Funktionentheorie: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker

273 Pages·2004·13.488 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Klemens Burg, Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, Prof. Dr. rer. nat. Friedrich Wille (auth.)

Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille
Funktionentheorie
Hohere Mathematik fur
Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker
Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille
Fu n ktionentheorie
Hohere Mathematik fur
Ingenieure, Naturwissenschaftler
und Mathematiker
Verfasst von Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf Universitat Kassel
Teubner
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig· Wiesbaden
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet Ober <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Dr. rer. nat. Klemens Burg, geboren 1934 in Bochum. Von 1954 bis 1956 Tatigkeit in der Industrie. Von
1956 bis 1961 Studium der Mathematik und Physik an der Technischen Hochschule Aachen und 1961 Diplom
Prufung in Mathematik. 1964 Promotion, von 1961 bis 1973 Wiss. Assistent und Akad. RatlOberrat, 1970 Habilita
tion und von 1973 bis 1975 Wiss. Rat und Professor an der Universitat Karlsruhe. Seit 1975 Professor fOr Ingenieur
mathematik an der Universitat Kassel. Arbeitsgebiete: Mathematische Physik, Ingenieurmathematik.
Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, geboren 1938 in pfrontenlAlIgau. Von 1956 bis 1960 Studium der Feinwerktechnik
Optik am Oskar-von-Miller-Polytechnikum Munchen. Von 1960 bis 1966 Studium der Mathematik und Physik an
der Technischen Hochschule Aachen und 1966 Diplomprufung in Mathematik. Von 1966 bis 1970 Wiss. Assistent,
1968 Promotion und von 1970 bis 1974 Akad. RatlOberrat an der Universitat Stuttgart. Von 1968 bis 1974 Lehr
auftrage an der Universitat Stuttgart und seit 1974 Professor fur Mathematik (Analysis) an der Universitat Kassel. Von
1985 bis 1995 Vorsitzender der Naturwissenschaftlich-Medizinischen Gesellschaft Kassel. Arbeitsgebiete: Funktio
nalanalysis, Verzweigungs-Theorie, Approximationstheorie.
Prof. Dr. rer. nat. Friedrich Wille t, geboren1935 in Bremen. Von 1955 bis 1961 Studium der Mathematik und
Physik an der Universitat Marburg, Berlin und Gottingen, 1961 Diplom und anschlieBend Industriepraxis. Von 1963
bis 1968 Wiss. Mitarbeiter der Aerodynamischen Versuchsanstalt (AVA) Gottingen. 1965 Promotion, Leiter des
Rechenzentrums Gottingen. Von 1968 bis 1971 Wiss. Assistent der Deutschen Forschungs-und Versuchsanstalt fur
Luft und Raumfahrt (DFVLR). 1970 Battelle-Institut Genf. 1971 Habilitation, 1972 Wiss. Rat und Professor in
Dusseldorf. Von 1973 bis 1995 Professor fur Angewandte Mathematik an der Universitat Kassel. Arbeitsgebiete:
Aeroelastik, Nichtlineare Analysis, math. Modellierung.
1. Auflage April 2004
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ISBN-13:97S-3-S19-004S0-6 e-ISBN-13:97S-3-322-S0077-0
DOl: 10.1007/978-3-322-80077-0
Vorwort
Der vierte Band unseres Gesamtwerkes »Hohere Mathematik fiir Ingenieure« beinhaltet bisher
die beiden Themenbereiche »Vektoranalysis« und »Funktionentheorie«. Da kein zwingender
Grund besteht, diese Gebiete in einem Band zusammenzufassen, haben wir sie neu strukturiert
durch zwei eigenstiindige Bfulde. Dies wirkt sich zum einen gUnstig auf die Preisgestaltung aus.
