. ]». La ma- tematica appare sostanzialmente come un’attività di proposta e di soluzione di problemi, teorici o pratici, puri o applicati. Cosìnonèuncasochelafisica-matematicaepiùingeneralelamatematica applicatasianostateunmotoreformidabileperlosviluppodellamatematica pura. Enonèneppureuncasochenuovicriteridirigoresipresentinoilpiù delle volte nella formulazione delle definizioni anziché nelle dimostrazioni: il momento della definizione rientra infatti nell’assetto complessivo in cui una teoriasiorganizzaedè,daunpuntodivistastorico,conseguenteallascoperta matematica vera e propria. Questo è un punto delicato, la cui comprensione è decisiva se si vuole intendere lo sviluppo reale della matematica e non vederlo deformato dal- le lenti «razionali» della critica contemporanea. La storia della matematica evidenzia che lo sviluppo della disciplina avviene a piccoli passi, mediante risultati che spesso provengono da varie direzioni e mette in luce l’impor- tanza della presenza di motivazioni adeguate per lo sviluppo delle idee ma- tematiche, che non scaturiscono perfette dalla mente di qualche genio, ma sono il frutto di molti anni di studio, di tentativi e anche di errori. In questo modo,èpossibileaccorgersidelladifferenzacheintercorrefralamatematica come sistema organicamente strutturato e come disciplina infieri: spesso gli obiettivi concettuali raggiunti in un dato momento storico non sono che un puntodipartenza,erisultaevidentechemoltelacunedevonoesserecolmate o che le estensioni veramente importanti devono ancora essere create. L’esposizione del lavoro è articolata come segue: nel primo capitolo viene discussa l’evoluzione storica del concetto di funzione e viene mostrato come la moderna formulazione del concet- to di funzione rappresenti il punto di arrivo di una discussione che ha accompagnato la storia del calcolo infinitesimale dalle sue origini nel- la seconda metà del Seicento fino al programma di «aritmetizzazione dell’analisi» nella seconda metà dell’Ottocento. nel secondo capitolo vengono analizzate le origini della teoria delle distribuzioni, cardine della matematica del XX secolo, e viene eviden- ziato come l’introduzione delle distribuzioni sia dovuta non alla mera ix x introduzione tendenza ad estendere il più possibile le nozioni dell’analisi, ma a pro- blemi del tutto concreti di matematica e di fisica-matematica, che rendono necessaria un’estensione del concetto di funzione. nelle conclusioni vengono tratte le conclusioni della ricerca e viene presentato un bilancio dello studio svolto e dei risultati ottenuti. in appendice , infine,vienedatouncennoall’analisinon-standard,cheha riformulatol’analisimodernaattraversol’arricchimentodelcampodei numeri reali ed il recupero di buona parte dell’impostazione originale di Leibniz e del concetto di infinitesimo.
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