Zum anderen mochten wir den Leserkreis erweitern: Neben der fiir uns nach wie vor wichtigen
Zielgruppe der Ingenieurstudenten wenden wir uns gezielt auch an Studierende der Naturwissen
schaften und der Angewandten Mathematik. Dazu haben wir eine noch stiirkere »Anreicherung«
mit interessanten Anwendungen vorgenommen (s. insbesondere Abschnitt 5.3).
Gegenstand dieses Bandes ist die Funktionentheorie. Sie zahlt zu den schOnsten mathemati
schen Disziplinen und zeichnet sich durch ihre Geschlossenheit aus. Fiir den Anwender der Ma
thematik ist allerdings ein anderer Aspekt vorrangig: Funktionentheoretische Methoden stellen in
sehr vielfaItigen Anwendungssituationen ein unentbehrliches Hilfsmittel dar. Dies vor allem im
Zusammenhang mit ebenen Problemen, etwa der Potentialtheorie, bei stationaren Stromungen
und in der Elastizitatstheorie.
Natiirlich enthlilt dieser Band auch die tiblichen »Standards«, die zu einem soliden Grund
wissen gehOren: Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit im Komplexen, wobei die Cauchyschen
Integralsiitze einen Hohepunkt darstellen. Ferner: Potenzreihen- und Laurentreihenentwicklung
und eine Einftihrung in die Theorie konformer Abbildungen. Es ist klar, dass bier zuniichst mehr
theoretische Gesichtspunkte im Vordergrund stehen. Daneben haben wir uns jedoch bemtiht, fiir
die Anwendungen interessante Akzente zu setzen. So werden z.B. mit Hilfe konformer Abbil
dungen verscbiedene Randwertprobleme der Potentialtheorie behandelt und auf die Diskussion
ebener stationiirer Stromungen angewandt (s. Abschnitt 4.2). In Abschnitt 5.3.3 wird gezeigt,
wie sich komplexe Potentiale elegant auf ebene Probleme der Elastizitiitstheorie anwenden las
sen. Ferner wird in Abschnitt 5.3.4 ersichtlich, wie wertvoll funktionentheoretische Methoden
bei der Untersuchung von Streuproblemen ebener elektromagnetischer Wellen sind.
Die Anwendung der Funktionentheorie auf die Besselsche Differentialgleichung in Ab
schnitt 5 solI indessen verdeutlichen, dass der Nutzen funktionentheoretischer Methoden keines
wegs auf ebene Probleme beschriinkt ist. Daneben wollen wir dem Leser interessante Funktionen
der mathematischen Physik (die Hankel-, Bessel-und Neumannfunktionen) vorstellen und ihre
grundlegenden Eigenschaften aufzeigen. Anwendungen auf die Untersuchung des Schwingungs
verhaltens von Membranen und auf die Theorie der Schwingungsgleichung (s. Abschnitt 5.3)
unterstreichen die Praxisrelevanz der Funktionentheorie. Mit der Berechnung und Diskussion
von radialsymmetrischen LOsungen der Schwingungsgleichung bei beliebiger Raumdimension
stellen wir die Hilfsmittel bereit, die man zum Aufbau der Theorie der Schwingungsgleichung
benotigt (s. bierzu auch BurgIHaflWille [13]). Die in Abschnitt 2.4 behandelten asymptotischen
Methoden finden bierbei eine interessante Anwendung.
Noch ein Wort zum Aufbau!
Wir haben uns bemtiht, stets schnell zum Hauptergebnis durchzudringen, um von dort her
die Gedankenketten zu strukturieren. Wir hoffe n, dass so ein verstiindlicher Text entstanden ist.
VI
Riieksiehtnahme auf den Anwender von Mathematik war uns dabei ein Anliegen. oboe jedoeh
die mathematisehe Genauigkeit preiszugeben.
Natiirlieh benotigt dieser Band ein bestimmtes Grundwissen. etwa aus der Analysis oder der
Linearen Algebra. Als Hilfestellung fUr den Leser finden sich daher immer wieder Verweise auf
unsere iibrigen Bande. Selbstverstandlieh konnen diese Kenntnisse aueh aus anderen Biiehern
erworben werden.
Zum Sehluss danken wir allen, die uns bei diesem Band unterstUtzt haben: Herro Prof. Dr.
P. Werner (Universitiit Stuttgart) fUr wertvolle Hinweise zur Funktionentheorie, Herro Prof. Dr.
P. Haupt (Universitiit Kassel) fUr seine Beratung bei der Anwendung auf die Elastizitatstheorie,
Herro Dipl.-Inf. J. Barner fUr die sorgfaItig erstellte Jb.T}3X-Vorlage, Herro Dipl.-Math. F. Miiller
fUr die Anfertigung einiger Computergrafiken und nieht zuletzt dem Verlag B.G. Teubner fUr
seine geduldige und konstruktive Zusammenarbeit.
Kassel. Dezember 2003 HerbertHaf
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 1
1.1 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Wiederholung und Ergliozung . 1
1.1.2 Die Riemannsche Zahlenkugel . 5
1.1.3 Topologische Hilfsmittel . . . . 7
1.1.4 Folgen von komplexen Zahlen . 9
1.1.5 Reihen von komplexen Zahlen . 12
1.1.6 Kurven und Gebiete in C . . . . 14
1.2 Funktionen einer komplexen Variablen . . 22
1.2.1 Funktionsbegriff.... 22
1.2.2 Stetigkeit........ 22
1.2.3 Elementare Funktionen . 26
2 Holomorpbe Funktionen 33
2.1 Differenzierbarkeit im Komplexen, Holomorphie 33
2.1.1 Ableitungsbegriff, Holomorphie . . . . . . . 33
2.1.2 Rechenregeln fUr holomorphe Funktionen . . . 35
2.1.3 Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. 36
2.1.4 Umkehrung der elementaren Funktionen. 42
2.1.5 Die Potentialgleichung . . 48
2.2 Komplexe Integration . . . . . . . 53
2.2.1 Integralbegriff ....... . 53
2.2.2 Der Cauchysche Integralsatz . 59
2.2.3 Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz . 61
2.2.4 Umkehrung des Cauchyschen Integralsatzes . . . 72
2.2.5 Anwendungen der komplexen Integralrechnung . 74
2.3 Erzeugung holomorpher Funktionen durch Grenzprozesse 85
2.3.1 Folgen von Funktionen . 85
2.3.2 Reihen von Funktionen . . . . . . . . . . . 89
2.3.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.3.4 Charakterisierung holomorpher Funktionen 95
2.3.5 Analytische Fortsetzung .... 96
2.4 Asymptotische Abschatzungen . . . . . 106
2.4.1 Asymptotische Entwicklungen . . . 107
2.4.2 Die Sattelpunktmethode . . . . . . . 111
VIII Inhaltsverzeichnis
3 Isolierte Singularitaten, Laurent-Entwicklung 119
3.1 Laurentreihen................. .119
3.1.1 Holomorphe Funktionen in Ringgebieten · 119
3.1.2 Singularitiiten........ · 124
3.2 Residuensatz und Anwendungen · 129
3.2.1 Der Residuensatz ..... . · 129
3.2.2 Das Prinzip vom Argument. .134
3.2.3 Anwendungen ...... . · . 135
4 Konforme Abbildungen 153
4.1 Einfiihrung in die Theorie konformer Abbildungen . . . . . . · 153
4.1.1 Geometrlsche Kennzeichnung holomorpher Funktionen . · . 153
4.1.2 Der Riemannsche Abbildungssatz .... · 156
4.1.3 Spezielle konforme Abbildungen .. · 158
4.2 Anwendungen auf die Potentialtheorie . · 179
4.2.1 Dirichletsche Randwertprobleme · 179
4.2.2 Neumannsche Randwertprobleme · 183
4.2.3 Potential von Punktladungen . · 185
4.2.4 Ebene stationare Stromungen .. · . 189
5 Anwendung auf die Besselsche DitTerentialgleichung 199
5.1 Die Besselsche Differentialgleichung. . . 199
5.1.1 Motivierung.................... . 199
5.1.2 Die Hankelschen Funktionen. . . . . . . . . . . . 201
5.1.3 Allgemeine Losung der Besselschen Differentialgleichung . 205
5.2 Die Besselschen und Neumannschen Funktionen .. . 207
5.2.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . 207
5.2.2 Integraldarstellung der Besselschen Funktionen . . . . . . . 210
5.2.3 Reihenentwicklung und asymptotisches Verhalten der Besselschen Funktionen 212
5.2.4 Orthogonalitiit und Nullstellen der Besselschen Funktion . . . . 215
5.2.5 Die Neumannschen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.2.6 Verhalten der LOsung der Besselschen Differentialgleichung . 220
5.3 Anwendungen........................... . 221
5.3.1 Radialsymmetrlsche LOsungen der Schwingungsgleichung . . 221
5.3.2 Schwingungen einer Membran . . 223
5.3.3 Elastizitiitstheorie in der Ebene . . 229
5.3.4 Streuung einer ebenen Welle . . .. 232
Anhang 239
A Eigenschaften parameterabhangiger Integrale 241
B Losungen zu den Ubungen 245
Inhaltsverzeichnis IX
Symbole 257
Literaturverzeichnis 259
Stichwortverzeichnis 263
1 Grundlagen
Wie in der reellen Analysis sind auch in der komplexen Analysis Zablen, Folgen, Konvergenz
und Funktionen wichtige Grundbegriffe. Wir wollen sie in diesem Abschnitt erkHiren, ihre Eigen
schaften erHiutem und so ein Fundament fUr das Weitere legen.
1.1 Komplexe Zahlen
1.1.1 Wiederholuog und Erganzuog
Komplexe Zablen haben wir bereits in BurgIHaflWille [12] Abschnitt 2.5 vorgestellt. Wir wol
len an einige ihrer Eigenschaften erinnem und weitere aufzeigen. Wir haben gesehen, daB wir
zur eindeutigen Kennzeichnung einer komplexen Zabl z zwei reelle Zablen ben6tigen, namlich
geordnete Paare
z = (x, Y) , X, Y E lR. , (1.1)
die wir auch in der Form
z=x+iy, X,YElR. (1.2)
schreiben; i heiBt imaginiire Einheit; x heiSt Realteil, Y Imaginiirteil von z. Schreibweise: x =
Re z, Y = 1m z. Wir sagen, Zl = Xl + i YI und Z2 = X2 + i Y2 sind gleich, wenn Xl = X2 und
YI = Y2 ist. Zur Vereinfachung schreibt man
x+iO=x, O+iy=iy, O+iO=O, il=i.
Die Ausdriicke x + i Y erhalten den Charakter von Zahlen, man nennt sie komplexe Zahlen,
durch Festlegung der folgenden Rechenregeln: FUr beliebige komplexe Zablen Xl + i YI und
X2 + i Y2 definiert man die
Addition: (Xl + i YI) + (X2 + i Y2) = (Xl + X2) + i(YI + Y2)
Subtraktion: (Xl + i YI) - (X2 + i Y2) = (Xl - X2) + i(YI - Y2)
Multiplikation: (Xl + i YI)(X2 + i Y2) = (XIX2 - YIY2) + i(XIY2 + YIX2)
Xl + iYI 1 . .
Division: +. = 2 + 2(XI+IYI)(X2-1Y2), fallsX2+iY2#O.
X2 lY2 X2 Y2
°
Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. Durch X + i = X wird die Men
ge der reellen Zahlen eine Teilmenge der komplexen Zahlen: lR. C C. In BurgIHaflWille [12],
Abschnitt 2.5.2 wurde gezeigt, daB C beziiglich der Addition und Multiplikation einen Korper
bildet, d.h. wir k6nnen in C »vemiinftig rechnen«. Nach der Regel fUr die Multiplikation gilt im